HAL Id: hal-00423607

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Comportement asymptotique à haute conductivité de l’épaisseur de peau en électromagnétisme

Monique Dauge, Erwan Faou, Victor Péron

To cite this version:

Monique Dauge, Erwan Faou, Victor Péron. Comportement asymptotique à haute conductivité de

l’épaisseur de peau en électromagnétisme. Comptes Rendus. Mathématique, Académie des sciences

(Paris), 2010, 348 (7-8), pp.385-390. �10.1016/j.crma.2010.01.002�. �hal-00423607�

Comportement asymptotique `a haute conductivit´e de l’´epaisseur de peau en ´electromagn´etisme

Monique DAUGE

, Erwan FAOU

, Victor P ´ ERON

aIRMAR, Universit´e de Rennes1, Campus de Beaulieu, F-35042Rennes Cedex, France

bINRIA, Projet Ipso, ENS Cachan Bretagne, Avenue Robert Schumann, F-35170Bruz Cedex, France

cIRMAR, Universit´e de Rennes1, Campus de Beaulieu, F-35042Rennes Cedex, France

R´esum´e

On ´etudie un mod`ele tridimensionnel d´ecrivant l’effet de peau en ´electromagn´etisme. On commence par donner un d´eveloppe- ment asymptotique multi-´echelle de la solution des ´equations de Maxwell en r´egime harmonique pos´ees dans un domaine form´e de deux mat´eriaux, l’un di´electrique et l’autre fortement conducteur, avec une interface r´eguli`ere entre les deux. Afin de mesurer l’effet de peau on introduit une fonction “´epaisseur de peau” d´efinie sur l’interface, ce qui g´en´eralise la quantit´e scalaire classique. On donne alors un d´eveloppement asymptotique `a haute conductivit´e pour cette fonction, ce qui met en

´evidence l’influence de la g´eom´etrie de l’interface sur l’´epaisseur de peau.

Abstract

Asymptotic behavior at high conductivity of skin depth in electromagnetism

We study a three-dimensional model for the skin effect in electromagnetism. We first give a multiscale asymptotic expansion for the solution of the harmonic Maxwell equations set on a domain made of two materials, dielectric and highly conducting, with a regular interface between them. To measure the skin effect, we introduce a suitable skin depth function defined on the interface and generalizing the classical scalar quantity. We then prove an asymptotic expansion at high conductivity for this function, which exhibits the influence of the geometry of the interface on the skin depth.

Abridged English version Several works are devoted to asymptotic expansions at high conductivity of the elec- tromagnetic field(E,H), solution of the Maxwell system

(∗) curlE−iωµ0H= 0 and curlH+ (iωε0−σ)E=j

Email addresses:monique.dauge@univ-rennes1.fr(Monique DAUGE),Erwan.Faou@inria.fr(Erwan FAOU), victor.peron@univ-rennes1.fr(Victor P ´ERON).

with complementing boundary conditionswhen the interfaceΣis smooth: see [10,6,7] for plane interface and eddy current approximation, [4] for impedance boundary conditions and [9,1] for insulating and perfectly conducting boundary conditions. Here,µ0is the magnetic permeability,ε0the electric permittivity,ωthe angular frequency,j represents a current density, andσthe electrical conductivity. We assume that these equations are set in a domain Ωmade up of two subdomainsΩ+andΩ−in which the coefficientσtake two different values(σ+= 0, σ−≡σ).

We suppose that the interfaceΣbetweenΩ+andΩ−is an oriented smooth compact surface and thatΣ =∂Ω−. Let(yα, y3)be a localnormal coordinate system to the surfaceΣin a tubular neighborhoodU⁻ ofΣin the conductor partΩ⁻. Here,yαdenote local coordinates onΣandy3=his the distance toΣ, see [8,2]. It is possible to construct series expansions in powers ofδ = p

ωε0/σ for the electromagnetic field solution of problem (*) denoted by(E⁺_(δ),H⁺_(δ))inΩ+and(E⁻_(δ),H⁻_(δ))inΩ⁻:

E⁺_(δ)(x)≈X

j>0

δ^jE⁺_j (x), E⁻_(δ)(x)≈X

j>0

δ^jE⁻_j (x;δ) and H⁺_(δ)(x)≈X

j>0

δ^jH⁺_j(x), H⁻_(δ)(x)≈X

j>0

δ^jH⁻_j(x;δ)

with E⁻_j(x;δ) =χ(y3)W_j(yβ,y3

δ) and H⁻_j (x;δ) =χ(y3)V_j(yβ,y3

δ ).

