HAL Id: jpa-00235721

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Submitted on 1 Jan 1957

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L’électromagnétisme non linéaire et les photons en théorie fonctionnelle des corpuscules

Florence Aeschlimann, Jean-Louis Destouches

To cite this version:

Florence Aeschlimann, Jean-Louis Destouches. L’électromagnétisme non linéaire et les photons en

théorie fonctionnelle des corpuscules. J. Phys. Radium, 1957, 18 (11), pp.632-637. �10.1051/jphys-

rad:019570018011063200�. �jpa-00235721�

L’ÉLECTROMAGNÉTISME

^{NON LINÉAIRE} ET LES PHOTONS EN THÉORIE FONCTIONNELLE DES CORPUSCULES

Par

^Florence AESCHLIMANN ^et Jean-Louis

DESTOUCHES,

Institut Henri-Poincaré, ^Paris.

LE JOURNAL PHYSIQUR 18, 195i,

1. Introduction. ^- Mie

[1] puis

^{Born et}

Infeld

[2]

^{ont défini un}

électromagnétisme

^non

linéaire ;

^{nous nous} proposons de ^montrer

qu’on

retrouve les

équations

fondamentales de cet élec-

tromagnétisme

^à

partir

^{de la théorie non linéaire}

du

photon

^définie par l’un de ^nous

[3].

^Les

équa-

tions de Mie sont les

équations

^{de Maxwell écrites}

en

distinguant

^les

champs

^des

inductions,

^{la liaison}

entre ceux-ci étant ^non linéaire :

Il est commode de poser ^avec

Heisenberg

^et

Born

MI est la densité de moment

magnétique

^{et T la}

densité de moment

électrique.

^S’il

n’y

^a pas de

~ ~

charges présentes,

^{JTt et e sont les}

Polarisations

du

vide, j

^{et s sont la} densité du courant, et la densité de la

charge

^{liées à la}

polarisation.

2. Théorie non linéaire du

photon.

^{- Les}

équa-

tions fondamentales sont

Q-4

^et

QB désignant

^les

^termes

^non

linéaires,

^les

équations

^du

photon

de M. Louis de

Broglie

^{étant :}

Certaines combinaisons linéaires des

équa-

tions

(12)

^nous donneront des

équations

^électro-

magnétiques

^et celles-ci seront non linéaires par suite de la

présence

^{des termes non linéaires}

QA

et

QB.

^{Ceci fournira une base} pour l’unification de la théorie des

photons

^avec

l’électromagnétisme

non linéaire.

Pour

abréger

^nous définirons un

opérateur

linéaire Q par la condition suivante : si ^{F est un}

opérateur

^{et u la} fonction d’onde

physique

^d’un

photon

^nous poserons

où .K est la constante de M. Louis de

Broglie [4]

Nous poserons aussi

Les

quantités 03A6ik

^F

Oz

^{de M. Louis de}

Broglie apparaissent

^comme des éléments de matrice de transition et

03A6ik

⁼

dik

^est considérée

comme

une

fonction d’onde du

photon correspondant

^{à l’état}

d’annihilation. Avec les ondes

physiques

u, ^une telle

interprétation

^ne

peut plus

^{être donnée et}

l’opérateur sa

^a pour effet de définir certaines combinaisons linéaires de fonctions d’ondes _uik.

Considérons les

équations

fondamentales

(12).

Si

Ai

^et

Bi

^{sont les}

opérateurs

déduits des a de Dirac _par

fusion,

^en

multipliant

^à

gauche

par de tels

opérateurs (12),

^on

obtiendra

des combinaisons linéaires de ^ces

équations ^{soit :}

A ces

équations

^nous pouvors

appliquèr _répa-

rateur n et nous

obtiendrors

des

équations

^déri-

vées des

équations (12) :

Nous pouvons

prendre

^{aussi des} demi-sommes

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019570018011063200

633 et des demi-différences de ^ces

équations,

^{soit :}

le même

signe

^{+ ou - étant}

pris

^{dans les deux}

membres.

. Le

signe

⁺ fournira les

équations maxwelliennes,

tandis _que le

signe

^{- fournira les}

équations

^non

maxwelliennes

correspondant

^à l’état de

spin

^nul

que ^nous laisserons de côté ici.

3. Les identités de M. Louis de

Broglie.

