Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01919009006300

FAMILLE CONTINUE DE COURBES TERMINALES DU SPIRAL RÉGLANT

POUVANT ÊTRE CONSTRUITES PAR POINTS ET PAR TANGENTES ;

Par M. M. AUBERT.

1.

Huygens

^est l’inventeur du ressort

spiral

communément

appelé spiral réglant qu’il

fit construire _{pour la}

première

fois par 31. Thu- ret, ^habile

horloger.

Un essai de théorie du

spiral

^{fut tenté} par ^F. Berthou d

( ~ ) ;

^on

doit à Pierre Le

Roy (2)

^la découverte

expérimentale

^{de la}

possibilité

de réaliser l’isochronisme _par un choix convenable des

extrémités,

mais il était réservé à

Phillips de

^{formuler les} conditions nécessaires et suffisantes

auxquelles

doit satisfaire la courbe terminale d’un

spi-

ral pour

qu’elle

^soit

réglante,

c’est-à-dire

qu’elle

^{assure l’isochro-}

nisme des oscillations.

Dans son mémoire sur le

spiral réglant

des chrononÛ?tres et des montres

(3), Phillips

^considère l’ensemble _{formé par} le balancier et le

spiral.

^{Si E est le module}

d’Young

^{du métal}

qui

^{forme le}

spiral

^de

longueur L,

^{si 1 est le moment d’inertie de la} section de ce

dernier,

il résulte des lois de l’élasticité que ^{le moment G du}

couple qui

^tend

à ramener à sa

position d’équilibre

^{le balancier}

dérangé

^d’un

angle

^rl-

a pour valeur :

avec :

Si s ^- _o, la durée T d’oscillation du

système

^{est :}

A étant le moment d’inertie du balancier _par

rapport

^{à son axe de}

rotation,

^et l’isochronisme est alors

réalisé, quelle

que soit

l’ampli-

tude des oscillations.

Après

avoir établi cette

formule, Phillips

démontre que i

peut

- -- -

(1) ^F. BERTHOUD, Traité des horloqes marines, ^t. III, Paris, ^{i 1’73.}

(z) ^CBSS[NI fils, Voyages pour ép~°ouver ^{les moni~~es} ma~°i~aes de Pierre Le Ro~~,

Paris m0.

(3) PHILLIPS, ^{Annales des} ~nines, ^t. XIX; 1861.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01919009006300

64

s’annuler,

^{à la} condition que les courbes terminales satisfassent aux

deux conditions suivantes :

1° Le centre de

gravité

^{G de}

chaque

courbe doit se trouver sur la

perpendiculaire

^{OB menée} par le ^centre 0 des

spires

^au rayon extrême OC de cette

courbe,

^{là où .elle se réunit aux}

spires ( rcg. ~ ) ;

2° La distance de ce centre de

gravité

^{G au centre 0 des}

spires

doit être

égale à ~ ,

R2 c’est-à-dire à une troisième

proportionnelle

^{à la}

longueur 1

de la courbe et au rayon R des

spires.

De telles courbes assurent la

régularité

^du

développement

^con-

centrique

^du

spiral cylindrique, suppriment

^toute

poussée

^latérale

du balancier contre ses

pivots,

^{il en} résulte l’annulation du frotte- ment

correspondant

et surtout des variations _que subit celui-ci par suite de

l’épaississement

^des

huiles,

^elles

permettent

de réaliser le

spiral

^libre.

II. Dans le mémoire

déjà cité, Phillips indique

^une méthode pour trouver

graphiquement

les courbes terminales

qui

conviennent à

chaque

^cas.

Soit à tracer une courbe ^{terminale se} raccordant en C à la

spire

^et

se terminant au

point

^A

(flg. 1). D’après

^{les deux} conditions

impo-

sées, ^{le centre de}

gravité

^{G de cette courbe ABC doit se trouver sur}

OB

perpendiculaire

_p ^{à OC et OG doit être}

égal

^à

R ~

1

On trace de sentiment une

première

^courbe

ABC,

^{on la divise en-}

suite en éléments suffisamment

petits Ca, ccb,

^{bc, ...,} pour

qu’on puisse

les assimiler à des droites ou à des arcs de

cercle,

^{on mesure}

la distance _{y à} Ox du centre de

gravité

de chacun des éléments et on

forme

lydl.

Si G est sur Ox

(1) v-ydl

⁼ o ; si cette condition n’est pas réali-

sée,

^on modifie soit la

partie supérieure

^{de la}

courbe,

^{soit la}

partie

inférieure de manière

à y

^arriver.

Reste à satisfaire à la seconde

condition, x

^mesurant la distance du centre de

gravité

^{d’un élément à}

Oy,

^{on calcule Erdl.}

Lorsque l’égalité

^{1:xdl - R2}

(2), qui exprime

que OG = 2R , Z n’a _pas

~ _,

_

lieu,

^on modifie la courbe tout en continuant à satisfaire à la condi- tion

(1).

