HAL Id: jpa-00246196

HAL Id: jpa-00246196

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00246196

Submitted on 1 Jan 1990

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire

HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Elastoplasticité des métaux en grandes déformations : comportement global et évolution de la structure interne

P. Lipinski, J. Krier, M. Berveiller

To cite this version:

P. Lipinski, J. Krier, M. Berveiller. Elastoplasticité des métaux en grandes déformations : comporte-

ment global et évolution de la structure interne. Revue de Physique Appliquée, Société française de

physique / EDP, 1990, 25 (4), pp.361-388. �10.1051/rphysap:01990002504036100�. �jpa-00246196�

Classification Physics ^Abstracts

62.20 ^- 62.20F ^- 46.10 ^- 81.40E ^- 46.30

Article de mise au

point

Elastoplasticité des métaux

en

grandes déformations : comportement global ^et évolution de la structure interne

P.

Lipinski,

^{J. Krier et} M. Berveiller

Laboratoire de

physique

^et

mécanique

^des matériaux, ^UA CNRS, Institut Supérieur ^{de Génie}

Mécanique

^et Productique, ^{île du} Saulcy, 57045 Metz Cedex 1, ^France

(Reçu

^{le 18} juillet 1989, révisé le 8 janvier 1990, accepté ^{le 9} janvier

1990)

Résumé. ^- Ce travail propose ^une approche générale ^au

problème

de la détermination du comportement

élastoplastique

^des polycristaux

métalliques

^en grandes déformations à partir ^des propriétés des constituants.

On discute tout d’abord les effets des paramètres

physiques

^{intra et} intergranulaires ^sur les mécanismes de déformation et le comportement global. Le formalisme de Hill est utilisé pour effectuer les transitions d’échelle. Une nouvelle relation intégrale

cinématique

^{reliant le}

gradient

de la vitesse locale au gradient

macroscopique

^est démontrée. Plusieurs solutions de cette

équation

^sont proposées ^{et une} approche

autocohérente nouvelle est développée. ^{De nouveaux résultats} concernant le comportement global ^{des métaux}

C.F.C. et C.C. sont présentés. ^Les surfaces de plasticité ^{initiales et} induites pour différents trajets ^de chargement ^{sont calculées et} comparées ^{avec succès} aux mesures expérimentales de la littérature.

L’anisotropie ^du comportement élastoplastique résultant simultanément des contraintes internes du second ordre, ^{des textures}

cristallographiques

^{et des} paramètres d’écrouissage ^{est mise en évidence.}

Abstract. ^- A general approach ^{to the} problem of determination of the elastoplastic behavior of metallic

polycrystals ^at finite transformations is proposed ⁱⁿ this paper. At first, the influence of

physical

^{intra and}

intergranular

parameters ^{on the} deformation process and global behavior of the polycrystal ^{is discussed.}

Transition relations, given by ^Hill, between local and overall scales are used here. A new kinematic integral

equation

linking the local and global velocity gradients is established. Some solutions of this

equation

^are presented ^{and a new} self-consistent scheme is developed. New results concerning the overall behavior of FCC metals are presented. The initial and induced yield surfaces have been calculated for various loading paths.

The successful comparison ^{with the} experimented ^data by Bui, Ikegami and others has been performed. ^The anisotropy ^{of the} elastoplastic ^{behavior of the} polycrystal ^{due to} the second order internal stresses,

crystallographic ^and morphologic textures, and

hardening

parameters has been obtained.

1. Introduction.

La détermination des

propriétés

effectives des maté- riaux

microhétérogènes

^et

macrohomogènes

^à

partir

de la connaissance des

propriétés

^des

constituants,

du rôle des interfaces et de la microstructure de

l’agrégat

^{constitue un}

champ

de recherches en

plein développement

du fait des

applications potentielles

que l’on peut ^{en attendre.}

Ces

approches

débouchent sur une meilleure

description

des lois de comportement des matériaux et constituent simultanément un outil

précieux

pour l’élaboration de nouveaux matériaux dans la mesure

où l’effet de la microstructure et du comportement local est traduit directement en termes de comporte-

ment

global

dans les modèles utilisant des transitions d’échelles.

Concernant les

propriétés linéaires,

^de nombreux modèles ont été

proposés [1-3].

^Le

développement

récent des théories

statistiques systématiques

peut être

considéré,

^{au moins}

formellement,

^comme

étant la solution

complète

^et définitive du

problème

des milieux

microhétérogènes

^à comportements linéaires

[4-6].

La situation n’est pas aussi avancée concernant les

propriétés inélastiques

^telles que

l’élastoplasticité

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:01990002504036100

des métaux

polycristallins. Jusqu’à

^{une date encore} récente, les études de

plasticité

^{se sont} limitées à des

applications

des modèles

simples

^{de Sachs}

[7]

^{ou de}

Taylor [8],

^ou à d’éventuelles améliorations de ceux-

ci.

