C'est précisément le dernier élément de l'équilibre décrit par le vecteur de l'intensité vibratoire. Ce premier fait la démonstration rigoureuse de la définition du vecteur de l'intensité vibrationnelle dans une coque cylindrique.
La méthode de construction des théories de coque est présentée au paragraphe 2.1 avec les étapes correspondantes. Il existe trois théories différentes des coques cylindriques : Flügge, Donnell et Flügge-Timoshenko.
CONSTRUCTION D’UNE THEORIE DES COQUES
- Gradient du vecteur de déplacement
- Tenseur des déformations
- Equations d’équilibre
- Loi de comportement
Dans le second terme, le vecteur désigne : .. le vecteur des angles de rotation des parties droites de la coque. Par l'équation (2.1.6) le déplacement de la coque est donné en fonction des grandeurs définies dans sa surface médiane.
THEORIE D’ORDRE SUPERIEUR
Par conséquent, le tenseur des efforts de traction N et celui des moments M sont symétriques. Les expressions de la loi de Hooke pour les tenseurs de force N et M sont respectivement données par .
COQUES CYLINDRIQUES
Théorie de Flügge
On n'écrit que les équations d'équilibre, mais sous forme de déplacements (il est habituel de les écrire sous une telle forme lorsqu'il s'agit d'une théorie des coques cylindriques). Le facteur β2 mesure le rapport de l'épaisseur au rayon médian de l'enveloppe cylindrique.
Théorie de Donnell
Théorie de Flügge-Timoshenko
La figure 3.7 présente les branches des ondes libres des deux premiers modes périphériques en fonction de la fréquence physique (en [Hz]). La courbe de dispersion en fonction de la pulsation adimensionnelle est donnée sur la figure (3.12). A droite se trouve l'intégrale de la divergence du vecteur d'intensité acoustique.
Nous donnons ici la trace d'intensité vibratoire pour le mode respiratoire (voir Figure 4.3) d'un tube vide en fonction de la pulsation adimensionnelle Ω. Le flux net de puissance vibratoire est dirigé de l'excitateur A vers l'excitateur B, c'est-à-dire positif. Les courbes des puissances mesurées à l'entrée (excitateur A), à la sortie (excitateur B) et de la puissance dissipée dans le tube sont représentées sur la figure 6.19.
La courbe de flux de puissance totale (antennes) est plus proche de la courbe de
RELATION DE DISPERSION
La matrice dite "matrice de nombres d'onde" L contient les composants suivants en ce qui concerne la théorie de Flügge [6] :. Bien entendu, la composante Λ33 de la matrice de pulsation adimensionnelle est également modifiée : où le terme de charge fluide Gcp s'écrit :. 3.1.43).
TUYAUX VIDES
- Mode respiratoire
- Mode de flexion
- Mode lobaires
- Basses fréquences
Dans sa section réelle, la branche P3 se rapproche asymptotiquement de la courbe de dispersion des ondes longitudinales dans une bande. Dans le plan des nombres d'onde réels, la branche présente un comportement plus lisse que la branche P1 du mode de flexion.
TUYAUX REMPLIS D’UN FLUIDE LEGER
La branche P1, qui est associée aux ondes de torsion, n'a pas de plan d'onde acoustique correspondant. La ramification des ondes quasi-longitudinales est donc formée par tronçons car les branches Pi, i > 1 et Fj, j > 1 ne se coupent jamais dans le plan des nombres d'onde réels.
TUYAUX REMPLIS D’UN FLUIDE LOURD
Mode respiratoire
La répartition spatiale de la pression est telle que la pression maximale est toujours au niveau de l'axe du tuyau. Dans ce cas, c'est la pression minimale qui est toujours sur l'axe du tuyau.
Mode de flexion
Les branches de la courbe de dispersion sont également caractérisées par leur nombre d'onde radial kfr qui intervient dans la répartition spatiale de la pression dans le tube. Pour de grands kfr, la surface décrite par la pression peut avoir une ou plusieurs "lignes nodales" (là la pression est nulle). La pression augmente de façon monotone dans la direction radiale, le maximum est sur la paroi.
Basses fréquences
Les branches P2 du mode respiratoire pour une conduite vide et une conduite remplie d'eau (figure 3.15) ne diffèrent guère du fait du faible couplage entre la paroi et le liquide (dans cette zone de fréquence le déplacement u est prédominant, c'est pourquoi le couplage est faible). En ce qui concerne le mode de flexion, les branches P1 pour le tuyau vide et rempli d'eau sont dessinées sur la figure 3.16. L'effet lent est toujours présent dans le tuyau rempli d'eau, cet effet est le résultat du couplage.