^-

M. Louis de

Broglie [5]

^{a obtenu dans sa théorie}

du

photon

6 identités

qui

^résultent de la forme des

cpérateurs Ai

^et

Bi.

^{Comme ces identités sont indé-}

pendantes

du fait que les fonctions (Dik ^obéissent

ou non à des

équations d’ondes,

^{elles seront encore}

valables ici.

Ai

^et Bi

désignant

^des

opérateurs

for.damer.taux du

photon,

posons

Les 6 identités de M. Louis de

Broglie

^{sont :}

4. Obtention des

équations microscopiques

^de

l’électromagnétisme

^{non linéaire. -} Partons des

équations

fondamentales

(12)

^et

multiplions-les respectivement

par

Ai

^et par

Bl. Appliquons l’opérateur 62

^{à la} demi-somme des

équations

obtenues. Posons comme dans la théorie du

photon

de M. Lcuis ^de

Broglie

et

De la définition de Q on a

En vertu des

définitions

et des

propriétés pré- cédentes,

^{on obtient}

l’équation

à condition _{de poser}

Si nous

multiplions

^les

équations (12)

par

A2

^ou

A.,

^nous obtiendrons des

équations

^{de même forme}

en y ^{et z.} Posons :

nous obtenons

l’équation

Inéquation (5)

^de

l’éjectromagnétisme peut

^être

~

prise

^comme définition du

champ électrique E ;

nous poserons donc :

il reste alcrs

l’équation

~

Si les termes ^non linéaires

QE étaient nuls,

^nous

obtiendrions pour cetté

équation

la seconde défi-

~

nition due de M. Louis de

Broglie [6].

^Mais

QE

^est

non nul et il traduit l’influence de l’extérieur sur les

caractéristiques

internes du

système [7] ;

^{ici le} sys- tème est un

photon isolé,

l’extérieur est le vide.

~

Le terme

Qe

^{est donc la}

polarisation

du vide. Le second membre doit alors être défini comme l’induc-

~ ~

tion

électrique u’"J, qui

pour

Qg

^{= 0 se réduit bien}

à (5. La seconde définition de M. Louis de

Broglie

du

champ électrique

^{est ici celle de} l’induction

électrique.

^{On est donc conduit à} poser :

Ainsi

l’équation

^{obtenue est}

l’équation (9)

^de

l’électromagnétisme

^non

linéaire :

THÉORÈME 1. ^-- Si on

multiplie par Ai

^et

B;

pour j

⁼

1, 2,

^{3 les}

équations fondamentales

^du

photon (12)

^{et si on}

applique

^à leur demi-somme

l’opérateur

^{03A9 on obtient les}

équations (5)

^et

(9)

^de

l’électromagnétisme

^{non linéaire.}

5.

Champ

^{et induction}

magnétique.

^{- Multi-}

plions

maintenant par

A2. A3

^et

B2.B3

^les

équa-

tions

(12). Appliquons l’opérateur 1/2 ^2,

^{nous obte-}

nons

En

multipliant

par

A3 Ai

^et

B3 B1

^ou

Ai A2

^et

Bi B2

^on obtiendrait un résultat semblable d’cù la formule vectorielle :

Posons alors

Définissons l’induction

magnétique

par

l’équa-

t ion

(6)

^soit

A

partir

^des

équations (12)

^en les transformant

ccmme

indiqué

^{ci-dessus nous obtenons :}

. Le second terme du

premier

^{membre de cette}

équation

^est

justement

^au

signe près l’expression

que M. Louis de

Broglie [8]

^a

prise

^{comme défi-}

nition du

champ magnétique.

Il convient de conserver cette définition soit

Alors en se

reportant

^à

l’équation (8)

de l’électro-

magnétisme

^{non linéaire on} voit que 1’00 ^a

~

Qb

^{est donc la}

polarisation magnétique

^{du vide.}

Nous

prendrons

^{la relation}

précédente

^{comme défi-}

~

nition de JR alors

l’équation

^{dédnite des}

équations

fondamentales

(12)

^{n’est autre} que

l’équation (8)

soit

d’où

THÉORÈME 2. Si on

multiplie par’Ai

^et

^Bi.

pour j :=ï 23, 31, 12,

^les

équations fondamentales

^du

photon (12)

^{et si on}

applique

^{à leur demi-somme}

l’opérateur

^{n on obtient les}

équations (6)

^et

(8)

^de

l’ électromagnftigyze

^{non linéaire.}

6.

