HAL Id: jpa-00240830

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Submitted on 1 Jan 1903

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Sur les propriétés élastiques des fils de soie et le coefficient de Poisson

F. Beaulard

To cite this version:

F. Beaulard. Sur les propriétés élastiques des fils de soie et le coefficient de Poisson. J. Phys. Theor.

Appl., 1903, 2 (1), pp.785-795. �10.1051/jphystap:019030020078500�. �jpa-00240830�

785

SUR LES PROPRIÉTÉS

ÉLASTIQUES

DES FILS DE SOIE ET LE COEFFICIENT DE POISSON;

Par M. F. BEAULARD.

1.

Malgré l’emploi fréquent

des fils de soie dans les

suspensions

.utilisées dans les laboratoires de

physique,

^les

paramètres élastiques

^_

de cette substance sont mal _{connus ;} on ne

possède

que les déter- minations

numériques

de Frankenheim

(1835)

relativement à l’élas- ticité et à la tenacité de la

soie,

l’observation de Weber

signa-

lant ce

qu’il appelle

l’effet tardif

élastique (nachwi"rkung)

^{d’un fil}

soumis à un

poids

tenseur, et, antérieurement aux recherches de ces

deux

physiciens,

^les

expériences classiques

de Coulomb sur les

phé-

nomènes de torsion

(1784). Malgré

^toute

l’importance

^{des travaux}

précédents,

l’étude des

propriétés élastiques

^{des fils de soie est à}

reprendre,

^{car, en}

pareille ^matière,

les résultats

numériques

^ne

valent que si l’on connaît exactement dans

quelles

conditions et suivant

quelle technique

^{ces résultats ont été}

obtenus;

les recherches de M. Bouasse sur l’élasticité des fils

métalliques

^{ne laissent aucun}

doute à cet

égard.

Dans ce

travail, j’ai

^{eu d’abord en vue la} détermination cori,ecle du module de et

j’ai

été amené par la suite ^à

déterminer,

outre les deux

paramètres

^de

Lamé, p et ^~,

le coefficient de

Poisson c,

ce

qui

soulève la

question

^de

l’isotropie

^{ou de}

l’anisotropie

^{de la soie.}

2. La constitution d’un fil de cocon est assez

complexe;

^les

glandes

du vers à soie sécrètent une bave double

qui, coagulée

^à

l’air,

^donne

le fil

continu, brillant, élastique

^et

souple,

^{dont le cocon est}

formé ;

en dévidant

celui-ci,

^on

peut

^obtenir

jusqu’à

^{1.200 mètres de}

^fil,

constitué pour ⁷⁵

0/0

d’une matière azotée dite

fibroïne,

^et pour 2;5

0/0

d’une matière gommeuse dite

grès ;

^{lors de} l’émission de ^la

bave,

^{à cause du mouvement} de va-et-vient du vers à

soie,

^{les deux}

baves sont en état

d’inégale ^tension,

que

M. Crémieu (’ )

compare

justement

^{à deux ressorts à boudin}

entremêlés;

^{il résulte de cette} constitution

complexe

que ^les

allongements temporaires

^et perma- nents se

compliqueront

^des

allongements

^de

rectification ;

^{le module}

d’Young,

^calculé

d’après

^{un tel}

allongement,

n’a pas de

signification physique

^nette.

(1) ^{J. de} Phys., p. ⁴¹ de ce ;ol.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019030020078500

786

D’après ^Coulomb,

^{un fil de soie}

peut supporter

^~.0

grammes

^sans

qu’il

y ait

rupture ; d’après

^W.

Weber, l’allongement peut

^atteindre

1 2

le 1 ₇ de la

longueur

g ^du

^{fil ;} les 3

₃ ^de

l’allongement

g ^restent

permanents,

P c’est-à-dire

qu’un

^{fil de soie est} affecté d’une déformation

permanente notable ;

^du reste, ^sous l’effet d’une

tension,

^l’état

d’équilibre

^met

des heures à

s’établir,

^{et il en est} de même pour le ^{retour à} la forme

primitive, quand

^on

supprime

^le

poids

^tenseur.

