4.2 Stabilité des systèmes impulsifs
4.2.2 Stabilité des systèmes linéaires impulsifs
Nous revenons à nouveau aux systèmes linéaires impulsifs, pour citer quelques résultats de stabilité. Nous considérons dans cette section le système décrit par (4.3) en supposant que la matrice A(t) est continue et bornée pour tout t ≥ t0 et les matrices Dk sont uniformément bornées par rapport àk. Nous avons alors le résultat suivant.
Théorème 4.2.7. [68] Une solution du système (4.3) est
1. stable si et seulement si la résolvante X(t, t0) est bornée pour toutt≥t0, 2. asymptotiquement stable si et seulement si la résolvante du système vérie
t→lim+∞X(t, t0) = 0,
3. instable si et seulement si la résolvanteX(t, t0) est non bornée.
4.2.2.1 Généralisation du théorème de Perron
Depuis 1930 et grâce à Perron (voir [66]), il y avait un résultat de stabilité pour les équations diérentielles linéaires autonomes décrits par le système suivant.
˙
x(t) =A(t)x(t) (4.8)
avec A(t)une matrice dépendant continûment de la variable t. Ce théorème arme que Théorème 4.2.8 (Perron, [66]). Si, pour toute fonction bornée g, la solution issue de la condition initiale x(0) = 0 du système
˙
x(t) =A(t)x(t) +g(t)
est bornée, alors l'origine est un point d'équilibre uniformément asymptotiquement stable pour le système linéaire (4.8).
Ensuite, ce résultat a été étendu au cas des systèmes linéaires à retard (voir [42]).
Récemment, précisément en 2007, ce résultat a déjà été généralisé par Alzabut dans [2], mais cette généralisation a été faite dans le cadre des systèmes linéaires impulsifs avec retard. Or la présence d'un retard sur la partie discrète du système (la seconde équation de (4.3)) impose l'hypothèse d'inversibilité des matrices (I +Dk) et c'est en utilisant cette hypothèse que la démonstration de la généralisation du théorème de Perron est faite dans [2]. Dans notre cas, nous pouvons dénir une solution de (4.3) sans avoir à faire cette hypothèse d'inversibilité et nous donnons donc ci-dessous une démonstration de la généralisation du théorème de Perron aux systèmes (4.3) qui ne suppose pas l'inversibilité des matrices (I+Dk). Nous avons alors la dénition suivante.
Dénition 4.2.9. Nous dirons que le système (4.3) satisfait la condition de Perron si pour toute application f :R→Rn essentiellement bornée et toute suite bornée(β)k≥1 les solutions du système
˙
x(t) = A(t)x(t) +g(t), t∈[tk−1, tk),
∆x(tk) = Dkx(t−k) +βk, k∈N (4.9) issue de la condition initiale x(0) = 0 est bornée sur[0,+∞).
Avant d'énoncer le théorème principal de cette section, nous allons voir que l'on peut exprimer les solutions du système (4.9) à l'aide de la résolvante X(t, τ).
Supposons queτ ∈]ti−1, ti[et remarquons que, pour toutj≥iet toutt∈]tj, tj+1]nous avons
Φ(t, tj)(I+Dj)X(tj, τ) =X(t, τ). (4.10) Cette formule se montre aisément en revenant à la dénition de la résolvante X. De plus, il est facile de voir que pour tout triplet τ ≤µ≤t, nous avons
X(t, τ) =X(t, µ)◦X(µ, t).
Montrons maintenant que pour tout j≥i−1et tout t∈] max(τ, tj), tj+1], nous avons
x(t) =X(t, τ)x(τ) + Z t
τ
X(t, x)f(s) ds+ Xj
k=i
X(t, t−k)βk (4.11)
4.2. Stabilité des systèmes impulsifs 63 où la notation X(t, t−j) désigne la limite lim
t→tj
t<tj
X(t, tj)et où nous faisons la convention que
la somme Xj
k=i
ak est nulle, si i < k.
Nous allons raisonner par récurrence sur j, si j=i−1, pourt∈]τ, ti], nous avons x(t) = Φ(t, τ)x(τ) +
Z t
τ
Φ(t, s)f(s) ds
=X(t, τ)x(τ) + Z t
τ
X(t, s)f(s) ds par dénition deX.
