HAL Id: jpa-00249477

HAL Id: jpa-00249477

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00249477

Submitted on 1 Jan 1996

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Étude de l’efficacité des modes de Lamb dans la signature acoustique V(z) d’une couche mince par la

théorie de la résonance

Abderrafi Ramdani, Franck Augereau, Gilles Despaux

To cite this version:

Abderrafi Ramdani, Franck Augereau, Gilles Despaux. Étude de l’efficacité des modes de Lamb dans

la signature acoustique V(z) d’une couche mince par la théorie de la résonance. Journal de Physique

III, EDP Sciences, 1996, 6 (5), pp.571-595. �10.1051/jp3:1996141�. �jpa-00249477�

J. Phys. III France 6

(1996)

571-595 MAY 1996, PAGE 571

#tude _de l'eflicacit4 des modes de Lamb dans la signature

acoustique V(z) d'une couche mince _par la th40rie de la r4sonance

Abderrafi Ramdani,

Franck

Augereau (*)

et Gilles

Despaux

Laboratoire

l'Analyse

des

Interphases

et de

Nanophysique (**),

Case courrier 82, Place

EugAne

Bataillon, 34095

Montpellier

cedex 5, France

(Re§u

le I acfit 1995, rdvisd le 30 janvier 1996, acceptd le 15 fdvrier

1996)

PACS.43.20.+g

General linear acoustics

PACS.43.35.+d Acoustics

properties

of thin films PACS.43.35.+d Surface _waves in

liquids

and solids

PACS.68.35.Gy

Mechanical and acoustical properties

R4sum4. Les relevds

exp6rimentaux

des

signatures

acoustiques _sur des couches minces sont difliciles h

interpr6ter

_car tous les modes de Lamb

g6n6r6s

h di1f6rents

angles

d'incidence vont

interf6rer,

_ce

qui

rend

impossible

toute d4termination des

parambtres acoustiques

de la couche.

II est alors ndcessaire de mettre _{en ceuvre une} mdthode

d'analyse rapide

afin d'dtudier l'influence de chacun des

parambtres

de la couche _{sur ces} modes afin de d6terminer les conditions

optimales

de _mesure. La mdthode

d'analyse

basde _sur la ddterniination de la

largeur

I mi-hauteur des

pics

de r6sonance du pouvoir r6flecteur est _un moyen

original

de rdsolution du

problAme

direct, qui permet de montrer que certains modes sont

plus

eflicaces _que

d'autres,

et donc

plus

faciles 1 d6tecter _sur les

signatures exp6rimentales.

Grice _aux rAsultats

th60riques

obtenus, les

fr6quences

d'observation ont pu Atre

optimisdes

_pour des

6paisseurs

des

plaques

d'acier et de

verre utilis6es dans la

partie exp6rimentale

de _ce travail. De _{ces mesures} et _en utilisant notre modAle de

simulation de la

signature

acoustique, _{nous avons} r6solu le problbme inverse et ainsi

avons pu

d6terminer les parambtres acoustiques de _ces couches.

Abstract.

Experimental

acoustic

signatures

measured _on thin films _are

perturbated by

_an

interference process between the different Lamb _waves

generated

at various incident

angular

values. This disables the _correct determination of the layer's acoustic parameters and for this reason, it is helpful to

develop

_a

powerful

method to study the influence of each layer parameter

on these modes. For this purpose, a

technique

based _on the calculation of the

half-height

width

on resonance

peaks

of the reflectance _power has been elaborated. From these simulations, _we

may determine which modes will be _more

efficiently

extracted from acoustic

signatures

for steel and

glass

films. This result has been confirmed

experimentally using

ultrasonic

frequencies optimized

_versus the

sample

thicknesses for

glass

and steel

plates. Indeed,

from

experimental

acoustic signatures, _we have next been able to retrieve the acoustic parameters of these

samples.

1. Introduction

Depuis

_une

vingtaine d'ann4es,

la

microscopie acoustique

_a AtA

d4veIopp4e

_en

prenant

en

compte

diff4rents

aspects,

dont les

principaux

sont la r4alisation

d'appareillages

de

plus

_en

plus perfor- mants,

_une familiarisation _aux

images acoustiques qui

permet une meilleure

interpr4tation

des

(~) Auteur

auquel

doit Atre adress6e la

correspondance (e-mail: augereau@ lain.univ-montp2.fr) ("~)

URA CNRS D1881

@

Les

#ditions

_de

_Physique

₁₉₉₆

structures

visualis4es,

et surtout _une modAlisation de

plus

_en

plus sophistiqu4e

des

signatures

foumies _par Ie

microscope acoustique.

^Ces

appareils

_peuvent

Agalement

fonctionner soit h _une

fr4quence

donn6e

lorsqu'on

d4focalise le

capteur

_par

rapport

au

plan focal,

soit h di1f4rentes

fr4quences

_{avec une}

profondeur

fix4e de d4focalisation du capteur. Ces

signatures acoustiques

sont rel16es h la structure des mat4riaux

analys4s,

h leurs

propr14t4s 41astiques

et h leurs _mor-

phologies.

Si _{pour un} mat4riau

massif,

le

problAme inverse,

c'est-h-dire la d4termination des vitesses de

propagation

des ondes

longitudinale

et

transversale,

et par suite les

propr14t4s m4caniques,

est relativement facile h

traiter,

it n'en _{est pas} de mAme pour une couche

dApos4e

_{sur un} substrat massif _ou pour une couche

immerg4e

dans _un

liquide.

Dans _ce cas, le

problAme

inverse

qui

consiste h

d4terminer,

soit les

4paisseurs

des

couches,

soit leurs

densit4s,

_{ou encore} leurs

propri4tAs mAcaniques,

_ou les trois h la

fois,

devient trAs

complexe,

si _{on veut} le r4soudre _avec des relev4s de

signatures acoustiques exp4rimentales V(z),

d'autant _que certains modes de

propagation

sont peu

efficaces,

c'est-h-dire

apparaissent plus

difficilement _que d'autres.

Pour traiter le

problAme inverse,

il est n4cessaire de bien

comprendre

le

problAme

direct et par

suite,

d'4tudier l'influence de chacun des

parambtres physiques

mis en

jeu

^{dans la} modAlisation de la

signature acoustique V(z). L'analyse

du

problAme

direct

peut

Atre forte _par des modAles

habituellement utilis4s

(Sheppard

et Wilson

ill,

Atalar _[2]

).