’

3. Soit ~L

l’allongement

d’un fil de

longueur L,

de section

S,

^sou-

mis à une

charge égale

^à

P,

si l’on connaît

P, ^{L, S,}

^et si l’on déter- mine ôL

par le cathétomètre,

^on calcule le module

d’Young

^{E par la}

formule :

on considère

quelquefois,

^{au lieu de}

^E,

^{son inverse a,}

qui peut

^évidem-

ment s’écrire :

1 étant

l’allongement

de l’unité de

longueur

pour ^une

charge 7r

^par

unité de section du

fil ; si,

dans les mêmes

conditions, ~

^{est la con-}

traction latérale du

fil,

^le coefficient de Poisson 5 est le

rapport

^de

cette contraction

latérale ~

^à

l’allongement longitudinal i :

Si l’on pose, ^avec Lampé :

on a pour a ^et

E,

^{évalués en} fonction des

paramètres

^~.

^etp

^{de Lasné :}

telles sont les relations dont nous aurons à nous servir. Le

paramètre.

se détermine par l’élasticité de

torsion ;

^{on a} pour le

couple

^de

torsion r

(par radian) :

787 en

posant :

y est le coefficient de

Coulomb; r

^{étant connu} par la durée de l’os- cillation et le moment d’inertie du

système oscillatoire,

^{on détermine}

opar:

et p par,

on connaît alors _par

l’expérience

^E

et

^{on calcule} d’abord a par :

et

ensuite

par :

Il est

possible

alors de calculer le

premier paramètre ),

^{de Lamé}

par l’une ^ou l’autre des

équations :

,

4. Le fil sur

lequel

^{on a}

opéré

^{était un} fil tiré d’un écheveau ^com-

mercial ;

il résultait du

dévidage

^de

quatre

^cocons. Son diamètre a

été déterminé d’abord avec un

microscope micrométrique,

^{et en-}

suite la même mesure, pour avoir ^un

contrôle,

^{a été}

reprise

^{avec un}

microscope

de naturaliste

(Leitz)

^à micromètre oculaire

gradué

^et

taré en

microns ;

les nombres trouvés ont été aussi concordants que

possible

pour ^un même

fragment

^du

^{fil ;} pendant

^{la mesure, le fil est}

maintenu tendu _par le

poids

^moyen

auquel

^{il est soumis} d’ordinaire

(15

grammes

environ).

^{On trouve ainsi D =}

O~m,004 il~~ (nombres

extrêmes :

DE1n,00~~0

^et

0~~,00~’~1.0).

5. Pour connaître le module de torsion de

Lamé),

^{on a utilisé}

la méthode des

oscillations ;

^le

fil, long

^de

^50~,99,

était tendu par

une

sphère

de diamètre et de masse

br,36 ;

^{son moment} d’inertie 1 2_»

4,341 gr-cm2 ; l’amplitude

^{moyenne de l’oscil-}

788

lation a été de 30° dans une

expérience

^{et de 5° dans une autre;}

cette

amplitude

était déterminée au moyen d’une

lunette, permettant

de viser une

petite

bande circulaire de

papier,

^{divisée en 36} par- ties et collée sur

l’équateur

^{de la}

sphère.

^La

réduction,

dans les deux cas, à ^une

amplitude

infiniment

petite,

^a donné pour la durée de l’oscillation t ^-

58sec ,548;

^{on en}

déduit (’ ) :

d’où:

et enfin :

6. Il reste maintenant à déterminer le module de

traction,

^dans

des conditions telles que le nombre ^trouvé ait un sens bien

défini ;

les

allongements

^{du fil sont mesurés avec un} cathétomètre donnant le

1

₂₀

millimètre ;

^{le fil}

_porte

p deux traits noircis servant de

repères a

et

b;

^{.il est} tendu par ^un

plateau

^{de masse}

égale

^à

12Ôr,à>à3 ,

^{et on}

opère

par

surcharges

de 2 grammes, ^foi grammes, ⁶ grammes ^et même 8 grammes; les ^{masses sont}

posées

^et enlevées de

façon

^à

éviter tout

choc,

^toute

trépidation

^ou oscillation

appréciable ;

pour

mesurer

8L,

^on visc alternativement a,

b, puis

^c~,

^b,

^{et ainsi de}

suite, jusqu’à

^ce que deux lectures consécutives de a ou de b donnent le même

résultat,

^à ₁₂₀ de millimètre

près;

^l’état

d’équilibre

^{est ainsi}

atteint dans

chaque expérience.

