HAL Id: jpa-00236739

HAL Id: jpa-00236739

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00236739

Submitted on 1 Jan 1962

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire

HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Quelques remarques sur les systèmes thermodynamiques de Boltzmann et les invariants adiabatiques

Francis Fer

To cite this version:

Francis Fer. Quelques remarques sur les systèmes thermodynamiques de Boltzmann et les invariants adiabatiques. J. Phys. Radium, 1962, 23 (12), pp.973-978. �10.1051/jphysrad:019620023012097300�.

�jpa-00236739�

973.

QUELQUES REMARQUES ^{SUR LES} SYSTÈMES THERMODYNAMIQUES DE BOLTZMANN ET LES

INVARIANTS

ADIABATIQUES

Par FRANCIS

FER,

Laboratoire Joliot-Curie de Physique Nucléaire, Orsay.

(Institut ^{Henri Poincaré,} Paris).

Résumé. ²⁰¹⁴ Il existe deux sortes de démonstrations de l’invariance adiabatique, l’une relevant de la Mécanique rationnelle, l’autre de la Thermodynamique ^et passant par la formule de Boltz-

mann. L’identité, pourtant nécessaire, des deux méthodes, n’apparaît ^pas toujours ^très clairement,

et la présente ^{note a} pour objet ^de préciser ^les hypothèses physiques qui ^{sont à la base de l’une et}

de l’autre et d’en faire ainsi ressortir le lien.

Abstract. ²⁰¹⁴ There exist two sorts of proofs of the adiabatic invariance, ^{the first} deriving ^from

the basis of mechanics, the second from thermodynamical theory ^and using Boltzmann’s formula.

The identity, obviously necessary, of the ^two methods, ^{is not} always perfectly clear, and this paper aims at stating precisely ^the physical hypotheses ^{which are at} the basis of both them, ^{and how} they ^{are related one to another.}

PHYSIQUE 23, 1962,

Les récents travaux de M. L. de

Broglie [1]

^sur

l’unification du

principe

de maximum de l’entro-

pie

^{et du}

principe

^{de minimum de}

l’intégrale

^d’ac-

tion ont ramené l’attention sur la théorie méca-

nique

^{de la}

thermodynamique.

J’ai été ainsi con-

duit,

^{au cours} de l’année

1961-1962,

à réfléchir sur

la formule de Boltzmann et la théorie des inva- riants

adiabatiques,

^{et à tenter une mise au}

point que je livre,

^{sur la}

suggestion

de M. L. de

Broglie,

à la

publication.

Cette tentative

peut surprendre

^à

première

^vue.

Il est en effet admis

généralement

que ^cette théorie est

parfaitement assise,

^et elle l’est en

effet,

^{si l’on}

n’en considère que le seul formalisme. Il n’en subsiste _pas

moins,

^{à une lecture}

attentive, plu-

sieurs

points obscurs,

^que

j’examinerai

^{en détail}

plus bas,

mais que

j’énumère

brièvement ici :

quelles

^{sont les}

hypothèses

^{exactes faites sur les}

forces de

liaison,

et comment se combinent-elles

avec

l’hypothèse

de réversibilité pour fixer les pro-

priétés particulières

des transformations réver- sibles ?

Pourquoi

^les démonstrations

purement mécaniques

de l’invariance

adiabatiques

^font-elles

appel

^{à une}

hypothèse

d’incohérence ^de

phase

entre les forces de liaison ^et les mouvements in-

ternes, alors que la démonstration

thermodyna- mique

^{se passe de cette}

hypothèse ?

^{De manière}

générale

^à

quel

^moment

intervient,

dans les dé- monstrations

mécaniques, l’hypothèse

^d’adiaba-

tisme

(au

^sens propre de ^{ce terme :}

échange

^de

chaleur

nul) qui s’y

^trouve

implicitement,

^et

figure explicitement

^{dans la} démonstration

thermodyna- mique ? ^Comment,

^{dans cette}

dernière,

^{sont modi-}

fiées les

équations

^{de la}

mécanique analytique

pour faire

apparaitre

^les

échanges

^de

chaleur, qui

^en

sont absents en

général ?