Si on a par

exemple

^Exdl >

R2,

^on

prend

^de

part

^et d’autre du

point B

^{deux arcs B1VT et BN} tels que le ^centre de

gravité

^{de leur}

ensemble soit sur OD et on

remplace

^{l’arc MBN} par ^{un arc} inté- rieur MIN dont le centre de

gravité

^{soit sur OD et dont le moment}

par

rapport

^à

(Jy

^est moindre que celui de l’arc ~IBN et par appro- ximations

successives,

^on arrive ainsi à satisfaire à la condition

(2), l’égalité (1)

^étant

toujours

^vérifiée.

Certains

horlogers apportent

^à la méthode

précédente

^une

légère variante,

^{au lieu de} déduire par le calcul la

position

^du

point G,

^ils

la fixent

expérimentalement.

« On trace une courbe

approximative

ABC inscrite dans une cir- conférence de 100 millimètres _{de rayon.}

Après

l’avoir exécutée en fil de

fer,

^on

suspend

^{cette courbe dans deux}

positions

différentes en la

plaçant

^devant le dessin et en traçant

chaque

fois les verticales. L’in- tersection de ces verticales donne le centre de

gravité

^{dont il faut}

E-( J

vérifier la

position

par la formule OG ⁼

2013’

On modifie la courbe

en fil de

fer jusque

^ce que la condition ci-dessus soit réalisée

(’).

^Enfin

(1 J.BMEs, ^CUU1’S ~mcligue ^et tlaëo~~iyue ^de l’eglage ^de précision.

66

M.

Pettavel,

^{directeur de} l’école

d’horlogerie

^de

Fleurier,

^{a réalisé}

sur les indications de ~1. Ch. Ed. Guillaume ^un

appareil permettant

la détermination

mécanique rapide

^{de courbes de}

Phillips ~1).

III. Pour faciliter la tâche aux artistes

chronométriers, quelques

auteurs ont, à la suite de

Phillips,

^définis

graphiquement

^{la forme}

d’un certain nombre de courbes terminales. Ils ont traduit les résul- tats

auxquels

^{ils sont} parvenus soit ^en

reproduisant

par ^la gravure les courbes

obtenues,

^{soit en donnant sous forme de} tableau les élé- ments suffisants pour la construction de ^ces courbes en coordonnées

polaires (2).

Pour avoir des courbes terminales que l’on

puisse

construire avec

la

règle

^et le compas, ^ou par

points

^et par

tangentes,

^et pour les-

quelles

^{il soit}

possible

^de

déterminer,

^en

chaque point,

les éléments

géométriques (rayon

^de

courbure,

^{centre de}

courbure, etc.),

^d’au-

tres auteurs ont cherché à utiliser les courbes usuelles et leurs com-

binaisons.

Rarmi les formes

particulières

^ainsi

obtenues,

^{nous citerons les}

courbes terminales formées.

1° D’un

segment

^de

droite ;

2° D’un ou deux arcs de cercle

(v ) ;

3° De deux

quarts

^de cercle réunis _par une

droite ;

4° D’une

ellipse

^de

grand

^{axe a .~ R et} d’excentricité e ~

0,573.

D’une

façon générale,

^toute courbe définie en coordonnées

polaires,

par

exemple,

par ^une relation de la forme : ^,

où m est un

paramètre (développante

^de

cercle, cardioïde, etc.), peut

être choisie comme courbe terminale.

Les deux conditions de

Phillips

^{donnent deux}

équations qui

^dé-

unissent et l’intervalle O dans

lequel

doit varier 6, ^et si même par suite de la

présence

de fonctions

périodiques

^dans

f ( ~~~, 0),

^le

problème

admet un nombre infini de

solutions,

^{ces solutions sont isolées et}

parfaitement

déterminées.

Le

présent

^{travail a pour}

objet

l’étude d’un groupe de courbes ^ter-

(1) Congrès international de chonométrie, 1~02, page 195.

(2) ^P. BERNER. Coordonnées polaires ^{des courbes} Phillips. Journal suisse d’!wr-

lo~e~°ie, ^{t. XXX I et XXX 1 V.}

(3) ^F. ~1EELHOFF, ~;ou~~bes te3°r~i~aales circulaires. ~Iou7~~aal suisse d’horlogerie,

t. XXV11I et XXIX.

minales que l’on

puisse

construire par

points

^{et par}

tangentes

^et

dont

l’équation

^en coordonnées

polaires

renferme deux

paramètres qui permettent

^{de les}

assujettir à

^{une condition}

supplémentaire

^autre

que celle de

Phillips,

l’ensemble de ces courbes formant une famille continue.

La courbe choisie est la

spirale logarithmique :

dont la

tangente

^{MT fait en}

chaque point

^{1VI avec} le rayon ^vecteur

un

angle

^{constant V tel que :}

FIG. 2.