The functiony7→χ(y3)is a smooth cut-off with support inU⁻and equal to1in a smaller tubular neighborhood ofΣ. We derive explicitly the first profilesW₀,W₁,W₂,V₀, andV₁. This result extends previous works about skin effectpresented in [6,7,10]. Here,W_j = (Wα,j, wj)is a1-form field inU⁻, andV_j = (Vj^α, vj)is a vector field inU⁻. Tensorial calculus is performed by means of anormal parameterizationof the intrinsic curl operator, see [9],

(∇ ×E)^α=ǫ^3βα(∂₃^hEβ−∂βE3) and (∇ ×E)³=ǫ^3αβD^h_αEβ on Σh.

Here,ǫis the Levi-Civita tensor, see [5,3],D^h_αis thecovariant derivativeonΣh, which is the surface contained in Ω⁻at a distancehofΣ.

The surface componentsW^αare distinct from those given in [4] which we denote here byWf^α. Actually these components are defined in distinct bases and are similar modulo theshifter, cf. [2,§2.D]: We haveWα(h)dy^α(h) = Wf^α(h)dy^α(0), with

Wf^α=W^α−h b^β_αW^β and W^α=X

n>0

hⁿ(bⁿ)^β_αWf^β,

wheredy^α(h)anddy^α(0)are the local bases of the cotangent planes onΣhandΣ = Σ0⊂R³respectively. Here, b^β_α =a^βσbσα(with the summation convention of repeated indices) and(bⁿ)^β_α=b^β_ν1b^ν_ν¹2· · ·b^ναⁿ⁻¹, wherea^βσ and bσαare the inverse of the metric and curvature tensor onΣrespectively.

In a one-dimensional model, whenΩ− is a half-space, the classical skin depthparameter is given byℓ(σ) = p2/ωµ0σ. In our situation, we extend this definition and introduce a characteristic and intrinsic lengthL(σ, yα) as the length where the field has decreased of a fixed rate, see Definition 4.1. This lengthL(σ, yα)depends on the conductivityσand each point in the interfaceΣ, and has the following behavior at high conductivity:

L(σ, yα) =ℓ(σ)

1 +H(yα)ℓ(σ) +O(σ⁻¹)

, σ→ ∞, whereHis themean curvatureof the surfaceΣ.

1. Introduction

On s’int´eresse aux ´equations de Maxwell harmoniques donn´ees par les lois de Faraday et Maxwell-Amp`ere d´eterminant le champ ´electromagn´etique(E,H)

rotE−iωµ0H= 0 et rotH+ (iωε0−σ)E=j. (1) 2

Iciσrepr´esente la conductivit´e ´electrique,ωla fr´equence angulaire,ε0 la permittivit´e ´electrique du vide,µ0 la perm´eabilit´e magn´etique du vide etjune source de courant. On suppose que ces ´equations sont pos´ees dans un domaineΩconstitu´e de deux sous-domainesΩ+etΩ−dans lequel le coefficientσprend deux valeurs diff´erentes (σ+, σ−). On suppose que∂Ω⊂∂Ω+et on consid`ere la condition de l’isolant parfait sur∂Ω

E·n= 0 et H×n= 0, (2) o`u nest la normale sortante sur ∂Ω. La r´esolubilit´e des ´equations (1)-(2) ainsi que des estimations uniformes d’´energie ou de r´egularit´e lorsqueσ+= 0(mat´eriau isolant ou di´electrique) etσ− ≡σtend vers l’infini (mat´eriau fortement conducteur) sont ´etudi´ees dans [1] lorsque l’interfaceΣ = ∂Ω− est Lipschitz et pour une donn´eej∈ H0(div,Ω) ={u∈L²(Ω) = L²(Ω)³| divu∈L²(Ω)etu·n= 0 sur∂Ω}.

Dans la suite, on suppose que l’interfaceΣest une surface compacte orientable de classeC^∞et on note nla normale surΣrentrante dansΩ−.

En particulier, on peut d´efinir localement descoordonn´ees normales(voir [8,2]) : soityα un syst`eme de co- ordonn´ees locales surΣety3la coordonn´ee normale repr´esentant la distance `aΣ. Alorsy = (yα, y3)sont des

“coordonn´ees normales” `a la surfaceΣdans un voisinage tubulaireU<sup>−</sup>deΣdans le conducteurΩ−. On introduit le petit param`etre

δ=p ωε0/σ .

