Lors des mesures effectuées à l’aide du transducteur focalisé, nous avons observé une composante quasi-apériodique du déplacement de la membrane de Mylar (figure 2.13). Nous avons supposé qu’il s’agissait de la manifestation du « streaming » acoustique. Nous discutons de son influence sur nos mesures.
Figure 3.1 : Mise en évidence par P.I.V. (Particle Image Velocimetry) du « streaming » acoustique induit par une onde de fréquence f0 = 800 kHz se propageant dans le Glycérol. La photo correspond à l’état transitoire.
(Depuis http://www.lmfa.ec-lyon.fr/perso/Valery.Botton/acoustic_streaming_bis.html)
Ce phénomène est souvent utilisé dans la bande dessinée pour rendre compte visuellement de l’intensité sonoreXXXI. Sur la figure 3.1 est représentée une photographie de l’écoulement d’une zone de Glycérol induit par la propagation d’une onde ultrasonore de fréquence 600 kHz. Le transducteur est focalisé. Au repos, les particules réfléchissantes forment un plan vertical. Lorsque le transducteur commence à émettre l’onde acoustique, le fluide est localement mis en écoulement. Le « streaming » acoustique aurait été observé expérimentalement bien avant la pression de radiation acoustique. Eckart100 suppose que ce phénomène a été découvert par Rayleigh, qui mentionne cet effet dans un article en 1883, à propos de mesures réalisées dans un tube de Kundt101. Il l’identifie comme un phénomène du second ordre ne pouvant voir le jour en l’absence de « friction ». Ce phénomène, appelé
XXXI Par exemple, si X crie après Y, il n’est pas rare que Y ait les cheveux plaqués en arrière, comme si il se trouvait en face d’un puissant ventilateur.
parfois « vent acoustique » (ou encore « quartz wind »), a par la suite intéressé les physiciens, notamment car il perturbe les mesures d’intensité acoustique.
La force locale (i.e volumique) f associée au streaming acoustique s’obtient en considérant la propagation d’une onde acoustique dans un fluide réel :
k ik
i x
f T
∂
= ∂ , (3.1)
où Tik est le tenseur des contraintes de Brillouin. Compte-tenu de la viscosité du fluide, il s’écrit au second ordre :
( )
0
3 2
0 0
j T j ik P j j ik i
k k i S k i ik E
ik x
v x
v x
v x v v
v P
P
T ∂
δ ∂ η
−
∂ δ ∂
∂ −
−∂
∂ η ∂
− ρ + δ
−
−
= . (3.2)
Si l’on considère une onde plane harmonique, le champ de vitesse est de la forme
( )
z,t v e zej( t kz)v3 = 0 −α0 ω0− . Si l’on suppose que 0
0
0 =
− T
E P
P (cf. chapitre deux), le seul terme non nul du tenseur Tik est alors :
0
2 3 0
33 v T
T =−ρ , (3.3)
Et la force fz, suivant l’axe z, devient :
( ) ( )
0 0
0 2
2 0 0 0 33
3 v e z 2 E z,t T
z z T
f =α ρ = α
∂
= ∂ − α , (3.4)
où E
( )
z,t T0 0v02e 2 0z2
1 − α
ρ
= , est la valeur moyenne temporelle de la densité d’énergie, qui décroît exponentiellement avec la distance de propagation z. Cette expression est parfois écrite sous la forme :
( ) ( )
0 2 2 0 0
0 3
2
t T
, z p c z
f ρ
= α . (3.5)
Cette force peut s’interpréter comme la force de radiation qui s’exerce sur un plan du fluide situé en z, jouant le rôle d’objet non réfléchissant qui absorbe l’énergie acoustique. Elle est proportionnelle au coefficient d’absorption α0. Cette force résulte d’un transfert de quantité de mouvement de l’onde au milieu, en raison des effets visqueux.
En réalité, il est a priori nécessaire de tenir compte de la propagation non linéaire de l’onde,
est un entier supérieur à un). Celles-ci sont davantage atténuées que l’onde de fréquence fondamentale. Il vient alors :
( ) ∑
∞( )
ρ =
= α
1 2 2 2 0 0
0 3
0
2
n n pn z,t T
c z
f . (3.6)
Ainsi, à la contribution provenant de l’atténuation de l’onde à la fréquence f0 s’ajoutent celles des harmoniques supérieures. Cette prise en compte de la génération d’harmoniques induite par la propagation non linéaire de l’onde est nécessaire dans le cas de sources plus intenses102. Notons que du point de vue de l’atténuation, cette écriture revient à considérer qu’une onde formée d’une somme infinie d’harmonique est initialement émise, puis atténuée. En toute rigueur, il faut tenir de deux choses : d’une part l’hypothèse d’une dépendance quadratique du coefficient d’atténuation en fonction de la fréquence n’est plus valable pour des très hautes fréquences et d’autre part l’extra-atténuation n’est pas prise en compte. En pratique, les auteurs ayant étudiés ce phénomène supposent que seules les premières harmoniques sont générées (il n’y a alors pas de formation d’une onde de choc). Dans le cas contraire, une simulation numérique (par exemple à partir de la discrétisation de l’équation KZK) est utilisée pour calculer le champ.
