à cordes - Application à l’aide à la facture instrumentale

Je tiens également à remercier la cité de la musique et le magasin La Guitarreria pour la mise à disposition d'instruments pour les campagnes de mesure. L'application de la méthode à la guitare révèle que son comportement vibratoire au niveau du chevalet aux fréquences intermédiaires est similaire à celui d'un disque.

Contexte

Cette collaboration s'est élargie en 2009 avec le lancement du projet ANR PAFI (Plateforme Modulaire d'Aide à la Facturation Instrumentale) visant à développer un outil de mesure et de caractérisation pour les fabricants d'instruments. L'enjeu principal du projet PAFI est de proposer des paramètres permettant la catégorisation des instruments de musique, quelle que soit la qualité que l'on peut attribuer à ces instruments.

État de l’art scientifique

Instruments à cordes pincées

L'atténuation totale de la chaîne est la somme des termes d'atténuation interne et d'atténuation au couplage. La valeur de la résistance mécanique due à la viscosité de l'air est donnée par Stokes [132].

Figure 1.2 – Schéma d’une guitare classique actuelle, extrait de [34].

Instruments à cordes frottées

La densité modale analytique représentée sur la figure 3.4 est celle de la plaque équivalente à la table du premier son de la corde. La figure 3.9 montre la variation de la première densité modale de chacune des 6 cordes d'une même guitare.

Figure 1.15 – Schéma d’un violon, disponible à l’adresse suivante : http://library.

Définitions des axes d’investigation

Modes propres du sytème dissipatif

Pour un système discret à N degrés de liberté, les modes propres du système dissipatif sont les solutions de l'équation homogène. Les vecteurs propres φk sont les vecteurs qui contiennent les valeurs de déformation modale du kème mode de la structure.

Réponse impulsionnelle

Admittance mécanique

Lorsque A et E, c'est-à-dire lorsque le point d'observation et le point d'excitation coïncident au point de coordonnées (x, y), l'équation (2.7) devient.

Densité modale

Dans le cas d'une plaque orthotrope on trouve une densité modale de la forme de l'équation (2.36). Pour une plaque donnée, aux très hautes fréquences (f fc), la densité modale tend vers celle de la plaque non déviée.

Figure 2.1 – Schéma d’un panneau rectangulaire doublement courbé, extrait de l’ouvrage de Soedel [131]

Description synthétique de la mobilité

Domaines fréquentiels

L'évolution du facteur de chevauchement modal en fonction de la fréquence est présentée ci-dessous. Dans le cas de structures de plaques représentant une densité modale et un facteur de perte constant, le facteur de recouvrement modal augmente proportionnellement avec la fréquence.

Figure 2.5 – Exemple de mobilité mesurée sur d’une demi-table d’épicéa de dimensions 500 × 190 × 2 mm

Mobilité moyenne et courbes enveloppes

Le pourcentage d'écart en fonction de χ est tracé sur la courbe dans la partie inférieure. Langley [89] donne une expression analytique des courbes enveloppes de mobilité en fonction des propriétés mécaniques de la structure. La courbe inférieure est l'évolution du facteur de recouvrement modal en fonction de la fréquence.

Enfin, lorsque le facteur de recouvrement modal est supérieur à 100 %, c'est-à-dire en entrant dans le domaine des hautes fréquences, les courbes enveloppes calculées avec le paramètre ζ = 4 ont tendance à ne plus correspondre aux maxima et minima de la courbe de mobilité.

Figure 2.7 – Tracé de l’intégrale elliptique F 2 π 2 , χ

Identification modale

Méthode ESPRIT

La famille de vecteurs Vandermondevk constituée de sinusoïdes étant libre, elle forme alors la base du sous-espace signal. En pratique, V n'est pas connu à ce stade, mais une base du sous-espace signal peut être approximée en décomposant la matrice d'autocovariance C en valeurs singulières. sous-espace signal.

Il suffit d'écrire la matrice VF ∈CM×K du sous-espace signal dans la base de Fourier telle que.

Table 2.1 – Paramètres du signal de synthèse utilisé pour illustrer la méthode.

Estimation de l’ordre du modèle

Une méthode plus récente, basée sur la mesure de l'angle entre le sous-espace signal et le sous-espace bruit, a été proposée par Christensen et al. Lorsque rendip est égal au nombre exact de pôles inclus dans le signal (p=K), la matrice W(p=K), formée par les premiers vecteurs singuliers p=K, vérifie la propriété d'invariance rotationnelle, et donc kE (p ) K22 s'annule E(p) peut aussi s'annuler pour p < K puisque le sous-espace est aussi constitué de psinusoïdes. Cette méthode est apparentée à la méthode SAMOS [76], qui utilise également la propriété d'invariance rotationnelle du sous-espace signal.