Si _on veut les

appliquer

_au

problAme inverse,

les m4thodes de calcul basses _sun les modAles

pr4-cit4s

sort difficiles h mettre _{en ceuvre.}

Pour cette

raiser,

_{nous avons}

adapt4

et

d4veloppA

_une m4thode de calcul

plus rapide

bas4e

sur un formalisme de rAsonance utilis4 _pour l'Atude de la diffusion _en

physique

nuc14aire [3].

I partir

de _{ce nouveau}

modAle,

_nous essaierons de mettre _en 4vidence les

paramAtres, qui

sont lids h l'eflicacit4 des modes de Lamb dans la

signature acoustique V(z),

afin de d4terminer _pour

chaque

couche 4tud14e les conditions

optimales

de _mesure. En utilisant _ces

informations,

des

signatures acoustiques

seront

pr41ev4es

_sur des

plaques

de _verre et _sur des

plaques

d'acier doux aria de d4terminer les vitesses des modes de Lamb

pr6sents.

Ces _mesures serviront h dormer _un

exemple

de traitement du

problAme

inverse et h d4terminer ainsi les

paramAtres acoustiques

de la couche.

2. Notion d'eflicacitA de la

signature acoustique

Les di1f4rents modAles de calcul de la

signature acoustique

nAcessitent la connaissance du

pouvoir

r4flecteur _ou coefficient de r4flexion des _{structures en} fonction de

l'angle

d'incidence

R(9).

Le

plus

utilis4 est celui de

Sheppard

et Wilson

ill

_:

9m~x

Viz)

₌

^P~ (9)R(9) exp(2jkoz

cos

9)

sin 9 _cos 9d9

(1)

oh

9rnax

est le

demi-angle

d'ouverture de la

lentille, ko

est le vecteur d'onde darts le

liquide, P2 lo)

=

exp(-3,

5 _x

(50)2 IS /9rnax)~)

est la

r4partition

de

l'4nergie

de la fonction

pupille

de la lentille _{pour une ouverture} maximale de 50°.

Le traitement

num4rique

des

signatures exp4rimentales

_ou

th40riques

_par Transform4e de Fourier

Rapide (TFR) permet

^{d'extraire les} vitesses des ondes de Lamb _{us,a avec} la relation

Us~a "

~~

~

~

(2)

2

f)z

oh _vi est la vitesse des ondes

acoustiques

de

compression

darts le milieu de

couplage

et

f

est la

frAquence

d'excitation du

capteur.

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 573

Lorsque

_ces vitesses sort

rapides,

la TFR _De

permet

_pas ^la d6termination des valeurs us,a

avec une bonne

pr4cision

h _cause d'un faible nombre de lobes darts la

signature.

La m4thode de traitement de la

signature acoustique

_par TFR montre que

l'4nergie

des raies

correspond

h l'efficacit4 des modes.

Cependant, plusieurs

solutions permettent ^{d'avoir des raies}

ayant

la mAme

4nergie

alors _que l'amortissement et

l'amplitude

de la

signature acoustique

sent trAs di1f4rents.

Une deuxiAme mAthode de traitement

appelAe

"mAthode

d'analyse

directe" est basAe _sur la

d4composition

de la

signature acoustique

_par des fonctions

math4matiques simples.

En

eifet,

Kushibiki _{[4] a} montr6 _que la

signature acoustique Viz) _peut

Atre

d6compos4e

_en deux termes _:

une fonction de transfert _ou

r4ponse

de la lentille _:

VL(z),

une fonction

caract4ristique

du mat6riau

:

hlz)

dont la

p4riodicit4 spatiale

est fonction de la vitesse du mode choisi.

Viz)

=

VLlz)

+

Viz) 13)

oh

VL(z)

₌

A+Ai exp(-aiz) +A2 exp(-o2z~)

est la fonction de transfert

pouvant

Atre obtenue

exp4rimentalement

_sur un mat6riau

parfaitement

r4fl4chissant

(or, TAflon...),

et

h(z)

= G

exp(-flz)

sin ~~

z +

c)(4)

zo

correspond

_au terme de

propagation

de l'onde de Lamb le

plus

efficace dans la

signature acoustique.

Dans le dernier terme de la fonction

Viz),

les

paramAtres

G et

fl correspondent respective-

ment h

l'amplitude

du mode de

propagation

et h _son amortissement. Ces

paramAtres

_sont

lids,

soit h la _nature du

mat4riau,

soit h _son (tat de surface _{ou encore} h _sa structure

interne,

mais surtout ils

d4pendent

de la r44mission des ondes de

plaque

_vers le capteur

(rayonnement).

3. ThAorie des modes de Lamb

Le _cas

qui

_nous ^intAresse est celui _pour

lequel l'4paisseur

d du matAriau _est de l'ordre de

grandeur

_ou inf4rieure h la

longueur

d'onde

~,

dans _{ce cas} il _{y a}

propagation

des modes

dispersifs

de Lamb

sym4triques

et

antisym4triques,

dont les vitesses sont

respectivement

les solutions des

Aquations IS)

et

(6)

d4termin4es par Viktorov [5]

lorsque

la

plaque

est

immerg6e

darts _un

liquide

_:

lk)

⁺

s))~ coth(qsd) 4k)qsss coth(ssd)

₌

^{i~~ ~~~~ IS)}

P2

@@

(k~

+

s~)~ tarn(qad) 4k~qasa tarn(sad)

= I^~~

~~~~

~~~

~ ~ ~

P2

fij

kL

₌

~

j~ g~,a ~~,a

~~

dans

lesquelles ^kT

" et

(7)

~T ~2

-~2 _~2

uJ s,a~ _s,a T

ks,a

_"

Us~a

pi et p2 sont

respectivement

les densit6s du milieu externe et de la

plaque.

Les nombres d'ondes k v4rifiant _cette

4quation

seront not4s _{k~ et}

ka.

axe Z

milieu

liquide Sup6rieur:

V3,

p

3

onde onde

incidente rdfldchie

f

>

f 'I

~

f

~

i@

~' T .) VL, VT,

p

2

'

"

0 ~

_{aXe X}

~ ^~'

~

ondes transmises

milieu

liquide

infdrieur: Vi,

p

Fig. 1. R6flexion et transmissimi par une

plaque immerg6e

entre deux fluides.

[Reflected

and transmitted _waves in

plate

immersed between two

liquids.]

