Mes travaux de thèse ont porté sur la simulation des procédés de moulage de polymères thermoplastiques par soufflage : thermoformage et extrusion soufflage. Ce travail m'a permis de bénéficier de mes travaux sur les modèles de comportement des matériaux en grandes déformations réalisés au cours de ma thèse.
Premiers travaux
R´esum´e du travail de th`ese
Lors de ces expériences nous enregistrons l'évolution de la pression vésicale dans la bulle et filmons sa déformation. La figure 1.2 montre le schéma du dispositif expérimental et la figure 1.3 montre trois vues de la bulle pendant le soufflage.
Extension du travail de th`ese : thermoformage de polym`eres renforc´es de
Le comportement transversalement isotrope du matériau est alors caractérisé par l'existence du groupe de symétrie g5 qui le définit. Les résultats obtenus pour les membranes isotropes et transversalement isotropes sont comparés dans la Figure 1.10.
Transition vers de nouvelles th´ematiques
Il est classiquement reconnu que la loi de comportement utilisée pour simuler la formation de matériaux isotropes a peu d'effet sur la distribution finale des épaisseurs (deLorenzi et Nied, 1991), puisque le problème est essentiellement géométrique. Figure 1.9 – Soufflage d'une membrane carrée transversalement isotrope : hauteur de bulle en fonction de l'angle d'orientation initial de la fibre, (X,a!0).
Etat de l’art
Les premiers travaux proposant des solutions à des problèmes non axisymétriques n'utilisaient pas la méthode des éléments finis. Plus récemment, ces problèmes ont été étudiés en utilisant la méthode des éléments finis en combinaison avec des méthodes de longueur d'arc qui permettent d'étudier la courbe d'équilibre, et l'intérêt des auteurs s'est concentré sur le comportement post-critique (Duffet et Reddy, 1986 ; Shi et Moita , 1996 ; Hassageret et al., 1999).
D´eveloppement d’´el´ements finis pour les membranes hyper´elastiques en grandes
Une interpolation spline pour les membranes axisym´etriques
La prise en compte de la symétrie du problème permet de limiter l'étude au demi-cylindre. L'évolution de la pression à l'intérieur de la membrane en fonction de l'état de déformation est calculée à l'aide de la méthode de la longueur d'arc.
Un nouvel ´el´ement fini ` a tangente continue pour les membranes non-
Fig.2.6 – Soufflage d'une membrane cylindrique encastrée par éléments finis Q4 : cinq étapes du calcul et agrandissement de la surface encastrée. Fig.2.8 – Soufflage d'une membrane cylindrique encastrée par éléments finis Q4TC : cinq étapes de calcul et agrandissement de la surface encastrée.
Application ` a l’´etude de stabilit´e et de bifurcation
D'un point de vue scientifique, la question de la fatigue des élastomères est un problème ouvert. Le premier modèle proposé est basé sur la théorie classique de la mécanique des dommages.
Pr´esentation des ´elastom`eres
G´en´eralit´es
La rédaction de cette thèse m'a ensuite conduit à entreprendre une synthèse bibliographique des travaux sur la modélisation du comportement des élastomères. Cet état de l'art permet d'identifier des pistes de réflexion sur la méthodologie à utiliser pour la construction d'un modèle comportemental adapté aux propriétés mécaniques des élastomères. Enfin, il convient de noter que les élastomères ne sont que très rarement utilisés sous leur forme pure, car leurs performances mécaniques sont très limitées.
Description du comportement m´ecanique
Le matériau dissipe une partie de l’énergie qu’il a stockée lors d’une charge rapide. D'un point de vue mathématique, la contrainte est souvent écrite en fonction de l'historique de déformation et de la vitesse de déformation. Le même processus est adopté lors du licenciement. caractère visqueux du phénomène d'hystérésis.
Mod´elisation du comportement m´ecanique des ´elastom`eres
Etat de l’art ´
Le graphique (a) représente l'évolution des forces de traction minimales et maximales mesurées en fonction du nombre de cycles et met en évidence le phénomène de relaxation cyclique. Cette conclusion hâtive est fausse, car si une fissure apparaît dans cette partie, une zone de concentration de contraintes apparaît au fond de la fissure ; dans cette région la déformation sera plus importante que dans le reste de la pièce et cette région ne sera donc pas adaptée à l'effet Mullins pour ce degré de déformation. Ainsi, une simulation numérique ne prenant pas en compte le ramollissement s’avérera incomplète dans le cadre de la mécanique de la rupture des élastomères.
Approches ` a retenir pour la mod´elisation
Nous proposons maintenant quelques pistes à suivre pour les différents phénomènes représentatifs du comportement des élastomères. À notre avis, le développement de lois de comportement pertinentes pour ce phénomène n’est pas à l’ordre du jour tant que la nature du caractère hystérétique des élastomères n’a pas été établie. Un effort important de modélisation de ce phénomène est désormais nécessaire, car il permet de calculer l'énergie dissipée au cours d'un cycle.
Deux nouveaux mod`eles pour l’effet Mullins
Mise en ´evidence des ph´enom`enes. Campagne exp´erimentale
Pour notre part, nous attribuons la petite perte de rigidité observée entre les cycles suivants principalement au fluage du matériau. Cela revient à considérer que la courbe de charge est la courbe d'équilibre du matériau (si elle existe, comme le suggèrent Bergström et Boyce (1998)). Enfin, une fois ce traitement des données expérimentales pris en compte, le comportement du matériau peut être schématisé sur la figure 3.14.
