HAL Id: jpa-00235390

HAL Id: jpa-00235390

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00235390

Submitted on 1 Jan 1956

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire

HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

La pression de radiation acoustique

E.J. Post

To cite this version:

E.J. Post. La pression de radiation acoustique. J. Phys. Radium, 1956, 17 (5), pp.391-394.

�10.1051/jphysrad:01956001705039100�. �jpa-00235390�

LA PRESSION DE RADIATION

ACOUSTIQUE

Par

E. J. POST,

Direction générale ^{des P. T.} T., ^La Haye, Pays-Bas.

Sommaire. ²⁰¹⁴ Dans la description phénoménologique ^{de la} physique classique il y ^a trois _pro- blèmes liés auxquels manque ^une interprétation absolument claire :

1) ^La pression ^{de radiation} acoustique.

2) ^{Les relations entre les} équations ^{d’Euler et de} Lagrange ^{et la} possibilité ^{de les} appliquer ^{à des}

mouvements turbulents.

3) ^{La théorie} électromagnétique de Minkowski pour ^des milieux en mouvement, ^ses définitions de

l’impulsion ^{et de la} tension, ^{soit la} pression de radiation électromagnétique ^{dans un milieu matériel.}

En acceptant ^{la théorie} relativiste comme la description phénoménologique ^la plus générale,

on étudie ici les transformations du premier ^{ordre afin} de déterminer ses conséquences pour les

problèmes classiques, spécialement ^la pression de radiation.

Les équations de transformations (ici particulièrement ^les translations) ^sont indépendantes ^de

la nature du milieu. L’interprétation physique ^{de ces} équations suggère un dispositif indépendant

du milieu; ^{et c’est} pourquoi ^des parois semi-perméables sont introduites à l’essai.

Il apparaît que les parois semi-perméables ^{donnent une} distinction évidente entre les deux termes de pression, signalés antérieurement, pour ^un milieu acoustique. En outre les conceptions

du phonon (soit ^du photon ^{dans un milieu} matériel) peuvent ^être précisées.

Abstract. 2014 In the phenomenological descriptions ^{of classical} physics ^{there are three inter-}

connected problems requiring ^{a clear} interpretation : 1) Acoustic radiation pressure.

2) Relations between Euler and Lagrange equations, ^{and their} application ^to turbulent motions.

3) Electromagnetic theory ^{of Minkowski for a} moving ^{medium, and the} definition of momentum and tension ^or electromagnetic ^radiation pressure ^{in a} material medium.

Using the relativistic theory ^{as the most} general description, first order transformations are

discussed in the present paper. Transformation equations ^are independent ^{of the} properties ^of

the medium. Physical interpretation suggests semi-permeable walls, which lead to a distinction between two terms in acoustic radiation pressure. The ^{nature of} phonons ^or photons ^{is more} precisely specified.

PHYSIQUE 17, 1956,

Les travaux de M. Brillouin

[1],

^Richter

[2]

^et

Bopp [3]

^{nous ont}

indiqué

l’existence de deux

composantes

^de

pression.

^{Afin de}

préciser

^{la diffé-}

rence entre les deux

rappelons

^les

figures

^de

M. Richter et

Bopp.

’

Soit une enceinte fermée à

parois rigides, remplie

d’un milieu

liquide

^ou gazeux. On a deux

parois rigides immergées

dans le milieu et on

imagine

une radiation

acoustique

^{entre les deux}

parois immergées.

Cela donne une

pression f5:(W) =:= 2 6."k (Ek

⁼ densité de

l’énergie cinétique) dirigée

^sur

les

parois immergées

^{et une}

pression isotrope

’!lem)

⁼ r&

(E

⁼⁼ densité de

l’énergie totale)

^sur

les

parois rigides

^de

l’enceinte, qui dépend

par ^r des

propriétés

du milieu. On en déduit que ^r

dépend

^des

paramètres

^de

l’équation

d’état. Si

nous ouvrons l’enceinte par ^un

robinet,

la pres- sion

q(-)

^{nous donnera une}

expansion

^{du milieu}

de la même

façon qu’une

^densité

d’énergie

^ther-

mique.