On utilise les indices

(s,a)

_pour les

paramAtres k,

_{s, q et u} aria

A'indiquer qu'ils correspondent

aux modes

symAtriques is) et/ou antisym4triques la).

Cette notatioisera consent<4e darts la suite de cet article.

On remarque que darts le _cas d'une

plaque libre,

^les seconds membres des

4quations IS)

et

(6)

sort nuls.

Une deuxiAme m4thode de d4termination des vitesses de

dispersion

_u~,a consiste h calculer le

pouvoir

^{r4flecteur R} et h trouver [es solutions

qui

annulent _son d4norninateur. Le modAle de

Brekhovskikh [6] ^est le mieux

adapt4

_pour d4terminer R _en fonction de

l'angle

d'incidence et de la

fr4quence

des ondes 4mises _{vets un}

empiiement

de couches _{sun un} substrat ma,qsif.

Pour _une

plaque in1mergAe

dans _un fluide

(Fig. I),

le coefficient de r4flexion

peut

_se mettre sous la forme suivante

(fluiAe

I

= fluide

3)

_:

~

2M +

I(Jf2

^N2

1)

^~~~

N =

)

~~~ ~'~

+

~~

_{~~~ ~'~}

~~~~

'

~i

i1~P

Zi

iI~Q

M

=

~~ cos~ 2j

cot P ₊

~~

sin~

_{2~t cot}

Q

Zi Zi

et

~ °~

"

kLdcos9 z~

~

P2u~

~ ~~ ~T£i

_CDS'f

z~

~

i(~ _Zl

"

~~~l

CDs ~t

C°S 91

(9)

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 575

On

peut

^{v4rifier ais4ment} que le coefficient de r4flexion _{pour une}

plaque peut

s'4crire

)(N _M)j )(N

₊

_M)j ))

~

~

ii

_~

_~)

_{~ j}

jj

j ~ _~

~)

j

ij (lo)

ZL ZL ZL ZL

Puis,

_en posant

ea= ^~~(N-M)

(L ^ill)

Cs

₌

I(N+ _M)

ZL

et le

rapport

des

imp4dances

r =

~~ (12)

ZL

on obtient _:

~

(Ca ~~(C~~ _iT)

^{~~ ~}

^~~)Cs

^~

_Ca

_iT ^~

_Cs

iT ~~~~

I

_{l'aide des}

_4quations (9), ill)

et

(12)

et _en

posant

_: d

=

2d',

_s

=

[et

q =

fi~,

les

quantit4s Ca

et C~ ^deviennent

En alfectant h

k,

_{q et s} les indices "a"

(#q. (14))

et "s"

((q. _(15)),

on remarque que les

4quations

_:

Cs

ir ₌ o

(16)

et

Ca

+ ir

= o

(17)

sont strictement

4quivalentes

_aux

4quations (5)

et

(6)

donnant les modes

sym4triques

et anti-

sym4triques

^d'une

plaque immerg4e.

De

mAme,

h

partir

de

l'4quation (13),

_on voit _que la condition d'annulation du

pouvoir

r4flecteur est

Cacs

=

r~ (18)

Pour _une

plaque

_peu

charg4e,

oh _r est trAs

petit

devant

I,

c'est-h-dire

quand l'imp4dance acoustique

du

liquide

est trAs

petite

devant celle du

solide,

la condition d'annulation du

pouvoir

r4flecteur

(18)

et les

4quations

donnant les modes propres de la

plaque

libre coincident. Sur les

figures

2 et 3 _nous donnons _un

exemple

de courbe de

dispersion

des vitesses _en fonction du

produit fr4quence-4paisseur fe)

_pour,

respectivement

_une

plaque

d'acier et une

plaque

de

verre.

Vitessedephase~knds)

al Si

,~ as ^"

s4

si al

8

S1~

v~ _v~

ao

D 2 4 0 8 lo 12 14 lo

F-e (l4Hcmm)

Fig.

2. R6seau de

dispersion

des vitesses des modes de Lamb pour l'acier. Traits _{gras :} modes sym6triques. ^Traits fins _: modes antisym6triques.

[Velocities

of Lamb modes _as

a function of the

product

of

frequency f

and

plate

thickness

e in

a steel

sample.]

Vitesse de phase ~kws)

al ~~ ~~

as

~~

53

~~

ai a6

VL-

+ So

vT ^~'~~

v

ao

D 2 4 0 8 lo 12 14 id

F-e (l4hz.mm)

Fig.

3. RAseau de dispersion des vitesses des modes de Lamb pour le _verre. Traits gras : modes

sym4triques.

^Traits fins _: modes

antisymAtriques.

[Velocities

of Lamb modes _as

a function of the

product

of

frequency f

and plate thickness

e in _a

glass

sample.]

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 577

4. Formalisme de la rAsonance

angulaire

La th40rie de la diffusion rAsonnante R-S-T-

(Resonance Scattering Theory) dAvelopp4e

_en

acoustique

_par Uberall et _ses collaborateurs _pour des

cylindres, puis

_pour des

plaques [3, 7], s'appuie

_sun les r4sultats de l'6tude de la diffusion _en

physique

nuc14aire. Le coefficient de rAflexion 4crit _sous la forme d'une _somme de deux termes

((qs. (13)) pr4sente

_un caractAre

rAsonnant

quand

les

parties

r4elles de _son d4nominateur

s'annulent,

c'est-h-dire

quand

^{la fr6-}

quence de l'onde incidente coincide _{avec une}

frAquence

_propre donn4e _par

Ca

= o _ou

Cs

=

o,

r 4tant

suppos4 petit

devant I. On dit que la

plaque

entre _en r4sonance

lorsqu'une

onde de Lamb est

g4n4r4e.

Pour _une

fr4quence donn6e, Ca

et

Cs peuvent s'exprimer

en fonction de la variable

angulaire

9 _{ou x}

= sin 9

(9

(taut

l'angle d'incidence).

On note

respectivement

_xm~ et xm~ les r6sonances

angulaires

du m-iAme mode

sym4trique

et

antisym4trique.

Afin de mettre _en 6vidence le caractAre r4sonnant de

R(9),

_on

4crit,

_au

voisinage

de la

r4sonance

angulaire

des modes

sym4triques

_ou

antisym6triques,

les

d4veloppements

de

Ca

et

Cs

_en sArie de

Taylor,

soit

Cs(x)

=

Cs(xm~

+

lx xma) Ii

+

l19)

~~

~=~_~

I

_{la r4sonance}

angulaire

_{xm~ on a :}

c~(x~~)

= o.

(20)

De mAme

Ca(x)

₌

Ca(xm~

+

(x _xm~) 1)

+

(21)

~=~~~

avec

Ca(xm~)

_" o.

(22)

En posant

rm

=

~°'~

dAfinie _comme

largeur

h mi-hauteur du mode

(23)

~'~

8Cs_a

'

8~