Une voie nouvelle a été ouverte par Krôner

[3, 9]

au travers des modèles autocohérents

qui

^{ont ensuite}

été

développés

par Hill

[10], Budiansky

^{et Wu}

[11],

Hutchinson

[12, 13],

Berveiller et Zaoui

[14-16]

^et

Weng [17]

^{dans le cas des}

petites

déformations. Le

problème

^{de la formation des textures}

cristallogra- phiques

^aux

grandes

déformations a été abordé _pour la

première

^{fois dans} le cadre du modèle de Krôner- Hill

[9, 10],

par Hihi et al.

[18].

Néanmoins,

pour des

grandes

déformations

plasti-

ques, ^{c’est tout l’état} microstructural et

mécanique

du

polycristal qui change profondément

^{avec la}

déformation

plastique. Globalement,

^on _peut ^distin-

guer quatre familles de

paramètres physiques

^ou

variables d’état dont l’évolution avec la déformation doit être connue si on veut déduire le comportement tangent ^actuel.

1)

^{A l’échelle}

intracristalline,

^la

multiplication

des dislocations et l’évolution de leur

répartition spatiale (cellules, parois, empilements...)

^{sont res-}

ponsables

^de

l’écrouissage

intracristallin.

Logique-

ment, il conviendrait de relier ^l’état

disloqué

^intra-

granulaire

^au

comportement

^du

monocristal,

^ce

qui

constitue un domaine de recherche

largement

ouvert.

Actuellement, l’écrouissage

intracristallin

est

plutôt

décrit par l’intermédiaire d’une matrice

d’écrouissage [19, 20]

reliant la vitesse de la cission

critique

^{sur les}

systèmes

^de

glissement

à la vitesse du

glissement plastique

^{sur les}

systèmes

^{actifs. Des}

informations concernant cette matrice

d’écrouissage

peuvent ^être déduites des mesures

expérimentales

de

l’écrouissage

^latent

[19, 20] ^mais,

^{là encore, la}

détermination

précise

^et

complète

^{de cette matrice}

reste à effectuer.

Malgré

l’absence d’outils

plus complets

^et

précis,

^cette

approche

^sera utilisée par ^la suite pour décrire le

comportement

intracristallin.

2)

^A l’échelle des

grains (échelle intercristalline),

la désorientation relative des réseaux cristallins constitue une source de contraintes internes par l’intermédiaire des

incompatibilités

^du

champ

^de

déformation

plastique.

Ces contraintes internes

jouent

^un rôle essentiel et fondamental dans la

plasticité

^{des métaux.}

Pour s’en

convaincre,

il suffit de se

rappeler

^la

définition même d’une dislocation et les théories

physiques qui

permettent ^de

prévoir

^{la nature cristal-}

lographique

^des

systèmes

^de

glissement

^{et les diffé-}

rents stades

d’écrouissage

des monocristaux.

Au cours de l’écoulement

plastique,

^les contraintes internes se

développent

du fait des

incompatibilités plastiques,

^{se relaxent}

(au

^moins

partiellement) grâce

^à l’accommodation

plastique

^et contribuent

ainsi,

^{de manière}

significative,

^au comportement

élastoplastique macroscopique (écrouissage isotrope

et

cinématique).

3)

^{A la même}

échelle,

^{le mécanisme de}

glissement plastique

^{induit une rotation}

plastique qui,

^{en rela-}

tion avec les

équations

^de

compatibilité

^{de Krô-}

ner

[21],

^{entraîne une} rotation des réseaux cristallins.

Ces rotations sont à

l’origine

^{des textures de défor-}

mation, phénomène

^connu

depuis longtemps

^et

qui

est, _pour une

large

part,

responsable

^de

l’anisotropie

du

comportement élastoplastique macroscopique.

4)

^{A cette même}

^échelle,

^on

peut signaler

^le

changement morphologique

^des

grains qui

^se super- pose ^aux

hétérogénéités plastiques

^{intra et}

intergra-

nulaires.

D’une manière

symbolique,

l’ensemble des modifi- cations de l’état structural ainsi discuté est décrit dans la

figure

^1.

Fig. ^{1. - Etat d’un}

polycristal

^{avant et} après déformation

plastique (schématique).

[Polycrystal

^state before and after plastic ^strain

(schema- tic) . ]

Face à une telle

complexité,

^{il est nécessaire}

d’aborder le

problème

^{de la} détermination des lois de

comportement élastoplastiques

^à

partir

^de

simpli-

fications

« homogènes ».

- Le comportement intracristallin des

grains

^est

construit à

partir

^{de variables}

cinématiques

^décrivant

la vitesse de

glissement plastique

^{sur les}

systèmes

^de

glissement

^{actifs. Le}

glissement plastique

^{obéit à la}

loi de Schmid et

l’écrouissage

intracristallin est décrit par la matrice

d’écrouissage

^discutée

précé-

demment.

Formulée en

vitesse,

^une telle loi de comporte-

ment a été

développée

par

Mandel [22],

^{Hill et}

Rice

[23],

^Asaro

[24],

Nemat-Nasser

[25]

^{et discutée}

par Stolz

[26].

^{Elle est basée sur une}

décomposition

additive des vitesses de déformation

plastique

^et

élastique proposée

pour la

première

fois par Krô-

ner

[21].

Cette loi de comportement ^est

rappelée

dans le

chapitre

^3.