La formule (4.11) est donc vraie à l'ordre i−1, supposons la vraie à l'ordre j et soit t∈]tj+1, tj+2], tout d'abord nous avons
x(t+j+1) = (I+Dj+1)x(tj+1) +βj+1
= (I+Dj+1)X(tj+1, τ)x(τ) + Z tj+1
τ
(I+Dj+1)X(tj+1, s)f(s) ds + (I+Dj+1)
Xj
k=i
X(tj+1, t−k)βk+βj+1
donc, pour t∈]tj+1, tj+2]: x(t) = Φ(t, tj+1)x(t+j+1) +
Z t
tj+1
Φ(t, s)f(s) ds
= Φ(t, tj+1)(I+Dj+1)X(tj+1, τ)x(τ) + Z tj+1
τ
Φ(t, tj+1)(I+Dj+1)X(tj+1, s)f(s) ds +
Xj
k=i
Φ(t, tj+1)(I +Dj+1)X(tj+1, t−k)βk+ Φ(t, tj+1)βj+1+ Z t
tj+1
Φ(t, s)f(s) ds
=X(t, τ)x(τ) + Z tj+1
τ
X(t, s)f(s) ds+ Xj
k=i
X(t, t−k)βk+ Φ(t, tj+1)βj+1+ Z t
tj+1
X(t, s)f(s) ds par dénition deX et en vertu de la formule (4.10)
=X(t, τ)x(τ) + Z t
τ
X(t, s)f(s) ds+
j+1X
k=i
X(t, t−k)βk.
Du fait que la formule (4.10) est vraie lorqu'on remplaceτ parti−1, le même raisonne- ment montre que la formule (4.11) est encore vraie si on y remplaceτ parti−1. En notant n(t)le plus petit index itel que ti≥t, la formule précédente peut se réécrire
x(t) =X(t, τ)x(τ) + Z t
τ
X(t, x)f(s) ds+
n(t)−1
X
k=n(τ)
X(t, t−k)βk Nous énonçons maintenant notre théorème :
Théorème 4.2.10. Supposons que les familles de matrices A(t)
t≥t0 et (Di)i≥0 soient bornées. Le système diérentiel impulsif (4.3) est uniformément asymptotiquement stable si et seulement si il vérie la condition de Perron.
Nous commençons par établir les majorations suivantes.
Lemme 4.2.11. Si le système (4.3) vérie la condition de Perron, il existe une constante K telle que l'on ait pour tout couple de réels (τ, t) tel que t0 ≤τ ≤t.
Z t
t0
kX(t, s)kds+ Xn(t)
k=n(τ)
kX(t, t−k)k ≤K.
Démonstration. Notons B l'ensemble des applications mesurables et essentiellement bor- nées de[t0,+∞[dansRn etℓ∞ l'ensemble des suites bornées de Rn; muni de la norme
k(f, β)k= sup
t≥t0
kf(t)k+ sup
k≥0kβkk
l'ensembleB ×ℓ∞est un espace de Banach. Considérons alors lesnfamilles d'applications linéaires (Uti)t≥t0 de B ×ℓ∞ dansRndénie par
Uti(f, β) = Z t
t0
X(t, s)f(s)
ids+ Xn(t)
k=n(t0)
X(t, t−k)βk
i
oùg(s)i désigne laiecomposante deg(s). Pour(f, β)xé, la condition de Perron implique l'existence d'une borned(dépendant de(f, β)) telle quekUt(f, β)k ≤dpour toutt≥t0, le théorème de Banach-Steinhaus implique alors l'existence deKi >0tel quekUtik ≤Ki pour toutt≥t0. Choisissons alors la fonctionf dénie parf(s) = 0 sis≥tet, pours∈[t0, t], fj(s) = signe(Xi,j(s)); choisissons aussi la suite (βi)i≥0 telle que βki = signe(Xi,j(t, t−k)).
Avec ce choix de (f, β)nous avons
Uti(f, β) = Z t
t0
Xn
j=1
|Xi,j(t, s)|ds+ Xn(t)
k=n(t0)
Xn
j=1
|Xi,j(t, t−k)| nous en déduisons que
Z t
t0
Xn
j=1
|Xi,j(t, s)|ds+
n(t)X
k=n(t0)
Xn
j=1
|Xi,j(t, t−k)| ≤2Ki pouri= 1, . . . , net tout t≥t0. puis, en faisant la somme de ces ninégalités que
Z t
t0
|Xi,j(t, s) 1ds+
Xn(t)
k=n(t0)
Xi,j(t, t−k) 1 ≤2
Xn
i=1
Ki,K pour tout t≥t0 où kAk1 = P
i,j|Ai,j|. Cette inégalité reste évidemment vraie pour toute autre norme choisie sur Rn×n en raison de l'équivalence des normes en dimension nie.
Le lemme suivant permet d'établir la stabilité uniforme de l'équilibre pour le système (4.3).
Lemme 4.2.12. Il existe une constante M > 0 telle que pour tout couple (t, τ) avec t0 ≤τ ≤t nous avons kX(t, τ)k ≤M.
