2.4 Gestion de l’incertitude et de l’inférence de contexte
2.4.2 Méthodes de fusion et d’inférence
2.4.2.2 Théorie des croyances
La théorie des croyances de Dempster-Shafer [Shafer, 1976] est utilisée pour combiner des informations différentes afin de calculer la probabilité d’un événement ; c’est une forme de généra- lisation des règles de Bayes. [Wu, 2004], [Ricquebourg et al., 2008], [Beamon and Kumar, 2010], [Nzekwa et al., 2010], [McKeever et al., 2009b, McKeever, 2011] utilisent la méthode de Dempster-Shafer afin de bénéficier de l’agrégation des données provenant de plusieurs sources telles que des capteurs différents. Cette méthode est bien adaptée au traitement de l’information de contexte des couches abstraites de la gestion de contexte mais son coût est important en termes de temps de calcul.
a) De l’hypothèse à la fusion
Soit Θ l’ensemble des hypothèses possibles appelé cadre de discernementet contenant N éléments Hi,i∈ {1, . . . , N} exclusifs et exhaustifs.
Masse élémentaire Soit Ai ∈ 2Θ. Une masse élémentaire m() est une application de 2Θ (l’ensemble des parties de Θ) dans [0,1] vérifiant les deux propriétés suivantes :
(2.6)
m(∅) = 0 P
Ai∈2Θ
m(Ai) = 1
Les éléments Ai ∈ 2Θ tels que m(Ai) 6= 0 sont appelés les éléments focaux. Dès lors que l’ensemble des éléments focaux se réduit aux seuls singletons Hi du cadre de discernement, la masse élémentairem() est assimilable à une probabilitéP()
Fonctions de crédibilité et de plausibilité Les sources d’information attribuent des cré- dibilités aux hypothèses Hi présentées pour le schéma de raisonnement.
La crédibilité (Cr(Bj)) représente la masse minimale qu’il est possible d’affecter à une partieB de 2Θ. La plausibilité(P l(Bj)) représente à l’inverse lamasse maximale.
Cr(Bj) = X
Ai⊂Bj
m(Ai) (2.7)
P l(Bj) = X
Ai∩Bj6=0
m(Ai) (2.8)
En outre, quel que soit A∈2Θ, la somme de laplausibilité de Aet de lacrédibilité de A¯est toujours égale à 1(2.9).
(2.9) P l(A) +Cr( ¯A) = 1
Règle de combinaison Chaque source d’information est l’origine d’un jeu de masses élémen- taires notémi. La combinaison d’évidences de deux sources indépendantes est accomplie par la règle de combinaison de Dempster :
(2.10) m12(A) =
P
∀X,Y;X∩Y=A
m1(X)·m2(Y) 1−K
Où K est l’incohérence de fusion :
K = X
∀X,Y;X∪Y=∅
m1(X)·m2(Y)
b) Théorie des croyances et inférence de la confiance
[Becker et al., 2010] présente une méthode de génération de la confiance résultante basée sur larecommandation[Gutscher, 2007]. Pour la relation de recommandation de confiance, il existe une limite h pour déterminer la longueur de la chaîne de confiance à construire (les sauts de recommandation). Une relation de recommandation de confiance avec une limiteh= 1 n’engage le fournisseur de confiance que sur sesrelations de premier ordre (connaissances directes), alors que pour une limite h = 2, la relation de confiance se propage sur deux sauts. Ainsi est dérivée la construction d’une confiance résultante à partir d’une chaîne de confiance (en assumant que le saut conserve toujours le même notion de confiance) :
1. La relation de confiance deAversB avec un sauth= 1 peut être combinée avec la relation de confiance deB vers C en multipliant la valeur de confiance de la première relation par la deuxième (2.11)
(2.11) tr=t1t2
2. La fusion de deux relations parallèles deA vers B avec des valeurs de confiance t1 et t2
respectivement se calcule avec l’équation 2.12.
(2.12) tr=t1+t2−t1t2
Soit un ensemble de personnesA,B,C,D;muni de la relation R de confiance. Afin de déter- miner la confiance que peut accorder Aà D, les équations d’inférence (2.11,2.12) sont utilisées de la manière suivante. La première étape consiste à déterminer les relations entre les différentes personnes dans le groupe. Par exemple :
– R1 la relation entre A et B,R1= 0.9 – R2 la relation entre A et C, R2 = 0.7
– R3 la relation entre B et D,R3 = 0.8 – R4 la relation entre C et D,R4= 0.6
La deuxième étape consiste à calculer l’inférence des relations de confianceR1etR2qui donne la relation résultante R12 = 0.72. De même, celle de R3 et R4 donne la relation R34 = 0.42.
Les relations R12 et R34 représentent la confiance de A vers D à travers B et C. L’étape finale permet d’obtenir à partir des deux relations la relation de confiance résultanteR = 0.8376.