L’hypothèse

^de comportement uniforme à l’inté- rieur des

grains

^{constitue sans doute}

l’approximation

la

plus

^{forte eu}

égard

^aux observations

expérimenta-

les concernant les

hétérogénéités plastiques intragra-

nulaires. Le comportement

élastoplastique

^{du maté-}

riau étant fortement non

linéaire,

^celui-ci

dépend

^en

particulier

de l’état de contrainte

(par

l’intermédiaire du critère de

plasticité)

^et de l’état de déformation

plastique (variables d’écrouissage). L’hypothèse

^de

comportement ^{uniforme à} l’intérieur des

grains implique

^donc l’uniformité des contraintes et défor- mations. On peut considérer

cependant,

^{mises à} part les interactions

glissement

^-

joints

^de

grains,

que les

hypothèses précédentes

^sont relativement bien vérifiées pour les métaux à faible

écrouissage latent,

c’est-à-dire ceux pour

lesquels

^le

glissement multiple homogène

constitue le mécanisme de déformation

plastique prédominant (cas

^de l’aluminium et du

cuivre).

- Le cadre

général

^des transitions d’échelles pour les

grandeurs microscopiques

^et

macroscopi-

ques ^a été discuté par Mandel

[22]

^{et Stolz}

[26].

^Pour

les

grandes

déformations

plastiques,

^Hill

[27]

sug-

gère l’emploi

^du

gradient

de la vitesse et des taux des contraintes nominales pour effectuer ^ces transitions.

Ce choix ramène les

opérations d’homogénéisation

^à

de

simples opérations

de moyenne

volumique

comme c’est le cas pour les déformations infinitési- males.

Les résultats de Hill sont

rappelés

^{dans le}

chapi-

tre 2 et de nouvelles relations de localisation ^sont

proposées

pour les

grandeurs physiques

locales décri- vant l’évolution de la microstructure.

- Dans le

chapitre

4, ^{on traite le}

problème

^{de la}

localisation

cinématique

^en proposant ^une

équation intégrale

^{similaire à} celle que Dederichs ^et Zeller

[6]

ont démontrée dans le cas de l’élasticité.

Différentes

approximations proposées

pour ^cette

équation intégrale

conduisent aux modèles classi- ques. Un

développement

^de

l’équation intégrale

sous forme de série de Born constitue un

premier

pas ^vers les méthodes

statistiques systématiques

pour les solides

élastoplastiques.

Face à la lourdeur de la formulation et eu

égard

^aux

simplifications

faites par ailleurs

(loi

^de

comportement

du monocris-

tal,

^absence

d’hétérogénéités plastiques intragranu- laires...),

^{cette démarche}

systématique

^{n’est pas}

poursuivie.

- Nous avons

préféré développer l’approxima-

tion autocohérente pour

l’équation intégrale, approximation présentée

^{dans le}

chapitre

^{5 en même} temps que des indications sur les méthodes numéri- ques

développées.

C’est

également

dans le cadre de

l’approximation

autocohérente que ^sont décrites les lois d’évolution de la structure interne du

polycristal.

Une telle

approximation

^{a été}

proposée

par Iwa- kuma et Nemat Nasser

[28]

pour la

plasticité

^du

polycristal

^en

grandes

déformations

plastiques

^en

utilisant directement la solution du

problème

^d’inclu-

sion

adaptée

^aux

problèmes

^des

grandes

^déforma-

tions.

Ici,

^{le fait d’avoir} établi la solution du pro- blème d’inclusion à

partir

^de

l’équation intégrale

permet ^des

développements

ultérieurs basés sur

d’autres

approximations

^de

l’équation intégrale.

Par

ailleurs,

^les

applications qui

^{ont été}

dévelop- pées

par Iwakuma ^et Nemat Nasser ne concernent que des

problèmes plans

^{à deux}

systèmes

^de

glisse-

ments

imposés a priori.

Cette forte restriction

ignore

l’un des

problèmes

^{centraux de la}

plasticité

^des

métaux

qui

^est celui du choix de la combinaison de

systèmes

^actifs

parmi

^les

systèmes

^de

glissements potentiels.

^{Or on sait à}

partir

d’observations

expéri-

mentales et de calculs antérieurs

[18]

que ^{le nombre}

et la nature des

systèmes

^de

glissements

^actifs

dépendent

fortement du

chargement

^{et de l’état}

d’écrouissage

^du

polycristal

^au travers, notamment, de la formation des textures de déformation.

- Dans le

chapitre 6,

de nombreux résultats

nouveaux obtenus à

partir

^{de cette} formulation sont

présentés.

2. Transitions d’échelles et localisation.

Pour décrire la

réponse

^du

polycristal

microhétéro-

gène

^{à un}

chargement donné,

^{il est} nécessaire de connaître le comportement ^du monocristal et d’effec- tuer les

opérations d’homogénéisation.

Ces dernières nécessitent la

description

^de

l’agrégat

^{et la}

prise

^en compte des lois de conservation et de continuité.

S’agissant

de matériaux

élastoplastiques,

^{il est}

bien connu que le comportement

correspondant

^est

de nature

incrémentale,

c’est-à-dire reliant un

accroissement de contrainte

(ou

^{un taux de}

contrainte)

à l’incrément de déformation

(ou

^{à un}

taux de

déformation).

