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Submitted on 1 Jan 1990
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MODÉLISATION DES EFFETS DU VENT SUR LA PROPAGATION ACOUSTIQUE AU-DESSUS DU SOL
Y. Gabillet, H. Schroeder, M. Rosen
To cite this version:
Y. Gabillet, H. Schroeder, M. Rosen. UTILISATION DE LA MÉTHODE DE SOMMATION DE FAISCEAUX GAUSSIENS POUR LA MODÉLISATION DES EFFETS DU VENT SUR LA PROP- AGATION ACOUSTIQUE AU-DESSUS DU SOL. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C3), pp.C3-73-C3-82. �10.1051/jphyscol:1990308�. �jpa-00230736�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C3, supplément au n017, Tome 51, ler septembre 1990
UTILISATION DE LA METHODE DE SOMMATION DE FAISCEAUX GAUSSIENS POUR LA
MODBLISATION DES EFFETS DU VENT SUR LA PROPAGATION ACOUSTIQUE AU-DESSUS DU SOL
Y. GABILLET, H. SCHROEDER et M. ROSEN
C.S.T.B. Grenoble, 24, rue Joseph Fourier, F-38400 Saint Martin d 'Hères, France
Résumé :
Récemment, une méthode de résolution hautes fréquences de problèmes de propagation en milieu inhomogène utilisant la superposition de faisceaux gaussiens a été proposée dans la communauté sismologi ue.
Com arée à la méthose des rayons, cette nouvelle méthode à i'avantage de résoudre les probkmes de sin ularités aux caustiques et discontinuités aux limites de zone d'ombre.
P
La méthode de aisceau gaussien consiste à associer a chaque rayon un profil d'amplitude gaussienne suivant la normale au rayon. La largeur et la courbure du faisceau sont déterminées à partir de la résolution au cours de la propagation d'un système d'équations différentielles obtenu en utilisant l'approximation parabolique dans un système de coordonnées centré sur le rayon.
La méthode a été appliquée au problème de la propagation du son dans un gradient vertical de vent au dessus d'un sol. Les premiers résultats obtenus avec cette méthode sont en bon accord avec des mesures réalisées en soufflerie.
Abstract :
Recently, a method usin superposition of Gaussian beams has been proposed, in the seismological community, Fm the solution of high-frequency wave problemes.
In comparison to standard ray tracing, the method has the advantage of being free of certain ray-tracing artifacts such as perfect shadows and infinitely high energy at caustics. The Gaussian beam method associates with each ray a beam with a Gaussian intensity profile normal to the ray. The beamwidth and curvature are governed by an additional pair of differential equations, which are inte rated along with the usual ray equations to compute the beam field in the vicinity of the centrafray of the beam.
The method has been applied to the outdoor sound propagation roblem of a source in wind gradient located over a surface. The first results obtained by (faussian beam method and measurements performed in a wind tunnel are in good agreement.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990308
1
-
INTRODUCTIONLa méthode de sommation de faisceaux gaussiens a été introduite dans le domaine sisrnologique par Cerveny, Popov et Psencik [l]. Le concept de la théorie est la résolution de l'équation des ondes dans le voisinage du rayon. La solution peut être obtenue pour des milieux inhomogènes dans plusieurs directions (2D ou 3D) et ainsi constituer un point de départ pour la résolution des problèmes osés dans l'étude de la propagation acoustique extérieure (gradient de vent, de température, &ffusion, diffraction par les obstacles.. .).
Les limites de la méthode sont dues à i'hypothèse haute fréquence inhérente à la théorie. Cela signifie que le milieu doit varier suffisamment lentement sur une longueur d'onde, tel que des interactions entre les inhomogénéités puissent être négligeables et le remplacement de l'équation des ondes par l'équation parabolique soit justifié.