Équations

d’évolution de l’induction élec-

trique.

^-

Multiplions

maintenant les

équations

fondamentales

(12)

par

A, A4

^et

BI B4.

^Posons.

Nous obtenons alors comme

équation

^dérivée

de

(12)

En

multipliant

par

A2 A4

^et

Bz B4

^ou

A. A4

^et

B3 B4les équations

fondamentales

(12)

^{on obtiendra}

dEs

équations analogues,

^d’où finalement

l’équa-

tion vectorielle

(3)

^de

l’électromagnétisme

^non

linéaire

à condition de poser

-

QD apparaît

^{ainsi comme le terme de courant}

produit

par la

présence

^{des termes non}

linéaires,

d’où ce théorème.

THÉORÈME 3. ^- Si on

multiplie

par

Ai

^et

Bi pour j =14, 24,

^{34 les}

équations fondamentales

^du

photon (12)

^{et si on}

applique

^{à leur demi-somme}

l’opérateur

^{03A9 on obtient les}

équations (3)

^{de l’électro-}

magnétisme

^{non linéaire.}

De

l’équation (3)

^{on tire une}

équation

pour J’évolution du

champ électrique :

ou encore

en

posant

7.

Équation

^en

divergence

de l’induction élec-

trique.

^-

Multiplions

^les

équations (12)

par

A4

^et

B4 ;

prenons leur

demi-somme

et

appliquons Pope"

rateur 03A9. Posons d’autre

part

Des

équations (12)

^{nous obtenons alors}

Le terme en ’0 est celui de M. Louis de

Broglie

dû au fait _que l’on

prend

^{une masse finie} (l.o pour le

photon.

^{Le terme}

Q,,

^{est la}

charge apparente

créée par l’onde _u, c’est

l’auto-charge.

De cette

équation

^{nous pouvons obtenir une}

équation

^en

divergence

pour le

champ électrique

635 en nous

reportant

^à

(9").

^{Posons avec Born}

[9]

a

apparaît

^{comme la}

charge

^{due à la}

polarisation

du vide. Nous obtenons alors

8. Relation entre

QA

^et

QB.

^-

Multiplior s

^main-

tenant les

équations (12)

^par

A, A2 A3

^et

B, B2 B3.

On voit

alors, d’après

les identités de M. Louis de

Broglie qu’il

^{nous reste}

l’équation

Cette relation n’est pas ^une

identité,

^{mais une}

équation qui

^{est une}

conséquence

^des

équations

fondamentales

(12) :

^{elle est}

automatiquement

vérifiée _pour toute solution u des

équations (12) ;

en effet comme

QA

^---

LA

^{u et}

QB

⁼

LB u

^{en rem-}

plaçant Q.A.

^et

QB

par ^ces valeurs on obtient une

identité de M. Louis de

Broglie.

^On n’aura donc pas à faire intervenir

(13)

^dans

des

considérations sur

l’électromagnétisme.

11.

Équations

^des

potentiels.

^-

Appliquons

maintenant

l’opérateur 1 2

^{03A9 à}

^LA

⁺

^LB,

c’est-à-dire

multiplions

par 1- les

équations (12).

^Posons

alors des

équations (12)

^{nous tirons}

C’est la relation entre les

potentiels.

^{Nous aurons}

la relation habituelle entre les

potentiels posée

par Lorentz si nous

imposons

^{la condition}

supplié-

mentaire

C’est là une condition sur les termes non linéaires

QA

^et

QB qui s’explicite,

^en remontant à la défi- nition

(14)

^de

Qv,

par

c’est-à-dire

Une condition de ce genre ^sur la trace ^a une forme

qu’on

^{rencontre assez souvent. Comme}

aucune condition

spéciale

^{n’a été}

imposée

^aux

termes

pd

^et

QB

^{on est libre} de poser la condi- tion

(17) quiconstitué

^une condition effective ^sur

Q A

et

QB

de forme invariante.

12. Ëquatîon

^ên

divergence

pour le

champ magnétique.

^w

Multiplions

maintenant les

équa.

tions par

A1234.et B1234.