^En

négligeant

le caractère

visqueux

^du comportement

(à froid),

^le

paramètre

temps

qui

intervient dans les relations constitue une

variable utile pour la

description

^des

grandeurs physiques

^ou

mécaniques

^{mais ne}

correspond

pas forcément ^au temps

physique.

Le choix des

grandeurs conjuguées

contraintes ^- déformations

(ou

^{de leur}

vitesse)

pour décrire le comportement local n’est pas forcément celui

qui

facilite les

opérations d’homogénéisation

^ou

qui simplifie

les relations

d’équilibre

^{et de}

compatibilité.

Ainsi,

^s’il

paraît

^naturel

d’employer

les contraintes

de

Cauchy,

_03C3ij, pour décrire les relations de compor- tement locales et

globales,

il s’avère que, dans ^ce cas, les transitions d’échelles sont

plus complexes

^à

écrire.

Un autre choix,

plus

naturel parce

qu’il

^{est relié}

aux conditions aux limites sur la surface du solide dans la

configuration actuelle,

consiste à utiliser le

gradient

de la vitesse et le taux de contraintes nominales n pour décrire à la fois :

2022 les lois

d’équilibre

^{et de}

compatibilité

2022 les transitions d’échelles.

Ce choix

simplifie

^les

équations précédentes

^mais

complique légèrement

l’écriture des relations de comportement.

Soient

nij

^les composantes ^{du tenseur des contrain-}

tes nominales locales et vi ^{le vecteur vitesse au}

point

^r.

Le

gradient

^de la vitesse

vi,j

^se

décompose

^{en une}

partie symétrique dij

^{et une}

^partie antisymétrique Wij

telles que :

Ces relations assurent la

compatibilité

^{de la transfor-}

mation

puisqu’avec (1) l’incompatibilité

^du

champ

^d

est nulle.

En choisissant la

configuration

^{actuelle comme}

configuration

^de

référence,

^{et en}

désignant

par U ij les contraintes de

Cauchy,

^{on a :}

et

p

désigne

^{la masse}

volumique

^{actuelle et}

fj

^{les forces}

massiques.

^{Pour le solide de volume V et de fron-}

tière

S,

^on

impose

^{des forces}

surfaciques dFi

^telles

que :

On a

alors,

^si

Nij

^{est constant sur la surface :}

De

même,

pour ^un solide

macrohomogène,

le gra- dient de la vitesse

macroscopique Vi,j

^{s’écrit :}

Les relations

cinématiques (1), d’équilibre (3)

^{et les}

relations entre

grandeurs

^{locales et}

globales (5)

^et

(6)

prennent ^{alors la} même forme que pour les théories en déformations infinitésimales.

La forme des relations de comportement ^{local doit}

également

^être

exprimée

^à

partir

^du

gradient

^{de la}

vitesse locale et des vitesses de contraintes nomina- les.

On pose :

Le tenseur

f

est déterminé dans le

chapitre

^{3 à}

partir

du comportement

élastique

^{et des} mécanismes de

glissement plastique.

En introduisant le tenseur localisation cinémati- que :

le comportement

global

^{s’écrit :}

soit

où

Gkp

⁼

Vk, 1 ^désigne

^le

^gradient

de la vitesse

macroscopique.

Le tenseur L e caractérise ainsi le comportement ^du

polycristal,

mais c’est rarement sous la forme

(9) qu’est

^{écrite la loi de} comportement ^{d’un matériau}

élastoplastique.

^En

général,

^{la loi de} comportement relie la vitesse corotationnelle de Jaumann des contraintes de Kirchhoff T au tenseur vitesse de déformation D tels que :

Si

Dij

^{peut être} aisément déduit des vitesses de déformations locales

dij

^{en prenant la}

^{partie symétri-}

que de la relation

(6),

les

composantes

^{de T ne se déduisent} pas par les moyennes des

grandeurs

^locales

correspondantes.

On utilise alors la démarche

proposée

par ^Iwa- kuma et Nemat-Nasser

[28]

consistant à introduire le tenseur Me

égal

^{à :}

où Le est défini par

(9)

^{et le tenseur Z}

(contraintes

de

Cauchy macroscopiques)

^est

égal

^{au tenseur N}

puisque

^la

configuration

^{actuelle est choisie comme}

configuration

de référence.

Ainsi,

^le

problème global

^{de la} détermination du comportement effectif d’un

polycristal élastoplasti-

que ^se ramène à la détermination du tenseur local

1(r)

^{et du tenseur} localisation

cinématique

^A

(r).

Ces deux tenseurs sont définis dans les

paragraphes

suivants.

3. Loi de

comportement élastoplastique

pour le monocristal.

Parmi tous les mécanismes de déformation

plastique possibles (glissement, diffusion, maclage...),

^nous

nous limitons au

glissement plastique cristallographi-

que résultant du ^mouvement

athermique

^{des disloca-}

tions. Ce mécanisme

correspond principalement

^{à la}

plasticité

à froid des métaux.

