Les points pilotes de la fig.2.3a sont indiqués dans la colonne de gauche. Module d'incompressibilité Ke∗ du fluide équivalent prenant en compte la dispersion due aux échanges thermiques entre les deux phases.
Contexte
Un matériau poreux est un milieu diphasique constitué d'une structure saturée d'un fluide (l'air dans le cas de l'acoustique) qui comble entièrement les vides laissés par le squelette solide du matériau. Ces matériaux sont le siège de fortes interactions entre leurs constituants, conduisant à des phénomènes de fragilisation ou d'absorption importants.
Etat de l’art
- Structure mol´ eculaire
- Formation des mousses
- M´ ecanique des mat´ eriaux visco-´ elastiques
- Mod` eles de comportement
- Mod` eles de fluide ´ equivalent
- Mod` eles de Biot g´ en´ eralis´ e
- Corrections visqueuses et thermiques de Johnson et Allard 10
Le cadre habituel des études du comportement de tels matériaux est souvent limité au domaine de la viscoélasticité linéaire. Le comportement viscoélastique peut s'écrire sous forme complexe et en fonction de la pulsation ω.
Objectifs et organisation du document
Dau99] Dauchez N., Etude vibroacoustique des matériaux poreux par éléments finis, Thèse de doctorat de l'Université du Maine, direction S.Sahraoui et N.Atalla, Le Mans, France, 1999. Etc02] Etchessahar M., Caractérisation mécanique aux fréquences des basses de matériaux acoustiques, Thèse de doctorat de l'Université du Maine, direction S.Sahraoui, Le Mans, 2002. Gar03] Gareton V., Caractère Évaporation acoustique des matériaux poreux, Thèse de doctorat de l'Université du Maine, direction D.Lafarge, Le Mans, France, novembre 2003.
Gau02] Gauglitz P.A., Friedmann F., Kam S.I. og Rossen W.R., Foam generation in homogeneous porous media, Chemical Engineering Science, bind 57, udgave 19, s.
Experimental
Foam samples
The use of cellular materials based on polymers (foam) shows a growing interest these last decades, especially in the automotive industry for acoustic absorption [Den03]. Dynamic methods, based on sample resonance; they make it possible to cover a significant frequency range, but with a poor frequency resolution, moreover, the coupling effects of the fluid structure cannot be neglected when the measurements are not performed in vacuum [Pri86]. This principle is based on the equivalence of temperature and frequency variations of some physical variables, such as shear modulus or viscosity.
In this article, we look at the application of this method to open-cell commercial foams based on cross-linked polymer, on a very wide frequency scale (more than 10 decades).
Experimental protocol
Low shear noise is due to the sensitivity limit of the torque sensor. Figures 1.3 to 1.5 show open-cell cross-linked Bulpren S20 polymer foam, real part G0 and imaginary part G”, with corresponding loss modulus (δ) measured between 0.1 and 100 rad.s−1 at different Ti temperatures. Moreover, the difference between the actual part of G0 and the imaginary part of G” tan(δ) is more than one decade 10-1, the loss angle is very small.
1.4 – Imaginary section G” of the shear modulus of Bulpren S20 foam subjected to a deformation of 0.05% at different temperatures.
Time-Temperature equivalence
Horizontal shift aT parameter can be determined by empirical Williams-Landel-Ferry (WLF) [WLF] for a temperature range Tg < T0 < Tg+ 100 where Tg is the glass transition temperature. If these values are unknown, the parameters aT and bT are given experimentally by superposition of partial coverage curves. We check the relevance of this last technique on Bulpren S20 open-cell cross-linked polymer foam (see Figure 1.7).
From aT displacement coefficients it is then possible to determine viscoelastic coefficients C10 and C20 from WLF modelling.
Bulpren S family results
Fig.1.8 – Time-temperature superposition coefficients: aT, with WLF modeling and bT for Bulpren S20 foam. Complex shear modulus behavior for all Bulpren S family foams is found in horizontal aT and vertical bT shear coefficients (cf. Fig. 1.11). The shift coefficients aT and bT are thus independent of the pore size, although bT is defined according to the variation of density with temperature.
1.9 – Master curves for whole Bulpren S foams: real G0 and imaginary G” parts of shear moduli, at reference temperature T0 = 200C.