^Posons

De

(12)

^nous obtenons alors

Cette

équation peut

^être transformée en

équa-

~

tion de

divergence

^{pour à3 en tenant}

compte

^de

(8),

~ ~ ~

d’c ù Je = à3 -

M ;

^on obtient ainsi

Si l’on veut obtenir

l’équation

^habituelle

~

div d3 ⁼ 0

qui exprime qu’il n’y

^a pas de

charges magnétiques libres,

^{il faut}

imposer

la condition

supplémentaire

On a le droit de poser ^cette

condition,

^{car cela}

revient à

imposer

^{une condition sur}

Q.4

^et.

QB,

c’est-à-dire une relation entre les

composantes Q.A.iy

et

Q.B.ii, qui

^{sont au nombre de}

16,

^ce

qui

^est

toujours possible.

On aurait là une condition

supplémentaire

sur les termes non linéaires. Seule une discussion fondée sur des considérations

physiques lorsque

^la

théorie sera

plus développée permettra

^{de décider}

s’il faut ou non poser ^cett-e condition

supplémen-

taire. ^’

13.

Équation

d’évolution du

champ magnétique.

-

Multiplions

^les

équations

fondamentaleâ

(12)

par

A124

^et

B124.

^Posons

alors des

équations (12)

^{nous tirons}

On obtiendrait des relations semblables ^en multi-

pliant

par

A234

^et

B234

^ou par

A314

^et

B.314 ;

^on

arrivera ainsi à la relation vectorielle : :

On

peut

^donner d’autres formes à cette

équation, -

d’abord en

remplaçant

^{0"J par son}

expression ^tirée

~ ~ ~ ~ ~

de

(9)

^{en ire et}

e,

soit ffl = L +

(5,

^ce

qui

^donne

1

On peut aussi en tirer une

équation

d’evolution

~ ~ ~ ~

pour B

^{en tenant}

compte

^de

(8)

^{soit ae ==*cf3 -}

^m,

. d’où

Enfin on obtiendra

l’équation (1)

^{avec des termes}

~ ~

supplémentaires

^en

remplaçant (JJ par &

^comme

plus

^{haut dans}

l’équation précédente, d’où ;

On obtiendra

l’équation

habituelle de l’électro-

magnétisme

^{si l’on}

impose

la condition

supplé-

mentaire

qui exprime qu’il n’y

^a pas de ^courant

magnétique.

Ici,

^comme pour

l’équation (2"),

^{il faudra}

discuter,

en

s’appuyant

^sur des considérations

physiques,

s’il est

adéquat

^{ou non} de poser ^cette condition

supplémentaire.

Avec la condition sur les

potentiels

^{et celle sur}

~

div 03 cela fait en tout 5 conditions scalaires à

imposer

^aux

QÂ,ii

^et

QB.ij,

^ce

qui

^est

toujours

pos- sible.

On ne trouve pas la relation de conservation de la

charge puisque

^nous supposons être dans le

vide,

il

n’y

^a pas de

charges ;

^{en ce}

qui

^{concerne les}

charges

créées par l’onde ^{u au} moyen des ^termes

non

linéaires,

^on

peut

la poser aussi ^{comme une} sixième condition

supplémentaire :

ou encore comme

14.

Équations

^{sous forme} tensorielle._- ^Comme

nous l’avons

indiqué

^au

début,

^les

équations

^de

l’électromagnétisme peuvent

être mises ^sous forme tensorielle relatviste.

On a donc deux tenseurs

5i;;

^et

Ceij

^{avec :}

er suite alors

Oil obtient ^{avec ces} notations à la

place

^de

(1")

et

(2’’)

De même en

posant

on obtient à la

place

^de

(3")

^et

(4") :

Les

équations (5)

^et

(6)

^étant

prises

^{comme des}

définitions,

^les

équations

usuelles pour les

potentiels

ont lieu

Les relations de définition des

polarisations

s’écrivent

La relation sur les

potentiels

^s’écrit

Les conditions

supplémentaires

pour ^retrouver les formules usuelles s’écrivent :

et elles ont bien une forme invariante. En outre la condition de Lorentz sur les

potentiels

^{consiste à}

annuler un invariant :

La condition de conservation de

charge

^s’écrit

, Les

équations

^{obtenues à}

partir

^des

équations

du

photon prennent

^{donc bien la} forme tensorielle usuelle.

