La tomographie à rayons X consiste à (re)construire la structure cachée d'un objet (une densité de matière, la répartition d'une grandeur physique ou une densité légale commune) à partir de certaines données obtenues ou mesurées à partir de l'objet (projections, rayons X). , densités marginales). Vraisemblablement à la recherche d'une loi commune connaissant ses lois marginales, d'où la notion de « copule » via le théorème de Sklar.
Un peu d’historique
Dans ce chapitre, nous discuterons d’abord d’un peu d’histoire de ces problèmes dans le domaine des mathématiques et de l’imagerie. Et puis pour le cas discret, nous montrerons également le lien qui existe entre la notion de copule discrète telle que définie dans les travaux de W.F.
Notations
Tomographie 2D en géométrie parallèle
L'idée principale de la tomodensitométrie à rayons X est d'obtenir des images de la structure interne d'un objet à l'aide de la radiographie de l'objet prise dans de nombreuses directions différentes. Figure 1, pour le cas de géométrie parallèle, les faisceaux de rayons X émis par une source suivent une trajectoire en ligne droite.
Problème direct
Le modèle le plus simple est donc le logarithme du rapport I/I0, avec I l'énergie mesurée sur le détecteur et I0 l'énergie émise par la source traversant f(x1, x2) le long de la droite L et pour une seule projection p = −ln (Je/Je0). L'équation (2.10) r = hξ,xi et l'équation (2.5) donneront en deux dimensions, c'est-à-dire lorsque n = 2 et pour ξ = (cosθ, sinθ), l'ensemble des droites parallèles entre elles et orientées selon l'angle θ et situées à une distance r de l'origine du repère cartésien.
Principe de l’algorithme en tomographie
Un problème similaire en tomographie à rayons X est la reconstruction d'une image f(x1, x2) représentant la distribution de densité d'une quantité à l'intérieur de l'objet à partir de ses deux projections horizontale et verticale, f1 (x1) et f2(x2). De manière générale, dans les problèmes de tomographie, si l'on dispose d'un grand nombre de projections uniformément réparties sur un intervalle angulaire [0, π], la méthode de rétroprojection filtrée (RPF) ou encore de rétroprojection simple (RP) apporte de bonnes solutions.
Tomographie avec deux projections
Tomographie en géométrie parallèle
Transformée de Radon
Le modèle mathématique utilisé est la transformation de Radon (voir l'article original publié par J. Radon en 1917 [1], et pour une traduction anglaise de cet article voir [34]). Cette solution est donnée par la transformation inverse de Radon (voir [35] ainsi que la preuve dans le Théorème 3.53 dans [36]).
Transformée à Rayons X et Transformée de Radon
Exemples de calcul d’une transformée de Radon
La propriété d'homogénéité (2.18) permet une observation importante : connaître la transformation de Radon pour une valeur fixe et toutes les valeurs possibles du vecteur ξ permet une détermination complète de Rf. Les exemples suivants illustrent comment nous pouvons utiliser la propriété d'homogénéité et l'observation précédente.
Conclusion
- Densité de loi conjointe de probabilité
- Fonction de répartition
- Marginales pour le cas multivarié
- Loi gaussienne multivariée
- Mélange de Gaussiennes
- Loi de Student
- Loi de Student multivariée
Il définit la fonction de distribution (f.d.r.) dans le cas de variables ayant une valeur continue. La loi de Student (ou distribution t) avec ν degrés de liberté a une loi de densité de probabilité.
Deux problèmes équivalents
- Copule bivariée
- C-volume et mesure doublement stochastique
- Copule multivariée
- Différentes méthodes de construction des copules
Une copule est une fonction de distribution définie sur [0,1]n dont les arêtes sont uniformes sur [0,1]. La construction de copules reste un domaine actif malgré diverses méthodes (algébriques, géométriques, etc.) en cours.
Utilisation des copules en statistique
Estimation au sens du maximum de vraisemblance
Inférence des fonctions marginales (IFM)
Une implémentation des deux méthodes précédentes (IFM et MV) et une analyse comparative peuvent être faites en utilisant, par exemple, le langage de programmation et l'environnement mathématique utilisé pour le traitement des données et l'analyse statistique basés sur le logiciel R [46]. considérons deux densités marginales gaussiennes à paramètres connus et, d'autre part, une densité bivariée gaussienne à paramètre connu. Ensuite, le MFI et le MV sont appliqués séparément pour comparer la validité des résultats obtenus.
L’approche bayésienne
Plusieurs autres densités de probabilité dont les paramètres peuvent être explicitement calculés peuvent être choisies pour cette mise en œuvre, et un tableau comparatif des deux méthodes peut être établi. Il est intéressant de déduire que pour différents choix de deu nous avons également différents estimateurs classiques pour θ.