Ainsi,δtend vers0 lorsqueσ → ∞. Dans ce cadre d’´etude, on peut calculer un d´eveloppement en puissances deδde la solution du probl`eme (1), voir le paragraphe 2. On compare ce d´eveloppement avec celui issu de [4]

et obtenu par des calculs diff´erentiels diff´erents, voir le paragraphe 3. Enfin, le but de cette note est de pr´eciser le comportement de l’´epaisseur de peauL(σ, yα)`a la surface du conducteurΩ⁻lorsqueδ→0, voir le paragraphe 4.

On noteaαβle tenseur m´etrique surΣetbαβle tenseur de courbure dans un syst`eme de coordonn´ees locales.

La m´etrique permet de monter et descendre les indices. On note ainsib^β_α =a^βσbσα, o`u la r´ep´etition des indices covariants et contravariants correspond `a la contraction des tenseurs, voir [8,2].

2. D´eveloppement asymptotique

Soitj∈H0(div,Ω)tel quej= 0dansΩ⁻. Sous l’hypoth`ese queωn’est pas une fr´equence propre du probl`eme limite pos´e dansΩ+ lorsqueδ → 0(voir [1,9]), il existeδ0 > 0tel que pour toutδ 6 δ0, le probl`eme (1)-(2) admet une unique solution(E<sub>(δ)</sub>,H<sub>(δ)</sub>) ∈L<sup>2</sup>(Ω)<sup>2</sup>. De plus,(E<sub>(δ)</sub>,H<sub>(δ)</sub>)admet un d´eveloppement asymptotique multi-´echelle `a tout ordre en puissances deδ,(E⁺_(δ),H⁺_(δ))dansΩ+et(E⁻_(δ),H⁻_(δ))dansΩ⁻:

E⁺_(δ)(x)≈X

j>0

δ^jE⁺_j(x) et H⁺_(δ)(x)≈X

j>0

δ^jH⁺_j(x), (3)

E⁻_(δ)(x)≈X

j>0

δ^jE⁻_j(x;δ) avec E⁻_j(x;δ) =χ(y3)W_j(yβ,y3

δ), (4)

H⁻_(δ)(x)≈X

j>0

δ^jH⁻_j(x;δ) avec H⁻_j(x;δ) =χ(y3)Vj(yβ,y3

δ), (5)

o`u, d’apr`es l’hypoth`ese spectrale surω,(E<sup>+</sup><sub>0</sub>,H<sup>+</sup><sub>0</sub>)est l’unique solution du probl`eme











rotE⁺₀ −iωµ0H⁺₀ = 0 et rotH⁺₀ +iωε0E⁺₀ =j dans Ω+

E⁺₀ ×n= 0 et H⁺₀ ·n= 0 sur Σ E⁺₀ ·n= 0 et H⁺₀ ×n= 0 sur ∂Ω

et dans la variableY3=δ⁻¹y3, lesprofilsW_jetV_jsont d´efinis surΣ×R+et satisfont W_j(yβ, Y3)→0 et V_j(yβ, Y3)→0 lorsque Y3→ ∞.

Dans (4), la fonctiony 7→χ(y3)est une fonction de troncature r´eguli`ere `a support dansU⁻et ´egale `a1dans un voisinage deΣdansU<sup>−</sup>. Dans un syst`eme decoordonn´ees normales, on noteWα,j les composantes surfaciques deW_j, vu comme un champ de1-formes, etwjsa composante normale de sorte queW_j = (Wα,j, wj). On note aussiVj^αles composantes surfaciques deVj, vu comme un champ de vecteurs, etvjsa composante normale. Dans la suite, on ´etend le syst`eme de coordonn´ees normales `aU⁺, un voisinage tubulaire deΣdansΩ+. On note enfin j_α,k(yβ) :=λ⁻¹(rotE⁺_k ×n)α(yβ,0)pourk= 0,1etλ=κ e^−iπ/4(κ=ω√ε0µ0est le nombre d’onde). On a

W₀(yβ, Y3) = 0, (6)

W^α,1(yβ, Y3) =−j_α,0(yβ) e^−λY3 et w1= 0, (7) W^α,2(yβ, Y3) =h

−jα,1+ λ⁻¹+Y3

b^σ_αjσ,0− Hjα,0i

(yβ) e^−λY3 (8) et w2(yβ, Y3) =−λ⁻¹Dαj^α₀(yβ) e^−λY3,

voir [9], o`uH = <sup>1</sup><sub>2</sub>b<sup>α</sup><sub>α</sub> est la courbure moyenne de l’interfaceΣet o`u Dαest la d´eriv´ee covariante sur Σ. La composante surfacique du terme d’ordre3est aussi calcul´ee dans [9].