Ce

travail, qui reprend

^{dans ses}

grandes lignes

l’exposé

de Boltzmann

[2]

^{sur la}

thermodynamique mécanique

^et la démonstration de M. L. Bril- louin

[3],

^{consiste en} la clarification des

hypothèses physiques qui permet

^de

répondre

^{à ces}

questions.

1.

Mécanique analytique

^{dans le cas de forces}

quelconques.

^{- Il est}

nécessaire,

^en

préliminaires,

de

rappeler

^{ou d’établir}

quelques

formules de méca-

nique analytique

^{dans le} cas, ^assez peu

envisagé généralement,

^{où les forces}

appliquées

^au

système

se

séparent

^en deux groupes

jouant

des rôles diffé-

rents,

^{et dont l’un ne}

dépend

pas

obligatoirement

d’un

potentiel.

On considère un

système

^{à liaisons}

parfaites, bilatérales,

^holonomes

et,

pour éviter ^une

généralité inutile, indépendantes

^du temps ; ^en coordonnées de

Lagrange qi (i

^{== 1 à}

N) l’énergie cinétique

^T

est une forme

quadratique des qi

⁼

dqi/dt

^dont

les coefficients ne

dépendent

que des

qk.

^{Les forces}

appliquées

^sont

supposées

^se

répartir

^{en deux}

groupes : l’un

dépend

^d’un

potentiel V(qi)

que

nous supposons aussi

indépendant

^du

temps ;

l’autre

peut dépendre, dépendre partiellement,

^ou

ne pas

dépendre

^du

tout,

^d’un

potentiel ;

^laissant

de côté momentanément son

origine physique,

^nous

nous contentons de

désigner par Fi ’8qi ^(notation

des indices

muets)

^{son travail} virtuel. Fi

peut dépendre

^du

temps.

Nous ne faisons pour l’instant ^aucune

hypothèse

sur une

séparation

des coordonnées

parallèle

^à

celle des forcez : ^une même

coordonnée qi

peut subir simultanément les deux forces

- d V/dq2

et Fi. ^Les

équations

^de

Lagrange

s’écrivent comme on sait

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019620023012097300

974

Nous introduisons la fonction de

Lagrange L(q4, qi)

par la relation habituelle

L n’est donc

définie,

^outre

l’énergie cinétique totale,

que par les

forces

^du

premier

groupe ^seule- ment, ^et ceci même dans le cas où les forces du se-

cond groupe

dépendraient

^d’un

potentiel.

^{Le carac-}

tère manifestement arbitraire de cette définition

réside,

^{comme nous le verrons}

plus loin,

^{dans la}

nécessité

physique

^de

pouvoir

^{définir une}

énergie

interne. Les

équations (1) peuvent

^s’écrire

Introduisons encore comme d’habitude les mo-

ments pi

^et la fonction de Hamilton H

T ne

dépendant

pas

explicitement

^du

temps

^{on a}

et nous donnerons encore à la somme T + ^{V le}

nom

d’énergie

^du

système

que ^nous

désignerons

aussi par la lettre E pour ^nous conformer aux nota- tions usuelles.

De même que

L,

^{H ou E sont} définies à

partir

des forces du

premier

groupe seulement.

La différenciation bien ^connue de H et l’utilisa- tion des

équations (2)

conduisent aux

équations

de Hamilton modifiées

et une

conséquence

immédiate de ces

équations, puisque

^{.FI ne}

dépend

pas

explicitement

^du

temps,

est

Passons maintenant à

l’intégrale

d’action. Ce

sera

intégrale prise

^{sur une}

trajectoire

^{réelle du} sys- tème. Si r et r’ sont deux

trajectoires

réelles infi- niment voisines

(r

^{va de}

qi1,

^{tl à}

qi2, t2,

^{r’ va de}

qi1

⁺

dqi1, t1 + 8t1 à qi2§

⁺

qi2, t2

⁺

âi2,

^{la varia-}

tion de

l’intégrale

^{d’action entre r et r’ est donnée}

par

Inéquation, qui généralise

la formule habituelle

aq2

^{étant les}

variations,

^{au cours du} mouvement, des

coordonnées qi

à t constant

(d désigne

^une

variation

prise

de manière

quelconque).