^Nommons

L(m)

^{le terme de «}

pression

^du

milieu _», et

rt5:(W)

^{le terme de «}

pression

^{d’ondes ».}

On trouve que la ^mesure de ces deux termes est conditionnée _par une discontinuité du

champ

d’ondes ^ou par ^une discontinuité du milieu lui- même. Afin de faire des calculs

qui

^{ont un sens}

physique

^bien

défini,

^{il est} utile d’introduire des membranes

semi-perméables,

c’est-à-dire

une

mem-

brane

perméable

pour le milieu mais

imperméable

pour la radiation. Un miroir dans

l’espace

^{vide est}

un

exemple

idéal d’une membrane

perméable

pour le milieu

(le vide)

^mais

imperméable

pour la lumière

(le champ électromagnétique).

^{Il est}

impossible

de réaliser une

pareille

membrane dans

un solide. Dans

l’acoustique

^{nous avons un cas}

semblable au cas

électrodynamique,

^{sous réserve}

qu’une

membrane idéale est devenue

impossible ;

il est

cependant possible

de la réaliser

approxima-

tivement dans un milieu gazeux ^ou

liquide.

^On

peut

^{donc se demander si}

l’hypothèse,

^{de l’exis-}

tence des membranes idéalement

semi-perméables

pour ^tous les milieux ne

compromet

pas certaines lois

physiques.

^{Il est utile de} faire remarquer

ici,

que ^cette

supposition

^d’une membrane semi-

perméable

^nous

place

devant la nécessité de sup- poser l’existence d’une

pression

^{de radiation}

d’ondes,

sinon il serait

possible

de violer le deu- xième

principe

^{de la}

thermodynamique.

L’application

^du

principe

de Boltzmann- Ehrenfest _pour un

champ

^d’ondes

implique déjà

l’existence d’une membrane idéalement

’semi-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01956001705039100

392

perméable.

^C’est

pourquoi

^on

peu

adrnetl,re le

postulat

de l’existence

générale

^de

pareilles

^mem-

branes.

Supposons

^un

champ

^{de radiation}

quelconque

d’une seule

fréquence

^{dans un milieu}

quelconque.

Soit E

l’énergie

^{totale du}

système

^{des ondes enve-}

loppées

par ^une membrane

semi-perméable

^{et soit}

FIG. 1. ^- Interprétation des deux termes de pression.

Sur le pourtour ^{de la} figure, ^{lire r au lieu de} y.

w la

fréquence.

Si l’on donne une déformation infi- nitésimale à la membrane

accompagnée

^d’une

variation de

l’énergie

^{ôE et} d’une variation de fré- quence 8m le

principe

^de Boltzmann-Ehrenfest donne :

à condition que la transformation soit très lente.

La variation de

l’énergie .E

^est donnée par l’inté-

grale

-

’?§

⁼

la pression

^d’ondes.

Õ ÇV

^{= le vecteur} infinitésimal de la

déformation

du

champ

^d’ondes

(1) ; direction positive

de l’intérieur à l’extérieur.

d ax

= l’élément de surface.

Il est

possible

de transformer cette

intégrale

de surface en une

intégrale

^de

volume,

^{et en} sup-

posant

^le

champ

^{uniforme on trouve}

E étant la densité de

l’énergie.

La formule

générale

pour la vitesse de

groupe gÀ

donne

où

Le tenseur de déformation du

champ

^d’ondes

nous donne la variation du vecteur d’ondes.

8 k). = - kv 8(oÀ çV). (5) Il faut se

rappeler

que la transformation infini- tésimale

8(>x gv)

^du

champ

^{d’ondes est une trans-}

formation amiic : il fauL donc !cnir compte ^{de la}

nature covariante du vecteur

k,.

En substituant

(5)

^dans

(4)

^{il vient}

et, comme les

S(y v)

^sont des déformations arhi-

traires,

^on

peut

faire l’identification

1,a formule

(7)

^{nous donne nne}

expression géné-

rale de la

pression

^{d’ondes sur une membrane semi-}

perméable

^{pour une radiation}

quelconque.