Nous supposons

également

que ^ce

glissement

^a

lieu sous la forme du

glissement multiple homogène,

c’est-à-dire que

plusieurs systèmes

^de

glissement

sont actifs à une échelle

large

par rapport ^aux dislocations. C’est le cas pour les métaux de forte

énergie

^{de faute}

d’empilement (Cu, Al...).

Le

gradient

^{de la vitesse}

_gij

⁼

_Vi,j

^est

composé

d’une

partie élastique ge

^{et d’une}

partie plastique gP

^et

possède

^une

partie symétrique

^{d et une}

partie antisymétrique w

^telles que :

La

signification physique

des différentes

parties

^de

(3)

^est maintenant claire

[21, 29].

La

partie plastique gP

résulte de la vitesse de

glissement plastique 03B3g

^{sur les} différents

systèmes

actifs.

Si n’ et m r

désignent respectivement

la normale unitaire au

plan

^de

glissement

^{et la direction de}

glissement

^du

système

r, ^{on a :}

Le

produit

^{scalaire m * n étant}

^nul,

^{on a}

dpkk

^{= 0 et}

dkk = dkk

^·

Soit U ij ^la contrainte de

Cauchy et a

z ^* la vitesse de

U par rapport ^{au réseau}

cristallin ;

^{la loi de}

comporte-

ment

élastique

^{est écrite sous la forme :}

où

cijk~

^{sont les} constantes

élastiques

^{locales et :}

La vitesse des contraintes nominales

Ii;;

^{est reliée à}

et i j

^{par la relation :}

En introduisant

(23), (21)

^et

(22)

^dans

(16),

^{on a :}

Il reste à

spécifier

la forme de la

partie plastique

^du

comportement

pour

laquelle

^nous supposons que ^la loi de Schmid

s’applique

^et que

l’écrouissage

^est

décrit par ^une matrice

d’écrouissage

^H.

Un

système r

^{peut être actif si :}

où Te ^est la cission

critique

^{actuelle du}

système

^r.

La vitesse de la cission réduite sur

(r ) dépend

^{à la}

fois de u ^et de la vitesse de rotation du réseau cristallin w e.

On a :

qui

^est

égal

^{à :}

La matrice

d’écrouissage

^{relie la} vitesse de la cission

critique ic

^{sur un}

système

^{r à la vitesse de}

glissement plastique s

^{sur un}

système s :

Pour la

partie plastique,

^{on a} alors les relations usuelles :

et

et

En utilisant

(21)

^et

(16),

^{on a} pour les

systèmes

actifs :

En posant :

la vitesse de

glissement plastique

r ^{est obtenue} par :

La relation

(24)

^devient

^alors,

^en

remplaçant ^03B3r

par

(31) :

ou encore :

avec :

Le tenseur

t dépend

^{de l’état de} contraintes local par l’intermédiaire de

(34)

^et des conditions de

plasti-

cité

(28)

^{et de} l’orientation du cristal par ^{l’intermé-} diaire de c

(élasticité anisotrope éventuellement)

^et

des tenseurs R et

Q.

Pour un milieu à élasticité

isotrope

^et pour

lequel

le niveau des contraintes d’écoulement est faible _par

rapport

^{aux modules}

d’élasticité, (34) peut

^être

simplifiée

considérablement et se

présente

^{sous la}

forme :

4.

Equation intégrale cinématique.

Les

équations

^de

comportement

^{local étant}

préci- sées,

^{il est}

nécessaire,

pour déterminer le comporte-

ment

élastoplastique global,

d’effectuer des transi- tions d’échelles

permettant

^{de relier les}

grandeurs

locales aux

grandeurs macroscopiques,

par

exemple

sous la forme

(8).

Plusieurs

méthodes, partant

^de

points

^{de vue}

différents,

^{ont été}

développées.

L’approche

^{de Hill}

[27]

^{ou de Mandel}

[22]

^consiste

à introduire formellement un tenseur localisation

(ou concentration)

^{de la} déformation

(ou

^{de la}

contrainte) reliant g

^à G par ^la relation :

A (r)

^étant

supposé

^{connu, il est} alors facile de déduire la relation en N et G à

partir

des relations de moyenne ^du

chapitre

^2.

Cette

méthode, qui

^telle

quelle

^reste

formelle,

^a

cependant l’avantage

^de

pouvoir

^{définir une classe}

de

propriétés

^{à l’échelle}

macroscopique

^à

partir

^des

propriétés

^locales.

Un autre

point

^{de vue consiste à} faire d’emblée des

hypothèses

^{sur les tenseurs de} localisation en

leur affectant des valeurs données.

Ainsi,

^{dans le} modèle de Lin

[30],

^{on suppose} que ^la vitesse de déformation locale

dij

^est

^égale

^{à la vitesse macrosco-}

pique Dij.

^{Pour le modèle de}

^{Taylor [8],}

la déforma- tion

élastique

^est

négligée

^{et la} déformation

plastique

locale est

supposée

^être

égale

^{à la} déformation

macroscopique.

De

fait,

^la détermination des tenseurs de localisa- tion constitue le

problème

central des méthodes

d’homogénéisation

^des

propriétés

des milieux micro-

hétérogènes.

^{Dans ce}

travail,

^ce

problème

^{est résolu}

en considérant le milieu

microhétérogène

^comme

étant un milieu continu à microstructure.