Il y a trois étapes dans l'utilisation de la méthode :
première étape : un tracé de rayons est réalisé depuis la source. Puisque i'énergie "haute fréquence" suit le rayon, il suffit de tracer les rayons qui arriveront dans le voisinage du récepteur. Cette première étape suppose la résolution numérique des équations des rayons.
r deuxième étape : l'équation des ondes est résolue dans un système de coordonnées centré sur le rayon, pour chaque rayon, en utilisant l'approximation parabolique. Cette approximation conduit à un système d'é uations différentielles du premier ordre ui peut Etre résolue au pas à pas. La solution Tocale peut être exprimée en terme de faisceau gaussien.
troisième étape : la solution finale est le résultat de la supe osition de toutes les solutions locales le long des rayons individuels pour donner une soxtion approchée globale pour une source.
Cette procédure résout la plupart des difficultés de la méthode des rayons.
a) la solution est uniforme partout. Les singularités a u caustiques sont résolues automatiquement.
b) cette procédure n'est pas sensible aux détails du milieu comme la méthode des rayons, car il y a un effet de lissage.
c) il n'est pas nécessaire de rechercher les rayons qui arrivent exactement au récepteur ce qui limite ainsi le temps de calcul. La méthode ne nécessite que de simples modifications de la méthode des rayons classique.
Cette méthode a été appliquée au problème de la propagation du son dans un gradient vertical de vent au dessus d'un sol plan. L'étude est limitée dans un premier temps au cas bidimensionnel et suit les résultats de Cerveny [l]. Les résultats du calcul sont comparés aux mesures réalisées en soumerie. [5]
2
-
REVUE DE LA METHODE DE SOMMATION DE FAISCEAUX GAUSSIENS 2-
1. Détermination de la trajectoire des ravons dans un vent auelconaueLe calcul est basé sur la méthode géométrique des caractéristiques et permet de déterminer les trajets des rayons acoustiques dans un espace à trois dimensions en présence d'un vent et d'un gradient thermique de direction et d'amplitude quelconque. 131
Les équations des rayons sont :
d T - 3 -
-= - k grad c -
2
ki grad Vei (2)dt i=i
où Ve : vecteur vent, k : vecteur d'onde, c : célérité du son, r : position courante sur le rayon, i : pour x, y, z, t : temps
Ce système d'équation peut être résolu au pas à pas par une technique numérique classique. A une interface, on applique la loi de réflexion de Snell-Descartes.
2
-
2. Résolution locale de l'éauation de aroaagationLa seconde étape de la méthode de sommation des faisceaux gaussiens consiste en la résolution de l'équation de propagation localement en utilisant l'approximation parabolique.
Pour un rayon quelconque, nous introduisons un système de coordonnées orthogonales centrées sur le rayon (s, n), où s est l'abscisse curviligne le long du rayon et n la normale au rayon (figure 1)
FIGURE 1 : SYSTEME DE COORDONNEES CENTREES SUR LE RAYON (s,n) La base de ce nouveau système de coordonnées est formée par deux vecteurs unitaires g et n, où g est le vecteur unitaire tangent au rayon et n le vecteur unitaire perpendiculaire au rayon.
En utilisant l'approximation parabolique dans le système de coordonnées centré sur le rayon, l'é uation de propagation peut être réécrite sous la forme d'un système d'équations dijkrentielles linéaires du premier ordre. On a supposé que le milieu est lentement variable dans le voisinage du rayon (approximation haute fréquence).
Les détails de ce calcul sont donnés dans la référence [Il et nous présentons le résultat final.
Un faisceau gaussien est défini par :
: est un paramètre complexe constant le long du rayon, mais peut être différent pour différents rayons
n : la distance normale a l'axe du rayon (figure 1) : la fréquence angulaire
t(s) : le temps de propagation : t(s) = /:/o(s) ds
J2
c(s) : la célérité locale du son
p(s) et q(s) sont solutions du système d'équations différentielles suivant :
où Cnn est la dérivée seconde de la vitesse du son suivant la normale au rayon.
L'expression (3) montre que l'amplitude de chaque faisceau décroit exponentieliement avec la distance au rayon. Cette décroissance est gaussienne, l'amplitude suivant un profil dans le plan du rayon est une courbe en cloche (figure 2) et justifie ainsi la dénomination de faisceau gaussien.