Quelques points et discussion sur les copules
Il existe également d'autres mesures intéressantes dans le cas de la théorie des copules aux valeurs extrêmes [39], qui peuvent aider à faire une comparaison entre différentes familles de copules, pour la mesure de la dépendance de la queue qui peut être déterminée par l'autre voie. Quand on choisit, par exemple, le couple familial Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM).
Conclusion
Problème direct
Pour la plupart des expressions des densités connues, on peut même obtenir des expressions explicites.
Problème inverse
Et de plus, lorsque cela est possible, nous présentons les expressions explicites de la copule à entropie maximale. Pour illustrer notre approche, nous choisissons le problème classique de la reconstruction d'une matrice binaire.
Différentes approches pour le problème inverse
4.9) Même là, avec une certaine combinaison, on peut montrer qu'une solution possible est λ1(x1) =f1(x1) et λ2(x2) =f2(x2), mais dans cette approche ce choix de forme demeure. arbitraire.
Approche ad hoc de construction d’une copule
Choisir une copule et rajouter d’autres contraintes
Entropie en mécanique statistique définie par Havrda et Charvàt [22] et popularisée par Tsallis [24], que nous appellerons entropie de Tsallis-Havrda-Charvàt ou plus simplement entropie de Tsallis.
Entropie en mécanique statistique
Méthode proposée
Mais comme nous l’avons déjà brièvement montré, la méthode de [60] n’utilise pas de contrainte d’entropie. La méthode de [68] inspirera également [69] et aussi [70] à rechercher l'expression d'une loi commune.
Résultats principaux
Par contre, dans le cas des entropies de Rényi, Burg et Tsallis-Havrda-Charvàt, en faisant la substitution dans l'expression (4.14), on ne peut pas obtenir de solution générale explicite pour les paramètres λ0, λ1(x1) et λ2 ( x2) en tant que fonctions explicites de f1(x1) et f2(x2), et donc des solutions numériques deviennent nécessaires (voir par exemple [72], pour l'entropie de Burg). c'est à dire. le cas où l'indice d'entropie Tsallis-Havrda-Charvàtq = 2 est la densité de probabilité.
Famille de copules
Exemples de famille de copule bivariée
- Loi Bêta
- Loi de Kumaraswamy
- Loi de puissance bilatère
- Lien avec d’autres familles de copules
La copule liée pour les paramètres a et b appropriés et ayant des densités marginales qui sont celles de la loi de Kumaraswamy a la forme La copule liée pour les paramètres appropriés a et b et ayant la densité de marginaux déterminée par la loi de puissance bilatérale a la forme suivante : 4.60).
Les mesures de dépendances
Pour les entropies Rényi/Tsallis, la classe familiale des copules, si elle existe, dépendra bien entendu de l'indice d'entropie q.
Conclusions
Introduction
En tomographie discrète, le domaine de la fonction peut être discret ou continu, et la fonction a des valeurs finies et positives [16]. Dans le cas continu, tels étaient les objectifs des chapitres précédents où nous montrions le lien entre copules et reconstruction d'images en tomographie et où nous nous appuyions principalement sur l'utilisation de la transformée de Radon.
Copule discrète
Produit de copules
En tomographie analytique, le domaine et l'ensemble de toutes les valeurs de la fonction sont supposés continus. Nous introduisons ici une nouvelle relation à travers la notion de copule, mais dans le cas discret, et montrons quelques relations avec le problème de la tomographie discrète.
Copules décrivant les processus markoviens
Equations de Chapman-Kolmogorov
Lorsque la loi de probabilité sur l'espace d'état d'une chaîne de Markov est discrète et que la chaîne est homogène, les équations de Chapman-Kolmogorov peuvent être exprimées en termes matriciels. Ainsi, la matrice stochastique (ou matrice de transition) à éléments pij décrira les transitions d'une chaîne de Markov Xt sur un espace d'états fini.
Équations de Chapman-Kolmogorov via les copules
Si la loi de probabilité de densité conditionnelle p(x, s;y, t) = P[Xt=y|Xs=x] existe, l'équation de Chapman-Kolmogorov prend la forme. 5.3) Une chaîne de Markov est donc un processus stochastique avec la propriété (5.1).
Matrices bistochastiques et copule discrète
Matrices doublement stochastiques
La matrice A = (aij)1≤i,j≤n est une matrice bistochastique si et seulement si c'est une combinaison linéaire convexe de matrices de permutation, c'est-à-dire UN.
Copule Discrète
Une question intéressante serait de savoir comment trouver toute matrice M la plus proche de la matrice bistochastique A, ou de manière équivalente la copule discrète la plus proche de toute matrice réelle M. Cette technique est une piste à explorer pour le cas d'utilisation général de toute matrice, puis de trouver sa matrice bistochastique. matrice et conduisent par conséquent à sa copule discrète associée.