On résout

alors,

pour ^la

configuration actuelle,

^un

problème

de structure, c’est-à-dire ^on recherche une

solution

(en

^{vitesse ou}

contrainte)

satisfaisant les

équations d’équilibre,

^de

compatibilité

^{et vérifiant}

les relations de comportement.

En

élasticité,

^la formulation d’un tel

problème

conduit à une

équation intégrale [6]

^dont la solution formelle est

analogue

^à

(8).

^En

élastoplasticité,

Berveiller et Zaoui

[31]

^{ont formulé une}

équation intégrale

pour les

petites

déformations.

Ici,

^la même démarche est utilisée _pour résoudre le

problème

^des

grandes

déformations

plastiques,

formulé en vitesse.

D’après (1), (3)

^et

(33),

^{on a à écrire :}

- les

équations d’équilibre

- les relations définissant d et w à

partir

^du

gradient

de la vitesse v

- les relations de comportement ^local

Nous nous limitons ici au

problème

^pour

lequel

^on

impose

^{sur la} frontière actuelle une vitesse

Vi

donnée.

En éliminant

nij

^de

(37)

^{et de}

(39),

^{on obtient la}

relation :

Comme pour ^les milieux

linéaires,

^on

décompose

^le

tenseur f

^{en une}

partie

^uniforme

^{L 0 et}

^{les déviations}

8f (r)

^telles que :

L’équation (40)

s’écrit maintenant :

Le deuxième terme

apparaît

^{comme des forces de}

volume et on peut ^{utiliser un tenseur de Green} G *

adjoint

^à

(42)

^défini par :

pour transformer

(42)

^en

équation intégrale.

En

multipliant (42)

par

Gjm(r - r’)

^et

⁽⁴³⁾

^par

vj(r),

^on obtient par différence :

avec

Par

intégration

^sur

V,

^{on a :}

Si vj

^est

^imposé

^sur

^S,

^alors

GJm

^{= 0 sur S et le}

premier

^{terme du second membre de}

(45)

^{n’est autre}

que ^la vitesse

vm (r’ )

^{du milieu}

homogène ^L°

^soumis

aux mêmes conditions sur S.

On a alors :

Soit pour ^le

gradient vm, n

⁼ 9 lM

qui

^est

l’équation intégrale

recherchée.

On note :

Cette

équation intégrale

^{est valable} pour ^toute structure interne actuelle _y

compris lorsque

^des

hétérogénéités intragranulaires

^sont

présentes.

Par

ailleurs,

^{si la solution de cette}

équation

^est

connue, il est

possible

de déduire les lois d’évolution de la structure interne

(cissions critiques,

^rotation

des réseaux

cristallins,

^{forme des}

grains... )

^à

partir

de la forme des relations de comportement local

[32].

^{Nous donnons ces} lois d’évolution dans le

chapitre

5 pour le ^cas où

l’équation intégrale

^est

résolue par la méthode autocohérente.

Ainsi

qu’il

^{a été}

signalé

dans l’introduction de ce

chapitre,

^le

problème

central de la détermination des

propriétés

effectives des milieux

microhétérogè-

nes consiste à résoudre les

problèmes

^de

localisation,

c’est-à-dire résoudre

l’équation intégrale (47).

Nous mentionnons ici les

grandes

^{classes de}

méthodes ou modèles

qui

^{ont été}

développés

^{dans le}

passé.

-

L’approche

^de

Taylor-Lin

^{consiste à}

négliger l’intégrale

^dans

l’équation (47),

c’est-à-dire à poser :

Puisque

^les

chargements envisagés

consistent en des solutions

uniformes g°

pour des milieus

homogènes, g°

^est

égal

^{à G et on a :}

On

voit

_que cette

approximation néglige

^{de fait}

toute

hétérogénéité

^{et ne doit}

s’appliquer qualitative-

ment que pour ^les milieux faiblement

hétérogènes.

-

L’approche statistique systématique

^{de Krô-}

ner

[4]

pour ^les milieux

élastiques

^linéaires peut ^être étendue au cas de

l’élastoplasticité

^{en utilisant}

l’approximation

^{de Born} pour résoudre

l’équation intégrale (47).

A

partir

de la solution de

Lin-Taylor, l’approxima-

tion suivante

(1er ordre)

^{consiste à} substituer au

terme g ^{sous le}

signe

^{somme le terme}

(connu)

^G.

On a alors

L’approximation

^au second ordre s’écrit alors

En

procédant

^{de la} même manière pour les ordres

supérieurs,

^{on obtient une solution}

générale

pour

g(r)

^{sous la} forme d’une série infinie. Krôner et Koch

[33]

^{ont montré} que ^la convergence d’une telle série est assurée si le

tenseur 1

^est local et aléatoire.

L’emploi

d’une telle

procédure

de résolution de

l’équation intégrale

^se

justifie

^{dans la mesure où le}

comportement

local,

les mécanismes de déforma-

tion,

^{le rôle des}

joints

^de

grains...,

^{sont décrits avec}

la même

précision

que ^les interactions contenues dans

l’équation intégrale.