On constate, ^tout

d’abord,

que

l’allongement

^{croît bien}

plus rapi-

(lenient que ^la

charge.

Les résultats

numériques

^ne

correspondent

alors à rien de

précis,

^{surtout à cause de}

l’allongement

^{de rectifica-}

tion ;

^{il en} résulte que la valeur du module

d’Young

^diminue

rapi- dement;

^{on constate}

ég alement

que

l’allongement,

^{d’abord très}

rapide,

devient moins

rapide quand

^{on se}

rapproche

^{de la}

rupture qui

^{a lieu}

pour la

surcharge

^{de 8} grammes

(soit ~0,~~~) ;

^on calcule facilemen t (1) Coulomb donne pour ^un fil T =1: 0,003254; ^ce qui, pour ^un fil de 4 baves, ^cor- respond ^{à r --} O,Oi2l6, valeur presque identique ^{au nombre} précédents.

789

le coefficient de ténacité :

et pour ^un fil

simple (deux baves) :

7. Pour déterminer le module

d’Young,

^{on a}

opéré

par variations

cylindriques

^{de la}

charge,

celle-ci variant de

1~,545

^à

18gr,546

^en

repassant

par

15_,r@545

^et

16,545,

pour revenir

à 12gr,545

^en repas- sant par ^les

charges

intermédiaires

16~r,~~3

^et

14~,545;

^{on sait} que, suivant la loi dite

d’accommodation,

^les

diagrammes qui repré-

sentent

l’allongement

^en

fonctionss

de la

charge ,

finissent par ^se

fixer;

^{en dehors de toute}

hypothèse, quand

le parcours fixé ^{est un}

cycle ^fermé,

^{on dit}

qu’il

y ^a

hystérésis;

^{dans les}

expériences qui

vont

suivre,

^le

diagramme

^de

l’allongement

^{du fil était fixe à} peu

près

^{dès le deuxième}

cycle ;

^{dans une}

expérience,

^{on a}

poussé jus- qu’au quatrième cycle;

^{aux erreurs}

d’expériences près,

^ce parcours ^est

une ligne

^{droite : à ce moment, les}

allongements

^sont

proportion-

nels aux

charges,

c’est-à-dire que le module de traction ^est

indépen-

dant de la

charge,

l’élasticité du fil amené dans cet état est

parfaite ;

et, ^comme le parcours

peut

^être parcouru dans les deux ^{sens, la} valeur du module ne

dépend

pas du ^sens de variation de la

charge ;

il

n’y

^a

plus d’hystérésis

pour ^un fil ainsi

préparé.

La

fig. 1

^est la traduction

graphique

des résultats

(obtenus

^avec

le fil

n° 1) poids - abscisses ; allongement :::::-.

ordonnées.

L’origine correspond

à po ^_-_

i2,545 :

i° Dès le début

l’allongement

^croît

plus rapidement

que la

charge;

~°

L’allongement permanent

^{OE à la fin du}

premier cycle

^est

égal

à il vaut

0,33

pour ^cent de la

longueur primitive ;

3°

L’allongement permanent

^{EK à la fin du second}

cycle

^est

égal

^à

0-,005,

c’est-à-dire infiniment

plus

faible que

précédemment ;

^{il ne}

vaut que

0,10

_pour ^{cent de la}

longueur primitive ;

4" Les variations

de 8

^{et de 7 sont} moindres que les variations de

E ;

^en

particulier

^la

valeur 8

^de la contration latérale varie peu

avec la

charge ;

51 La

fig.