De ces

équations

pour les

champs complexes

microphysiques

^on passe à des

équations

^{de même}

forme pour

champs

^{réels en}

posant

pour toute

quantité

^F

On les obtient en

ajoutant

^aux

équations précé-

dentes les

équations imaginaires conjuguées.

^Des

équations

^pour

champ

^réel

microscopique

^on passe

aux

équations

^des

champs macroscopiques

^dans

^le

vide _par un processus de moyenne ^{sur un}

grand

nombre de

photons.

^{Ainsi on retrouve l’électro-}

magnétisme

^{non linéaire}

classique

^à

partir

^{de la}

théorie du

photon.

15.

Équations

^de

propagation.

^{- A}

partir

^des

équations (1)

^à

(6)

^{on obtient des}

équations

^de

propagation

^en

appliquant 2013

^{aux deux membres}

d’une

équation d’évolution, puis

^{en commutant au}

637 second membre un

opérateur spatial avec 2013

^{~tet en}

remplaçant

^la

quantité

^{ainsi dérivée} par ^son expres- sion tirée d’une autre

équation

d’évolution.

Posons

n

on obtient comme il vient d’être

indiqué :

Au

premier

^{membre sont les termes linéaires et}

au second membre les termes non linéaires. Les termes entre accolades sont ceux

qui disparaissent

si l’on

impose

^les conditions

supplémentaires.

Si l’on annule les termes non linéaires on retombe

sur les formules de la théorie du

photon

^{de M. Louis}

de

Broglie.

^{Si au contraire on}

garde

^{les termes non}

linéaires et si on annule _M.0 on

retombe, après

^avoir

rendu réelles les

quantités

considérées et

pris

^des

moyennes, ^sur les formules de

l’électromagnétisme

non linéaire

classique ^(Mie

^et

Born).

^{Enfin si on}

annule _{M0 et} les termes non

linéaires,

^{on retombe}

sur les formules

classiques

^{de Maxwell.}

Les termes non

linéaires Q

^{se trouvent déter-}

minés si on

impose la

loi d’extrémum de Born et Infeld ou

[9]

^{une loi}

analogue

issue d’une fonction

lagrangienne.

Ainsi on a les bases d’une théorie réalisant une

synthèse

^{entre la}

mécanique

ondulatoire du

photon

de M. Louis de

Broglie

^et

l’électromagnétisme

^non

linéaire de Mie et de Born. ^’

Manuscrit reçu le 8 juin ^1957.

BIBLIOGRAPHIE

[1] ^MIE (G.), ^Ann. Physik, ^4e série, 1912, 37, 511 ; 1912,

39, 1 ; 1913, 40, 1.

[2] ^BORN (M.), 1) ^{Nature, 1933,} 132, 282 ;

2)

^{Proc. Roy.}

Soc., A., 1934, 143, 410 ; 3) ^{Annales Institut} Poincaré, 1937, ^vol. VII, ^fasc. IV, 155-265.

BORN (M.) ^{et INFELD} (L.), 1) Nature, 133, 970,1004 ; 2) ^Proc. Roy. ^Soc. A., 1934, 144, ^425.

INFELD (L.), ^Proc. Cambridge ^Phil. Soc., 1936, 32, 127 ; 1937, 33, ^70.

BROGLIE (Louis DE), ^Cours oral, Institut Henri- Poincaré, ^1956-1957.

[3] AESCHLIMANN (F.), ^{Thèse Doctorat ès} Sciences, Paris,

13 juin 1957 ; ^J. Physique Rad., 1957, 18, ^562.

[4] ^BROGLIE (Louis DE), 1) Comptes Rendus, 1934, 199, 813;

2) Une nouvelle conception de la lumière (Hermann, Paris, 1934) ; 3) Une nouvelle théorie de la lumière

(Hermann, Paris, 1940), ^notamment pp. 144 et sui- vantes.

[5] Ibid., p.154.

[6] Ibid., p.155.

[7] AESCHLIMANN (F.), ^Thèse complémentaire ^{pour le}

Doctorat ès Sciences, Paris, 13 juin 1957, C. R. Acad.

Sc. 1957, 244, ^3034.

DESTOUCHES (J. L.), ^La quantification ^{en théorie}

fonctionnelle des corpuscules (Gauthier-Villars, Paris, 1956).

[8] ^BROGLIE (Louis DE), Ibid., p.155.

[9] ^BORN (M.), Annales Institut Henri Poincaré, p.193.