Conjonction, disjonction et négation Lorsque la représentation de la confiance est celle de Dempster-Shafer [Shafer, 1976] et de Jøsang [Jøsang, 1997] (t = (b, i, d)) alors la conjonc- tion, la disjonction et la négation sont proposées par Jøsang [Jøsang, 1997] et par Baldwin [Baldwin, 1987] comme le montrent les équations 2.13a, 2.13b et 2.13c. Pour rappel, b est le symbole de la croyance (belief), i le symbole de l’ignorance (ignorance), et d le symbole de plausabilité (disbelief).
Les tableaux 2.3a,2.3bet2.3csont les tableaux de vérité respectivement deconjonction, de disjonction et denégation avec les symboles : + pour désignerb,∅pour i et−pour d.
tx∧ty =
bxby
ixiy+ixby+bxiy
dx+dy−dxdy
(2.13a)
tx∨ty =
bx+by−bxby
ixiy+ixdy+dxiy dxdy
(2.13b)
¬tx =
dx
ix
bx
(2.13c)
∧ + ∅ −
+ + ∅ −
∅ ∅ ∅ −
− − − −
(a) conjonction
∨ + ∅ − + + + +
∅ + ∅ ∅
− + ∅ −
(b) disjonction
¬
+ −
∅ ∅
− +
(c) négation
Table 2.3 – Tables de vérité des opérateurs conjonction,disjonction et la négation
Figure 2.8 – Fusion de la confiance à l’aide de la théorie des croyances dans les réseaux de capteurs sans fils (WSN) [Frederik Hermans, 2009]
Consensus L’opérateur consensus (⊕) combine la valeur de confiance de deux relations de confiance qui font référence à la même proposition. Jøsang [Jøsang, 1997], Dempster-Shafer [Shafer, 1976] et Yager [Yager, 1987] ont proposé différentes définitions de l’opérateur deconsen- sus respectivement 2.14a,2.14b et2.14c et les tableaux de vérité dans la table2.4. Les valeurs inconnues sont mentionnées avec le symbole⋄.
tx⊕ty = 1 ix+iy−ixiy
bxiy+ixby
ixiy
dxiy+ixdy
(2.14a)
tx⊕ty = 1 1−bxdy−dxby
bxby+bxiy+ixby
ixiy
dxdy+dxiy+ixdy
(2.14b)
tx ⊕ty =
bxby+bxiy+ixby
ixiy+bxdy+dxby
dxdy+dxiy+ixdy
(2.14c)
Dans le cas des opérateurs de Dempster-Shafer et Jøsang, la différence réside dans la gestion du conflit. L’opérateur de Dempster-Shafer est défini seulement pour 1−bxdy−dxby >0, c’est-à- dire qu’il est indéfini pour la combinaison de la croyance (belief) avec la plausibilité (disbelief).
La masse de probabilité des combinaisons est éliminée. b,i et d sont re-normalisés pour que b+i+d = 1. L’opérateur de Jøsang est, par contre, défini pour ix +iy −ixiy > 0, c’est-à- dire qu’il est indéfini pour deux valeurs de la croyance (belief) et deux valeurs de plausibilité
⊕ + ∅ −
+ ⋄ + ⋄
∅ + ∅ −
− ⋄ − ⋄
(a) Jøsang
⊕ + ∅ −
+ + + ⋄
∅ + ∅ −
− ⋄ − −
(b) Dempster-Shafer
⊕ + ∅ −
+ + + ∅
∅ + ∅ −
− ∅ − −
(c) Yager
Table 2.4 – Tables de vérité des différentes définitions de l’opérateur consensus
(disbelief). La normalisation de Jøsang a pour effet d’ignorer le conflit ce qui mène à des effets contre-intuitifs [Zadeh, 1984].
c) Extension de la théorie des croyances pour la gestion de contexte
Susan Mc Keever propose une extension de la théorie des croyances permettant de prendre en compte la qualité de contexte lors de l’inférence de situations de contexte [McKeever et al., 2009b,McKeever, 2011]. Les critères de qualité utilisés sont la précision, dé- finie comme l’intervalle sur lequel une donnée d’un capteur est correcte, pour une exactitude donnée, et le flou (fuzziness) d’une information de contexte permettant de mesurer l’impréci- sion. Si la qualité de contexte est disponible et quantifiable, elle est incorporée dans les masses élémentaires des données de capteurs (voir plus haut) afin de rendre plus réaliste la fonction de croyance.
La figure 2.9montre les étapes de l’inférence d’une situation de contexte telle que proposée par [McKeever et al., 2009b]. Au niveau des capteurs, chaque donnée collectée est associée avec une mesure de croyance, intégrant la QoC. La croyance est propagée le long des chemins du graphe orienté au sein de cadres de discernement. Pour chaque situation de contexte, la croyance issue des sources pertinentes est alors fusionnée en une mesure de la croyance totale en utilisant la règle de combinaison des évidences adéquate.