Soustrayons

^{des deux}

membres

^de

(4)

^{la varia-}

tion 0 (ta 2T ^{t1 dt ;}

^{on va obtenir au}

^premier

membre

et comme E ⁼ H nous arrivons à

8E étant la variation

d’énergie

à t constant.

Cette

équation généralise

la variation connue de

l’intégrale

^de

Maupertuis ;

^{mais il} faut noter que, contrairement à

l’habitude,

^le

système

^n’est pas conservatif en vertu de

l’équation (3),

^{et ni}

E,

ⁿⁱ

dE,

^{ne sont des} constantes sur la

trajectoire

^non

variée r.

Nous allons maintenant fournir à cette formule

analytique

^un substratum

physique

^en définissant les

systèmes thermodynamiques

de Boltzmann.

2. Définition d’un

système

de Boltzmann. ^-- C’est ^un.

système

^dans

lequel

^on

distingue

^deux

sortes de

coordonnées,

^{trois sortes de}

forces,

^{et deux}

modes d’évolution

dynamique possibles.

A. COORDONNÉES. - Elles se divisent en deux classes :

-- coordonnées à mouvement

rapide,

que ^nous

désignerons

par les

symboles qi(L

^{= 1 à}

n) ;

^leurs

mouvements

peuvent

^être vibratoires ou aléa-

toires ;

- coordonnées à mouvement

lent,

que ^nous

désignerons

par les

symboles xP (p

^{= n + 1 à}

N).

Ces coordonnées sont

astreintes,

^{soit à rester cons-}

tantes au cours du mouvement des

qi,

soit à varier mais de manière très lente en

comparaison

^des

q2.

Ce sont les coordonnées de liaison ou coordonnées cachées.

Il n’est pas besoin d’insister ^{sur les} illustrations de cette classification.

Remarquons

^seulement

qu’en énergétique

^les

coordonnées qi n’apparaissent

pas, ^toutes rassemblées dans la

grandeur tempéra-

ture, ^{et on} raisonne seulement sur les coordonnées de liaison. C’est

l’inverse,

^ou presque, ^en

thermody- namique mécanique,

^{où les}

coordonnées Z"

^sont

souvent

masquées

^{par leur} constance. ^, Il est sans

importance,

pour

l’instant,

^{de savoir}

si les

coordonnées qi

^d’une

part, xP

^de

l’autre,

^se

rapportent

^{à des}

points

^matériels

d’espèces

^diffé-

rentes : on

peut

^{très bien}

envisager qu’une

^même

molécule

possède

des coordonnées des deux sortes.

Boltzmann,

^à

qui

^est dû l’essentiel de la classifi- cation

rappelée ici,

^a effectivement traité le _pro- blème en coordonnées

généralisées,

^{mais il a}

éga-

lement défini des

systèmes plus particuliers

^dans

lesquels

^les

points

^matériels

représentés

par les

coordonnées qi

^{forment un}

système

matériel dis- tinct de celui

qui

^est

représenté

par les

xp ;

^{et cette}

distinction,

^{survenant un} peu

trop

^{tôt dans son}

exposition, peut

laisser croire que certains résul-

tats

exigent

^cette

particularisation,

^alors

qu’il

^n’en

est rien.

B. FORCES. ^- Elles se divisent en 3

catégories.

a)

^Forces

imposées.

^{- Ce sont} les forces dont l’existence et la

grandeur

^sont

indépendantes

^{de la}

volonté de

l’expérimentateur (par exemple

pour

un gaz, les interactions mutuelles des molécules et les forces de

pesanteur).

^.

Elles

peuvent

s’exercer aussi bien sur les coor-

données qi

que ^sur les

coordonnées xP (en

^faisant

entrer,

par

exemple,

^{dans le}

système physique

^traité

le

cylindre

^{et le}

piston qui

^{enferment un}

gaz).

^On

peut

^encore les subdiviser en forces intérieures au

système

^{et forces} extérieures à

distance ;

^cette

distinction est sans

importance.

