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Submitted on 1 Jan 1990
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MODÉLISATION DU RAYONNEMENT OU DE LA DIFFRACTION ACOUSTIQUE DE
TRANSDUCTEURS BASSE FRÉQUENCE À L’AIDE DE LA MÉTHODE DES ÉQUATIONS INTÉGRALES
A. Lavie, B. Hamonic, J. Decarpigny, D. Boucher
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A. Lavie, B. Hamonic, J. Decarpigny, D. Boucher. MODÉLISATION DU RAYONNEMENT OU DE
LA DIFFRACTION ACOUSTIQUE DE TRANSDUCTEURS BASSE FRÉQUENCE À L’AIDE DE
LA MÉTHODE DES ÉQUATIONS INTÉGRALES. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2),
pp.C2-341-C2-344. �10.1051/jphyscol:1990282�. �jpa-00230704�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C2, supplément au n°2, Tome 51, Février 1990 1er Congrès Français d'Acoustique 1990
C2-341
MODÉLISATION DU RAYONNEMENT OU DE LA DIFFRACTION ACOUSTIQUE DE TRANSDUCTEURS BASSE FRÉQUENCE À L'AIDE DE LA MÉTHODE DES ÉQUATIONS INTÉGRALES
A. LAVIE, B. HAMONIC, J.N. DECARPIGNY et D. BOUCHER*
Laboratoire d'Acoustique, VRR 253 CNRS, Institut Supérieur d'Electronique du Word, 41 Boulevard vauban, F-59046 Lille Cedex, Franc©
'Groupe d'Etude et de Recherche en Détection Sous-Marine, D.C.A.W.
Toulon, Le Brusc, F-83140 Six-Fours les Plages, France
Résumé - La méthode des équations intégrales peut s'appliquer avantageusement à la résolution de problêmes de rayonnement ou diffraction acoustique par une structure tridimensionnelle de formé complexe dans le domaine des basses et moyennes fréquences.
A cet effet, un code de calcul EQI a été développé. Son application à la modélisation du rayonnement d'un projecteur unidirectionnel est effectuée. Enfin, la résolution du problème d'interaction dans une antenne composée de plusieurs de ces transducteurs est présentée.
Abstract - The integral equation method can be used efficiently to solve problems of acoustic radiation and scattering by a complex three-dimensional structure in the low on mid frequency range. To this end, we designed and developped the EQI code. Its use for modeling the radiation of a directive projector is presented. Finally, the solution for the interaction problem involving an antenna composed of several transducers is described.
I - INTRODUCTION
En Acoustique sous-marine, le développement d'antennes d'émission de très basse fréquence (100 Hz à 1 kHz) implique, d'une part, la conception de nouveaux transducteurs et, d'autre part, la maîtrise des phénomènes d'interaction entre transducteurs /l/. Pour modéliser ces transducteurs, différentes approches numériques sont possibles dont la méthode des équations intégrales, qui permet de prendre en compte aisément là partie acoustique du problème, la partie structure étant traitée, elle, à l'aide des éléments finis /2/. Cet article décrit succinctement le code EQI, qui autorise la modélisation du rayonnement ou de la diffraction d'une onde acoustique par une structure tridimensionnelle à l'aide de la représentation de Helmholtz extérieure et résoud le problème des fréquences irrégulières à l'aide de la méthode de champ nul /3.V. Il présente ensuite les résultats obtenus pour un projecteur autodirectif spécifique et les comparent aux mesures. Enfin, il introduit un problème de conception d'antenne.
S - LE CODE EQI
La méthode des équations intégrales, et plus précisément la représentation de Helmholtz extérieure, est particulièrement bien adaptée à la modélisation du rayonnement ou de la diffraction d'une onde acoustique par une structure dont les dimensions sont comparables à la longueur d'onde. Dans cette optique, le code EQI s'applique à des structures tridimensionnelles de forme géométrique quelconque et, s'il y a lieu, prend en compte tout type de symétrie par rapport à un, deux ou trois plans orthogonaux. Pour certaines fréquences, dites irrégulières, la méthode fournit théoriquement une infinité de solutions. L'unicité des solutions est alors assurée par la méthode de Jones /5/, qui consiste à surdéterminer le système final d'équations intégrales discrétisées par des équations supplémentaires de champ nul. Le système .ainsi surdéterminé est résolu par une méthode de moindres carrés. Comparativement à la méthode de Schenck /6/, cette technique présente l'avantage de fournir une condition suffisante sur le nombre d'équations de champ nul garantissant l'unicité du système /3/. En régime stationnaire, la formulation intégrale d'un problème de rayonnement est :
(D
où r est la surface de la structure, r le point d'application de l'équation intégrale, r'
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990282
C2-342 COLLOQUE DE PHYSIQUE
le point courant. de' l'élément de surface, p la pression. g la fonction de Green associée B l'espace infini, cr l'angle solide, a/anq la dérivée normale à
r
au point 2' et Sl, levolume fluide. LE discrétisation est réalisée par des éléments isoparamétriques de surface et des fonctions d'interpolation quadratiques qui décrivent les variations de la géométrie, de la pression et de sa dérivée normale sur chaque élément, cette discrétisation conduit à
un système carré dont les inconnues sont les pressions nodales (p) :
où [A] est la matrice obtenue après intégration des fonctions ag(g,c')/an', (b) le vecteur résultant du produit de la matrice obtenue après intégration des fonctions g(z.r') avec les dérivées normales de la pression aux noeuds de T. Dans l'hypothèse de la présence d'une fréquence irrégulière, caractérisée par la nullité du déterminant de la matrice [A], les équations supplémentaires de champ nul sont :
où les sont les fonctions d'ondes sphériques divergentes. M correspondant. d'après le critère de Jones, au numéro de la Mième fréquence irréguli8re. La pression est alors décomposée en série de Fourier et. après discrétisation. le système obtenu est :
où [LI est la matrice obtenue après intégration des fonctions ae(r)/an. (a) le vecteur des coefficients de la décomposition de la pression en serie de Fourier. (f) le vecteur résultant du produit de la matrice obtenue aprés intégration des fonctions *i(g) avec les dérivées normales de la pression aux noeuds de T. Dans le cadre du couplage avec les équations intégrales, les coefficients de (a) sont enfin exprimés en fonction des pressions nodales.