Le critère qui évalue l'invariance du sous-espace signal est légèrement différent : il consiste à déterminer les valeurs 2p-singulières d'une matrice Φ(p).

Limites de la méthodologie

Procédure de test

Les nœuds excitants sont susceptibles de les rendre difficiles à détecter par la méthode d'estimation sinusoïdale. Il faut faire des choix pertinents et représentatifs des conditions d'utilisation de la méthode. Nous utilisons des plaques dont nous devons synthétiser la réponse impulsionnelle de manière réaliste, c'est-à-dire proche de la manière dont elle est mesurée.

Ces réponses impulsionnelles hybrides donnent lieu à une étude paramétrique pour évaluer les limites de la méthode.

Synthèse hybride de réponse impulsionnelle

Le signal de force désigné par f[n] est calculé pour être représentatif d'un signal de force typique mesuré par le capteur de force utilisé dans les expériences. La figure 2.11 permet la comparaison du signal de synthèse avec un ensemble de plusieurs signaux de force mesurés, sous leur forme temporelle et fréquentielle. Comparaison avec un signal de puissance de synthèse ('_') modélisé par une courbe en "cloche" asymétrique avec un front montant plus rapide que le front descendant.

La dernière étape consiste à estimer la réponse impulsionnelle à partir des signaux d'accélération et de force bruités.

Figure 2.11 – Signal temporel (a) et spectre (b) d’un ensemble de 42 signaux de force mesurés

Résultats

Figure 2.13 – En haut : pourcentage d'erreur dans l'estimation du nombre de modes en fonction de la densité modale de la plaque. En bas : La valeur du facteur de recouvrement modal de la structure à F e/2 en fonction de la densité modale. Figure 2.14 – En haut : pourcentage d'erreur dans l'estimation du nombre de modes par facteur de perte de plaque.

En bas : La valeur du facteur de recouvrement modal de la structure à F e/2 en fonction du facteur de perte.

Figure 2.13 – Haut : pourcentage d’erreur sur l’estimation du nombre de modes en fonction de la densité modale de la plaque

Estimation des paramètres caractéristiques de matériaux

Définition des paramètres caractéristiques
Méthode d’estimation des paramètres caractéristiques des structures 85
Tests sur des plaques de synthèse
Tests expérimentaux

En supposant que la géométrie et les conditions aux limites sont connues, l'estimation de la densité modale permet d'estimer le paramètre β. Les trois courbes correspondent à trois points différents choisis au hasard sur la surface de la plaque. Ce phénomène affecte alors indirectement l'estimation de la masse équivalente et de la raideur équivalente.

Enfin, les valeurs des paramètres caractéristiques de la plaque d'acier sont estimées à partir de la densité modale et de la mobilité caractéristique de la plaque.

Figure 2.17 – Comparatif des méthodes de recalage des courbes de densité modale ana- ana-lytique d’une coque mince

Conclusions du chapitre

Mobilité au chevalet vue par une corde de guitare
Identification des paramètres modaux des guitares
Plaque équivalente d’une guitare
Variation des paramètres caractéristiques le long du chevalet
Variations des paramètres caractéristiques pour plusieurs guitares

Ces paramètres sont ceux d'une plaque correspondant à la table d'harmonie de la guitare, vue de la corde. Les lignes pointillées représentent la densité modale analytique de la plaque équivalente vue par chacun des 6 brins. La figure 3.10 résume les variations des paramètres caractéristiques de la plaque équivalente estimées pour chacune des 6 cordes d'une guitare.

La variation de la mobilité caractéristique S∞ le long du chevalet pour les 7 guitares est représentée sur la figure 3.12.

Figure 2.26 – a) : mobilité mesurée (ligne pleine) et mobilité reconstruite à partir des paramètres modaux estimés (trait en pointillés)

Analyse de décroissance de sons de guitares

Hétérogénéité de la décroissance des notes de guitares
Mesures de la matrice de mobilité
Mesures de courbes de décroissance énergétiques
Analyses des orbites de cordes

Figure 3.13 – Mobilité réelle de la pièce dans le chevalet, le haut du manche (fresco 1) et le bas du manche (fresco 12) de la guitare GI18. T10 est calculé à la fois sur l'ensemble du signal et sur le signal filtré autour de la fréquence fondamentale. Les signaux sont d'abord filtrés à l'aide d'un filtre passe-bande fin centré autour de la fréquence fondamentale.

Les signaux ont été pré-filtrés avec un filtre passe-bande centré autour de la fréquence fondamentale.