La seule

hypothèse

restrictive que ^nous ferons

sur cet ensemble de forces est

qu’il dépend

^d’un

potentiel V(q, x).

^{Nous avons} ainsi constitué le

premier

groupe de forces du

paragraphe

^1.

b)

Forces d’asservissement. ^-

Ce

^{sont des forces}

qui dépendent

^de

l’expérimentateur,

^{et dont il se}

sert pour faire varier ^{à son}

gré

les liaisons. Elles

ne s’attachent par définition

qu’aux

^{seules coor-}

données

xP.

^{Nous ne} supposons rien ^sur leur

dépen-

dance d’un

potentiel,

^{et on} sait que,

macroscopi- quement

^{tout au}

moins,

^{elles sont la}

plupart

^du

temps

^à rotationnel non nul. Nous

désignerons

par

A p8xp leur

travail virtuel : c’est une

partie

^{du second}

groupe de forces du

paragraphe

^{1. Ce sont des}

forces externes, ^du

type

^réaction.

c)

^{Forces « de} chaleur ». ^- Ce sont des forces

qui dépendent également

^de

l’expérimentateur

mais

qui,

par définition ^et contrairement aux

précé- dentes, n’agissent

que ^sur les coordonnées

qi.

^Leur

nom dit assez le

phénomène auquel

^{elles sont liées.}

Elles

forment,

^avec les forces

d’asservissement,

le second groupe de forces du

paragraphe 1,

^{et nous}

pourrions

^leur affecter des

symboles qui

^rentre-

raient dans la

catégorie

^{Fi et}

figureraient

^{dans les}

équations

^{de la}

mécanique analytique

^{de ce même}

paragraphe.

Cette notation est toutefois

inutile,

car le but de la théorie est de trouver le maxi-

mum de résultats

indépendants

^{de la structure}

individuelle de ces

forces,

^et découlant seulement du transfert

global d’énergie qu’elles

^causent.

Nous pouvons maintenant définir

l’énergie

^in-

terne et la

quantité

^de chaleur. Par définition

l’énergie

^{interne E d’un}

système

de Boltzmann est la somme

de son

énergie cinétique

^{totale T et du}

potentiel

^V

des

forces imposées.

^La

quantité

de chaleur

dQ

absorbée par le

système

^{dans une} transformation réelle est définie par

l’égalité

dE

= AP

dXp ⁺ dQ (6)

où les

AP

^sont les forces d’asservissement. Il res-

sort de cette définition et de

l’équation (3)

que

dQ

serait

mécaniquement

le travail des forces de cha- leur que ^nous n’avons pas individuellement dénom- mées.

Avant _{de passer} aux définitions

suivantes,

^nous

devons faire sur les forces d’asservissement une

remarque ^très

importante

pour la

compréhension

future de la notion de réversibilité. Les coordon-

nées qi

^étant

rapidement

^{variables il est clair}

qu’en général

^le

potentiel V,

^et par

conséquent

^les

forces

- Õ V Ivqi qui

^en

dérivent,

^sont elles-mêmes

rapidement

variables. On

pourrait

penser, par ^une

symétrie

^vite

adoptée,

que, les

coordonnées

étant lentement

variables,

les forces

A p qui s’y

attachent sont elles-mêmes lentement variables.

Il n’en est rien et en

règle générale

^les

forces

^d’asser-

vissement

Ap

varient aussi

rapidement

que les ^coor- données

microscopiques.

^{La chose est immédiate-}

ment visible sur

l’exemple

^du

pendule,

^dans

lequel

la force d’asservissement est la réaction du

point

fixe sur le

pendule,

^{dont il est clair}

qu’elle

^varie

avec la

fréquence

^{de ce} dernier. Dans le cas

géné- ral,

^{on verra}

qu’il

^{en est encore de même au}

para- graphe

^C

ci-dessous, après

^{avoir établi}

l’équa-

tion

(7).

