Tutti i fenomeni naturali possono essere descritti e spiegati attraverso l'uso razionale del metodo scientifico. Le opere di quello che anche i suoi contemporanei consideravano il più grande scienziato dell'antichità non ci sono state tramandate completamente perché non erano di facile comprensione.
Preludio
Sul Falsificazionismo, sulla Semantica e sulle loro Applicazioni Pratiche
La Verità fa Male
- Meditazioni sul concetto di verità di un insonne di mezza età e presentazione di alcuni dei protagonisti del nostro apologo
- Verità affermata con il principio di Autorità, o determinata per mezzo di una votazione “democratica”, oppure accettata per fede come rivelata
- Un Intermezzo sulla Teoria dell’Evoluzione (e sulla Evoluzione delle Teorie)
- Applicazioni della Etologia Evoluzionistica
- Sulla difficoltà di individuare le affermazioni vere e sulla ancora maggiore difficoltà che si incontra nel tentare di farle accettare
- Frasi ambigue
Avrebbe ottenuto una posizione tranquilla in una zona tranquilla, dove i gentiluomini si prendevano cura del benessere dell'umanità. In un ambiente protetto, come quello terrestre fino agli albori dell'era atomica, le mutazioni sono quindi rare e casuali.
Affermazioni ben formulate cui può essere assegnato Valore di Verità
In realtà, una teoria ben formulata in un dato momento fornisce la migliore sintesi possibile della conoscenza conosciuta su un dato fenomeno. Una tale teoria non fornisce certezze indiscutibili, che non sono realisticamente realizzabili, ma solo le migliori ipotesi disponibili in un dato momento.
Criteri per la scelta dei Princìpi (o Postulati) che fondano una Teoria
Affermazioni vuote, Affermazioni prive di contenuto informativo, Affermazioni assunte vere per fondare Teorie, Previsioni Falsificabili,
Deduzione logica di Affermazioni da altre Affermazioni
- si scelgono dei postulati, si assume che tali postulati siano veri (tenendo ben presente che questa scelta può essere sbagliata e che successivamente potrà essere necessario modificarla);
- si deduce, con l’ausilio della matematica, il maggior numero possibile di conseguenze logiche dai postulati, cioè un insieme di affermazioni che sono vere se sono veri i postulati;
- si stabilisce che, fra quelle effettivamente dedotte dai postulati, tutte le conseguenze che possono essere oggetto di una qualche sperimentazione –in un dato momento storico e cioè in presenza di
- si usa la Teoria per prevedere l’evoluzione dei fenomeni che si vogliono descrivere utilizzando tutte le ulteriori affermazioni che si riescono via via a dedurre dai postulati
- In cosa differisce l’attività intellettuale di un matematico da quella di uno scienziato
- Lo scienziato che, studiando la Natura, formula una Teoria deve necessariamente congetturare la verità di alcune affermazioni (che formano l’insieme delle sue ipotesi di partenza o Princìpi o
- Esistono molte affermazioni che non possono essere considerate né vere né false e questo causa molta confusione
Le affermazioni della vecchia teoria conservate nella nuova sono quelle che riassumono tutta la conoscenza che la nuova teoria eredita dalla vecchia. Le affermazioni vere in una teoria falsificata che non è stata ancora falsificata devono essere dedotte dai nuovi postulati accettati come base della teoria che sostituisce.
- Tavole di Verità ovvero
- Fra gli infiniti mondi logicamente possibili viviamo in un solo specifico Mondo
- Limiti reali e presunti delle Teorie e loro uso distorto
- Un saggio avvertimento finale
Come si può dedurre il valore di verità di una proposizione dal valore di verità delle sue proposizioni costitutive? Se accettiamo le ipotesi H1) e H2), la tavola di verità A⇒B è quella da noi calcolata.
