Théorie et modèle de simulation MC2

Dans la simulation MC2, nous avons défini les trois probabilités suivantes : 1) la probabilité qu’un électron perde de l’énergie par excitation de surface ;

2) la probabilité qu’un électron subisse une diffusion élastique de la part d’un centre diffuseur ;

3) la probabilité qu’un électron subisse une interaction inélastique avec les électrons libres, présents entre les centres diffuseurs.

La figure III.6 schématise cette approche de l’EPES et représente les différentes interactions et les réflexions des électrons dans le matériau. Sur cette figure, nous avons défini trois régions: la région du vide, la région de surface et la région du volume.

Excitations de surface

Électrons réfléchis

d

Électrons incidents βin

Région de surface

Région du volume

Région du vide ^out

β βout

Événement inélastique Diffusion élastique

(1)

(2)

(3)

Figure III.6 : modèle d’empilement de couches atomiques montrant le cheminement d’un faisceau primaire d’électrons, ainsi que les différentes interactions et réflexions des

électrons

Chapitre III Nouvelle simulation MC2 associée à la spectroscopie des électrons rétrodiffusés élastiquement (E.P.E.S) adaptée à l’échelle nanométrique

133 Un faisceau incident arrive sur le plan atomique sous un angle βin et les électrons réfléchis ressortent avec des angles β_out. Les électrons primaires dans le solide vont induire des processus de diffusion (élastique et inélastique). Cependant, il ne faut pas oublier les excitations de surface causées par les électrons entrant et sortant. Ces interactions de surface à l’entrée du substrat constituent la première perte d’énergie d’électron, elles sont liées à la probabilité P_βin(E). Puis lorsque l’électron arrive sur le premier plan atomique, il peut être diffusé ou non par les centres diffuseurs. Entre deux plans atomiques, les pertes énergétiques liées à des processus inélastiques peuvent apparaître. A la sortie de l’échantillon, les électrons rétrodiffusés élastiquement peuvent également subir une excitation de surface avant d’être comptabilisés, cet événement est lié à la probabilité P_βout(E).

La théorie décrite précédemment est appliquée à notre programme de simulation MC2 pour modéliser le cheminement des électrons dans la matière. Le modèle de cette simulation repose sur les effets élastiques et inélastiques, il permet de décrire la trajectoire de l’électron dans le matériau avec une précision inferieure au nanomètre.

Dans cette simulation on peut suivre l’électron pas à pas après chaque traversée d’un plan atomique.

III.2.1.1 Effet d’excitation de surface

Les pertes de surface sont essentiellement les plasmons de surface qui sont confinés au niveau de la zone frontière entre le vide et le substrat. Dans notre simulation MC2, nous avons introduit la probabilité pour qu’un électron traverse la surface sans aucune excitation comme étant égale à :

^{0P Eβ( )=exp}

(

^{−PβCH( )E}

)

(III.32)

Nous avons utilisé le paramètre d’excitation de surface de Chen P_β^CH( )E défini précédemment.

III.2.1.2 Effet d’excitation de volume

Dans la spectroscopie EPES, les effets de volume représentent le deuxième processus de pertes énergétiques des électrons. Il est principalement lié au libre parcours moyen inélastique d'électrons (IMFP) λi, c’est le paramètre le plus important pour toute analyse quantitative.

La région de volume est composée de plans atomiques identiques en rapport avec la structure cristallographique de l’échantillon. L’analyse quantitative de l’EPES est basée sur les hypothèses suivantes :

1- le long de la trajectoire de l'électron, le processus inélastique peut apparaître seulement entre deux plans atomiques séparés par la distance d(Å). La diminution du nombre d'électrons élastiques est définie par le coefficient d’atténuation α( , )E β [4,30,39] fonction de l’angle β du faisceau électronique.

Chapitre III Nouvelle simulation MC2 associée à la spectroscopie des électrons rétrodiffusés élastiquement (E.P.E.S) adaptée à l’échelle nanométrique

Ce coefficient dépend du parcours moyen inélastique λi est appelé parfois aussi facteur de transmission, il est égal à :

( ) cos

( , ) ⁱ

d

E e ^λ E ^β

α β = ⁻ (III.33)

2- les centres diffuseurs sont positionnés comme les atomes, ils sont donc distribués suivant

une structure cristallographique. Avec l’utilisation de la section efficace totale de diffusion, on peut définir la probabilité d’événements élastiques par ces centres diffuseurs ;

3- la trajectoire des électrons dans le volume est une ligne aléatoire avec des changements de direction liés aux collisions élastiques avec les centres diffuseurs.

III.2.1.3 Théorie de l’EPES

Rappelons que le coefficient de réflexion η_e( , )E β est le pourcentage d'électrons réfléchis élastiquement par l'échantillon, il dépend de l'énergie primaire des électrons et de l’angle d'incidence du faisceau primaire

Le substrat est modélisé par un nombre infini de plans parallèles. Afin d’apporter des interprétations quantitatives, un tel modèle a été dans sa forme première utilisé par E. Gallon [40]. Les électrons rétrodiffusés élastiquement vont traverser deux fois les monocouches atomiques rencontrées.

Soit η¹e(^E,β)le pourcentage d’électrons réfléchis élastiquement par une monocouche atomique dans la directionβ. Ecrivons alors l’expression générale du coefficient de réflexion élastique en comptant chaque réflexion sur les plans internes :

1 2 4 2( 1)

( , ) ( , )(1 ....

ⁿ

...)

e

E

e

E

η β η = β + α + α + + α

⁻

+

^(III.34)

avec la série mathématique:

2 4

2

1 ... 1

1

α α α

= − + +

+ ^{quand n ∞ (III.35)}

d’où

2 1

1 ) , ) (

,

( α

β β η

η = −E

E ^e

e (III.36)

Cette formule relie le pourcentage total au pourcentage de réflexion par une monocouche atomique.

La validité de la formule (III.36) est fondée sur le fait que la majorité des électrons primaires fait une seule rétrodiffusion élastique. Une étude précise sera faite dans la suite de ce chapitre et confirmera cette hypothèse ainsi que la validité des atténuations des courants primaires par chaque monocouche.

Gruzza et Pariset [4] avaient souligné que l’EPES est sensible aux orientations cristallographiques. Ils ont proposé une équation permettant de calculer le coefficient de réflexion élastique obtenu avec un analyseur RFA:

Chapitre III Nouvelle simulation MC2 associée à la spectroscopie des électrons rétrodiffusés élastiquement (E.P.E.S) adaptée à l’échelle nanométrique

135

0 0

1 2

( ) 1 ( )

1

RFA RFA

e E _ρ e E

ρ

ρ

η ρ η

= α

− < >

(III.37)

Généralement ρ₀(atomes/cm²) est la densité du plan atomique le plus compact, comme le plan (111) pour les cubiques à faces centrées, < >α est le facteur de transmission global des couches dans l’angle de collection d’un analyseur RFA et ρ (atomes/cm²) est la densité du plan atomique à étudier. Notre intention dans la suite de ce travail est aussi de valider l’exactitude de ces formulations.

Avec le même appareil, Schmid et al. [41] ont obtenu des images EPES non homogènes avec un échantillon de cuivre ayant des orientations de grains différentes (cf. fig III.7). Ce qui confirme l’influence de la cristallinité en spectroscopie EPES.

Figure III.7 : images EPES non homogènes d’un échantillon de cuivre ayant des orientations de grains différentes [41]

No documento Simulation du parcours des électrons élastiques dans les matériaux et structures. Application à la spectroscopie (páginas 141-144)