1. Définition d’une série :

Chapitre 3 : Les séries.

I. Définitions ; ... 1

1. Définition d’une série : ... 1

2. Définition de convergence et divergence : ... 1

3. Définition de séries à termes positifs :... 2

II. Séries de référence :... 2

1. Séries géométriques. ... 2

2. Séries de Riemann... 3

III. Propriétés... 4

1. Condition nécessaire de convergence : ... 4

2. Propriétés : opérations et séries : ... 4

3. Propriétés des séries à termes positifs : ... 5

IV. Critères de convergence pour les séries à termes positifs... 5

1. En utilisant un équivalent du terme général : ... 5

2. Critère de d’Alembert : ... 6

3. Critère de Cauchy : ... 7

V. Séries quelconques. ... 7

1. Convergence absolue. ... 7

2. Séries alternées... 7

I. Définitions ;

1. Définition d’une série :

Etant donnée une suite numérique (un), on construit une nouvelle suite (Sn) en posant Sn = u_k

k n

∑

= 0

. ex : S0 = u0 S1 = u0 + u1 S2 = u0 + u1 + u2 ….

Remarques : 1) La donnée de la suite (Sn) permet de reconstruire la suite (un) : En effet un = Sn - Sn-1 si n ≠ 0 et u0 = S0. 2) Si (un) n’est définie qu’à partir du rang p, alors on pose Sn = u_k

k p n

∑

= pour n ≥ p.

Définitions : 1) Pour tout entier n, Sn s’appelle la somme partielle d’ordre n.

2) La suite (Sn) est appelée série numérique de terme général un et est notée

0 n n

u

∑

≥ ^{ou n} n p

u

∑

≥ ^.

2. Définition de convergence et divergence :

Définition :

On dit que la série

0 n n

u

∑

≥ converge si la suite (Sn) converge c’est à dire si

lim

n Sn

→+∞ existe et est finie.

lim

n Sn

→+∞ est alors appelée somme de la série et on la note u_k

k=

∑

+∞

0

: u_k

k=

∑

+∞

0

=

lim

n k

k n

→+∞ =

∑

u

0

.

On dit que la série

0 n n

u

∑

≥ diverge si la suite (Sn) diverge c’est à dire si

lim

n Sn

→+∞ existe et est infinie ou si

lim

n Sn

→+∞ n’existe pas.

Notation : Etudier la nature d’une série consiste à étudier si elle converge ou diverge.

Exemples : Nature des séries suivantes : a)

1

1 1

1

n≥ n n

⎛ ⎞

⎜ − + ⎟

⎝ ⎠

∑

^.

Sn =

1

1 1

1

n

k= k k

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ + ⎠

∑

^{= 1 -} _n¹_{+1 n}^lim_→+∞^{Sn= 1 donc}

1 n n

u

∑

≥ converge .

b)

0

( 1)ⁿ

n≥

∑

− Sn =

0

( 1)

n k k=

∑

− = 1 – 1 + 1 –1 + …. + (-1)ⁿ Sn = 1 si n est pair, Sn = 0 si n est impair.

Donc (Sn) n’a pas de limite.

0

( 1)ⁿ

n≥

∑

− ^diverge.

c)

1 n

n

∑

≥

Sn =

1 n

k k

u

∑

= = 1 + 2 + 3 + …. + n = ^{( 1)} 2 n n+

lim _n

n S

→+∞ = +∞

1 n

n

∑

≥ ^diverge.

Bilan des notations concernant la série _n

n p

u

∑

≥ ^(un défini pour n ≥ p).

un est le terme général de la série.

Sn = u_k

k p n

∑

= est la somme partielle d’ordre n.

Si la série converge, u_k

k=p

∑

+∞ est la somme de la série et u_k

k=p

∑

+∞ ⁼ _n

^lim

k k p

n

→+∞ =

∑

u ^.

3. Définition de séries à termes positifs :

Une série

0 n n

u

∑

≥ est à termes positifs si à partir d’un certain rang son terme général un est positif.

c’est à dire si ∃p∈N ∀n ≥ p un ≥ 0.

Exemple : un = 4n² - 9 u0 = - 9 u1 = - 5 u2 = 7 u3 = 25 … ∀n≥2 un ≥ 0.