Interpretation
High frequencies
Oya85] Oyadiji S.O., Tomlinson G.R., Determination of complex moduli of viscoelastic structural elements by resonance and non-resonance techniques, Journal of Sound and Vibrationvol 101, issue 3, p. PC91] Ponte Castaneda, P., Effective mechanical properties of nonlinear isotropic composites, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, vol 39, issue 1, p. Pri86] Pritz T., Frequency dependence of the dynamic characteristics of the framework of mineral materials and glass wool, Journal of Sound and Vibrationvol 106, number 1, p.
Pri94] Pritz T., Dynamic Young's Modulus and Loss Factor of Plastic Foams for Impact Sound Isolation, Journal of Sound and Vibration, bind 178, udgave 3, s.
Synth` ese des r´ esultats
Il existe d’autres phénomènes d’hystérésis qui s’expliquent plus simplement. Ce caractère phénoménologique a conduit à poser le problème de déterminer les conditions pour lesquelles ce modèle peut ou non modéliser les non-linéarités en hystérésis. L'idée principale de ce modèle est de décomposer l'hystérésis physique macroscopique en une somme d'hystérons microscopiques.
Il détermine ensuite les conditions nécessaires et suffisantes pour lesquelles l'application du modèle Preisach – Krasnoselskii peut représenter les non-linéarités d'hystérésis.
Contexte th´ eorique
Hypoth` eses de la th´ eorie PKM
Id´ ee maˆıtresse
- L’hysteron
- De l’hysteron ` a l’espace PM
- Description exp´ erimentale de l’espace PM
L'ensemble des hystérons est contenu dans un plan de coordonnées selon une variable d'hystéron microscopique, par exemple la longueur l et ses valeurs seuils (α, β). Le paramètre de déformation macroscopique ¯σ du matériau hystérétique est défini comme une superposition linéaire des paramètres microscopiques correspondants σ(t, α, β) de différents hystérons microscopiques qui ne sont pas spécifiés dans la fonction de densité μ(α, β) :. 2.3) Dans l'intégration de l'équation (2.3), on suppose que la dépendance du paramètre σ(t, α, β) d'un hystéron individuel en fonction de la longueur l (t) contient une hystérésis : lorsque β < l < α l'état de l'hystéron (il est ouvert ou fermé) dépend du fait que la longueur diminue ou augmente. Guyer et McCall fixent arbitrairement les valeurs σc et σo de l'hystérésis pour résoudre ce problème inverse.
Tout en suivant ce protocole de déplacement, le secteur de l'espace PM dans lequel les hystérons se trouvent dans leur configuration fermée est présenté dans le tableau 2.1.
Dispositif exp´ erimental
En bas, les hystérons qui sont dans leur configuration fermée sont visibles dans l'espace PM. Dans la colonne de droite est indiquée la partie de l'espace PM fig.2.3b dont les hystérons sont fermés. L'investigation est réalisée à partir de la mesure des déplacements D(t), appliqués au cours du temps, par rapport à la hauteur initiale Ho de l'échantillon au repos.
Il est donc très simple de passer mathématiquement de la variable de déplacement à la variable de déformation.
Application de la th´ eorie PKM
- Importance de l’hyst´ er´ esis et choˆıx des param` etres de compression . 47
- Invariabilit´ e du point final
- Congruence g´ eom´ etrique
- Mesures exp´ erimentales
- D´ etermination exp´ erimentale de la densit´ e des hysterons contenus
- R´ esultat de la mod´ elisation de l’hyst´ er´ esis principale
- Mod´ elisation d’hyst´ er´ esis interm´ ediaires
Dans le deuxième test, l'objectif est de vérifier la congruence géométrique des boucles d'hystérésis internes. Nous modélisons le comportement en hystérésis de la mousse polymère réticulée très proche de l'expérience initiale (voir fig. 2.10). Nous étudions maintenant le cas de l'hystérésis intermédiaire pour certaines valeurs expérimentales intermédiaires de déplacement maximal.
Le problème des ondulations à la fin de la décharge par hystérésis (c'est-à-dire que le déplacement β tend vers zéro) est plus apparent au cycle de déformation le plus bas (déplacement à une compression de 5 mm).