CAS DES FREQUENCES ELEVEES
Les expressions des composantes axiales des vecteurs de vibration et d'intensité acoustique sont présentées à la section 4.2. Les courbes de flux de puissance à l'entrée (excitatrice A) et à la sortie (excitatrice B) sont représentées sur la figure 6.14. Le flux de puissance acoustique dans le tuyau de refoulement est plus important que dans le tuyau d'aspiration.
Les flux de puissance totaux (vibratoire et acoustique) mesurés par les deux configurations d'antenne sont présentés à la Figure 6.31. Les parties vibratoire et acoustique du flux de puissance total dans la conduite sont illustrées à la Figure 6.36. Les flux de puissance totaux mesurés par les antennes de mesure et d'accéléromètre sont représentés sur la Figure 6.43.
Dans le cas d'interaction entre ondes libres, le courant net de puissance vibratoire est donc égal à la différence des courants partiels de sens opposés.
BILAN DES PUISSANCES NETTES POUR UN TUYAU
L'exposant "a" indique qu'il s'agit de grandeurs acoustiques et l'indice "i" que l'équilibre s'établit dans le fluide intérieur, qui occupe le volume Ω. ΠS ia désigne la puissance nette totale sortant du fluide et entrant dans la paroi, et cette puissance est égale au terme Πifv de l'équation (4.1.2). Avec ΠS ea on indique la puissance nette totale qui sort du liquide et pénètre dans la paroi, cette puissance est égale au terme Πefv de l'équation (4.1.2).
EXPRESSIONS POUR LES INTENSITES VIBRATOIRE ET ACOUSTIQUE
Il est possible d'estimer cette dernière par la méthode des différences finies, mais l'erreur d'estimation risque de devenir importante, notamment dans le cas des dérivées partielles mixtes. D'autre part, la méthode des différences finies est un outil approprié pour estimer l'intensité acoustique dans le fluide interne. Cependant, chaque installation des capteurs de pression dans la conduite représente une modification locale de la masse et de la raideur de la paroi.
EXPRESSIONS POUR LE FLUX D’ENERGIE, APPLICABLES A LA MESURE
Les puissances mesurées aux extrémités sont représentées sur la figure 6.2 (la référence de l'échelle des décibels est de 1 [mW]). La figure 6.21 montre les valeurs absolues des flux de puissance acoustique dans les conduites de refoulement et d'aspiration. Les courbes des flux de puissance mesurés aux extrémités et du flux de puissance total (vibratoire et acoustique) mesuré par les antennes sont présentées sur la Figure 6.32.
Les courbes du flux de puissance total mesuré avec différentes combinaisons d'antennes de mesure sont présentées à la Figure 6.40. La figure 6.45 montre le flux de puissance surestimé mesuré avec des antennes de mesure dans la bande de fréquence entre 850 et 900 [Hz].
DECOMPOSITION EN MODES CIRCONFERENTIELS
Dans la suite de la présentation, nous appellerons un tel ensemble de capteurs sur la circonférence de la canalisation « antenne périphérique des capteurs ». La condition du nombre K de capteurs dans une antenne circonférentielle, nécessaire à l'extraction complète des distributions axiales ɵ. L'avantage d'une telle configuration est que les résultats ainsi obtenus ne contiennent pas d'erreurs de repliement, même lorsqu'il existe une branche réelle pour le mode lobaire du second ordre dans la gamme de fréquence d'intérêt.
DECOMPOSITION AXIALE
Méthode des matrices interspectrales
I K désigne la constante de transformation de la grandeur mesurée q (accélération ou déformation) en déplacement normal w. Le claquage axial peut être effectué à l'aide d'un agencement de 4 antennes périphériques, réparties le long de la conduite comme illustré à la Figure 5.4. Dans les composantes de la matrice, A est sous forme d'exponentielles complexes, le vecteur X contient les inconnues q p f * q p f et le vecteur B contient les composantes de la matrice interspectrale.
Méthode des fonctions de réponse fréquentielle
L'avantage de cette méthode par rapport à la méthode interspectre est que l'équation (5.2.2.1) est moins lourde à résoudre que l'équation (5.2.1.8).
ANALYSE DES ERREURS
La figure 5.6 montre le rapport entre l'accélération normale et axiale pour les ondes en forme de paroi et liquides. La figure 5.7 montre les longueurs d'onde λ des ondes de type paroi, de type fluide et en mode de flexion libre. La longueur d'onde en forme de paroi est significative aux basses fréquences, par exemple, λ vaut 10 [m] pour une fréquence de 500 [Hz].