II. Séries de référence :

1. Séries géométriques.

Définition : Une série géométrique est une série de terme général une suite géométrique : un = u0.qⁿ ou un = u1.qⁿ.

Etudions la nature de la série

0 n n

u

∑

≥ ^{où un = u0.qn u0}, q étant des réels.

1° cas : q = 1.

∀n un = u0 Sn =

0 n

k k

u

∑

= ^{= (n + 1)u0} _n^lim_→+∞^{Sn = ±∞} selon le signe de u0. Donc Σun diverge.

2° cas : q ≠ 1. alors Sn =

0 n

k k

u

∑

= ^{= 01 1}

1 qn

u q

− +

− . Si |q| < 1 alors ^{n 1}

q⁺ n

→+∞→ 0 d’où lim ₀ ¹

n 1

n S u

→+∞ = q

− . Donc

0 n n

u

∑

≥ converge et sa somme vaut ⁰ 1

u

−q. Si |q| > 1 si q > 1 ^{n 1}

q⁺ n

→+∞→ +∞ d’où lim _n

n S

→+∞ = ±∞. Si q < - 1 qⁿ⁺¹ n’a pas de limite donc lim _n

n S

→+∞ n’existe pas.

Donc

0 n n

u

∑

≥ ^diverge.

Si |q| = 1 q = - 1 si n est pair Sn = u0

si n est impair Sn = 0 donc lim _n

n S

→+∞ n’existe pas.

Donc

0 n n

u

∑

≥ ^diverge.

Théorème : Si u0 ≠ 0 la série géométrique

0 n n

u

∑

≥ converge si et seulement si |q| < 1 et si la série converge, sa somme est ₀ ⁰

0

1

n n

u q u

q

+∞

=

= −

∑

^{ou 1 1}

1

1

n n

u q u

q

+∞

=

= −

∑

^.

Exemples : a)

0

1 2

n

n≥

⎛ ⎞⎜ ⎟

∑

⎝ ⎠ ^{u0 = 1 q =1}₂ donc la série converge et

0

1 1

1 2

2 1

2

n

n +∞

=

⎛ ⎞ = =

⎜ ⎟⎝ ⎠ −

∑

^.

b)

0

1 2

n

n≥

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

^u0 = 1 q = - ¹

2 donc la série converge et

0

1 1 2

2 1 3

1 2

n

n +∞

=

⎛− ⎞ = =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ +

∑

^.

c)

0

2ⁿ

∑

n≥ ^u0 = 1 q = 2 donc la série diverge.

2. Séries de Riemann.

Définition : Une série de Riemann est une série dont le terme général un est de la forme 1

n^α α∈R^+* :

1

1

n≥ n^α

∑

^.

Théorème : La série de terme général un = 1 n^α

où α∈R^+* diverge si 0 < α ≤ 1,

converge si α > 1.

Exemples : Σ ¹

²

n converge Σ ¹

1

n+ diverge.

Remarque : Σ ¹ 1

n+ est appelée série harmonique.

III. Propriétés.

1. Condition nécessaire de convergence :

Théorème : Si la série de terme général un converge, alors son terme général un tend vers 0 quand n → +∞

Démonstration : un = Sn - Sn-1 or lim _n

n S

→+∞ = lim _{n 1}

n S ₋

→+∞ = _k

k p

u

+∞

∑

=

Donc lim _n lim ( _{n n 1}) 0

n u n S S ₋

→+∞ = →+∞ − = .

Utilisation du théorème : Il permet de montrer que Σu

n

diverge :

Si le terme général d’une série ne tend pas vers 0 quand n → +∞ , alors la série diverge.

Remarque importante : LA RECIPROQUE EST FAUSSE :

lim

n un

→+∞ =

0 n’implique pas que

_n

n p

u

∑

≥

converge.

Contre exemple : La série harmonique : ¹ 1 n+

∑

lim 1 1

n^→+∞n+ = 0 et la série

0

1

n_≥ n+1

∑

diverge (Riemann avec α = 1)

2. Propriétés : opérations et séries :

Σun converge

et Σvn converge

Σun converge et Σvn diverge

Σun diverge et Σvn diverge Σ(un + vn) Σ(un + vn)converge, et

(u_n v_n) u v

n

n n

n n

+ = +

= +∞

= +∞

=

∑ ∑ ∑

+∞

0 0 0

Σ(un + vn) diverge

on ne peut rien conclure pour Σ(un + vn).