Espaces PM et mod´ elisation d’hyst´ er´ esis pour diff´ erentes mousses
- Bulpren S20
- Bulpren S30
- Bulpren S60
- Fireflex T31
- Synth` ese des r´ esultats des diff´ erentes mousses
La fonction densité µ obtenue (voir fig. 2.13) présente également une plus grande variation pour les grandes valeurs de α (i.e. cycles avec grandes déformations), mais aussi pour les faibles valeurs de β (i.e. fin de déchargement des branches, petites déformations de la mousse). L'aspect de l'espace PM est donc proche des précédents, notamment de celui obtenu pour la mousse Bulpren S30 avec des variations même pour de petites valeurs de α et un pic important dans le coin inférieur droit (αmaximum, βminimum) du triangle formant l'espace PM. Nous constatons à nouveau des ondulations dans le téléchargement, notamment à la fin en raison de la plus grande variation de µ pour les faibles valeurs de β.
Les espaces PM présentent certaines similitudes, en particulier ils sont tous riches en éléments pour les grandes valeurs de α (ie grands cycles de déplacement).
Conclusion
Protocole exp´ erimental
Chaque échantillon se présente sous la forme d'un cylindre de 45 mm de diamètre et 15 mm de hauteur. L'appareil de mesure est le rhéomètre RDA II de Rheometrics Scientific. La vitesse expérimentale de compression-traction est fixée à 0,1 mm.s−1, vitesse maximale où l'on n'observe plus de changement dans la boucle d'hystérésis lorsqu'on diminue la vitesse (voir § 2.4.1).
Pour s'affranchir du phénomène de tassement rencontré lors de la répétition des premiers cycles, la mesure proprement dite est précédée de 50 cycles complets de chargement-déchargement, chargement à 12 mm de déplacement imposé.
Zone de relaxation lin´ eaire et non lin´ eaire
Pour une même mousse, lors de la compression initiale, la zone linéaire présente une relaxation différente des autres zones de comportement. On constate cependant que la fonction de relaxation reste identique sur le reste de la courbe d'hystérésis : chargement (compression puis relaxation) pour la zone du plateau de flambement, et la zone finale de compactage ainsi que lors du déchargement (compression, traction puis relaxation) ) pour les 3 zones (compactage, flambement et linéaire). Il sera même possible de déterminer cet état final post-relaxation si l'on connaît l'état initial de la mousse, et la fonction de relaxation actuelle.
Pour une même mousse polymère réticulée, les courbes de relaxation des contraintes ne peuvent pas être ainsi superposées.
Relaxation hi´ erarchique en zone de flambement
Protocole exp´ erimental
Par conséquent, la réponse aux contraintes des mousses dépend de l’amplitude et de la durée du déplacement appliqué. Le squelette de la mousse polymère réticulée continue d'évoluer et, parfois similaire à tw, la réponse est dominée par la relaxation des contraintes qui n'ont pas été relâchées lors du réarrangement topologique initial sous pression. L'étude de la relaxation des mousses de polymères réticulés après différents niveaux de compression met en évidence deux types de relaxation.
L'analogie avec la matière molle nous a permis ici d'aborder quelques phénomènes de relaxation intéressants des mousses polymères réticulées.
Mesure de chargement-d´ echargement en fonction de la d´ eformation pour
Densit´ e des hysterons µ(α, β) contenus dans l’espace PM pour la mousse
Mod´ elisation du comportement de la mousse Bulpren S90 ` a partir de la
Mod´ elisation d’hyst´ er´ esis interm´ ediaires pour la mousse Bulpren S90
Espace PM et hyst´ er´ esis mod´ elis´ ees pour la mousse Bulpren S20
Espace PM et hyst´ er´ esis mod´ elis´ ees pour la mousse Bulpren S30
Espace PM et hyst´ er´ esis mod´ elis´ ees pour la mousse Bulpren S60
Espace PM et hyst´ er´ esis mod´ elis´ ees pour la mousse Fireflex T31
Repr´ esentation du d´ eplacement impos´ e au cours du protocole de test en
Relaxation en zone de flambement, avec un pallier d’attente de dur´ ee
Bulpren S20 : ´ evolution de la contrainte selon les diff´ erents temps d’attente
Bulpren S30 : ´ evolution de la contrainte selon les diff´ erents temps d’attente
Bulpren S60 : ´ evolution de la contrainte selon les diff´ erents temps d’attente
Bulpren S75 : ´ evolution de la contrainte selon les diff´ erents temps d’attente