Il se

peut

^{sans doute} que, dans certains _cas, l’observateur

n’enregistre

que des forces d’asser- vissement lentement variables

(pression

^du

piston

sur un gaz par

exemple) ;

mais c’est alors parce

qu’il

^se borne à observer un effet de moyenne ^sur les forces

agissant

^{sur un}

grand

^{nombre de coor-}

données

xp,

^{ou encore de} moyenne

temporelle.

C. LOIS D’ÉVOLUTION DYNAMIQUE. - C’est ici la distinction essentielle sur

laquelle

repose ^toute la théorie. Nous supposerons que le

système

^{de Boltz-}

mann

peut

avoir deux sortes de mouvements réels.

a)

^les mouvements

mécaniques

purs, ^encore

appelés adiabatiques (==

^sans

échange

^de

chaleur).

Par définition ce sont les mouvements

qui

^sont

régis

par les forces

imposées

^et les forces d’asser-

vissement,

^à l’exclusion des forces de chaleur sup-

posées

nulles. Ces mouvements obéissent donc aux

équations

^{de la}

mécanique analytique (2),

que

nous n’avons

qu’à

transcrire ici en les

particulari-

sant

976

L étant défini comme il a été dit au

paragraphe

^{1 :}

L ⁼ T ---

V(q, x). D’après l’équation (3)

du para-

graphe

^{1 on a}

donc,

^{dans le mouvement réel}

ce

qui, d’après

^la définition

(6),

^{entraîne la nullité}

de

l’échange

de chaleur.

Un mouvement de cette sorte

correspond

^en

énergétique

^{à deux sortes de}

phénomènes :

^:

-- ou bien à un état, caractérisé par la ^constance des coordonnées de liaison

xp,

^{et dans}

lequel

^on

fait abstraction du mouvement

des qi ;

- ou bien à une

transformation adiabatique,

où les

xp

^évoluent

également,

^{mais de manière à}

respecter

^{la condition}

(8)

^{ou encore}

dQ

^{= 0.}

On

peut

remarquer ^en

passant qu’au

^{lieu de con-}

sidérer,

^{dans les}

équations (7), qi

^et

xp

^{comme des}

inconnues pour des

A P donnés,

^on

peut prendre les qi

^{et les}

AP

^{comme inconnues en se} donnant les fonctions

xP(t) :

^la

première ligne

^de

(7)

^fournit

alors le mouvement des

q4,

^et la deuxième

ligne

^les

valeurs des

AP ;

^on

peut

^{de la sorte} calculer les forces d’asservissement

qu’il

^{faut exercer} pour obtenir une évolution voulue des coordonnées de liaison.

b)

^Les mouvements

thermodynamiques,

^{non adia-}

batiques.

^{- Ce sont les} mouvements dans

lesquels

entrent en

jeu

simultanément les trois sortes de force définies

ci-dessus,

c’est-à-dire aussi les forces de chaleur.

Pour ces mouvements les

équations (7)

^{ne sont}

plus

^{valables. Pour}

qu’elles

le soient à _nouveau, il faudrait faire

figurer

^au second membre de leur

première ligne

^les forces de chaleur. On s’abstient d’écrire cette nouvelle

représentation,

pour la raison donnée à l’alinéa

B,

^c ci-dessus. Mais il n’est pas besoin de cette écriture pour ^constater que, dans ^une transformation non

adiabatique,

les

équations

^{de la}

mécanique analytique

^sont

différentes du ^cas

précédent,

^{où ne}

figuraient

que les forces usuelles de la

mécanique

rationnelle.

L’équation (8)

n’est pas

davantage valable ;

^elle

est

remplacée

^{par la} définition

(6),

^où

dQ

^résume

globalement

^une

partie

^du second membre ^de

l’égalité (3).

Revenons maintenant un instant sur la varia- bilité des forces

AP.

La seconde

ligne

^des

équa-

tions

(7)

^montre clairement que la vitesse de varia- tion des coordonnées

microscopiques qi

^{se re-}

trouve dans

AP,

^par l’intermédiaire de L et de ses

dérivées,

comme nous l’avions avancé ci-dessus.