Σ(λun) (λ∈R^*) Σ(λun) converge, et

n=

∑

+∞

0

(λun) = λ

n=

∑

+∞

0

un. Σ(λun) diverge

Exemples : a) Soit

0

1 1

2ⁿ 3ⁿ

n≥

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

0

1 2ⁿ

n≥

∑

converge et

0

1 1

1 2

2 1

2

n n

+∞

=

= =

∑

−

0

1 3ⁿ

∑

n≥ converge et

0

1 1 3

1 2 3 1

3

n n

+∞

=

= =

∑

− ^Donc

0

1 1 2ⁿ 3ⁿ

n≥

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

converge et

0

1 1 3 7

2 2 2 2ⁿ 3ⁿ

n +∞

=

⎛ + ⎞= + =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

^.

b) Soit ^{-n n}

0

(2 + 2 )

∑

n≥

-n 0

2

∑

n≥ converge et ⁿ

0

2

∑

n≥ ^{diverge Donc -n n} 0

(2 + 2 )

n≥

∑

^diverge.

3. Propriétés des séries à termes positifs :

P1 : La suite des sommes partielles (Sn) est croissante à partir d’un certain rang.

Démonstration : Sn+1 - Sn = un or à partir d’un certain rang p un ≥ 0

Donc ∀n ≥ p Sn+1 - Sn ≥ 0 (Sn) est croissante à partir du rang p.

P2 : Si la suite des sommes partielles (Sn) est majorée alors la série converge.

Démonstration : (Sn) est croissante et majorée, donc (Sn) converge.

P3 : Si la série Σun diverge, alors

lim

n Sn

→+∞ = +∞

Démonstration : (Sn) est croissante et non majorée, donc lim _n

n S

→+∞ = +∞. P4 : Comparaison de séries :

Si à partir d’un certain rang p un ≤ vn alors si

0 n n

v

∑

≥ converge alors

0 n n

u

∑

≥ converge, si

0 n n

u

∑

≥ diverge alors

0 n n

v

∑

≥ diverge.

Démonstration :

n n

k k

k p k p

u v

= =

∑

≤

∑

Σvn converge ⇒ lim

n→+∞ 0

n k k

v

∑

= ^{existe ⇒} _n→+∞^lim 0 n

k k

u

∑

= existe ⇒ Σun converge Σun diverge ⇒ lim

n→+∞ 0

n k k

u

∑

= ^{=+∞ ⇒} _n→+∞^lim 0 n

k k

v

∑

= ^{=+∞ ⇒ Σvn diverge}

IV. Critères de convergence pour les séries à termes positifs.

1. En utilisant un équivalent du terme général :

Théorème 1 : Si un ~

+∞ vn alors

0 n n

u

∑

≥ ^et 0

n n

v

∑

≥ sont de même nature.

Démonstration : lim ⁿ

n n

u

→+∞v = 1 On se place dans le cas où vn ≠ 0 à partir d’un certain rang.

Il existe p tel que ∀n ≥ p 1 3

2 2

n n

u

≤v ≤ et vn > 0

∀n ≥ p 1 3

2vⁿ≤uⁿ≤ 2vⁿ car vn > 0 ∀n ≥ p.

Donc Σun converge ⇒ Σ1

2

vn converge ⇒ Σvn converge.

Σun diverge ⇒ Σ3

2

vn diverge ⇒ Σvn diverge.

Σvn converge ⇒ Σ³

2

vn converge ⇒ Σun converge.

Σvn diverge ⇒ Σ1

2

vn diverge ⇒ Σun diverge.

Donc Σun et Σvn sont de même nature.

Exemples : 1)

0

1

² 3

n_≥ n +

∑

_{n² 3}¹_{+ +∞}^~ _n¹_² ^Donc

0

1

² 3

n_≥ n +

∑

converge.

2)

0 ² 1

n

n

≥ n +

∑

² 1

n n +

~ 1

+∞ n Donc

0 ² 1

n

n

≥ n +

∑

diverge.