La méthode de vérification expérimentale des techniques de mesure pour la conduite remplie d'air fait l'objet de la section 6.1. L'application à un cas industriel (mesure sur les tuyauteries d'un compresseur frigorifique) est présentée au paragraphe 6.2. Le paragraphe 6.3 décrit la procédure de vérification expérimentale de la conduite remplie d'un liquide lourd.
MESURES SUR UN TUYAU REMPLI D’UN FLUIDE LEGER
Essai axial
La figure 6.3 présente les évolutions du nombre d'onde adimensionnel mesuré (noté k0) et du nombre d'onde quasi longitudinal calculé (branche P2 du schéma respiratoire). Les figures 6.4 et 6.5 montrent respectivement les flux de puissance vibratoire et l'indice de propagation déterminés à l'aide des antennes 1, 2 et 3. La figure 6.6 montre également les valeurs de la puissance totale injectée (notée P_A), mesurée au niveau de l'excitatrice. B (noté P_B) et celui mesuré avec les antennes de mesure (P_jg).
Essai de flexion
Le nombre d'onde mesuré est comparé à celui calculé selon la théorie de Flügge sur la figure 6.9. Par contre, les courbes d'indice déterminées par les antennes 1 et 2, puis 2 et 3 s'accordent beaucoup mieux. La raison principale des déviations d'indice pour les antennes 1 et 3 est dans l'écart entre elles (600 [mm]) qui fait que la fréquence unique pour cette combinaison d'antennes est d'environ 450 [Hz].
Essai combiné
La courbe de puissance propagée est toujours comprise entre les courbes des effets mesurés à l'entrée et à la sortie, il n'y a ni surestimation ni sous-estimation de la puissance qui se propage dans la conduite. L'accord entre les courbes est suffisamment bon pour que le bilan de puissance soit considéré comme vérifié.
MESURES SUR UNE BOUCLE FRIGORIFIQUE
Dispositif de mesure
Résultats de mesure
Le flux de puissance vibratoire en mode flexion pour le tube à décharge est représenté sur la planche 9 en échelle de décibels (référence 1 [mW]). Les flux de puissance vibratoire sont estimés sur la base de trois antennes périmétriques à comparer. Les figures 6.27 et 6.28 montrent les flux de puissance acoustique et vibratoire dans les conduites de refoulement et d'aspiration.
MESURES SUR UN TUYAU REMPLI D’HUILE
Essai axial
Les effets mesurés sur les terminaisons de tuyauterie sont présentés à la figure 6.30 en échelle de décibels. Les fréquences de 900 et 1500 [Hz] sont les fréquences singulières pour cette combinaison d'antennes, car la valeur de dete jAɵ y diminue significativement (voir Figure 6.33). Sur la figure 6.37, les parties vibratoire et acoustique du flux de courant, mesurées par les antennes 1, 2, 4 et 6, sont présentées.
Essai de flexion
Les courbes de nombre d'onde mesurées par les antennes d'étalonnage et le nombre d'onde théorique pour les ondes de quasi-flexion (calculé selon la théorie de Flügge) sont tracés sur la Figure 6.39. Un bon accord similaire est illustré à la Figure 6-41, où les courbes d'indice de propagation sont tracées pour les différentes combinaisons d'antennes d'étalonnage. Les courbes des flux de puissance totale mesurés aux extrémités et à travers l'ensemble des antennes 1j et 2j sont tracées sur la figure 6.42.
Pavic: "Vibrating energy flow in thin-walled shells", Proceedings of the 3rd International Congress on Intensity Techniques, Senlis - France 1990. Pavic: "Energy Flow through Straight Pipes", Proceedings of the 3rd International Congress on Intensity Techniques, Senlis - France 1990. Romano: " Structural intensity in thin cylindrical shells", Proceedings of the 3rd International Congress on Intensity techniques, Senlis - France 1990.
Cas particulier, surface cylindrique
Lorsqu'il s'agit de théories d'ordre inférieur, des conditions aux limites de type Kirchhoff peuvent être dérivées. Pour obtenir les conditions aux limites de type Kirchhoff, il faut mettre le second membre de (a) sous la forme de (b).
L'identité suivante est utilisée à cette fin : nΓ définit le vecteur normal sortant de la surface moyenne S ; δΓ désigne la distribution de Dirac dont le support est le bord Γ. A partir de ce résultat, les équations d'équilibre peuvent s'écrire sous la forme : L'équation (A3.1.18) indique que la différence entre la puissance nette totale des excitations et la puissance nette totale traversant la frontière est égale à l'intégrale de la divergence du vecteur d'intensité de vibration sur la surface médiane S. En gardant ces relations entre la grandeurs du déplacement normal dans l'expression du vecteur de déplacement u et sachant cela.