Enfin nous pouvons

répondre

^{à une} des ques- tions

posées

dans l’introduction : l’intervention de

Il’hypothèse

d’adiabatisme dans les démonstra- tions

purement mécaniques

^de l’invariance adia-

batique. Raisonnons,

pour

plus

^de

clarté,

^{sur le}

cas

particulier

^du

pendule

pour

lequel

^on pourra ^se

reporter,

par

exemple,

^{à la} démonstration ^donnée

par Sommerfeld

[4].

^Cette démonstration com- mence par calculer le travail de la réaction du

point

^{fixe dans}

l’allongement

du fil de

suspension (en supposant

^cet

allongement

infiniment

lent,

mais la lenteur n’est pas ^{en cause} pour

l’instant) ; puis,

pour obtenir la relation cherchée

(Tw

⁼

Cte),

il suffit d’écrire que le travail de la réaction est

égal

à la variation

d’énergie

^{de la masse} oscillante.

Mais,

par ^cette

égalité

^-

qui

^{n’est autre} que

l’égalité (8)

ci-dessus ^- on suppose

implicitement

que le

glis-

sement du fil

qui permet l’allongement

^{s’est fait}

sans

dégagement

de chaleur.

Ce fait est

général ;

^{dans toutes} les démonstra- tions

purement mécaniques

d’invariance adiaba-

tique

^d’un

phénomène,

^il y ^{a un moment} où on

écrit une

égalité

entre travaux et

énergie qui

^ne

découle _{pas des}

hypothèses

^{faites sur le}

modèle,

mais

qui

suppose

qu’on dispose

^{en outre d’un ren-}

seignement d’origine physique

^sur la nullité de

l’échange

^{de chaleur}

(on

fait aussi

parfois l’hypo-

thèse que, dans la variation des coordonnées

xp,

^les

équations (7)

continuent d’être

valables,

^ce

qui,

^d’a-

près

^ce que nous venons de

voir,

^{revient au}

même).

3. Transformations réversibles. ^- On

appelle

transformation réversible d’un

système

^{de Boltz-}

mann un mouvement réel du

système

^dans

lequel

on

s’arrange

pour

appliquer

des forces d’asservis- sement telles _{que :}

- les

vitesses dZP/dt

^sont infiniment

petites ;

- elles sont constantes ou,

mieux,

les accéléra- tions d2

xt /dt2

^sont infiniment

petites ;

- les

qi

^{évoluent sans autres} conditions que celles que leur

imposent

les lois du

système.

Ces conditions sont

parfaitement

claires du

point

de vue

mathématique, l’expression

« infiniment

petite » signifiant

^aussi

petite qu’il

^{est nécessaire}

pour que ^ce

qu’on

^va dire soit

valable ;

^{mais la}

signification physique

^{de cette}

petitesse

^{est moins}

évidente,

^{et nous ne} pourrons la saisir

qu’après

^la

démonstration

qui

^{va suivre.}

Dans une transformation

réversible, l’expression

de la

quantité

de chaleur

prend

^une

expression

par- ticulière.

Soit une telle transformation

partant

^d’un

point qi1, t1

pour aboutir à un

point q2,

^t2. La variation

d’énergie

^{interne est}

AE,

la chaleur

absorbée Q

et,

d’après

^la définition

(6)

^{on a}

Or les

xP

^{sont des} constantes et par

conséquent

AP étant la moyenne

temporelle

de AP. On a en

outre

( (t2

^--

tl) £P = Axp

^et par

conséquent

977 Cette

équation appelle plusieurs

remarques.

En

premier

^{lieu elle}

parait triviale,

^{et le serait}

en effet si

Ap

^{était une moyenne obtenue par inté-}

gration

^{sur les}

coordonnées xP ; l’équation (10)

serait alors valable même

pour

^{un mouvement irré-}

versible,

^{mais la} moyenne

Ap dépendrait

^essentiel-

lement du

chemin

parcouru par les

xp.

La moyenne

temporelle ^lévite

^cette

indétermination,

^{mais au}

prix

^{de la} condition de

réversibilité,

c’est-à-dire

en

imposant aux xP un

^chemin

particulier,

^linéaire

et infiniment

lent ; Ap

doit être considérée comme une limite atteinte pour ^{« une} suite continue d’états

d’équilibre

^{». On verra}

plus

^bas que c’est la forme

particulière

ainsi choisie de la moyenne

qui permet

de démontrer la formule de Boltzmann.