^{1 montre}

qu’on

^{a un}

cycle

^{fermé BCDEFGB et} que ^ce

cycle,

conformémentaux

exigencesde

^la

théorie,

est sinistrorsum. Soit la chaleur

correspondante

^{à une} modification élémentaire dont

790

l’ensemble constitue le

cycle ;

^le

cycle

n’étant pas réversible à cause

des modifications

permanentes,

^{et les}

opérations

^étant

^lentes,

^on

^peut

FIG.

regarder

^le

cycle

^comme parcouru ^à

température

constante, ^et par suite on doit avoir :

en

désignant

par Tr le travail du

poids tenseur,

^le

principe

^{de la con-}

servation de

l’énergie

^donne

JQ - Tr

= o ; d’où là condition

Tr> 0 le

791 travail Tr doit donc être

positif:

^{il est}

égal

^{à l’aire} EFGHH’ - l’aire

EDCHH, qui

^{est en effet}

positive ;

6°

Enfin,

^et c’est le résultat le

plus important,

la dernière descen- dante

D2

^est presque

rectiligne;

l’élasticité du fil est

parfaite,

^{et il}

n’y

^a pas

hystérésis ;

les valeurs de

E,

déduites de ce dernier parcours ^sont les suivantes : ^.

8. Une deuxième série

(fil

^n°

2),

faite dans les mêmes

conditions,

^a

donné

également

^{lieu à un} dernier parcours

quasi rectiligne ;

^ce

qui

conduit au résultat suivant :

FrG. 2.

9. Enfin

je

^{donnerai une} dernière série de _mesures, la

plus

^com-

plète ;

^les

expériences

^{ont été}

poussées jusqu’au

^~.~

cycle ;

^{la dernière}

descendante est absolument

rectiligne,

le tableau suivant a été tra- duit ^en courbe

(fig. 2) ;

^{on a dû}

adopter

^deux

échelles ;

^la

première

792

ascendante

(peu importante

^du

reste)

^{a été}

figurée

^à

part,

^{à droite}

de la

figure ;

les lettres du tableau

correspondent

^aux lettres de la

courbe ;

^{les deux}

premiers cycles

^sont

séparés

des deux derniers

cycles

par l’intervalle d’une

nuit ;

^{ils ne se} raccordent pas absolument pour ^cette raison.

Les

longueurs

du fil pour ^une

charge

^nulle

(c’est-à-dire

^{réduite au}

seul

poids

^du

plateau, qui

^{sert à} recevoir les

charges)

^{sont :}

le fil abandonné à

lui-même, pendant

^une

^nuit,

diminue de

longueur,

et le matin la

longueur

^{mesurée sous}

charge

^{nulle n’est}

plus

que

491-,165

^{au lieu de}

49~,~0,

^{d’où un} raccourcissement de

0~,055;

ainsi

l’allongement

^àL

+

^{àlj’ ‘}

1,55 correspond

^en

partie

^{à une}

déformation

permanente 1. cm ,45

^{et en}

partie

^à une déformation

tempo-

raire le

point figuratif

s’abaisse de J en

K;

^en

partant

^de

cette

valeur,

^on

procède

^{de nouveau} par

charges

croissantes et

décroissantes ;

^la

longueur L~ == 49,165 correspond

^au

point

^{K de ..}

la

courbe ;

^{c’est le} commencement d’une seconde variation

cyclique KLMNOPQRSTU ;

^{on a} pour les

longueur

^{du fil sous}

charge

^{nulle :}

les

allongements

^{sont de}

plus

^en

plus faibles,

^et le fil tend ^{vers un} état limité doué de

stabilité, lequel

^{constitue un état} naturel du _sys- tème dans les conditions de

l’expérience.

TABLEAU III

(Pl.

^no

2).

^,

793

En ne conservant que les résultats relatifs ^à la dernière ascendant.e

et

descendante,

^{on a :}

’

En

résumé,

les trois séries

d’expériences

^{ont donné les résultats}

suivants :

dont la moyenne

générale

^{est :}

10. Avec les données

précédentes,

^{il est}

possible

de calculer le para- mètre de Lamé

(a

^étant

déjà connu);

^{avec a == 1.563 et}

794

p ⁼

1,268 . 10~o,

^la formule :

donne:

de

même,

la relation :

avec E

= 6,50 .