FIGURE 2 : AMPLITUDE DU FAISCEAU LE LONG DE LA TRAJECTOIRE DU RAYON
Si l'on sépare parties réelles et imaginaires de p/q, l'expression du faisceau gaussien (3) peut s'écrire sous la forme suivante :
u(s, n, ) = J c m ] exp (iut(s)
+
.5iWc K(s)n2-
n2 /L2 (s))où L(s) = (d/2 Im (p(s)/q(s))-* contrôle la décroissance de l'amplitude et K(s) = c(s) Re (p(s)/q(s)) est la courbure du front d'onde du faisceau.
2
-
3. Conditions initialesUne solution générale com lexe (p, q) du système différentiel linéaire (4) peut s'écrire comme combinaison linéaire à coekcients complexes de deux solutions indépendantes réelles (pl, q l ) et (PZ, 92).
Les deux solutions indépendantes choisies par Cerveny et al sont : p l =O, q l = 1, p2 = l/ço, q2 = 0, à la source
La solution générale peut s'écrire sous la forme : p(s) = Cpl
+
p2, q(s) = E q l+
q2 ( 5 ) , à un facteur multiplicatif près qui peut être introduit dans le coefficientY
de l'amplitude du faisceau.Pour qu'une solution ait la forme d'un faisceau gaussien, elle doit satisfaire l'hypothèse d'évanescence en fonction de la distance n au rayon, cette condition porte sur la partie imaginaire de p/q, (Im (p/q) > O) et s'exprime sur le paramètre complexe E
.
De plus, pour que la solution soit définie partout il faut : q(s) # O
Cerveny et al [l] montrent que ces deux conditions sont satisfaites pour E choisi de la forme
T. George 141 montre que l'effet des caustiques eut être pris automatiquement en compte par
P
une coupure du plan complexe, dans lequel la onction q(s) prend ses valeurs. La phase de la racine complexe de q(s) entrant dans le terme d'amplitude de l'expression (3) s'écrit :
phase (jq) =phase (q)/2
+
k 9 2 si nc est le nombre de caustiques traversées par le rayonk = nc si nc est pair, k = nc
+
1 si nc est impairnc est calculé en comptant le nombre de changement de signe de la fonction q le long du rayon. Par ailleurs, l'argument de la racine du paramètre imaginaire E est fué à -
r34.
2
-
4. Réflexion et transmission d'un faisceau gaussien aux interfacesCerveny et Psencik [2] ont écrit les équations complètes de la transmission/réflexion à travers une interface courbée du premier ordre. Ces équations sont obtenues en considérant la continuité de la phase complexe du faisceau incident et transmis à l'interface.
Dans le cas où l'interface est plane, le saut de discontinuité des fonctions p(s) et q(s) s'obtient à partir des relations suivantes :
a v - désigne la dérivée de la vitesse locale du son suivant la normale au rayon du côté de
2
n l'interface contenant le rayon incident3 v - désigne la dérivée de la vitesse du son suivant la tangente au rayon
P P
-
=-/U + N avec N réel
q 9
Puisque la partie imaginaire de t>/q contrôle la largeur du faisceau,et la partie réelle la
courbure, cela signifie que pour un sol réfléchissant le faisceau réfléchi ne change pas en largeur mais en courbure.
2
-
5. Décom~osition d'une onde cvlindriaue en une somme de faisceaux GaussiensDésignons par @ l'angle de tir d'un rayon n par rapport à un axe du repère associé à la source, l'amplitude U@ (s,~,LLP) du faisceau gaussien associé se calcule à partir de l'équation (3).
L'équation des ondes étant linéaire, l'expression (3) satisfait cette équation est régulière
partout. Dans un point récepteur M s'écrif :
u (M) = (7)
o u y = 1
La fonction
3
(@) est déterminée en milieu homogène avec une vitesse constante co = c(so) en comparant la solution (7) et la solution exacte pour une ligne source pour ru -2-2
-
6. Méthode numériaueLe calcul du champ acoustique dans un milieu inhomogène avec la méthode des faisceaux gaussiens se décompose en trois phases.