L’utilisation de cette moyenne pour calculer la chaleur absorbée montre

également

^comment

s’efface,

^{dans un examen}

macroscopique,

^{la varia-}

bilité

rapide

des forces d’asservissement : l’obser- vateur n’en

pervoit plus qu’un

^{effet lentement}

variable,

^à condition que la transformation soit réversible.

Voyons

maintenant ce que

signifie physiquement

la constance des vitesses

xP.

Pour que l’on

puisse

écrire la

première égalité (9),

il suffit

que xp

^varie

faiblement

pendant

que

Ap

^varie

beaucoup ;

^{si l’on}

raisonne,

pour fixer les

idées,

^{sur un mouvement}

vibratoire des

qz,

^cela

signifie

que la fluctuation de

xP

doit avoir une

fréquence beaucoup plus

^faible

que les

fréquences

^{de vibration}

des qi :

^{on retrouve}

l’hypothèse physique

de l’incohérence de

phase

^des

démonstrations

purement mécaniques.

En d’autres termes on

peut

dire que l’infinie

petitesse

^des

d2 xP /dt2

que l’on ^a

supposée

^{au début de ce} para-

graphe

n’a pas besoin d’être

mathématiquement

réalisée : il suffit que

ÏPIx/P

^soit

petit

^{devant les}

fréquences

des vibrations des

qi.

Faisons enfin une remarque de

terminologie.

^On

a souvent

l’habitude,

^{en dehors de}

l’énergétique

^où

le terme

adiabatique signifie

^{seulement « sans}

échange

^de

chaleur », d’appeler adiabatique

^une

transformation

qui

^{est à la fois}

adiabatique (au

^sens

propre)

^et réversible.

Or,

dans les démonstrations

purement mécaniques

de l’invariance ^« adiaba-

tique

», c’est en réalité la réversibilité

qui importe ; comme je

l’ai fait remarquer

plus haut, l’hypothèse

de la chaleur nulle est

acquise

^au

point

que l’on n’en

parle

même pas, ^{et toute} la démonstration ^roule sur.

la lenteur de la variation des coordonnées de liai-

son. Tant

qu’on

^{reste dans le domaine} de la méca-

nique

pure, la bonne

terminologie

^{serait donc « in-}

variants de

réversibilité » ;

;

mais,

pour embrasser le cas

général thermodynamique,

^{il serait}

^préfé-

rable d’utiliser

exclusivement,

^{comme on le}

fait d’ailleurs ^assez

souvent, l’expression

^{« inva-}

riants d’Ehrenfest ^» à

qui

^on

pourrait

^donner

la

signification

d’invariants ^« adiabatico-réver- sibles ^».

4. Variation de l’action

maupertuisienne

^dans

une transformation virtuelle entre états

thermody- namiques.

^--- Considérons deux

trajectoires

^réelles

voisines d’un

système

^de

Boltzmann,

^définies

comme suit :

- l’une r va du

point q i.,

^au

point q2, t2

^en

gardant

des coordonnées de liaison

xP

constantes ; - l’autre

P’,

^{va du}

point qi

⁺

8qi, tl

+

8t1

au

point q2 - 8q, t2

⁺

St2

^avec

également

^des

xP

⁺

8XP

constantes ;

- les deux mouvements sont

mécaniques

purs

(adiabatiques).

Au ^sens

thermodynamique

^du

terme,

^{ces deux}

mouvements

représentent

donc des états

(ni

^mou-

vement des

xP,

ⁿⁱ

échange

^de

chaleur).

On

peut

passer du

premier

^{mouvement au second}

par ^une transformation virtuelle continue

8qi, ^8t, 8XP

^avec

8XP

^{= Cte.}

D’après l’équation (8),

^{E est}

une constante pour

chaque

mouvement, ^{et 8E une}

constante.