On calcule ensuite lesprofilsV_j de (5) `a partir de la premi`ere ´equation de (1) ´ecrite en param´etrisation nor- male et desprofilsW_j. L’op´erateur rotationnel en param´etrisation normale admet la d´ecomposition suivante en composantes contravariantes, voir [9]

(∇ ×E)^α=ǫ^3βα(∂₃^hEβ−∂βE3) et (∇ ×E)³=ǫ^3αβD^h_αEβ sur Σh. (9) IciD_α^hest la d´eriv´ee covariante surΣh, surface moyenne de hauteurh:=y3par rapport `aΣdans le conducteur ; ǫest le tenseur de Levi-Civita, voir [5,3], dont les composantes contravariantesǫ<sup>ijk</sup>d´ependent dehet s’expriment dans un syst`eme decoordonn´ees normales

ǫ^ijk= q

det aαβ(h)⁻¹

ǫ0(i, j, k),

o`uaαβ(h)d´esigne le tenseur m´etrique sur la vari´et´eΣh, les indicesi, j, k ∈ {1,2,3}etǫ0(i, j, k) = 1si(i, j, k) est une permutation circulaire directe, ǫ0(i, j, k) = −1 si (i, j, k) est une permutation circulaire indirecte et ǫ0(i, j, k) = 0sinon.

Remarque 1 D’apr`es[8,2], on a

aαβ(h) =aαβ−2bαβh+b^γ_αbγβh², (10) donc, sia= det(aαβ), il vient (voir[9])

ǫ^ijk=√

a⁻¹ 1−2Hh+O(h²)

ǫ0(i, j, k).

Apr`es le changement d’´echelleh = δY3 puis d´eveloppement selon les puissances deδdes ´equations (9), on d´eduit des d´eveloppements (3) et (4) l’expression des premiers termes du d´eveloppement (5) en champ magn´etique (calculs contravariants) :

V₀(yβ, Y3) =h₀(yβ) e^−λY3, (11) o`uh₀(yβ) = (n×H⁺₀)×n(yβ,0)est la composante tangentielle du termeH⁺₀, et sih^α_j(yβ) := (H⁺_j)^α(yβ,0),

V1^α(yβ, Y3) =h

h^α₁ +Y3 Hh^α₀ +b^α_σh^σ₀i

(yβ) e^−λY3, (12)

v1(yβ, Y3) =λ⁻¹Dαh^α₀(yβ) e^−λY3. (13) On peut calculer les composantes covariantesVα,1en utilisant le d´eveloppement (10) de la m´etrique et les termes V0^αetV1^α. Sih_α,j(yβ) := H⁺_j

α(yβ,0), il vient Vα,1(yβ, Y3) =h

h_α,1+Y3 Hh_α,0−b^σ_αh_σ,0i

(yβ) e^−λY3.

4

3. Comparaison avec les r´esultats issus de [4]

On compare dans ce paragraphe les premiers termesprofils(7), (8), (11) et (12) avec ceux qu’on noteWfα,1, Wfα,2,Ve₀ etVe₁, issus des formules (5.23), (5.27), (5.28) dans [4] pour une ´etude analogue des ´equations (1) et une condition au bord d’imp´edance. Les termesVe0 etWf^α,1 sont coh´erents avec (11) et (7) respectivement.

Cependant des termes suppl´ementaires de courbureb^α_σ apparaissent dans les expressions (12) et (8) par rapport `a leurs homologuesVe1<sup>α</sup>etWfα,2. De fait les termesWfαetWαsont les composantes d’un mˆeme champ de 1-forme surΣhvu comme champ deR<sup>3</sup>mais calcul´es dans des bases diff´erentes. On aW<sup>α</sup>(h)dy<sup>α</sup>(h) =Wf<sup>α</sup>(h)dy<sup>α</sup>(0)o`u dy^α(h)etdy^α(0)sont des bases locales des plans cotangent (parall`eles) `aΣhetΣ = Σ0⊂R³respectivement. Le lien entre ces deux composantes est donn´e par leshifter, voir [8] et [2,§2.D], et on a

Wf^α=W^α−h b^β_αW^β et W^α=X

n>0

hⁿ(bⁿ)^β_αWf^β, o`u(bⁿ)^β_α=b^β_ν1b^ν_ν¹2· · ·b^ναⁿ⁻¹avec la convention(b⁰)^β_α=δ_α^β.

