Mention Physique - M2 - Ann´ ee 2012-2013
Master de Sciences et Technologies : ing´ enierie pour le nucl´ eaire NP800 :
Probl` eme trait´ e en cours N
◦3 : Pr´ ediction des param` etres de fission par le mod` ele de la goutte liquide de Bethe et Weizs¨ acker, par le mod` ele la goutte liquide ` a port´ ee finie (FRLDM) et le mod` ele de la
gouttelette ` a port´ ee finie (FRDM) [1], [2] - Partie A
A D´ eveloppement du mod` ele de la goutte liquide de Bethe et Weizs¨ acker - Extrait de la th` ese de S. Khaled de 2009 [3]
• La structure nucl´eaire permet de comprendre pourquoi et comment les protons et les neutrons sont maintenus en coh´esion dans un noyau et ´etudier les ph´enom`enes g´en´er´es.
Son ´etude peut se faire par deux approches : une approche macroscopique et une ap- proche microscopique. La structure nucl´eaire s’int´eresse aux calculs des masses, ´energies d’excitation,· · · etc.
• La masse d’un noyau est l’une de ses propri´et´es fondamentales. Elle a ´et´e largement
´etudi´ee dans le cadre macroscopique par le d´eveloppement des formules semi-empiriques.
La premi`ere formule d´evelopp´ee est celle de Bethe et Weizs¨acker d´ecrivant le mod`ele de la goutte liquide. Ce mod`ele est devenu la base pour d´evelopper d’autres mod`eles. Il existe actuellement, de nos jours, deux mod`eles int´eressants d´eduits du mod`ele pr´ec´edent qui sont le mod`ele de la goutte liquide `a port´ee finie (FRLDM) [1], [2] et le mod`ele de la gouttelette `a port´ee finie (FRDM) [1], [2] que nous aborderons dans la suite de ce probl`eme.
• Dans cette section A nous aborderons quelque une de ces limitations physiques de la formule d´evelopp´ee par de Bethe et Weizs¨acker et verrons comment on peut ne prendre compte en d´eveloppant ce mod`ele. Ces d´eveloppement, et bien d’autres, sont repris et am´elior´es dans les mod`eles FRLDM et FRDM.
1. Donner les expressions ainsi que les significations physiques qui correspondent aux coef- ficients de la figure 1.
2. En partant de la formule de la goutte liquide de Bethe et Weizs¨acker, montrer que l’on peut la mettre sous la forme 1, ci-dessous, en fonction des param`etreskv etI que vous d´eterminerez et donnerez aussi la signification physique.
El=av 1−kvI2
A−asA2/3−ac Z2
A1/3+Ep (1)
1
3. L’extension du terme de l’´energie de surfaceEsdonn´ee par la formule 2 vous parait elle justifi´ee ? Que repr´esente le termekset que signifie le signe moins devant ?
Es=as 1−ksI2
A2/3 (2)
4. Si on prend en compte la structure du proton qui n’est pas ponctuelle, la correction `a l’´energie Coulombienne due au facteur de forme entraˆıne la forme 3, ci-dessous, pour l’´energie CoulombienneEC
Ec=3 5 e2 r0
Z2 A1/3−π2
2 e2 r0
e r0
2
Z2
A (3)
=ac1
Z2 A1/3−ac2
Z2
A (4)
o`u le param`etre d est donn´e par l’exp´erience Stanford de la diffusion des ´electrons, sa valeur est d = 0,5461 fm. La valeur du param`etrer0 est d´eduite des exp´eriences de la diffusion ´elastique des ´electrons et les calculs microscopiques des distributions de la densit´e nucl´eaire, elle est ´egale `a 1,18 fm.Le deuxi`eme terme dans l’´equation 4 repr´esente la diffusivit´e de la surface nucl´eaire, d´emontrez le de mani`ere qualitative.
5. La correction de Wigner `a l’´energie de liaison du noyau, dit ´energie de Wigner ∆EWig.[6]
est donn´ee par
∆EWig.=−W(|I|+h) (5)
o`u la constanteW est donn´e par un ajustement, on a
W= 30 (6)
h= 1
A, ZetNimpair etN=Z
0, autrement (7)
Que remarque t-on dans les formules 5-7 ? En d´eduire la signification physique de l’´energie de Wigner ∆EWig..
6. Le terme d’appariementδde la formule de la goutte liquide prend, d’apr`es Myers et al.[6]
, la forme 8, ci-dessous
δ=
+
√12 A−10A
, Z etN pair
−10A, Z ouNimpair
−
√12 A−10A
, ZetNimpair
(8)
Donner le nouveau terme d’appariementδ′si on tient compte de la correction de Wigner, et retrouver le r´esultat de Khaled et al. donner dans la r´ef´erence [7].
2
7. Quel est le terme de correction qui traduit le comportement individuel des nucl´eons avons nous omis dans la formule de l’´energie de liaison ?
8. Montrer qu’avec toutes les modifications que nous avons fait sur la formule de la goutte liquide de Bethe et Weizs¨acker, on obtient maintenant la formule modifi´ee 9, ci-dessous.