~~~

avec r~,~ =

PI ~l ~°S 9

~

Pi

(Vi /uL)~ xj~

~

P2 UL COS$1 _p2 g2

(~~)

ms,a

et

~

~'~~ "~ ~'~ ~°~ ~'~ ^~°~

~/ ^1~~ )

_~~

^~ ~~~1~~)

^~'~

+2r~ _(9~

cos 29 sin 2~t _{+ ~ty sin} 29 _cos 2~t) cot

~ (25)

2

~

~'~~ "~

~'~~°~~'~~~~

~

~/ ~)

~ ~~

~

~~~~)~'~

+2r~(9~

_cos 29 sin 2~t + ~ty sin 29 _cos

2~t)

tan

~ (26)

2

°~

9~ =

(lift/uL)~ xS~~)-~/~

~t~ =

llui/vT)~ _{xS~ ~)-~/~}

P~

=

kdxm,

~

((vi /uL)~ _xL~

~

)-~/~ _j27)

Q~

=

-kdxm~ ~jjui/uL)~ _xL~,~)-~/~

uL r =

uT

le

pouvoir

rAflecteur donn4 _par

l'4quation (13)

_peut s'4crire

R

-

j~ II ^+iir~~ ilii~

+

j~ /£~+iir~~ ilii~

(28)

En

d4veloppant

les

expressions

de

Ca

et

Cs

donn4es _par les

4quations (19)

et

(21)

_on obtient

~

ii / ii

[(x xm~)i ij

i

i~

_~m~

"~m, I

+

k)

~-~~,

Ii / I)*) _{(lx xm~)([*} it

1

~

(x xm~) )irm~ ji

₊ ^{c~ ~~~~}

c~

~m~»~~

En

n4gligeant

les

quantit4s ^~ )et ^~~

devant I _pour chacun des modes et _en

Ca

~=s~~

Cs

~=s,~~

posant

_:

ir~

_r~

ri

~~~

~

laiX[,)

^~

_CaiXm~)

(£')~=s,,1,

1r j30)

r~

rj

~~

~~~

"

fisii[~) _~csixm~)

(%)~=~,,,~

II est

possible,

_en sommant _sur tous les

modes,

de dAduire R _sous la forme suivante

=

m~

~~

~

l~ ^~- X), 1(~

^{~ +}

~j

^{~ ~ma + flm~}

~ ~~

~a

~ ~ma

)ir~~ ⁽³¹⁾

Les

quantitAs

flm~ et

flm~

^deviennent

nAgligeables lorsque

_r~,a est

petit

devant I. Les z4ros annulant le

pouvoir

rAflecteur R et les

poles

annulant _son d4nominateur sort donnAs _par

Xz4ro ~ Xm~

a

+

fm~

a

132)

xpoie = xm~ ⁺

)irm~

a

133)

Le formalisme de la rAsonance

appliquAe

sur

R(9) ((q. ₍₂₉₎

_et

₍₃₁₎₎

a donnA des rAsultats _en

parfaite

concordance _avec les relations _exactes de

R(9)

donnAe _par Brekhovskikh [6].

Ceci reste valable dans la _mesure oh les modes sont relativement

AloignAs (Figs.

4a et

b).

Dans le _cas

contraire,

un

phAnombne

d'interfArences _entre les modes voisins _se

produit

niais le formalisme de la rAsonance _{n en} tient pas compte

(Figs.

5a et

b)

_[8].

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LANIB 579

~ i,o

0,8 D,8

© ©~

0,6 ~ 0~6

- ~

$

£

E ~

< 0,4 < 0,4

s~

0~2

a~ ao

D,0 D,0

0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50

a)

⁶

(degr6s) _b)

6

(degrAs)

Fig.

4.

Comparaison

du pouvoir ^rdflecteur exact

(ModAle

de

Brekhovskikh) a)

et de la

superposition

des pouvoirs r6flecteurs autour des rAsonances _ao et _so

b),

_{pour une}

plaque

d'acier

d'6paisseur

15 _~tm h _une

fr6quence

de 100 MHz.

[Comparison

bet,veen the reflectance _power calculated from the Brekhovskikh's model

(Curve a)

and the superposition of reflectance powers around the _resonance points _ao and _so

(Curve b)

in the _case of _a 15 _~tm thick

plate

of steel at 100

MHz-j

On vient de voir que pour tous les modes contenus dans le

pouvoir r6flecteur,

et par suite dans la

signature acoustique,

_{on a une}

expression

du coefficient de rdflexion

qui

est fonction de leur

largeur

h mi-hauteur

rm,

~.

Dans les relations

(23)

et

(24)

_{on a pu}

sAparer

deux

parambtres qui

influencent l'efficacitA de la

signature acoustique,

it

s'agit

_:

1)

^du rapport

d'imp4dance

_rs,a

qui

est fonction des rapports ^{des densit4s}

liquide/mat4riau.

Ainsi dans _une

plaque

libre _on retrouve le mAme

ph4nomAne

_que celui observ4 _{sun un} matAriau massif [9],

jj(~ /~~)2 ^~2 /ji ^~2 )j)

2)

du facteur ^{~'~ ~~ ~}

qui dApend

de la

position

du mode _sur le

(ac,,~

_8~

~~~

rAseau de

dispersion.

Cette

positiIn

_est fonction de la i<itesse de

propagation

des

modes,

du

produit fe

et de la nature du mat4riau.

Ainsi,

_{on a} des

expressions

directement l14es aux

paramAtres m4caniques

de la couche

qui

vont nous

permettre

de voir comment its interviennent _sur la

signature acoustique

et notamment sur son eflicacit4.

1

Si Ai

angle (degrds)

0

a)

^{10 IS 20}

1

Ai

~l angle (degr4s)

b)

~

10 20

Fig.

5.