4.2. Stabilité des systèmes impulsifs 65 Démonstration. Soit i ≥ 1 l'indice tel que τ ∈ [ti−1, ti[, nous avons X(t, τ) = X(t, t−i )◦ X(t−i , τ) donc
kX(t, τ)k ≤ kX(t, t−i )k kX(t−i , τ)k mais
kX(t, t−i )k ≤ Z t
t0
|Xi,j(t, s) 1ds+
Xn(t)
k=n(t0)
Xi,j(t, t−k) 1 ≤K
etX(t−i , τ) = Φ(ti, τ). Or si le système (4.3) vérie la condition de Perron, il est clair que le système linéaire continu (4.8) la vérie aussi et le théorème de Perron [66] permet alors d'armer l'existence d'une constante K′ (indépendante deτ,ti etttelle quekΦ(ti, τ)k ≤ K′. Nous pouvons donc écrire
kX(t, τ)k ≤K K′ ,M.
La conséquence de ce lemme est que, si t 7→ x(t) = X(t, τ)x(τ) est une solution du système (4.3) de condition initiale x(τ), nous avons
kx(t)k ≤ kX(t, τ)k kx(τ)k
≤Mkx(τ)k
ce qui prouve la stabilité uniforme de l'origine pour le système (4.3).
Nous terminons par un lemme qui démontre l'attractivité uniforme de l'origine pour le système (4.3).
Lemme 4.2.13. L'origine est un point d'équilibre uniformément attractif pour le système (4.3).
Démonstration. Soit x(t) = X(t, τ)x(τ) une solution du système (4.3). Nous pouvons écrire
x(t) =X(t, µ)◦X(µ, τ) pour tout µ∈[τ, t].
en intégrant les deux membres de cette égalité par rapport à µ sur l'intervalle[τ, t], nous obtenons
(t−τ)x(t) = Z t
τ
X(t, µ)◦X(µ, τ) dµ maiskX(µ, τ)k ≤M donc nous avons
(t−τ)kx(t)k ≤M Z t
τ kX(t, µ)kdµ
mais, d'après le lemme 4.2.11, l'intégrale gurant dans le second membre de cette inégalité est majorée par K, par conséquent, nous avons
(t−τ)kx(t)k ≤M K d'où
kx(t)k ≤ M K t−τ, ce qui prouve l'attractivité uniforme .
Dans la pratique il existe une grande classe de systèmes non linéaires qui sont modélisés par le système impulsif suivant :
˙
x(t) = Ax(t) +P(t)x(t), t∈[tk−1, tk),
∆x(tk) = Dkx(t−k) +Jkx(t), k∈N (4.12) avec A∈Rn×n, B ∈Rn×n, P(t)∈Rn×n est une matrice qui peut être continue ou conti- nue par morceaux pour tout t≥t0 etJk∈Rn×n est une matrice constante. Considérons aussi le système de référence suivant :
˙
x(t) = Ax(t), t∈[tk−1, tk),
∆x(tk) = Dkx(t−k), k∈N (4.13)
Nous avons un résultat qui assure la stabilité exponentielle du système (4.12) sous les conditions que le système (4.14) possède cette propriété et que les termes de perturbations P(t) etJk soient petits. Nous énonçons le théorème suivant.
Théorème 4.2.14. [84] Supposons que
les solutions du système de référence (4.14) sont exponentiellement stables.
il existeξ, il existe T etk∈N tels que,
kP(t)k< ξ, etkJkk< ξ pour k > K .
0< θ1 ≤tk+1−tk≤θ2, k∈N, si ξ est assez petit.
Alors, les solutions du système impulsif (4.12) sont exponentiellement stables.
Si dans un cas particulier, on considère le système linéaire autonome décrit par
˙
x(t) = Ax(t), t∈[tk−1, tk),
∆x(tk) = Dx(t−k), k∈N
x(t+0) = x0. (4.14)
D'après le corollaire 4.1.7, on a
X(t, t0) =eA(t−tk)j=1Y
j=k
(I+D)eA(tj−tj−1) .
D'après cette expression, il s'avère dicile de formuler une conclusion sur la structure et le comportement de la matrice X(t, t0) et par conséquent aussi sur la structure et le comportement des solutions du système (4.14), pour des matrices A etD arbitraires. En d'autres termes, il n'y a pas de plus élégante description des propriétés des solutions d'un système, en termes de valeurs propres de sa matrice, celle que nous avons pour un système d'équations diérentielles ordinaires. La raison en est que les solutions du système (4.14) ne sont pas réellement invariantes par rapport aux changements, vu la présence d'un eet impulsif aux instants tk. Et par suite, le système (4.14) n'est pas autonome. Toutefois, dans certains cas l'expression de la résolvante peut être simpliée et par suite, il sera
4.3. Stabilité pratique exponentielle du système impulsif controlé à retard multiple 67