Mod´elisation par la m´ecanique de l’endommagement
Enfin, il convient de choisir la mesure de l'état de déformation qui permettra de contrôler l'évolution de l'endommagement. A partir de cette dernière, l’équation d’évolution des dommages peut être réaménagée sous la forme Pour améliorer la modélisation, la loi d'évolution des dommages (3.5) devrait être modifiée, par exemple sous la forme
Mod´elisation par la statistique des chaˆınes
Ce travail illustre les capacités et les limites de l'utilisation de la mécanique des dommages pour l'effet Mullins dans les élastomères. N qui est le nombre moyen de monomères par chaîne et est donc représentatif de la longueur moyenne et de la limite d'extensibilité des chaînes (Doi, 1996). La première conséquence est l'augmentation de la longueur moyenne des chaînes (définie comme la longueur active entre deux points de jonction) et donc du nombre de monomères par chaîne N.
Les th´eories fondatrices : 1940-1970
Hyper´elasticit´e
N a est la distance moyenne entre les extrémités de la chaîne non déformée (voir les travaux de Doi (1996) pour plus de détails). La réponse d'une chaîne qui s'établit est alors pertinente pour s'intéresser au réseau. Pour passer de la réponse d’une chaîne à celle du réseau, des hypothèses supplémentaires doivent être formulées.
Visco´elasticit´e
En fait, la simplification de ce modèle sous une transformation infinitésimale conduit à un fluide de Maxwell (linéaire) (Lubliner, 1985). En effet, dans le cas d'un matériau isotrope, le tenseur de la première fonctionnelle, K1, contient deux fonctions de relaxation (à une variable), la seconde fonctionnelle, K2, quatre fonctions supplémentaires de la fonction élémentaire (à deux variables), et la le tenseur de la troisième fonctionnelle nécessite six fonctions supplémentaires (avec trois variables). Une autre méthode de développement de la fonctionnelle (A.26) est proposée par Coleman et Noll (1961).
Comportement cyclique
Mullins et Tobin (1957) ont donc proposé un modèle phénoménologique de l'effet Mullins. Cependant, comme le souligne Mullins (1969), ce modèle ne permet pas d'expliquer complètement le phénomène d'accommodation, car il existe également pour les non-élastomères chargés. Comme l'ont souligné Harwood et al. 1967), le glissement des chaînes par les charges lors de l'étirement n'est pas démontré, mais cette explication reste plausible pour expliquer la perte de raideur.
L’av`enement de la simulation num´erique : 1970-1990
Hyper´elasticit´e
Depuis son développement en 1940, le modèle Mooney (A.15) a été le plus couramment utilisé pour modéliser le comportement élastique des élastomères pour des déformations modérées, c'est-. De plus, le modèle d'Ogden est une généralisation des approches précédentes : la fonction d'énergie de déformation satisfait l'hypothèse de Valanis et Landel, et les modèles n´eo-hook´een et Mooney sont des cas particuliers. Ce modèle est le plus utilisé pour aborder les grandes déformations élastiques des élastomères dans les travaux numériques.
Visco´elasticit´e
Comme le souligne Christensen, ce modèle est le modèle viscoélastique non linéaire le plus simple pour les matériaux de type caoutchouc. Celles-ci étaient basées sur l'efficacité des mesures générales de déformation démontrées par le modèle d'Ogden (1972). A.2(a)) et l'extension du modèle à plusieurs temps de relaxation, ce qui permet de couvrir le spectre de relaxation du matériau.
Comportement cyclique
L'auteur propose de séparer la réponse du matériau en la somme d'une contrainte élastique et d'une contrainte inélastique, qui devient une variable interne du modèle régie par une loi d'évolution linéaire. Ce modèle permet de prendre en compte l'anisotropie et est équivalent au modèle K-BKZ (Govindjee et Reese, 1997). Cependant, la force de l'article de Simo réside principalement dans sa deuxième partie, qui reproduit de manière raisonnablement détaillée l'implémentation numérique de ce modèle dans le contexte des éléments finis.
Hyper´elasticit´e
Ce modèle s'avère également efficace, mais moins que l'approche d'Arruda et Boyce, ce qui est plutôt paradoxal puisque le modèle à 8 chaînes est une simplification de la théorie de Wu et van der Gießen. La première partie de cette fonction d'énergie de déformation est représentative du modèle fantôme (A.10) puisque Gc est lié au nombre de chaînes par unité de volume et à la fonctionnalité des liaisons. Comme Meissner, Boyce et Arruda (2000) ont récemment proposé de lier le modèle des jonctions restreintes (Flory et Erman, 1982 ; Mark et Erman, 1988) à leur modèle à 8 chaînes (A.59) pour approcher avec précision le comportement des élastomères.
Visco´elasticit´e
Le modèle de Spathis reproduit très fidèlement les résultats expérimentaux de Harwood et al. (1965). L'équation d'évolution est non linéaire et est basée sur le modèle de fluage moléculaire de Doi et Edwards (1986). Ils prennent également en compte le modèle d'évolution du réseau proposé dans le passé par Green et Tobolsky et l'adaptent à de très grandes déformations.
Comportement cyclique
La première méthode adoptée pour modéliser l'effet Mullins est l'utilisation de mécaniques de dommages éprouvées par ailleurs (Kachanov, 1958 ; Lemaitre et Chaboche, 1985). Une autre approche de la modélisation de l’effet Mullins est également phénoménologique. Dans ce travail, l’effet Mullins est à nouveau défini par la mécanique des dommages.