4 Dans la première phase, un tir de rayons suffisamment dense est éffectué depuis la source. Le calcul des tra'ectoires est réalisé au pas a pas en résolvant numériquement le système d'équation didrentiel (1) et (2). A chaque pas de calcul, la résolution du système d'équation différentiel (4) conduit aux valeurs p l , p2, q l , q2. Ces quantités ainsi que les paramètres donnant la trajectoire des rayons sont stockés.
4 La deuxième étape consiste à rechercher les coordonnées s et n sur chaque rayon pour le récepteur. Pour cela, il faut déterminer les normales aux rayons passant par le récepteur. Ce calcul est réalisé simplement en testant si la normale à la droite passant par deux points successifs au rayon depuis le récepteur intercepte le récepteur.
+
La troisième étape consiste à sommer toutes les contributions non nulles pour les différents rayons.3 -APPLICATION : CALCUL DU CHAMP SONORE AU-DESSUS D'UN PLAN EN PRESENCE DE VENT
En vue d'illustrer l'utilisation de la méthode et tester son domaine de validité, nous avons comparé les résultats de la méthode avec des résultats de mesure obtenus en soumerie en utilisant la TDS (Time Dealy Spectrometv) 151 ; en particulier, des situations en vent contraire où la théorie des rayons ne peut pas s'appliquer. L'échelle de la maquette est le vingtième. Tous les résultats qui suivent sont donnés à l'échelle 1.
Deux types de vent ont été simulés. La loi de variation du gradient de vitesse avec l'altitude de z est la suivante :
Z pour le vent Nol : Vref = - 5 d s V = Vref (-)0814 Zref = 3 m
Zref pour le vent NO2 : Vref =
-
10 m/sPour Z < 0,4 m, la vitesse du vent fluctue rapidement. Dans le calcul, on prolon e la loi de variation de la vitesse en puissance par une loi linéaire de pente égale à la pente e la loi en
puissance à 0,4 m.
d
La loi de variation du taux de turbulence avec l'altitude :
Deux distances de propagation ont été testées : d l = 80 m, d2 = 95 m, pour deux situations de sol :
t un sol parfaitement réfléchissant
t un sol absorbant caractérisé par sa résistance spécifique au passage de l'air.
Sources et récepteurs sont placés à 1 m au-dessus du sol.
Dans la situation avec sol absorbant, le calcul est réalisé en multipliant le champ réfléchi par le coefficient de réflexion sphérique en incidence rasante. Le champ total s'écrit :
où Pd = champ direct obtenu par sommation de faisceaux gaussiens Pr = champ réfléchi obtenu par sommation de faisceaux gaussiens R = coefficient de réflexion d'onde plane
F est calculé d'après [ 6 ] .
L'impédance du sol est donnée, en fonction de la fréquence f et de la résistance à l'écoulement du sol (exprimée en rayls), par le modèle de Delany et Bazley 171 :
-0,75 -0,73
Zs=1+9.08(f/r) + i . l l . g ( f / ~ ) Pour le sol considéré r= 300 unités CGS
Les résultats sont donnés aux figures 3, 4 et 5 sous forme de courbe d'atténuation par rapport au champ libre. La courbe expérimentale représente la moyenne sur 30 mesures successives. La solution faisceau Gaussien a été obtenue pour un tir de 120 rayons espacés de 0.5 degrés.
Dans le cas du vent contraire nOl (5 d s ) , les atténuations calculées (---) et mesurées (-) sont en bon accord aussi bien dans la configuration avec sol réfléchissant (a) ou avec sol absorbant (b) et pour les deux distances testées (80 m - figure 3 et 95 m - figure 4). Pour cette configuration, la limite de la zone d'ombre est d'environ 40 m.
remaraue : Les atténuations mesurées en très basses fréquences (f < 150 Hz) sont très inférieures à celles caicutées. Ceci est dû au filtrage basse fréquence utilisé pendant la mesure pour s'affranchir du bruit de la soumerie.