4. D´eveloppement asymptotique de l’´epaisseur de peau

Dans un mod`ele 1D de l’effet de peauo`u le conducteur est mod´elis´e par le demi-espacez >0, l’amplitude du champ ´electrique en tant qu’onde plane s’´ecrit :

kE(z)k=E0e^−z/ℓ(σ),

o`uE0∈Ret la quantit´eℓ(σ)r´ef´erenc´ee dans la litt´erature comme´epaisseur de peauest ℓ(σ) =p

2/ωµ0σ .

Remarque 2 Les quantit´esℓ(σ)etδsont li´ees par la relationℓ(σ) =δ/Reλ.

Afin de d´efinir l’´epaisseur de peauassoci´ee `a notre mod`ele 3D pour une donn´eej, on d´efinit, `a partir du champ magn´etique

V_(δ)(yα, y3) :=H⁻_(δ)(x), yα∈Σ, 0≤y3< h0 (h0>0assez petit).

D´efinition4.1 Soit Σ une surface r´eguli`ere etj une donn´ee du probl`eme(1)telles que pour toutyα dans Σ, kV_(δ)(yα,0)k 6= 0. L’´epaisseur de peau est la quantit´eL(σ, yα)d´efinie surΣayant la plus petite valeur r´eelle positive telle que

kV_(δ) yα,L(σ, yα)

k=kV_(δ)(yα,0)ke⁻¹. (14) Remarque 3 D’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires,L(σ, yα)est bien d´efinie et est intrins`eque.

Le th´eor`eme suivant pr´ecise le comportement de l’´epaisseur de peauL(σ, yα)`a haute conductivit´eσen tout pointyαde l’interfaceΣ.

Th´eor`eme 4.2 SoitΣune surface r´eguli`ere de courbure moyenneH. On suppose queh₀(yα)6= 0. L’´epaisseur de peauL(σ, yα)admet le d´eveloppement asymptotique suivant

L(σ, yα) =ℓ(σ)

1 +H(yα)ℓ(σ) +O(σ⁻¹)

, σ→ ∞. (15)

PREUVE. La d´emonstration est effectu´ee par des calculs contravariants sur le champV(δ)d´efini parV(δ)(yα, Y3) :=

V_(δ)(yα, y3). D’apr`es (5), on a

V(δ) = V0^α,0

+δ V1^α, v1

+O(δ²). Par d´efinition du module d’un champ de vecteurs il vient :

kV(δ)k²=aαβ(h)V0^αV0^β+ 2δ aαβ(h) ReV0^αV1^β+O(δ²)

D’o`u en d´eveloppant la m´etrique, voir (10), puis en utilisant (11) et (12) kV(δ)k²= (aαβ−2δY3bαβ)V0^αV0^β+ 2δ aαβReV0^αV1^β+O (δ+y3)²

=h

kh₀k²−2δY3bαβh^α₀h^β₀ + 2δ aαβReh^α₀

h^β₁ +Y3 Hh^β₀+b^β_σh^σ₀

+O (δ+y3)²i

e^{−2 Re(λ)Y3}

=h

kh₀k²+ 2δRehh₀,h₁i+ 2δY3H kh₀k²+O (δ+y3)²i

e^{−2 Re(λ)Y3}. Commeh₀(yα)6= 0, on peut d´efinirm(yα, y3;δ)de fac¸on que

kV_(δ)(yα, y3)k²=kh0(yα)k²m(yα, y3;δ). D’apr`es l’identit´e ci-dessus, on a

m(yα, y3;δ) =h

1 + 2δkh₀(yα)k⁻²Re

h₀(yα),h₁(yα)

+ 2y3H(yα) +O (δ+y3)²i

e^{−2y3Re(λ)/δ}, et, ainsi

m(yα,0;δ) = 1 + 2δkh₀(yα)k⁻²Re

h₀(yα),h₁(yα)

+O δ² . Par d´efinition deL(σ, yα), on a

m yα,L(σ, yα);δ

/m(yα,0;δ) = e⁻².

Par un d´eveloppement asymptotique enδ, on en d´eduit (15).

Remarque 4 (i) Si on pose

W_(δ)(yα, y3) :=E⁻_(δ)(x), yα∈Σ, 0≤y3< h0,

on peut d´efinir une ´epaisseur de peau similairement `a(14)`a partir du champ ´electriqueW_(δ). On peut montrer le mˆeme d´eveloppement asymptotique(15)pour cette nouvelle ´epaisseur de peau.

(ii) Si on pousse plus loin le d´eveloppement asymptotique deL(σ, yα)on trouve des termes qui d´ependent du second membre du probl`eme(1)et non plus seulement de la courbure moyenne du bord du conducteur.

R´ef´erences

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