Comparaison

du

pouvoir

rAflecteur exact

(ModAle

de

Brekhovskikh) a)

et de la

superposition

des

pouvoirs

rdflecteurs autour des rdsonances _al et _si

b),

_{pour une}

plaque

de _verre

d'dpaisseur

35 ~tm h _uue

frdquence

de 100 MHz.

[Comparison

between the reflectance _power calculated from the Brekhovskikh's model

(Curve a)

and the

superposition

of reflectance _powers around the _resonance

points

_al and _si

(Curve b)

in the _case of _a 35 _~tm thick

plate

of

glass

at 100

MHz-j

5. Relation entre

l'amplitude

et la

phase

Nous _{avons vu au}

paragraphe prAcAdent

_que les modes de Lamb _se manifestent dans le

pouvoir

r4flecteur _{par un} minimum du module et un

changement

de

phase.

Le minimum du module est alors caract4risA par sa

largeur

h mi-hauteur

rm~

~,

et le

changement

de

phase

_{par sa}

pente tan(q7~,a).

En

elfet,

si _nous 4crivons le

pouvoir

rAflecteur _au

voisinage

^d'une r4sonance _xm~

~

de la

fagon

suivante

Ri,a

_" ^{~ ~~~'~}

_i~~~'~

_"

A~,a

+

iBs,a, (34j

X Xms

a

§lXms

a

nous pouvons ainsi d4duire la

pente

^{de la}

phase

du

pouvoir

r4flecteur _{par :}

~~~(k~s,a)

_"

)

"

~~~)j~

~' (35)

, ~_~

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 581

Tableau I.

Infl~ence

de la variation de la densitd d~

iiq~ide

_s~r la

iarge~r

d

mi-ha~te~r,

ies

coefficients G, fl

et _s~r

i'ampiit~de

d~

pic

de la TFR.

[Influence

of the

coupling

fluid

density

_on the

half-height

width r parameter, ^{the G and}

fl

parameters and also _on the

spectral amplitude

of the mode detected by

FFT.]

densitA du indice

Largeur

h G fl coefficient

Amplitude

du

liquide

_pi

correspondant

_au mi-hauteur

Amplitude

d'amortissement

pic

dAtectA

(kg/m~)

rapport _pi

/p2 (degrAs)

du mode du mode par TFR

1000 1 0,25 1,18 x 10~~ -2,14 x 10~~ 12,7

2500 2 0,68 2,52 _x

10~~

_{-5, 82}

x

10~~

_15,6

4000 3 1,03 3,75 _x

10~~

_{-8, 77}

x

10~~

_15,3

5000 4 1,36 4,9 x

10~~

_{-1, 41 x}

10~~

₁₄

8000 5 2,05 7,1 x

10~~

_{-1, 63}

x

10~~

_ii,1

12 000 6 3,36 1,22

x10~~

_{-2, ii}

x

10~~

_7,2

13 600 7 3,5 1,31 _x 10~~ -2, 97 _x

10~~

_6,8

Nous remarquons

ainsi,

h

partir

de

l'4quation (35),

_que la pente ^{de la}

phase

est directement

proportionnelle

h la

largeur

h mi-hauteur et que, pour x = xm~

~,

tan q7~,a tend _vets l'infini.

Ce rAsultat est d'une

grande

utilit6 _car il _nous

permet

_par la suite d'utiliser _un seul

paramAtre

pour caract4riser _un

mode,

h savoir _sa

largeur

h mi-hauteur.

6. Influence de la densit4 du

liquide

Si _{nous reprenons}

l'Aquation (23)

_nous dAduisons immAdiatement _que la

largeur

h mi-hauteur rm~_~ ^est

proportionnelle

_{au rapport} des densit6s du

liquide

_sur le solide ~~

(cf.

Tab.

I).

Cette

propr14t4

est mise _en 6vidence _sur la

figure

6 oh _{nous avons}

augment4

P2la densitA du

liquide

de loco

kg/m3 (eau)

h 13 600

kg /m3 (mercure).

Nous remarquons alors _une

augmentation syst4matique

de la

largeur

h mi-hauteur

(Fig. 6a)

ainsi que de la pente ^{de la}

phase (Fig. 6b) (les

indices I h 7 de _cette

Fig. correspondent

h _ceux du Tab.

I).

On constate que ^cette

augmentation

de la

largeur

h mi-hauteur _se traduit _sun la

signature

acoustique (Fig. 6c)

_{par une}

augmentation

de

l'amplitude

des

premiers

lobes

qui

diminue trAs

rapidement

_pour les lobes suivants.

L'analyse

directe de _ces

signatures, auxquelles

_{nous avons} retranchA la

rAponse

de la

lentille,

montre que le facteur G ainsi que le coefficient d'amortisse- ment

fl

varient dans le mAme _sens que la

largeur

h mi-hauteur

(voir Fig. 7).

7. Influence des

paramAtres acoustiques

_uL et UT

1)

Dans

l'6quation (23)

_on d6duit que la

largeur

h mi-hauteur

rm~

~

s'annule _pour xm~

~

=

sin

9m~~

=

"~

=

"~,

c'est-h-dire u~,a = uL. La

largeur

h mi-hauteur est donc minimale

u~,a uL

lorsque

la vitesse de

phase

est

Agale

h la vitesse

longitudinale

_uL de la couche.

2)

Nous _{pouvons remarquer} h travers les courbes de

dispersion

des modes de Lamb de l'acier

et du _verre donn6es _sur les

figures

2 et

3,

_que les modes

symAtriques

_{ne se} coupent _pas entre

eux, il _en est de mAme pour les modes

antisym6triques. Cependant,

_un mode

sym6trique peut

croiser _un mode

antisym6trique.

Ceci devient

plus frAquent lorsque

l'ordre _m des modes _sm et am

augmente.

, 3 1,O

O,8

#

°,6 S

E

~ O,4

0,2

o,o

o lo 20 30 40 50

~~

8 (degr6s)

2,0

1,5

1,o

o,5

Q3

o,o

,li

7J

-o,5

~

©

-i,o c-

-i,5

-2,0

lo 20 30 40 50

Fig.

6. Pouvoir rdflecteur

(a) amplitude

et

b) phase)

et

signature acoustique c)

du mode _{si pour}

une plaque d'acier

d'6paisseur

65 ~tm h

une fr6quence de 100 MHz h di1f6rentes valeurs de densit6 du liquide.

[Reflectance

_power

(a) amplitude, b) phase)

and

corresponding

acoustic

signature c)

^for _si mode for _a 65 _~tm thick

plate

of steel at 100 MHz for

coupling

fluids with different

densities.]