Dans le cas du vent contraire n02 (10 d s ) , et pour la distance 95 m, les atténuations calculées (---) figure 5, avec les deux types de sol sont très proches et l'écart avec la mesure (-) est légèrement plus important. Dans ce cas, la contribution dans la zone d'ombre est due essentiellement aux faisceaux qui tournent vers le haut sans se réfléchir sur le sol et donc ne subissent pas l'effet de sol.
Les résultats expérimentaux confirment en partie cette hypothèse. En effet, dans le cas du vent fort (10 d s ) l'écart entre mesures avec sol réfléchissant et sol absorbant est beaucoup plus faible que dans le cas du vent de 5 m/s. L'effet de sol joue donc un rôle moins important dans l'atténuation dans la zone d'ombre pour les vents forts (2 10 d s )
4
-
CONCLUSIONLa méthode de sommation de faisceaux gaussiens apparait être une alternative très prometteuse à la méthode des rayons. Dans la modélisation des effets du vent sur la propagation acoustique sur sol plan, en particulier dans le calcul du champ acoustique dans la zone d'ombre par vent contraire, elle donne des résultats en bon accord avec des mesures réalisées en soufflerie. Elle permet de résoudre les problèmes qui limitent actuellement le domaine d'utilisation de la méthode des rayons pour un coût de calcul analogue.
Dans la méthode initiale de sommation de faisceaux gaussiens, l'am litude du faisceau réfléchi
P
est calculée à partir de celle du faisceau incident multipliée par le acteur de réflexion d'onde plane. Dans notre problème, cas de faisceaux rasants, cette méthode ne permet pas de décrire correctement les phénomènes. Un traitement semi empirique du problème a été réalisé en appliquant à l'ensemble des faisceaux réfléchis le coefficient de réflexion d'onde sphérique en incidente rasante. Cette méthode donne des résultats en accord avec l'expérience pour les cas étudiés.
Un travail complémentaire doit être mené pour traiter de manière plus formelle le problème de réflexion rasante et étudier la validité du choix du paramètre &(paragraphe 2-3) qui définit les conditions initiales du faisceau gaussien.
Cette étude a bénéficié du soutien de la DRET.
Hz
FIGURE 3 : Comparaison entre mesures (-) et calculs (---) de la pression par rapport au chamv libre avec vent 1 (-5m/s) vour la distance ,
.
80 ma : sol parfaitement réfléchissant b : sol absorbant (V= 300 rayls/cm)
Hz FIGURE 4 : Résultats dans les mêmes hypothèses qu'en3,
mais pour la distance 95 m
FIGURE 5
-10
+?O
a o
a
- 4 0 b
d o
100 a00 s00 700 a00
1100
Hz : Comparaison entre mesures (-) et calculs (---) de la pression par rapport
cham libre avec vent 2 (- 10 m/s) pour la distance 95 m a : sol paRhitement réfléchissant
b : sol absorbant (c7= 300 rayldcm)
Références :
[l] V. Cemeny, M,M, Popov, and 1. Psencik, "Computation of wave fields in inhomogeneous media. Gaussian beam approach", Geophys. J. R Astron.Soc.70,109-128 (1982).
[2] V. Cerveny, 1. Psencik, "Gaussian beams in elastic 2-D laterally varying layered structnres", Geophys. J.R.
Astron. Soc. 78,65-91, (1984)
[3] R.J. Thompson, "Ray theory for an inhomogeneous moving medium" J.A.S.A. 51, NO5 (1972) [4] T. George, "Une approximation à haute fréquence de l'équation des ondes :la sommation de faisceaux gaussiens: Méthodologie, tests et applications sismologiques", thèse de doctorat, Paris 6, 1987.
[5] M. Rosen and Y. Gabillet, "Wind effect on outdoor sound propagation : Experimental study in wind tunnel", 1 3 th ICA BELGRADE 1989.
[6] C.F. Chien, W.W. Soroka, "A note on the calcnlation of sound propagation dong an impedance surface" JSV 69(2), 1980,340-343
[7] M.E. Delany, E.N. Basley "Aconstical properties of fibrous absorbant materials". Applied Acoustics 3,1970, 105-116