R´ecapituler la signification physique des ces termes.
EL(A, Z) =av 1−kvI2
A−as 1−ksI2
A2/3−Ec+Ep+Ecouche (9)
9. En supposant quek=kv=ks, `a l’aide de la figure 2, d´eterminer le param`etrek. Faites toutes les simplifications que vous jugerez n´ecessaire
B Approche de la fission induite de l’uranium
23592U
Dans cette partie B, on examine les pr´edictions sur la fission, en particulier la induite de l’uranium 23592U, que donne le mod`ele de la goutte liquide. On ne prend pas en compte la d´eformation des noyaux lors de la fission que l’on consid`ere sph´erique.
1. D´eterminer (en n´egligeant les termes d’´energie d’asym´etrie et d’appariement dans la for- mule de l’´energie de masse de la goutte liquide) l’´energie qui est lib´er´ee dans un processus de fission d’un noyau sph´eriqueAZX pour une division ´egale en masse et en charge. En d´eduire une valeur de la quantit´eZ2/Ao`u ce mode particulier de d´esint´egration par fission sym´etrique peut devenir possible. Est-ce que le noyau d’uranium23692U est stable vis-`a-vis de ce mode de fission spontan´ee. Commentaire ?
On rappelle que
BE(A, Z) =avA−aSA2/3
−acZ(Z−1)A−1/3
−aA(A−2Z)2A−1 + (±,0)apA−1/2
(10)
o`uav,as,ac,aaetapsont des coefficients constants dont les valeurs sont
av= 15,85 MeV;as= 18,34 MeV;
ac= 0,71 MeV;aA= 23,21 MeV;
ap= 12 MeV
(11)
2. Pour qu’il y ait fission, l’´energie qui y ait lib´er´ee doit-elle ˆetre plus grande qu’une certaine valeur seuil. Si oui, laquelle ? et d´eterminer une estimation de la valeur critique du rapport
Z2
A `a partir de laquelle la fission spontan´ee sym´etrique peut avoir lieu. Commentaire ? On rappelle que
e2
4πε0 = 1,44 MeV fm (12)
3
3. Donner une estimation de l’´energie ∆0qu’il faut fournir `a l’uranium23692U pour qu’il puisse fissionner sym´etriquement. Commentez votre r´esultat `a l’aide de la figure 3 sachant que principalement l’appariement du neutron qui induit la fission donne une ´energie d’environ 8 MeV au syst`eme.
4. Commenter sommairement de mani`ere qualitative les figures 4, 5 et 6.
5. Un noyau peut subir une fission si la force d´eriv´ee de l’´energie de surface est exactement compens´ee par la force de Coulomb. D´eterminer la valeur critique du rapportZA2`a partir de laquelle la fission spontan´ee sym´etrique peut avoir lieu. Commentaire ?
On rappelle que si U est l’´energie potentiel, la force F~
qui en d´erive se d´etermine par
F~
=
−dU dR
(13) o`uRest la valeur du rayon nucl´eaire.
References
[1] P. M¨oller, J. R. Nix, W. D. Myers, W. J. Swiatecki , Atom.Data Nucl.Data Tabl. 59 (1995) 185-381, Nuclear Ground-State Masses and Deformations
[2] W. D. Myers, W. J. Swiatecki, P. M¨oller, J. R. Nix, At. Data. Nucl. Data. Tables 61 (1995) 127.
[3] Th`ese de Salim KHALED, Th`eme :calculs des ´energies de liaison et d’excitations des noyaux de la r´egions d´eform´e A∼32, soutenue le 24/01/2009
[4] S. Cohen, F.Plasil, and W.J. Swiatecki, Ann. Phys. (N.Y.) 82,557 (1974) [5] W.D. Myers and W.J. Swiatecki, Ark. Fys. 36, 343 (1967).
[6] W. D. Myers, At. Data. Nucl. Data Tables 17 (1976) 411.
[7] S. Khaled, M. Ramdhane, F. Benrachi, Eur. Phys. J. A 22 (2004) 17-21.
[8] W. D. Myers, W. J. Swiatecki, Nucl. Phys. 81 (1966) 1.
Figure 1: Valeurs des constantes de la formule en masse de Bethe et Weizs¨acker
4
Figure 2: Ajustement lin´eaire de aux des valeurs exp´erimentales de l’´energie de liaison moyenne (EL(moy) = ´energie de liaison par nucl´eons =EL(A,Z)A ) des noyaux de la r´egion ´etudi´ee pour d´eterminer le param`etrek. La droite des abscisses est trac´e pour la valeur r´ealis´e de la constante de l’ajustement.
5
Figure 3: Fraction en % des noyaux produits dans la fission induite de l’uranium 23592U en fonction du nombre de masse
Figure 4: Puits et Barri`ere de potentielle
6
Figure 5: ´Energie potentielle en fonction de la d´eformation du noyau. On voit ici deux points de scelle.
7
Figure 6: Forme de l’´energie potentielle en fonction de la d´eformation du noyau pour diff´erentes valeurs de A. `A noter que pour les tr`es grandes valeurs de A il n’y a pas de barri`ere de potentielle.
8