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 583

AJnplitude

relative (indice Ii 0,06

0,04 0,02 o,oo

'°,°2 D6focalisation Z (~m)

-0,04

0 256 512 768 1024

AJnplitude

relative

(indice 3)

0,06

0,04 0,02 o,oo

~°,°2 D£focalisation Z

(~m)

-0,04

0 256 512 768 1024

AJnplilude

relative

(indice 6)

0,06

0,04

0,02 o,oo

~°,°2

Ddfocalisation Z

(~m)

-0,04

~)

^{0 256 512 768 1024}

Fig.

6.

(Suite.)

Par

ailleurs,

_nous constatons aussi que le nombre de croisement des modes n'est _pas le mAme pour ^tous les matAriaux.

Ainsi,

les deux modes d'ordre

I,

_al et si, se croisent _en deux

points

pour le verre, alors

qu'ils

_{ne se} croisent _{pas pour} l'acier. Le seul

paramAtre _qui

_a variA _entre

ces deux matAriaux est le rapport ^{de la vitesse}

longitudinale

_uL sur la vitesse transversale _UT Pour

simplifier l'Acriture,

_{on pose :} ^"~

=

(.

Nous _avons Atud16 alors le lien

probable

entre le

UT

croisement des modes _al et si et les valeurs de la

largeur

it mi-hauteur _en fonction de

(. Ainsi,

nous avons montrA _{que pour} les matAriaux dont le

rapport (

est de

1,76,

les modes _al et si se

croisent _{en un} seul

point,

tandis que pour

( supArieur

h

1,76 (acier),

_on n'a pas de

points

^de croisement et

qu'il

_en existe deux _pour

(

infArieur h

1,76 (verre).

Ce rdsultat

permet

^d'Atablir de manibre

thAorique

_une corrAlation directe entre le rapport

(

et le croisement d'un mode

facteurG

fi(*m0rthsement)

14

12

lo

8

6

G

5

O,66 t03 1,36 2,05 3,36O

Lar%eurkmi-hauteur(dogr&)

Fig.

7. Variation des paramAtres G et

fl

_en fonction de la

largeur

I mi-hauteur.

[Variation

of fl and G parameters _{as a} function of the

half-height

width parameter

r-j

symAtrique

et d'un mode anti-

symAtrique

de mAme

ordre,

_ce

qui

est d'une

grande

utilitA _pour l'identification des modes dans la

signature acoustique expArimentale.

Lors de cette Atude

thAorique,

_{nous avons}

remarquA

aussi _que pour ^tous les _modes

AtudiAs,

la

largeur

h mi-hauteur

augmente

^de

fagon quasi-linAaire lorsque

_ce

rapport ( augmente. Ainsi,

pour le mode _si,

r~, augmente linAairement,

tandis _que cette

caractAristique prAsente

_un acci- dent _pour le mode _al h la valeur de

( (gale

h

1,76 prAcAdemment

calculAe

(Fig. 8).

La

largeur

h mi-hauteur est donc elle aussi sensible _au croisement des modes.

8. Influence de la

position

du mode de Lamb dans le rAseau de

dispersion

_sur la

largeur

h mi-hauteur

Cette influence _se traduit

mathAmatiquement ((q. ₍₂₃₎

par l'intermAdiaire du facteur

(vi _{/uL)~ X$}

~

~'~

0Cs,a

fi

~=~~~

~

Sur la

figure

9 _{nous avons} tracA pour

l'acier,

dans le _cas de la rAsonance

angulaire,

la

largeur

h mi-hauteur

rm~,~

pour les

premiers

modes _ao et so en fonction du

produit fe.

Pour le mode _ao,

ra~

diminue constamment et passe par un minimum pour se stabiliser ensuite h _une valeur constante.

Pour le mode _so,

r~~

passe par un maximum et tend _vers la valeur

d'asymptote

de

ra~.

Nous _avons

auspi

suivi l'Avolution de la

largeur

h mi-hauteur pour les modes

supArieurs (al,

si, Pour l'acier celle-ci _{passe par un} maximum

puis

tend _vers zAro

lorsque fe _augmente

(Fig. lo).

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 585

Largeur A mi-hauteur (°) O,2

a~

O,

I 1,33 2 2,33 2,66

V~VT

~f=1,76

T

Fig.

8.

Largeur

h mi-hauteur _pour les modes _al et _{si en} fonction du rapport ^~~ du mat4riau.

UT

[Half-height

width for _al and _si modes _{as a} function of the ^~~ ratio of the

sample.]

UT

Vitesse de phase @ads) L°rM ^{k m~hawmr}

(deK*)

So

a

ra~

1,5

c

lln i

rs~

O 1 2 8 4 5 7 8

F.e tMHz.mm)

Fig.

9.

Largeur

h mi-hauteur _pour les modes _ao et _{so sur} le r6seau de

dispersion

_en fonction du

produit fe.

[Half-height

width for _au and _so modes

superposed

_on the

corresponding

_curves of the

velocity

_versus the

product

of

frequency f

and thickness e-j

Vitesse de

phase (kmh) Largeur

h mi-hauteur

(degrd~)

12 0,4

r~~ 0,3

8

~ al 4

o,1

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

a)

^F-e

^(MHz.mm)

Vitesse de

phase (knvs) Largeur

I mi-hauteur

(degrds)

12 03

10 ^~

0,25

ml

8

0,2

6 b d _j~

4 oj

2

0,05

0 0

0 2 ₄ 6 8 10 ₁₂ 14 16

~~ ^F-e

(MHz.mml

Fig.

10.

Largeurs

h mi-hauteurs et courbes de

dispersion

_pour les modes

a)

_al et

b)

_{si en} fonction du

produit fe.

[Half-height

,vidth for _al

(Curve a)

and _si

(Curve b)

modes

superposed

_on the

corresponding

_curves

of the velocity _versus the

product

of

frequency f

and thickness e-j

9.

lltude

_de l'ellicacitd des modes de Lamb darts la

signature acoustique

_en fraction de Ieurs

positions

_sur Ie rdseau de

dispersion

Nous _irenons de i<oir que la

Iargeur

I mi-hauteur du

pouvoir

rAflecteur

Rio)

des modes 41<olue

en fonction du

produit fe.

II est intAressant de suivre [es

consAquences

de _cette 4volution _sur la

signature acoustique.