Il faut remarquer que dans ^un milieu

anisotrope

les vecteurs

gÀ

^et

kv peuvent

^{avoir des directions}

différentes. Cela

indique qu’il

^est

possible

^d’avoir

un moment

d’impulsion

parce que la densité tenso- rielle

Lî’ v

n’est pas nécessairement ^une

quantité symétrique.

Afin de mettre à

l’épreuve

la réalité

physique

^de

la formule

(7)

^nous allons essayer de la

compléter

dans un sens

relativiste,

^ce

qui

^nous

oblige

^à

trouver les

composantes

^du

transport

^de

l’énergie

ÔSÀ et de

l’impulsion w ;

^{soit :}

la densité tensorielle mixte

d’impulsion-énergie

d’un

champ

^d’ondes

(quelconque) enveloppé

par

une membrane

semi-perméable.

^Pour

comprendre

le sens

physique

^{de cette}

quantité,

^{nous allons}

maintenant étudier les transformations de

premier

ordre.

L’étude des transformations relativistes du pre- mier ordre est une chose assez délicate. Il _y a une

différence entre les

phénomènes électrodynamiques

et les

phénomènes acoustiques

^et d’élasticité

(mécaniques).

^{Dans le cas.}

électrodynamique

^la

difficulté est que les vitesses de

propagation

^dans

un milieu sont

toujours

^{du même} ordre que la vitesse de la lumière dans le

vide ;

l’addition des vitesses

s.’exprime

ici par la formule de Fresnel- Fizeau. En

mécanique

^{on a par contre la formule}

ordinaire de l’addition de deux vecteurs.

Les formules suivantes nous donnent les trans- formations pour ^une translation du

système

^de

coordonnées

(voir l’Appendice),

^la vitesse de trans- lation étant :

En mécanique

( 1) ^{Il faut bien} distinguer ^{entre une} déformation du champ

d’ondes et une déformation du milieu lui-même.

(2) On déduit pour la transformation ^du transport ^de l’énergie, ^{si on} introduit des termes d’ordre supérieur

étant donné l’interprétation physique, cela veut dire qu’il s’agit de forces dans le système ^{en mouvement.}

En électrodynamique

gÀ

⁼ vitesse de groupe

/ gL ^{= les} perméabilités ^{du vide.}

Il est intéressant de constater ici que les

transfor-

mations de la densité vectorielle du transport ^de

l’énergie

^sont les mêmes pour les deux ^cas. Le second terme donne la

cpnvection

^de

l’énergie,

le dernier le

transport

^de

l’énergie

^causé par les forces de radiation.

Pour les

phénomènes

de radiation on

peut

^écrire

et pour ^{un autre}

système ayant

^une vitesse de translation on a

L’application

^des

formules

^de

transformation (9)

ou

(10)

^nous donne le même résultat

pour les deux

cas de l’acoustique

^{et de l’électro-}

1magnétique.

Afin d’obtenir ce résultat il est

simple,

mais nullement

nécessaire,

^de

supposer vÀ« ^gÀ

(acoustique) [1].

^{On trouve}

On

peut interpréter

^la

pression

^{de radiation}

comme un

transport

^de

l’impulsion.

^En

comparant

les formules

(7)

^et

(14)

^{on trouve}

et la densité tensorielle mixte

d’impulsion-énergie

sera

En dernier lieu ^nous voulons examiner le ^sens de ce tenseur

(16)

dans la théorie des

quanta.

L’introduction de

l’expression

(h

^{constante de Planck et} 9l la densité des

quanta

par unité de

volume),

^{nous donne}

On voit maintenant

qu’il

^est

possible

^{de consi-}

dérer B ^{comme un} invariant relativiste. Ensuite

on voit que

pourra être

interprété

^comme

l’impulsion

^{de la}

«

particule

^{» de}

l’énergie.

Ce résultat est bien connu pour les

photons

^dans

l’espace

^{vide. Ce} même résultat n’est pas évident pour les

photons

^{dans un} milieu matériel ni pour les

phonos

d’un milieu

acoustique.