Soit L

( fig. 2)

^une

spirale logarithmique

^et

§ l’angle compris

^entre

2013 ~ et ~

^{tel que}

tang ’f

^{= b. La}

tangente

^{NP au}

point

^correspon-

dant N est

perpendiculaire

^à

OX,

prenons ^ce

point

^{N comme}

origine

des arcs et cherchons les coordonnées

(~, ~)

^{du centre de}

gravité

^G

68

d’un arc NE de L.

étant les coordonnées d’un

point quelconque

^1B1 de la courbe et 1 la

longueur

de l’arc NE.

ds l’élément d’arc

ayant

pour ^{valeur :}

On en cléc~ui~ :

avec :

Soit,

^d’autre

part,

^{C le} centre d’un cercle S _{de rayon}

R, projection

sur le

plan

^d’un

spiral cylindrique, perpendiculairement

^{à son axe ;}

si S est

tangent

^{à NP en}

N,

les coordonnées de C sont :

L sera une courbe terminale si :

En

remplaçant 1,

~(p

Xc et Yc

par leurs

valeurs, simplifiant

^et

posant

u ⁼

R, C)

les

égalités (3) et (4) C)

deviennent :

REMARQUE. 2013 Si,

^{dans les}

expressions (5)

^et

(6),

^{on fait b = o, ce}

qui

^entraîne

~!

^{= o, il vient :}

ce

qui

^donne par élimination ^{de u et} faisant 8 ^-

2~ :

équation qui

^{se retrouve dans la} détermination de la courbe termi- nale formée d’un seul arc de cercle

(1).

I V. Le tableau 1 contient des valeurs de ^2c et de 8 satisfaisant aux

équations (5)

^et

(6),

les limites inférieure et

-supérieure

^{de b étant}

respectivement

^-

0,07499536

^et

0,2007180.

^{Les solutions} correspon- dant à une même valeur de b sont affectées d’indices différents et

cc

== 2013

_u est calculé pour ^{~ R .- 1}

(2).

^{’ ’}

(1) GROSS~LBN~, HOl’logeTie théorique, ^{t. II.} p. 116.

Pour b ~ 0 la spirale ^{se réduit à une} circonférence, ^{c’est le cas} traité par F. Keelhoff (lac. cit.).

(2) Cei-Itaines valeurs de 8,, u,, tc.ÿ ^ne présentent qu’un ^intérêt théorique, ^elles n’ont été calculées que pour déterminer l’allure des courbes représentées liq. ³

et 4.

70

Les

ligures (4)

^et

(3)

^donnent

respectivement

les courbes de it et de

(~~, b

^étant

pris

^{comme variable.}

Il est à remarquer que les nombres

qui figurent

^{dans le tableau}

précédent ne

^{sont pas les seules solutions des}

équations (5)

^et

(6);

ainsi les valeurs suivantes

répondent

^{encore à la}

question :

D’une

façon générale,

^le

système

^des

égalités (5)

^et

(6) admet, lorsque b

^est

donné,

^{une infinité} de solutions.

V . Construction des courbes. ^- Les tableaux

1,

^{Il et III} contiennent les éléments nécessaires à la construction d’un certain nombre de courbes terminales.

Soit à tracer la courbe terminale

correspondant

^à

0,0600~91

par

exemple,

^{et se} raccordant à un

spiral cylindrique

^{dont la}

projection

sur le

plan

^{de la}

figure

^{est un} cercle de rayon R 1.

Par

rapport

^{à deux axes}

rectangulaires

^{(~~ et}

Oy ( f’zg. 2), placer

^le

point

^N

origine

^{des arcs de la}

spirale, point

^{dont les} coordonnées sont :

la

tangente

^{NP en ce}

point

^est

perpendiculaire

^{à Ox.}

72

rl’racer les droites

OU,, OU,, OU3,

^...,

qui

^font

respectivement

avec Ox des

angles

^de

15°, 30°, ~~°,

^{..., etc.}

Porter sur ces droites selon

l’angle qu’elles

^{font avec Ox les lon-}

gueurs

qui figurent

dans le tableau III dans la colonne

0,06002911.

Dans le cas

considéré,

^{la colonne}

envisagée

s’arrête à

2101,

^{se re-}

porter

^{alors aux} tableaux II et 1

qui donnent, l’un,

^{la valeur py du}

rayon vecteur et l’autre

l’argument 8~

de l’extrémité E de la courbe.

Si R _r, les nombres donnant les coordonnées de N et les rayons

vecteurs sont

^à

multiplier

^{par r. La}

tangente

^en

chaque point

^{M s’ob-}

tient en traçant ^la droite MT

qui fait,

^avec le rayon ^vecteur

O:~’I,

l’angle

^V

== - 7t -

₂ ^,g~ ’

(tableau 1)

^étant défini par la relation :

Par N mener une

parallèle

^{NC à}

Ox, prendre :

C est le centre du cercle

projection

^des

spires.