Tomographie discrète
Formulation du problème de reconstruction
Plusieurs techniques d'optimisation sous certaines contraintes et tâches ont déjà été développées pour résoudre cette question, et sont essentiellement basées sur l'utilisation de la norme Frobenius1. Un travail inclus dans l'article [84] permet de trouver la matrice A la plus proche de M si elle existe sous la contrainte que le premier moment, ou simultanément les premier et deuxième moments de A et M soient égaux.
Unicité en tomographie discrète
Méthode proposée
Unicité en tomographie discrète Dans le cadre général, un couple (R, S) est compatible s'il existe m et n deux entiers positifs tels que. Et enfin, dans les relations reliant une copule discrète et la tomographie discrète, la condition d'unicité est dérivée en recherchant les matrices partitionnées de la matrice A= (aij), dont les formes explicites se font via les copules discrètes C1.
Construction d’une copule par la méthode algébrique
Après avoir démontré les liens possibles entre le concept de copules discrètes et celui de tomographie discrète. Nous fournissons un organigramme synthétique qui peut servir de base au développement d'un schéma de reconstruction d'image en tomographie discrète utilisant des copules discrètes.
De la copule discrète à la tomographie discrète
Algorithme pour la matrice bistochastique
Mais dans la méthode que nous proposons, il existe un moyen de trouver la matrice bistogastique A associée à la matrice de la copule discrète en utilisant l'équation (5.10). Les commandes suivantes donnent donc successivement la matrice de la copule discrète C et sa matrice bistochastique A associée.
Représentation graphique
Toute couleur grise peut être considérée comme une couleur sans teinte ; le noir et le blanc sont des gris extrêmes. Le noir est un gris de valeur zéro et correspond à l’absence de toute lumière (l’œil ne reçoit pas de lumière).
Conclusion
En tomographie
La théorie de copule
Dans ces images, les courbes en bleu sont les projections des objets originaux et les courbes en rouge sont les projections des objets.
Quelques représentations graphiques des nouvelles copules
Quelques représentations graphiques des nouvelles copules.. a) F.r. b) Densités des joints Figure 6.4 – Une représentation de la copule (6.8) en vue agrandie.
Screenshot of the package “Copula-tomography”
Guide
Menu
Menu List
This listing provides a visualization of tomographic image reconstruction using the Multiplicative Back Projection method. Clicking on this list in the main menu displays a large number of copula families c(F1(x), F2(y)) to reconstruct the original object.
Conclusion
Le chapitre où nous avons présenté les « copules à entropie maximale » constitue, à notre avis, la partie essentielle de cette thèse. Nous avons montré le lien que pouvait avoir la copule avec différentes formes d'entropie lorsque la forme explicite était mathématiquement possible, par exemple pour la valeur q = 2 de l'indice d'entropie de Rényi ou l'entropie de Tsallis.
Extension des copules : notion de q-copule
Copules maximales de divergences et d’entropies
Autres points
Conclusions générales
On rappelle brièvement qu'une fonction définie dans un espace mesuré Ω et à valeurs dans RouC est appelée « carré résumé » ou « carré intégrable ». Notons simplement que pour notre choix d'indice d'entropie q = 2, cette valeur est supérieure à un et l'entropie de Tsallis (ou Rényi) est concave.
Autre preuve à partir de la divergence (a, λ)
Remarque sur le cas indépendent
Dans le cas particulier 1 < q < 2, il y a convergence de la loi vers la q-gaussienne et donc possibilité d'obtenir explicitement la constante A0(q), ce qui permet de conclure au résultat dit de q-indépendance, qui est basé sur le théorème central limite q [voir [95]]. Mais nous notons également que la constante de normalisation peut être obtenue à l'aide de l'équation (A.9) en fixant λi(xi) = x2i (c'est-à-dire que gM E est une q-gaussienne bivariée) et on peut extraire A0(q) via le résultat de [ 96] en apportant la modification appropriée à l'expression CN(q).
Certains détails de calculs
Pour poursuivre ici cette analyse, on voit qu'il faut trouver explicitement l'expression gM E en fonction des seules densités marginales fi(xi). Si gM E converge légalement vers la distribution gaussienne généralisée, la q-gaussienne, la distribution q-Student, ou l'une des distributions q parmi celles listées dans [91], alors on peut obtenir les densités marginales fi(xi) et donc avons aussi A0 (q) pour que la limite quand q→1 donne gM E =Y.
Notation
Question
Réponse 1
Question 2
Réponse 2
Règle de l’Hôpital
Quelques expressions utiles
Expression des dérivées
Calcul des limites
Question 3
Peer review Paper i Conference Proceedings of American Institute of Physics (AIP), Subseries: Mathematical and Statistical Physics, bind 1305, udgave 1, side 329-336. Peer review-oplæg i Conference Proceedings of American Institute of Physics (AIP), Subseries: Mathematical and Statistical Physics, bind 0000, udgave 0, side 000-000.