^La

généralité

de la formule

(18)

pour

chaque

cas Tde radiation dit que la réalité de la

conception

^du

photon

^{dans un}

milieu matériel et la réalité de la

conception

^du

phonon

^{dans un milieu}

acoustique

^sont

équiva-

lentes à la réalité en

physique

^{de la}

conception ^due

la membrane

semi-perméable.

Dans les considérations

précédentes l’analyse

de la

pression

^{d’ondes a} été accentuée ^aux

dépens

de la

pression

^du milieu. L’étude de la dernière est

en vérité un

sujet

^{de la} théorie de

l’équation

^d’état.

Nous nous bornerons ici à renvoyer ^aux études de

Kronig

^et

Thellung [4], particulièrement

^{à la for-}

mule

(12) qui

^{dit dans les termes du}

présent

article que la

pression

^{du milieu}

L(m)

^d’un

liquide

idéal est

égale

^à la densité de

Lagrange 1:.

En outre on est

prié

^de comparer ^la formule

(46)

pour

l’impulsion

^du

phonon

^{des ondes} irrotatoires à. la formule

(19)

^du

présent

^{article. ,}

Appendice

Pour obtenir les transformations du

premier

ordre de la théorie

électromagnétique,

^{il faut}

appliquer

^les’

transformations

^du

^premier

^ordre

des forces

E

et

H

et des inductions

D

et

B. D’après

Tolman

[5]

^{on a en utilisant les unités}

de, Giorgi

La définition de Minkowski pour la densité vectorielle de

l’impulsion p est

La définition

de la

densité vectorielle du trans-

port

^de

l’énergie S

^est

Pour un milieu linéaire on a comme densité de

l’énergie

En substituant les transformations

(a)

^et

(b)

dans les

expressions

de définition

(c), (d)

^et

(e),

^on

obtient les transformations

(10)

^en

négligeant

^les

394

termes d’ordre

supérieur (après

^une

transposition

en notation

tensorielle).

Il est évident

qu’on peut

considérer les transfor- mations

(9)

^{comme une autre}

approximation

^de

(10)

pour su -> 0. En outre il est

possible

^d’obte-

00

nir le même résultat si l’on

applique

^les

règles

^de

transformation usuelles à la densité tensorielle mixte

d’impulsion-énergie

^en utilisant les transfor- mations de Galilée comme une

approximation

^du

premier

ordre : dans ce, dernier cas on

peut

^se

libérer de la limitation de linéarité de

l’expres-

sion

(e),

En

conclusion,

^{il est}

important

^{de faire} remarquer que ^toutes les transformations de ^«

quantités

d’état » sont

indépendantes

^{de la nature du milieu.}

Les considérations suivantes

peuvent

être utiles afin de se rendre

compte

^{du fait}

qu’il s’agit

^ici

d’une marque fondamentale de la théorie

phéno- ménologique.

On

peut distinguer

^{des «}

quantités

^{d’état » et des}

«

quantités

^{du milieu » ;}

; les premières

^{donnent seu-}

lement une information sur l’état du

milieu,

^les

dernières nous informent des

propriétés

^{du milieu.}

Les

quantités

^{du milieu sont soumises au}

prin- cipe

de Neumann : elles doivent être invariantes pour les transformations du _{groupe de}

symétrie

^du

milieu. Les

quantités

^{d’état sont}

indépendantes

^du

milieu,

^et elles doivent rester

indépendantes après

une transformation des coordonnées afin de main- tenir le critère de distinction donné _{par le}

prin- cipe

de Neumann.

Cette marque de

l’indépendance

des transfor- mations de la nature du milieu

suggère

^un

dispo- sitif,

^fût-il

artificiel,

pour ^son

interprétation phy- sique :

^la

paroi semi-perméable.

, BIBLIOGRAPHIE

[1] ^BRILLOUIN (L.), ^Rev. Acoustique, 1936, 5, ^99.

[2] ^RICHTER (G.), ^Z. Physik, 1940, 115, ^97.

[3] ^BOPP (F.), ^Ann. Physik, 1940, 38, ^495.

[4] ^KRONIG (R.) et THELLUNG (A.), Physica, 1952, XVIII,

749.

[5] ^TOLMAN (R. C)., Relativity, thermodynamics ^{and cos-} mology, Oxford, 1934, chap. ^IV.