Dans ce cas, il s'agit d'estimer les intervalles de retard pour que le système reste stable, ou de trouver la valeur maximale du retard pour que le système reste stable. Dans le deuxième chapitre, nous présentons les critères de stabilité et de stabilisation du système Lur'e avec un retard qui évolue dans l'intervalle.
Notions fondamentales de la stabilité
Souvent liée à la manière dont un système est compris, la stabilité a un large éventail de définitions [50]. Il est important de noter que la propriété de stabilité exponentielle du système entraîne nécessairement la stabilité asymptotique de ce dernier.
Théorie de Lyapunov
Si le système admet une grande fonction de Lyapunov sur U(0), alors l'origine x = 0 est un point d'équilibre stable. Si U(0) =Rn et α1 et α2 sont de classe K∞, alors x= 0 est un point d'équilibre globalement uniformément stable asymptotiquement.
Les systèmes perturbés
On suppose en outre que l’origine du système nominal est globalement uniformément stable de manière exponentielle (ou GUES). Le système étudié dans la suite de cette thèse est un système particulier dont la perturbation g(t, x(t)) vérifie un certain état appelé : l'état du secteur.
Problème de Lur'e
Autre façon de pallier l'inconvénient de la méthode indirecte de Lyapunov et de fournir un résultat de stabilité globale, on optera pour l'idée de construire une fonction de Lyapunov qui sera la combinaison du système candidat nominal et d'une fonction additive. terme ψ(t, x) qui sera choisi pour compenser l’effet de la perturbation.
Introduction aux systèmes à retard
Exemple introductif
Mais du point de vue de la réalité, on constate qu'il existe des retards intrinsèques provoqués par le réseau de communication, ce qui rend cette représentation inappropriée et très irréaliste. Ces derniers sont des éléments physiques qui provoquent des retards en fonction de leurs propriétés structurelles et, surtout, des algorithmes mis en œuvre pour la gestion des bandes dans le réseau, et ils apparaissent également lors de la conversion du signal physique de mesure en unités d'informations qui sont transmises. au réseau.
Solution d'un système à retard
Introduction aux systèmes de décélération 15 Les systèmes de décélération sont des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles fonctionnelles. Tout d'abord, expliquons le théorème d'existence et l'unicité de la solution du système à retard [37].
Extension de la seconde méthode de Lyapunov
Le système (1.11) est asymptotiquement stable s’il existe une fonctionnelle quadratique de Lyapunov-Krasovskii V(φ) bornée telle que nous ayons pour tout ε >0. Le système (1.11) est asymptotiquement stable s’il existe une fonction de Lyapunov quadratique bornée V(φ) telle que l’on ait pour tout ε >0.
Analyse convexe et inégalités linéaires matricielles
- Analyse convexe
- Problèmes classiques de LMI
- Complément de Schur
- S-procédure
Maintenant, étant donné que V est une fonction quadratique par rapport à x et bornée, alors nous pouvons garantir l'existence d'une constante K >0 suffisamment grande pour. Dans ce chapitre, contrairement aux travaux [30] et [32], nous nous sommes intéressés à étudier la stabilité des systèmes à retard linéaire bouclés par un terme non linéaire ψ(t, y(t)) en fonction du temps et de la sortie. , en vérifiant l'état d'un secteur. .
Stabilité du système de Lur'e à retard
Critère de stabilité dépendant d'un retard constant
De plus, dans de nombreux résultats récents, les informations relatives au retard, comme sa borne inférieure ou la borne supérieure de sa dérivée, ont été négligées et même si dans certains cette dernière a été prise en compte, elle est souvent supposée inférieure ou égale à à. à 1 (voir. Nous énonçons maintenant un résultat qui représente une condition suffisante pour la stabilité du système (2.1).
Critère de stabilité du système dépendant d'un retard variable . 23
Stabilité du système de Lur'e avec retard 25 En différenciant le long des trajectoires du système (2.5), on obtient Pour un µ donné, les limites supérieures autorisées hM sont calculées pour garantir la stabilité du système (2.6) pour les limites inférieures fixes hm répertoriées dans le tableau 1.