Ceci n’étant pas

réalisé,

nous

préférons

^{utiliser la} solution autocohérente pour résoudre

l’équation intégrale (47),

^solution

présentée

^{dans le}

chapitre

^suivant.

5.

Approximation

autocohérente _pour la

plasticité

des

polycristaux.

Par rapport ^aux différentes solutions de

l’équation intégrale,

discutées dans le

chapitre précédent, l’approche

autocohérente formulée pour la

première

fois par Krôner

[3]

^{dans le cas} de l’élasticité linéaire constitue un

compromis

raisonnable entre les métho- des

statistiques systématiques qui

^sont difficiles à mettre en oeuvre et pas nécessairement

justifiées

^eu

égard

^aux

simplifications

faites pour décrire le monocristal et les

approximations

^de

champ

^unifor-

mes

(Taylor-Lin-Voigt...) qui négligent systémati- quement

^toute

hétérogénéité

y

compris intergranu-

laire.

De

plus,

^{dans le cas de}

l’élasticité,

^Krôner

[34]

^a

démontré que ^la solution autocohérente constitue

une solution exacte pour ^les milieux

parfaitement

désordonnés. Par

ailleurs,

^une

première approche

du

problème,

^{basée sur une} évaluation a

priori

^des

interactions

intergranulaires,

^{a montré} que ^les

prévi-

sions obtenues à

partir

d’une telle formulation

correspondent

^{bien aux} observations

expérimentales

dans le cas des

petites

déformations

élastoplastiques

et pour des

chargements complexes (non ^radiaux,

non

monotones) [35].

Nous considérons le

polycristal

^{comme constitué}

de

grains

d’orientations

cristallographiques

^différen-

tes

(éventuellement

^de structures

cristallographiques

différentes dans le cas d’un matériau

polyphasé).

Une

première approximation

^{est obtenue en} suppo- sant que ^le comportement

élastoplastique

^{est uni-}

forme dans

chaque grain,

^ce

qui

évidemment

ignore

les

hétérogénéités plastiques intragranulaires.

Celles-ci

peuvent

^être

regroupées

^{en deux}

grandes

classes :

2022 les déformations

hétérogènes

^{associées au}

désordre

polycristallin

^{initial :} effet des

jonctions triples

^entre

joints

^de

grains,

^{effet de}

voisinage (interactions

^{discrètes entre un}

grain

^{et le milieu}

granulaire environnant).

Ces effets sont, ^en

principe,

très localisés et associés au désordre du

polycristal.

Bien que leur contribution propre ^au comportement du matériau

existe,

^on peut

cependant

^admettre

qu’ils

^sont

partiellement pris

^en

compte

^{dans le}

présent modèle ;

2022 Les déformations

hétérogènes responsables

^de

la création d’une microstructure induite _{à rayon} d’action

supérieur

^à celui de la taille du

grain.

^La

formation de la structure cellulaire de dislocation entre dans cette classe

d’hétérogénéité.

Bien que l’orientation et la forme des cellules de dislocations

dépendent

^{de la nature et du nombre de}

systèmes

^de

glissement

actifs dans

chaque grain,

^{on sait}

qu’il

existe des corrélations

intergranulaires

^{fortes entre}

les

caractéristiques

^des cellules. Une

première

appro- che de ce

problème

^{a été}

proposée

^dans

[36].

^Dans

le même temps, les interactions

systématiques

^entre

glissement plastique

^et

joints

^de

grains

^{ont un effet}

propre localisé mais commun à tous les

grains.

^Cet

effet

possède

^{donc une influence sur le} comporte-

ment

macroscopique qui

^se traduit par ^une limite d’écoulement

dépendant

^{de la taille de}

grain.

^Cet

effet n’est pas décrit par le modèle

présenté

^ici.

Dans ces

conditions,

^les déviations

sQ (r’ )

^s’écri-

vent ici :

où

et où

VI désigne

le volume du

grain

de la classe 7.

De la même

manière,

^si

gl désigne

^{la valeur}

moyenne du

gradient

^{de la vitesse dans le}

grain

^{1 :}

le

champ g (r’ )

peut ^être

approché

par ^{la somme :}

En

conséquence,

^le

produit à 1 (r ’ ) g (r ’ )

peut s’écrire :

En reportant

(55)

^dans

l’équation intégrale (47),

^on

obtient pour ^{la valeur}

moyenne gl

^{dans le}

grain

^{1 :}

qui ^s’écrit,

^en

posant :

Pour des

grains

^{de forme}

ellipsoïdale

^{et pour}

1=

J,

^{le tenseur}

TII

est relié au tenseur S

d’Eshelby

par :

Pour I #

J,

^{les tenseurs}

T"

décrivent les interactions entre

grains

^{I et J. Ces tenseurs ont été} introduits par Berveiller et al.

[37] qui

^donnent

également

^une

méthode de calcul de

Tu

dans le cas d’inclusions

ellipsdidales

^{dans une matrice}

anisotrope.

^{Les ten-}

seurs

TII

et

Tu

^sont donc connus.

L’expression (58)

constitue alors un

système

linéaire

d’inconnues gl

^{et dont le} rang ^est

égal

^au

nombre de

grains

considérés.

Au lieu de résoudre directement un tel

système,

on peut ^choisit

L° proche

^{de ou}

égal

^à

Leff.