^Pour

cela,

_{nous airons} Atud14 [es modes _so et si en diffArentes

rAgions

du r@seau de

dispersion correspondant

I diffArentes

largeurs

h mi-hauteur des

pics

du module de

Rio),

_ou h des

pentes plus

_ou moins

importantes

de _son

changement

de

phase.

9. I.

#TUDE

_{Du MODE}

so Nous _avons

partagA

la courbe de

dispersion

du mode _{so en} trois

zones et avons

calcu14

[es

pouvoirs

r4flecteurs et [es

largeurs

h mi-hauteur autour des

points

_a.

b et _c du mode _so de _ce r4seau

(Fig. 9).

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 587

1,o

0,8

©

0,6

m

4 E

< 0,4

0,2

a c

0,0

0 10 20 30 40 50

8 (degr6s)

Fig.

il.

Amplitude

du pouvoir rdflecteur _pour le mode _so

aux

dpaisseurs

^de

a)

15 ~m,

b)

25 ~m ^et

c)

35 ~m h _une

fr6quence

de 100 MHz.

[Amplitude

of the reflectance _power for the _so mode for various

plate

thicknesses at 100 IVIHz: 15 _~m

(Curve a),

25 _~m

(Curve b)

and 35 _pm

(Curve c).]

On peut

distinguer

1)

Une

premiAre r@gion (point a)

oh la vitesse du mode est presque constante. Ceci _cor-

respond

h _une foible

largeur

h mi-hauteur

(Fig. ii-point a).

2)

Une deuxiAme

rAgion (point b) correspondant

_au maximum de la

largeur

I mi-hauteur et oh la vitesse de

dispersion

diminue _{avec une} forte pente

(Fig. 11-point b).

3)

Une troisiAme

r4gion (point c)

oh la vitesse du mode tend _vers celle de

Rayleigh

et oh la valeur de la

largeur

h mi-hauteur est

comprise

entre celles des deux autres

rAgions.

Les

signatures acoustiques

calculAes h

partir

des

pouvoirs

r@flecteurs simul@s darts chacune des _zones,

auxquelles

_{nous avons} retranchA la

rAponse

de la

lentille,

sont donnAes surla

figure

12.

Comme _nous l'avions

prAvu,

l'eificacitA des modes croft avec la

largeur

h mi-hauteur _{ou avec} la pente de la

phase (Tab. II). Ainsi,

_pour le

point b,

_nous obtenons _une

signature plus

ellicace

que pour [es deux autres

points.

9.2.

#TUDE

Du MODE si Sur la

figure

10b dormant la variation de la

largeur

I mi-hauteur de

l'amplitude

du mode _{si, nous}

distinguons quatre rAgions

I)

_une

premiAre rAgion (point a) correspondant

h la crAation du

mode,

oh _sa vitesse diminue fortement _en fonction de

fe.

La relation

(23)

montre que la

largeur

I mi-hauteur T~~

prAsente Agalement

_une forte d6croissance

2)

_une deuxiAme

r@gion (point b)

oh la

largeur

h mi-hauteur est minimale. Nous _{sommes au}

voisinage

du

premier point

d'inflexion et la vitesse est voisine de _vL

Amplitude

relative

(indice a)

0,04

0,02 o,oo

-0,02

~~ ~ D6focalisation Z

(~m)

-0,06

0 256 512 768 1024

Amplitude

^relative

(indice b) 0,04

0,02 o,oo -0,02

-0,04

D6focalisation Z

(~m)

-0,06

0 256 512 768 1024

Amplitude

relative

(indice

c) 0,04

0,02 o,oo -0,02

-0,04

D6focalisation Z

(~m)

-0,06

0 256 512 768 1024

Fig.

12.

Signatures

acoustiques

calcu16es,

du mode _{so aux}

6paisseurs

de

a)

15 pm,

b)

25 _pm et

c)

35 pm h _une

fr6quence

de 100 MHz.

[Acoustic signatures

calculated for the _so mode for various

plate

thicknesses at 100 MHz: 15 pm

(Curve a),

25 _pm

(Curve b)

and 35 pm

(Curve c).]

3)

_une troisiAme

r4gion (point c)

oh la

largeur

I mi-hauteur est maximale. La vitesse du mode _{si est} trAs voisine de la vitesse

vTv5

4)

_une

quatriAme rAgion (point d)

oh la

largeur

h mi-hauteur diminue et la vitesse du mode tend

asymptotiquement

_{vers UT.}

Nous _avons calculA le

pouvoir

rAflecteur autour des

points b,

_c et d du mode _si du rAseau de

dispersion.

Les

amplitudes

des diffArents coefficients de r4flexion _sort donn6es _sur la

figure

13.

Les

signatures acoustiques correspondantes

sont

reprAsentAes

_sur la

figure

14.

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 589

Tableau II. Variation des

coejJicients

G _et

fl

dir mode _{so en}

fonction

de _sa

position

sitr le rdseait de

dispersion.

[Variation

of G and

fl _parameters

for mode _{so versits} the

position

_on the

corresponding

_curve

of

velocity

_uersits the

product

^of

frequency

and

thickness.]

fe

6mm

£~ r~ p

G

(MHz mm) (degr4s) (m/s) (degr4s)

point a 1500 17,19 5076 0,13 -1, 5 _X

10~~

_{5, 96}

X 10~~

point

b 2500 23,61 3749 1,04 -1, 85 _X 10~~ ₇

X 10~~

point

_c 3500 29,39 3061 0,71 -1, 28 _X

10~~

₃

X

10~~

1,o

0,8

0J

~

e

0,6 4 E

~ 0,4

0,2 d

c

b 0,0

0 lo 20 30 40 50

8 (degr6s)

Fig.

13.

Amplitude

du pouvoir r6flecteur _pour le mode _{si aux}

6paisseurs

de

b)

45 pm,

c)

65 _pm et

d)

90 pm h _une

fr6quence

de 100 MHz.

[Amplitude

of the reflectance power for the _si mode for various

plate

thicknesses at 100 MHz: 45 ~m

(Curve a),

65 pm

(Curve b)

and 90 pm

(Curve c).]

Comme _pour le _cas

prAcAdent,

l'ellicacitA des modes

augmente

avec la

largeur

h mi-hauteur.

C'est ainsi

qu'au point

_{c, nous avons} le maximum d'ellicacitA alors

qu'au point b,

^elle devient minimale.