Stabilisation du système de Lur'e à retard
Stabilisation du système controlé à retard constant
Stabilisation dans le cas du retard variable
Stabilisation du système Lur'e retardé 29 Le théorème suivant donne une condition suffisante pour pouvoir stabiliser le dernier système via un feedback. 2.24) Le théorème suivant fournit une condition suffisante pour la stabilisation du système précédent avec une rétroaction lorsque la non-linéarité ϕ(t, y) appartient au secteur[0, K]. La stabilisation du système Lur'e avec le retard 31 est vérifiée, puis l'origine du système asservi (2.20) peut être stabilisée par la réponse linéaire (2.23) avec. On rappelle que les matrices P, Qi, Ri, i= 1,2,3 sont symétriques et positives, ainsi que les matrices P, Qi, Ri, i= 1,2,3. Alors la dérivée de V le long des trajectoires du système (2.24) est donnée par.
A ce stade, pour avoir la stabilité asymptotique du système (2.24), il suffit de le montrer. En effet, en utilisant le Complément de Shur (Théorème 1.6.2), nous montrons que le LMI (2.26) est équivalent à ce qui suit.
Exemple numérique
Introduction
Caractérisation de la stabilité exponentielle pratique
Nous montrons en outre que sous les hypothèses (H1) et (H2), le système de retard (3.1) reste globalement uniformément stable de manière pratiquement exponentielle, si le retard τ est suffisamment petit. Caractérisation de la stabilité exponentielle pratique 39 Il est facile de vérifier à partir de l'équation (3.4), que C0 < 1. Alors l'équation (3.1) est globalement uniformément convergente de manière pratiquement exponentielle vers la boule B(0,2r) , si 0 ≤τ Caractérisation de la stabilité exponentielle pratique 41 Le théorème 3.2.4 est un cas particulier du théorème 3.2.6 lorsque θ1 =θ2 = 0,9. Si on se place dans le cas où l'origine n'est pas un point d'équilibre du système (3.1) (ou même ε= 0), et si on remplace aussi l'hypothèse (H2) par une autre donnée ci-dessous par l'hypothèse (H3), on obtient des résultats analogues. H3) Supposons que l’équation (3.2) soit globalement uniformément stable de manière exponentielle. Dans le cas des systèmes linéaires, l’analyse de stabilité ainsi que le problème de stabilisation d’état ont été largement étudiés. Il est bien connu que les performances visées doivent être considérées par rapport à la robustesse du système piloté. En ce sens, dans cette partie de la thèse, nous établissons également un principe de séparation pour les systèmes impulsifs linéaires. Nous commençons par nier et citer, issus de la littérature connue, certains critères d'observabilité pour les équations différentielles ordinaires (sans quantité de mouvement) dans le cas linéaire et non linéaire. Si l'on suppose que A(t) = A,∀k≥1, Dk=D, et que les matrices A et D commutent, nous pouvons encore simplifier l'expression de la solution du système linéaire. Par souci de clarté, commençons par définir quelques concepts de base qui nous seront utiles plus tard. Le système ci-dessous est alors appelé un système d’équations pour le système. Considérons maintenant le système (4.7), en supposant en outre que la fonction g est continue sur R+×R. Nous avons donc la définition suivante. Alors les propriétés de stabilité de la solution triviale du système d’équations (4.7) impliquent celles de la solution triviale du système (4.6). Ce corollaire nous servira alors à montrer la convergence exponentielle d'un observateur pour une classe de systèmes impulsifs, dont le système d'équations trouvé aura cette forme. Ainsi que le théorème 4.2.5 est fondamental pour montrer la convergence de l'erreur des observateurs construits. Nous dirons que le système (4.3) satisfait la condition de Perron si pour toute application essentiellement bornée f :R→Rn et toute suite bornée (β)k≥1 solutions du système. Avant d’énoncer le théorème principal dans cette section, nous verrons que l’on peut exprimer les solutions