Dans ce cas, les contributions de termes tels que

TI1 411 fi

pour

(I ~ J )

^{dans la somme du 2e membre de}

(58)

peuvent ^être

légitimement négligées puisque

^leur

effet

sur gl

^{a été}

pris

^en compte ^{au travers de} l’interaction entre le

grain

^{I et le milieu}

homogène équivalent

^réel

^Leff.

^{Le choix}

^L°

⁼

^Leff

^{et la limita-}

tion à I ⁼ J des termes de la somme

(58)

constituent la solution autocohérente à un site de

l’équation intégrale (47).

On peut

également approcher

^{la solution de}

(47)

par ^une solution autocohérente à sites

multiples

^en

limitant la somme non pas ^au

grain

^I

lui-même,

^mais

à ses

premiers

^voisins.

Une telle démarche a été

développée

^{dans le cas}

de l’élasticité

[38]

^{et a}

permis

^de

prendre

^en compte l’effet de la

répartition spatiale

des renforts d’un

composite biphasé

^{sur les}

propriétés élastiques macroscopiques.

^{Dans le cas de la}

plasticité,

^une

telle extension

paraît

^moins

justifiée

^{à cause de}

l’écrantage

^{des actions}

intergranulaires

^{à distance}

par ^les

joints

^de

grains.

Dans ce

qui suit,

^nous

développons l’approche

autocohérente à un site.

5.1 APPROXIMATION AUTOCOHÉRENTE À UN SITE:

CALCUL DE

Leff.

^- Les

hypothèses précédentes

^ont

permis

^de transformer

l’équation intégrale (47)

^en

équation algébrique (implicite puisque ^Leff

^n’est pas

encore

déterminé).

Avec le choix

Lo

⁼

Leff,

^{on a de}

plus :

et

l’équation (58)

^{s’écrit :}

Les modules

élastoplastiques

tangents

Leff

s’obtien- nent maintenant à

partir :

- du

comportement

^local

ni = fi 9 1 (63)

- de la relation de localisation

9r - (1 - TII J1f/)- 1 G ^(64).

- des relations de moyenne ^{N =}

fil. (65)

En substituant

gl

^dans

(64)

par

l’expression (63),

^et

en effectuant la valeur moyenne

(65),

^{on a :}

soit

où

fi désigne

^{la fraction}

volumique

^des

grains

^{de la}

classe I. Le calcul de

Meff

^se déduit alors du tenseur

Leff

par la relation

(13).

L’équation (67)

^{constitue une relation}

implicite

pour L

puisque ^TII

^et

^âfl dépendent

^{du tenseur inconnu}

Leff.

Par

ailleurs,

^{les tenseurs}

L eff

^et

Meff dépendent

^de

l’état actuel du

chargement (N

^et

fi)

^{et de la}

microstructure actuelle

(orientations

^des

grains,

^cis-

sions

critiques...,

contraintes

résiduelles).

^Il

convient donc de

pouvoir déterminer,

pour ^un

trajet

de

chargement quelconque,

^{la structure interne}

actuelle du

polycristal qui

sera connue

lorsque

^des

lois d’évolution des différentes variables d’état auront été établies.

5.2 LOIS D’ÉVOLUTION DES VARIABLES D’ÉTAT. ^- Les différentes variables d’état

qui

décrivent la microstructure actuelle du

polycristal

^{ont été}

préci-

sées dans l’introduction.

Rappelons simplement qu’elles

concernent les cissions

critiques

^{sur les}

systèmes

^de

glissement (approche phénoménologi-

que pour

prendre

^en compte ^la densité de disloca-

tions),

l’état du réseau cristallin

(orientation

^et

forme,

contraintes

internes)

^{et la forme des}

grains.

Dans la

réalité,

^il

s’agit

^de

champ

de variables d’état variant d’un

grain

^{à l’autre et à} l’intérieur des

grains.

Dans

l’approximation

autocohérente à un

site,

^les

champs précédents

^sont

supposés

^{uniformes à l’inté-}

rieur de

chaque grain.

Donner les lois d’évolution des variables d’état revient à relier la

grandeur el

^{décrivant telle variable}

dans le

grain

^{I au}

gradient

de la vitesse G

imposé

^{à la}

frontière du

polycristal

^{sous la forme :}

CI désignant

formellement un tenseur localisation

particulier qui

relie l’évolution de la variable d’état

el

au

gradient

^G.

De tels tenseurs de localisation sont définis pour les différentes variables d’état discutées dans l’intro- duction.

5.2.1 Cissions

critiques.

^{- A}

partir

^{de la loi de} comportement

élastoplastique

^locale

(Eqs. (31)

^et

(27)),

^{on a} pour la vitesse de la cission

critique

tel

^du

système

^{r d’un}

grain

^{I :}

pour le

grain I,

sont les contraintes de

Cauchy

moyennes, e sont les constantes

élastiques actuelles,

est,

d’après (1),

la vitesse de déformation totale moyenne dans le

grain

^{L Elle est reliée}

au

gradient

^{de la vitesse}

macroscopique

^G par la relation

(64)

que ^{nous décrivons} ici sous la