Ce rAsultat _est

Agalement

confirmA _par la dAtermination de l'attAnuation

fl

et de

l'amplitude

G calculAes I

partir

^de

l'analyse

directe de la

signature acoustique (Tab. III).

9.3. CHOIX _{DE LA}

FR#QUENCE

_{ET DE} L'#PAISSEUR _DES

#CHANTILLONS

_{EN FONCTION DE}

L'APPAREILLAGE.

D'aprls

Cette 6tUde _SUr l'eliicacit# des dirt(rents modes _SUr le r6SeaU de

dispersion

d'une

plaque d'acier,

_{nous pouvons}

_partager

le domaine du

produit frAquence-

Amplitude

relative

(indice b)

o,oi

o,oo

-o,oi

-0,02

0,03 D6focalisation Z (~m)

-0,04

0 256 512 768 1024

Amplitude

relative (indice c) o,oi

o,oo -o,oi -0,02

~°'°~

Ddfocalisation Z (~m) -0,04

0 256 512 768 1024

Amplitude

relative

(indice

d) o,oi

o,oo

o,oi

-0,02

-0,03 Ddfocalisation Z (~m)

-0,04

0 256 5 12 768 1024

Fig.

14.

Signatures

acoustiques calcu16es, du mode _{si aux}

6paisseurs

de

b)

45 _pm,

c)

65 _pm et

d)

90 pm k _une

fr6quence

de 100 MHz.

[Acoustic signatures

calculated for the _si mode for various plate thicknesses at 100 MHz: 45 ~m

(Curve a),

65 _pm

(Curve b)

and 90 pm

(Curve c).]

Apaisseur

_{en quatre}

r4gions

distinctes dans la _zone oh

: 1000 <

fe

< 2000 Hz _m, le mode _ao est le

plus

ellicace de mAme _pour 2000 Hz _{m <}

fe

< 4000 Hz _m

: le mode so est le

plus ellicace,

40U0 Hz _m <

fe

< 6000 Hz _m le mode _al est le

plus eificace,

6000 Hz

m <

fe

_< 8000 Hz _m

: le mode _si est le

plus

^ellicace.

De

l'analyse

de _ces

rAsultats,

_on voit que l'on

peut procAder

de deux

fapons

diffArentes sui- vant [es

Apaisseurs

des Achantillons _ou [es

frAquences

de rAsonance des

capteurs

du

microscope

N°5 ETUDE DE L'EFFICACITE DES MODES DE LAMB 591

acoustique

h notre

disposition

_:

I)

Nous _{avons une} seule valeur

d'Apaisseur, c'est-I-dire,

_un seul

Achantillon,

mais _nous

pouvons utiliser le

microscope acoustique

h

plusieurs frAquences.

Si notre

plaque

d'acier fait par

exemple

50 _~m, le maximum d'ellicacitA est obtenu pour

le mode _ao I _une

frAquence

de 20 MHz le mode _so h _une

frAquence

de 50 MHz le mode _al I _une

frAquence

de 90 MHz le mode _si h _une

frAquence

de 130 MHz.

Nous _pouvons

ainsi,

en choisissant la

frAquence

de

travail,

dAtecter le mode

qui

_nous intAresse

avec le maximum d'ellicacitA.

2)

Le deuxiAme _cas

correspond

_aux conditions suivantes _: le

microscope

^fonctionne I _une seule

frAquence (capteur

_{avec une} faible bande

passante),

et notre matAriau h

analyser

est

disponible

_en

plusieurs Apaisseurs.

Par

exemple,

_{pour une}

frAquence

de 50

MHz,

l'eificacitA des modes _{ao, so, al} et si est maximale

respectivement

_pour [es

Apaisseurs

20 ~m, 50 ~m, 90 ~m ^et 130 ~m.

II _est

possible

de choisir

I'@paisseur

convenable _pour d4tecter _avec le maximum

d'eificacitA,

le mode

qui

_nous int@resse.

10. Rdsultats

expdrimentaux

L'Atude

prAcAdente

_sur l'acier _a montrA _sur Ie rAseau de

dispersion

_que le mode _so est le

plus

eificace entre [es valeurs 2000 Hz _m et 4000 Hz _m du

produit fe,

alors que le mode _a-i l'est entre 4000 et 6000 Hz _m.

Ainsi,

dans [es relevAs des

signatures acoustiques

avec un

microscope

fonctionnant h 50

MHz,

le mode _{so est} le

plus

ellicace _pour des

@paisseurs comprises

entre 50

et 70 ~m, par ^contre le mode _al l'est pour une

4paisseur

voisine de 75 _pm.

Cependant,

_ces

deux modes _{conservent une} ellicacitA sullisante _{pour toutes} [es

4paisseurs comprises

entre 50 et 80 ~m, ce

qui

permet de [es dAtecter darts toutes [es

signatures acoustiques expArimentales.

Par

ailleurs,

le mode _si n'est dAtectA dans _aucune de _ces

signatures,

car it n'est eificace

qu'h partir

d'une

Apaisseur

de l10 _pm. En _ce

qui

concerne le mode _ao,

qui th@oriquement

n'est ellicace

qu'entre

1000 et 2000 Hz _m, it n'est dAtectA que pour des

Apaisseurs

de l'ordre de 50 _~m.

Ainsi,

l'Atude

thAorique

de la

largeur

h mi-hauteur

T,

_nous

permet

de

prAiroir

et de dAterminer dans _un

premier temps,

_pour chacun des

modes,

_ceux

qui peuvent

^{Atre dAtectAs dans la}

signature

acoustique thAorique

afin

d'optimiser

[es conditions de _mesures et faciliter la dAtection des modes _sur [es relev4s

exp4rimentaux

des

signatures acoustiques.

Tableau III. Variation des

coejJicients

G et

fl

dir mode _{si en}

fonction

de _sa

position

sitr le rdseait de

dispersion.

[Variation

of G and

fl

_parameters for mode _{si versits} the

position

on the

corresponding

_curve

of the

velocity

_versits the

product

of

frequency

and

thickness.]

fe emin

vsi rsi

P G

(MHz mm) (degrAs) (m/s) (degrAs)

point b 4500 15,47 5625 0,04 -1 _X 10~~ 3 _X 10~~

point _c 6500 19,76 4438 0,25 -2,1 _X 10~~ 1,2 _X 10~~

point d 9000 24,98 3553 0,13 -1, 5 X 10~~ _{6 X} 10~~