^{lOtO et même valeur}

de u == i,68 .1040,

donne pour ^A la même valeur

négative.

Il est maintenant

possible

d’aborder la

question

^de

l’isotropie

^ou

de

l’anisotropie

de la soie : on sait que la théorie de l’élasticité des corps

isotropes dépend

pour Lamé des deux coefficients X et pL, nécessairement

positifs et constants ;

tandis que Saint-Venant réduit

ces deux coefficients à un

seul,

^en

posant,

^{dans le cas de l’iso-}

tropie, X

^{_ p.}

La valeur

négative

trouvée pour ^{À montre} que la théorie de l’élasticité des corps

isotropes

^n’est pas

applicable

^{à la}

^{soie ;}

^elle

correspond

^{à une} dilatation transversale

qui accompagnerait

^{la dila-}

tation

longitudinale :

^ce

qui paraît

inadmissible.

Voigt,

^{il est}

vrai,

^{dans ses} recherches sur les

cristaux,

^{a constaté}

que

si,

pour la

topaze, l’allongement longitudinal

^est

accompagné

d’une contraction

transversale,

^{il n’en est} pas de même pour la

pyrite

^{et le} chlorate de

sodium,

^où

l’allongement longitudinal s’accompagne

^d’une dilatation

transversale;

^{mais il}

s’agit

^{ici de}

cristaux,

corps ^{à texture}

particulière,

^sans

analogie

^avec celle de la

soie ;

^{à moins de}

regarder

^{la soie comme une} substance de nature

fibreuse, auquel

^{cas le}

problème

de l’élasticité

dépendrait

de 5 para- mètres et non

plus

^{de ~.}

11. La valeur

numérique

^{7 =}

1,563

^conduit

également

^{à ad-}

mettre

l’anisotropie

^{de la}

^{soie ;}

la condition _{À = p} introduite dans la formule a

= ’

^{donne cr}

^{= 1}

^{pour toutes} les substances iso-

2 (X T N)

⁴

tropes.

Les recherches de Wertheim

(caoutchouc,

^{laiton et}

cristal),

^don-

nèrent pour ^{cr non} la

valeur (>

₄ ^{mais la}

valeur1 3

_o

(c’est-à-dire

⁼

2fJ-) ;

à la suite des travaux

mathématiques

^de

Cauchy, Lamé, Kirchhoff,

^il

795 fut

généralement

^{admis que c devait être}

compris

^entre

0,~5

^et

0,50

et

pouvait

varier d’un métal à un autre, ^toute valeur de c >

0,50

impliquant

^une déformation

permanente ; d’après ^Cornu,

^{la valeur}

c

1

₄semble convenir en effet aux corps

isotropes

^{dont le verre est}

le

type

^le

plus

^{net, car} les métaux fondus ont une texture

cristalline,

et les métaux laminés une texture fibreuse. Or la valeur ^{c =}

1,563

trouvée pour ^un fil de soie est

plus

^{de six fois}

plus

^forte que ^celle

qui

caractérise

l’isotropie.

Le volume du fil diminue _{par la}

traction ;

^{on a :}

ou en tenant

compte

des valeurs de « et de E :

avec les valeurs

numériques

^{de a de}

^E,

^{ou de X}

et p,

^{on trouve :}

Voigt préfère

caractériser

l’isotropie

par le

rapport

^{des deux}

modules : ^’

avec les valeurs

numériques

^{q de E}

et , _tJ.

^le

rapport E - ^{5, t double}

^du

rapport qui

caractérise

l’ijoti’opie (1 ) .

v-

La conclusion

générale

^{de ee}

qui précède

^est que la soie ^est aniso-

trope.

1~. A titre de

renseignements,

le tableau suivant donne les valeurs des deux modules

d’élasticité,

^et de la ténacité pour

l’argent,

^la

^soie,

le

quartz

^filé

().

- -

(1) Voir J. de Phys., pô 493 de ^ce volume, l’article de M. H. Bouasse, ^{sur la défi-} nition de o- donnée par Rôntgen ^comme modification de la définition du a de Poisson.

(2) ^A. DupouR, ^{.I. de} p. 502 de c volume.