Figure 3.13 – Partie réelle de mobilité au chevalet, en haut du manche (frette 1), et en bas du manche (frette 12) de la guitare GI 18

Conclusions du chapitre

Définition des mobilités utilisées
Mobilité typique d’un violon
Mobilité moyenne d’un violon
Mobilité moyenne de plusieurs violons
Comparaison des mobilités de violons et de guitares
Identification des modes du violon
Coque équivalente à un violon

La densité modale des violons est estimée à l'aide de la méthode ESPRIT qui est associée à la méthode ESTER, l'ensemble est détaillé dans la partie 2.3.1 du document. Nous émettons l'hypothèse que la concentration de modes observée est intrinsèquement liée à la courbure de la table d'harmonie. Une application de la méthode pour estimer les paramètres caractéristiques d'une jupe équivalente à la table d'harmonie du violon est donc pertinente.

La figure 4.11 représente la densité modale analytique de la coque équivalente estimée pour les trois violons.

Figure 4.1 – Montage utilisé pour la mesure de mobilité au chevalet des violons. L’ac- L’ac-céléromètre est placé au pied du chevalet, mesurant l’accélération transverse de la table d’harmonie, l’impact est effectué en haut du chevalet, soit latéralement (

Réponse acoustique des instruments à cordes frottées

Méthodologie
Protocole expérimental
Resultats
Signal de pression sonore

Les pics de la courbe d'enveloppe du signal de sortie du modèle source-filtre sont généralement appelés formants [8, 53]. L'augmentation globale de la mobilité sur le pont est clairement visible à l'aide des courbes enveloppes du signal d'accélération. La figure 4.16 montre l'évolution des amplitudes des harmoniques du signal de pression acoustique en fonction de la fréquence.

Il est en effet possible de retrouver les variations fines de la mobilité latérale du violon au moyen d'une étude spectrale des sons du violon.

Figure 4.11 – Résultat du recalage du modèle de densité modale analytique d’une coque équivalente sur la densité modale estimée par ESPRIT pour les 3 violons V O 4 , V O 6 et V O 7 .

Conclusions du chapitre

Suivi de tables de guitares en cours de fabrication

Les niveaux de mobilité aux différents stades de fabrication correspondent à des tables de guitares classiques. Ce paradoxe s'explique par le fait que bien que masse et raideur se soient additionnées. a) Mobilité mesurée et moyenne des tables de guitares classiques, à différents stades de production. DEMANDE D'AIDE FACTURE INSTRUMENTALE. a) Dispersion de la mobilité et mobilité caractéristique des tables de guitares classiques, estimées à différents stades de production.

Cependant, il y a une différence importante avec les guitares classiques : l'écart entre la mobilité caractéristique de la table nue à l'étage 1 et celle des étages supérieurs est bon. a) Répartition de la mobilité et mobilité caractéristique des soupes de guitare folk, estimées à différents stades de fabrication.

Table 5.1 – Différents stade de fabrication des tables de guitare classique et folk. Stade 1 : table nue

Caractérisation de chevalets d’ukulélé

A noter que la différence de mobilité caractéristique entre la configuration avec le chevalet palissandre scié et celle avec le chevalet acajou est très faible, la configuration sciée est globalement moins mobile de 0,8 dB. A noter également le fait que la modification du pont en palissandre a eu pour effet de réduire la propagation de la mobilité, et par conséquent d'augmenter l'amortissement. Chevalet acajou Chevalet palissandre. a) Distribution de la mobilité et mobilité caractéristique du ukulélé, estimées pour différentes configurations de pont.

Dans notre cas, la différence de mobilité caractéristique est proche de 0,8 dB entre la configuration avec le chevalet en palissandre scié et la configuration avec le chevalet en acajou, alors qu'elle est de 3 dB entre les configurations avec le chevalet en palissandre non scié et le chevalet en acajou.

Table 5.2 – Différentes configurations du ukulélé avec les masses des différents chevalets utilisés.

Un barrage de guitare ajustable

Figure 5.8 – Dynamiques mesurées et moyennées de la guitare Jean-Marie FouilleulGF1 pour différentes configurations. La densité modale de la guitare dans diverses configurations est illustrée à la figure 5.9. La tension du ruban réduit la raideur équivalente sans modifier significativement la masse équivalente.

APPLICATION POUR AIDER LA CONSTRUCTION INSTRUMENTALE DE LA MOBILITÉ GÉNÉRALE VIA UN RÉGLAGE À RIGIDITÉ ÉGALE DU GATEBOARD.

Table 5.3 – Masses des différents éléments utilisés.

Aide à la lutherie d’instruments à cordes frottées

Réglages de l’âme d’un violon

Le profil de densité modale et l'allure moyenne de la courbe de mobilité sont identiques à ceux d'une coque. L'effet de l'amortissement sur la mobilité moyenne est clairement visible : pour les deux violons. Les paramètres caractéristiques de la plaque équivalente (masse et raideur) sont des paramètres discriminants entre instruments.

Ces projets ont permis de tester l'intérêt de la méthodologie dans le cadre d'une aide à la réalisation d'instruments.