Pour l’essentiel, les études expérimentales du streaming acoustique sont basées sur les méthodes de visualisations des écoulements, telles que la Vélocimétrie par Image de Particules (P.I.V.)103,104 et sur les méthodes utilisant l’effet Doppler ultrasonore105,106.
Ces considérations concernent le phénomène de streaming induit par une onde plane harmonique (en régime permanent donc), situation que nous n’avons pas observée expérimentalement. Si l’onde acoustique est émise par une source de taille finie, l’écoulement induit par l’onde acoustique est alors localisé sur l’axe de celle-ci et des vortex sont créés de part et d’autre.
Dans nos expériences, du fait de la tension de la membrane et de sa dimension finie, celle-ci n’est pas transparente à des déplacements de très basse fréquence. En conséquence, un écoulement local est en mesure de transférer une quantité de mouvement à la membrane et de la déplacer, comme nous l’avons constaté au foyer d’un transducteur focalisé (cf. figure 2.11).
La réponse de la membrane dépend alors de la zone où cet écoulement se manifeste, ce qui rend notre dispositif expérimental inadéquat pour le caractériser. L’étude complète du streaming acoustique n’est pas l’objet de ce travail. Nous vérifions que cet effet peut se
manifester dans nos expériences et que dans certaines conditions, pour des trains d’ondes de durée relativement courte (1 à 2 µs), il n’influe pas sur les mesures.
Pour vérifier que la composante « apériodique » du déplacement de la membrane est provoquée par le streaming acoustique, nous avons mesuré l’amplitude de ce déplacement en fonction de la fréquence centrale d’un train d’ondes, au foyer du transducteur focalisé utilisé au second chapitre (fréquence centrale 10 MHz, diamètre 10 mm, distance focale 70 mm). Le résultat obtenu pour un train d’ondes de durée Θ = 15 µs est reporté sur la figure 3.2.a. En rouge est représenté le déplacement mesuré pour une fréquence centrale f0 égale à 10 MHz et en bleu pour une fréquence de 9 MHz. Le transducteur possède une bande passante assez large et transmet approximativement la même amplitude pour ces deux fréquences. Pour Θ = 15 µs, l’amplitude de la composante quasi-apériodique est supérieure à l’amplitude du déplacement induit par le train d’ondes (jusqu’à 3 fois supérieure pour f0 = 10 MHz). Son temps caractéristique d’établissement est supérieur à la durée du train d’ondes. Sur la figure 3.2.b, le déplacement est divisé par le coefficient d’atténuation α(théorique, proportionnel au carré de la fréquence centrale, en Np/m). Le résultat semble indiquer que ce déplacement dépend de ce coefficient. Afin de conclure plus précisément, il nous faudrait comparer des mesures faites dans plusieurs fluides.
50 70 90 110
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Temps (µs)
U(nm)(a)
1 -
50 70 90
-1 -
0 0.5 1 1.5
-
50 70 90 110
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Temps (µs)
U(nm)(a)
1 -
50 70 90
-1 -
0 0.5 1 1.5
-
50 70 90 110
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Temps (µs)
U(nm)/α
(b)
- 0
50 70 90 110
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Temps (µs)
U(nm)/α
(b)
- 0
Figure 3.2 : (a) Déplacement de la membrane pour un train d’ondes de durée 15µs. En rouge pour une fréquence centrale f0 = 10 MHz, en bleu pour f0 = 9 MHz. (b) Déplacement divisé par le coefficient d’atténuation.
En comparant ce résultat à celui de la figure (2.12), on voit que le déplacement apériodique de la membrane est fonction de la durée du train d’ondes, lorsque la fréquence centrale est fixée.
Une telle dépendance a déjà été observée sur l’amplitude de la vitesse de streaming obtenue en régime non permanent107. Ce déplacement non périodique résulte d’une accumulation d’un transfert de quantité de mouvement de l’onde au milieu22.
L’utilisation d’un train d’ondes de durée courte (Θ = 1 à 2µs), émis par un transducteur plan, permet de minimiser les effets de streaming, comme c’est la cas au chapitre deux.
Dans un solide mou (comme un tissu biologique), nous verrons que la force de radiation engendrée par l’atténuation d’un faisceau ultrasonore focalisé est un très bon moyen pour engendrer les ondes de cisaillement nécessaire à l’élastographie transitoire.