3)

0

( 1) 3 1

n n≥ n

−

∑

+ on ne peut pas utiliser ce théorème car la série n’est pas à termes positifs.

2. Critère de d’Alembert :

Théorème 2 : Soit une série de terme général un, positif et non nul à partir d’un certain rang telle que lim

n n

n

u

→+∞ u

+1 existe.

Si lim

n

n n

u

→+∞ u

+1 < 1 alors la série

0 n n

u

∑

≥ converge.

Si lim

n

n n

u

→+∞ u

+1 > 1 alors la série

0 n n

u

∑

≥ ^diverge.

Si lim

n

n n

u

→+∞ u

+1 = 1 alors on ne peut rien conclure.

Exemples : 1)

0 n n

u

∑

≥ ^{un =} 1

3 2ⁿ

n

+ . Autre ex :

3 1

n n

u n e

= −

∀n > 0 un > 0

1 1

2

3 3 2 1 1

1 2

3 2

n n

n n

u n

u n n

+ +

+

= + = + ⇒ lim ^{1 1}

2

n

n n

u u

+

→+∞ = ( <1).

Donc

0 n n

u

∑

≥ converge.

2)

0 n n

u

∑

≥ ^{un = 1}_n série harmonique.

∀n > 0 un > 0 ¹ 1

n n

u n

u n

+ =

+ ⇒ lim ^{n 1}

n n

u u

+

→+∞ = 1. Le critère n’est pas applicable.

Or

0

1

n_≥ n

∑

diverge.

3)

0 n n

u

∑

≥ ^{un =} _n¹_²^.

∀n > 0 un > 0 ^{1 ²} ( 1)²

n n

u n

u n

+ =

+ ⇒ lim ^{n 1}

n n

u u

+

→+∞ = 1. Le critère n’est pas applicable.

Or ₂

0

1

n_≥ n

∑

converge.

Les exemples 2 et 3 confirment que lim

n n

n

u

→+∞ u

+1 = 1 ne permet pas de conclure.

3. Critère de Cauchy :

Théorème 3 : Soit une série de terme général un, positif et non nul à partir d’un certain rang telle que lim

n nun

→+∞ existe.

Si lim

n nun

→+∞ < 1 alors la série

0 n n

u

∑

≥ converge.

Si lim

n nun

→+∞ > 1 alors la série

0 n n

u

∑

≥ ^diverge.

Si lim

n nun

→+∞ = 1 alors on ne peut rien conclure.

Exemple :

1 n n

u

∑

≥ ^{avec un = 1 n}

n

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ un =

ln1

ln( )

n n n n

e e

⎛ ⎞⎜ ⎟ −

⎝ ⎠= donc lim _n

n u

→+∞ = 0.

De plus ∀n∈N^* un > 0.

n

un = ¹

n ⇒ lim ⁿ _n

n u

→+∞ = 0. Donc

1

1 ⁿ

n_≥ n

⎛ ⎞⎜ ⎟

∑

⎝ ⎠ ^converge.

V. Séries quelconques.

1. Convergence absolue.

Définition : On dit que la série de terme général un converge absolument si la série de terme général |un| converge

Exemple :

n≥0

∑

^{2-n cos(nπ). |un| = 2-n, donc}

n≥0

∑

^|un| converge, donc

0 n n

u

∑

≥ converge absolument.

Théorème : Si

0 n n

u

∑

≥ converge absolument, alors

0 n n

u

∑

≥ converge.

2. Séries alternées.

Définition : Une série numérique est dite alternée si ses termes sont alternativement positifs et négatifs, c’est à dire si son terme général s’écrit un = (-1)ⁿ vn avec (vn) une suite positive.

Théorème : Si (vn) tend vers 0 en décroissant, alors

n≥0

∑

^{(-1)n vn} converge.

Exemple :

0

( 1) 1

n

n_≥ n

−

∑

+ série harmonique alternée.

1 1 _n

n _∈

⎛ ⎞

⎜ + ⎟

⎝ ⎠ `

est décroissante et ¹ 0 1 n →^+∞

+ Donc

0

( 1) 1

n

n_≥ n

−

∑

+ converge.