Appliquons

^alors

l’équation générale (5),

en la

particularisant

pour faire

apparaître

^{les deux}

sortes de

coordonnées qi

^et

xp.

^{On obtient}

7tp étant les moments

>T/zgP.

^{Comme les}

8xP

et 8E sont des

constantes,

^cette

équation peut

aussi s’écrire

et on voit

apparaitre

^la moyenne

temporelle

^{de AP.}

5. Formule de Boltzmann et invariants d’Eh- renfest. ^- Le dernier terme de

l’équation (11) acquiert

^une

signification physique

^{dans le cas où}

les deux mouvements

réels, qui jusqu’à présent

étaient variés l’un de l’autre par ^une transforma- tion

virtuelle, .peuvent

^{être reliés} par ^une transfor- mation réelle réversible. La

figure représente

^ce

qui

se passe. De

l’instant tl

^à l’instant tA le mobile

(de

l’extension en

phase)

^{suit la}

trajectoire ^{h ;}

^{de tA}

FIG. 1.

978

à tB, ^{et sous}

l’impulsion

^{de forces}

supplémentaires,

il suit la

trajectoire

réelle de transit _{y ;} enfin à par- tir

de tB,

les forces

supplémentaires

^ont

disparu

^et

la

trajectoire

^{suivie est r’.}

Les variations

qui figurent

^aux deux membres de

(11)

^{ne sont} pas

calculées,

^en

général,

^{sur les}

trajectoires

réellement

suivies,

^{mais entre}

trajec-

toire réelle et

trajectoire prolongée :

^{h en}

avant,

^r’

en arrière. Dans le cas

particulier

^{où r et r’ sont}

des

trajectoires fermées,

les variations

peuvent

^se

prendre

^{entre des}

points

de passage réels ^sur les

traj ectoires.

La transformation _y étant réversible et

Ap

^une

moyenne

temporelle, l’équation (10)

^montre que

(8E

^-

Ap 3x.P)

^est la chaleur absorbée par le sys- tème dans la transformation réelle _y. D’où la for- mule de Boltzmann

Comme cas

particulier

^de

grande importance, plaçons-nous

^{dans le cas où}

l’énergie cinétique

totale est de la forme

Tq

^et

T x

^étant deux formes

quadratiques,

^les

termes

rectangles

^en

qx

^{étant absents. C’est ce}

qui

arrivera en

particulier lorsque

^les

coordonnées q

et x sont attachées à deux

systèmes

^de

points

matériels différents.

Dans les mouvements r et r’ à liaisons cons-

tantes

T,

^est

nul,

^{de même} que 7!p ⁼

oT loxP, puisque

^les

xp

^{sont nuls.}

(12)

devient alors

l’énergie cinétique

^{et la somme} pi

8qi

^{ne se rappor-}

tant

qu’aux

coordonnées

microscopiques.

Définissons maintenant un invariant d’Ehren- fest

(« adiabatique »)

^{comme une}

quantité

^définie

sur une certaine classe de mouvements

mécaniques purs à

^liaisons constantes

(états thermodyna- miques),

^et

qui

^{demeure constante}

quand

^{on passe}

d’un mouvement à un autre de la classe par ^une transformation réversible ^et

adiabatique.

Il est alors

immédiat,

^à

partir

^de

l’équation (13),

de démontrer l’existence d’un invariant adiaba-

tique

pour les mouvements

périodiques :

^{il suffit}

comme on sait de faire

8Q

⁼

0,

^et de considérer

l’intégrale 1

^{T dt}

^prise

^{sur la}

^période.

Manuscrit reçu le 13 juillet ^1962.

BIBLIOGRAPHIE [1] ^{DE BROGLIE} (L.), ^{C. R. Acad. Sc., 1961,} 253, ^{1078 et}

cours professé pendant ^{l’année 1961-1962.}

[2] BOLTZMANN, Vorlesungen ^{über Mechanik, 2.}

[3] ^BRILLOUIN (L.), ^{Les tenseurs en} mécanique ^{et en élas-} ticité, chap. ^VIII.

[4] SOMMERFELD, La constitution de l’atome et les raies

spectrales, chap. ^V.