Le projecteur étudié est de la forme d'un cylindre à section quasi-elliptique dont la surface parlante est limitée pratiquement B l'une des deux surfaces latérales, le reste de la structure étant rigide. La hauteur totale du cylindre est de 0.57 m et lapctiop elliptique présente un grand axe et un petit axe de longueurs respectives 0.48 m et 0.21 m.
Une analyse modale par éléments finis a permis de mettre en évidence un déplacement de forme globalement parabolique. De plus, de nombreux calculs de rayonnement efectués par le code EQI ont montré une certaine insensibilité du comportement acoustique en champ lointain au type de déplacement envisagé. Un déplacement parabolique sur la partie active a donc été considéré. Le problème admettant deux plans de symétrie, le maillage de la surface se limite à un quart de celle-ci et est schématisé par projection dans les deux plans de coupe XOY et XOZ sur la figure 1, l'origine étant localisée au centre de symétrie du cylindre.
A
figure 1
La partie active est contenue dans la partie centrale délimitée en trait épais après projection sur le plan XOZ. Le déplacement est tel que, sur la surface parlante. il est
fonction de la coordonnée X, maximum en X = O et nul sur le trait &pais vertical. Le maillage est composé de 85 noeuds et de 24 éléments : 2 triangles B 6 noeuds et 22 quadrangles B 8 noeuds. Un tel maillage vérifie le critére en X/4 jusqu'8 3 kHz.
Un rapide calcul des fréquences irréguliéres du cylindre circonscrit la surface du transducteur montre qu'aucune fréquence irrégulière n'est présente dans la gamme des fréquences utiles comprises entre approximativement 1000 Hz et; 3000 Hz. L'emploi de la représentation de Helmholtz extérieure est ainsi tout B fait justifié. sans couplage avec la méthode de champ nul. Les excellents résultats obtenus lors du test classique de la source ponctuelle confirment la validité de notre modèle. Disposant des mesures de directivité en gisement (XOY) et en site (YOZ) quelques fréquences et. en particulier B la fréquence de 2600 Hz, les résultats sont illustrés sur la figure 2 par les diagrammes de directivité calculés B cette fréquence. Pour cela, les courbes de directivité calculée. en traits pointillés, et expérimentale, en trait plein, sont juxtaposées après ajustement sur le niveau d'émission maximum.
-.
figure 2
Ces courbes sont tracées avec un pas de directivité de 5'. On observe un très bon accord d' ensemble, les faibles écarts de recouvrement étant dQs vraisemblablement B l'hypothése sur la forme- du deplacement et aux incertitudes de mesures. L'obtention de la courbe calculée a nécessité un temps de calcul total de 40 s sur un ordinateur IBM 4341 mod5le 2.
IP
-
ETUDE D'UNE ANTENNEDe façon à optimiser la directivité obtenue en utilisent un transducteur, l'étude d'une antenne composée de deux colonnes de trois transducteurs élémentaires dont on fait
l'angle a éte réalisée. Les figures 3 et 4 présentent respectivement les résultats
; : :
? 6 e
s angles de 20. et 60. B 2 kHz.
figure
3
COLLOQUE DE PHYSIQUE
figure 4
ZL
-
CONCLUSIONDans cet article. le code équations intégrales EQI a d'abord permis la modélisation du rayonnement d'un projecteur unidirectionnel. Ensuite. il a contribué B optimiser une antenne composée de plusieurs de ces transducteurs en ajustant la forme géométrique aux
performances acoustiques requises. Ces différents calculs. constituent une étape importante de la validation de la méthode et élargissent considérablement le champ d'applications du code EQI.
Références
/1/ D. BOUCHER, "Trends and problems in low frequency Sonar projectors design", Proceedings of the International Workshop on Power Sonic and Ultrasonic Transducer Design. Springer Veriag Ed. (1988).
/2/ B. HAMONIC, "Application of the finite element method to the design of power piezoelectric Sonar transducersi', Proceedings of the International Workshop on Power Sonic and Ultrasonic Transducer Design, Springer Verlag Ed. (1988).
/3/
B. STUPFEL. A. LAVIE, J.N. DECARPIGNY. "Combined integral equation formulation and null-field method for the exterior acoustic problem", J. Acoust. Soc. Am.,81,
927-941( 1988)
.
/4/ A. LAVIE. "Modélisation du rayonnement ou de la diffraction acoustique par une méthode mixte équations intégrales-champ nul". Thése de Doctorat. Université des Sciences et Techniques de Lille (1989).
/5/ D.S. JONES. "Integral equations for the exterior acoustic problem". Q. J. Mech. Appl.
Math.. XXSüI, 129-142 (1973).
/6/ H.A. SCHENCK, "Improved integral formulation for acoustic radiation problem". J.
Acoust. Soc. Am. 44, 41-58 (1967).