du système (4.9) en utilisant le solvant X(t, τ). Si le système (4.3) vérifie la condition de Perron, il existe une constante K que l’on a pour toute paire de nombres réels (τ, t) telle que t0 ≤τ ≤t. Nous avons un résultat qui assure la stabilité exponentielle du système (4.12) dans les conditions où le système (4.14) possède cette propriété et que les termes de perturbation P(t) et Jk sont petits. Stabilité exponentielle pratique du système impulsif contrôlé à retards multiples Il est possible d'obtenir des informations sur le comportement des solutions du système (4.14). Afin d’étudier le problème de la stabilisation exponentielle uniforme globale pratique du système à retard (4.15), nous considérons la commande impulsionnelle suivante. Stabilité exponentielle pratique d'un système impulsif contrôlé par retard multiple 69 Nous obtenons ensuite un système impulsif contrôlé par retard décrit par. Dans cette section, nous étudions la stabilité exponentielle uniforme globale du système contrôlé par temporisation (4.18). Nous présentons maintenant quelques résultats concernant la stabilisation globale uniforme et pratique exponentielle du système à retard (4.18). Stabilité exponentielle pratique du système impulsif contrôlé avec retard multiple 71 Étant donné le lemme 1 et l'inégalité (4.16), nous avons. Le système (5.1) est dit observable sur l'intervalle [t0, tf] si une condition initiale x(t0) =x0 est déterminée de manière unique par l'entrée u(t) et la sortie y(t) correspondant au système pour t ∈ [t0, tf ]. Le système (5.1) est dit observable s’il ne possède pas une paire d’états initiaux distincts et indiscernables. Le système (5.3) est dit complètement uniformément observable s’il existe α >0 et t0>0, de sorte que pour tout t≥0 nous avons. Dans la suite, nous présenterons un résultat très pratique, dû à Gauthier et Bornard ([34]), qui consiste à donner une condition nécessaire et suffisante pour l'observabilité locale uniforme du systèmeΓ. 34])(Gauthier et Bornard 1981) Supposons que la fonction φ choisie soit un dimorphisme de Ω sur φ(Ω), que les fonctions φ, ϕ, ϕ puissent être étendues de Ω sur Rn par des fonctions globalement lipschitziennes (respectivement à toute norme ) )(ou fonctions de classe C∞) et que le système (Σ) est complet pour toutes les fonctions d'entrée admissibles (mesurables bornées) à valeurs en U, alors le système (Γ) est uniformément observable localement si et seulement si le la fonction ϕe est de la forme 39] Dans les mêmes conditions du théorème 5.2.7 avec les matrices constantes A(t) = A et C(t) = C, le système (5.4) est observable si et seulement si la condition de rang est vérifiée. Dénition et rôle d'un observateur On peut alors choisir la matrice de gain L telle que le système (5.9) soit globalement stable de façon exponentielle. Si l'on suppose que le couple (A, B) est contrôlable et qu'il existe une constante d > 0 telle que kDkk ≤d, ∀k≥1, alors on peut choisir une matrice de gain K telle que le système en boucle fermée (5.11 ) est globalement stable de façon exponentielle. Principe de séparation : Nous avons vu précédemment que sous certaines hypothèses naturelles il est possible de construire une loi de stabilisation et un observateur du système (5.5). Dans cette section, nous montrerons un principe de séparation. Soit K une matrice de gain telle que le système (5.11) soit exponentiellement stable et L une matrice de gain choisie telle que le système (5.8) soit un observateur exponentiel de (5.5). Ainsi, on peut choisir les matrices de gain K et L pour que le système (5.12) soit exponentiellement stable.Exemples
Stabilité des systèmes impulsifs
Système de comparaison
Stabilité des systèmes linéaires impulsifs
Stabilité pratique exponentielle du système impulsif controlé à retard
Observabilité - Observateurs
Critères d'observabilité
Conception d'observateurs pour les systèmes impulsifs