Poiché la Natura delle Cose è solo parzialmente conoscibile affermare quella che appare essere la Verità fa male (soprattutto a Chi La Dice)
Tuttavia, mai nella storia umana un obiettivo è stato perseguito con maggiore accanimento di quello utilizzato per diffondere la “verità”. Tuttavia, la convinzione che dire la verità ci liberi da conseguenze spiacevoli, che la verità sia salvifica, che l'individuo che dice la verità sia un ambasciatore innocente (che non subisce alcuna punizione) a cui non può essere attribuita alcuna colpa, ebbene, la convinzione di tutti è pura ingenuità.
Pro Mathematicis
Una Introduzione con Alcune Avvertenze
- Considerazioni a proposito della scelta di un titolo
- È spesso difficile vedere le cose che sono così come sono
- Indagando la Natura l’umanità si è cimentata in una impresa ambiziosa
- L’educazione dei giovani è essenziale se si vuole che questa impresa continui
Ci sono oggi professionisti che pensano di saper scegliere i titoli di qualsiasi prodotto dell'ingegno umano per garantirne il successo. Il lettore dovrà fare propria l'intenzione dell'Imperatore Federico II e non lasciarsi intimidire, impressionare o spaventare dall'osservazione delle cose come stanno: perché è con la realtà che la nostra specie deve confrontarsi e non con la speranza, a volte illusoria, generata dalla le nostre stesse menti.
- Le menti geniali sono veramente poche ma tutti possono comprendere le loro conquiste intellettuali
- Tentare di divulgare solo i risultati o anche i metodi usati per ottenerli?
- I due modi in cui è possibile leggere questo saggio
- Finalità di questo saggio
L'auspicio dell'autore è che il lettore, giunto al termine della lettura, trovi tra i titoli proposti quello che gli sembri efficace nel trasmettere questo messaggio. L'obiettivo dell'autore sarà raggiunto se almeno un lettore riuscirà a convincersi che la specie umana domina il mondo in cui vive, grazie al fatto che alcuni dei suoi membri si sono dedicati allo sviluppo e allo studio di teorie formalizzate (es. matematica) .
Teoria: Insiemi, Relazioni e Funzioni
Il Teorema del Dittatore
Il problema della ricerca di un metodo democratico per la determinazione delle scelte sociali
È utile capire chi lo ha formulato, quando e perché il problema della scelta sociale è stato riconosciuto come importante. Il problema Condorcet non è un problema di alcuna utilità pratica, ma – in determinate situazioni – la sua soluzione (anche in una forma debole, in cui il requisito della totale equivalenza delle opinioni dei cittadini in tutte le fasi del processo di discussione è indebolito). fondamentale per la sopravvivenza di un certo gruppo sociale.
Concetti propedeutici dalla Teoria degli Insiemi
Il concetto chiave del teorema di Arrow è la relazione d'ordine: quel particolare tipo di relazione che è un modello matematico utilizzato per descrivere, tra le altre cose, la scelta sia di un individuo che di un gruppo sociale. Torneremo più volte su questa questione nei capitoli successivi: cominciamo ora a impostare la teoria degli insiemi.
Concetti derivati, concetti primitivi, Platonismo, Assiomi
Il tono della presentazione è del tutto informale, ma cercheremo di renderlo il più spontaneo possibile. La teoria degli insiemi è stata formulata in modo molto formale dai logici del XX secolo: qui abbiamo deciso di presentare questa teoria in modo ingenuo per stroncare sul nascere il desiderio di comprensione del profano.
Cominciamo con il distinguere i concetti astratti da quelli relativi ad oggetti reali
Se si cerca di specificare il significato delle parole che si riferiscono a concetti astratti mediante definizioni, allora si può provare a usare le parole per definire il significato di altre parole. Come definizione, non risolverebbe in realtà il problema che ci siamo posti: infatti, per specificare il significato di tre parole (insieme, elemento e appartenenza), sono state introdotte nel discorso anche nuove parole (raggruppato, mentale, distinti). singole voci, conservativo, reciproco).
Come spezzare la catena delle definizioni che regrediscono all’infinito?
La parola "potere" (come la parola "amicizia" o la parola "amore") è una parola relativa ad un concetto astratto: poiché nessuna esperienza sensoriale può aiutarci a specificarne il significato. Il lettore non deve sentirsi troppo orgoglioso della propria appartenenza alla specie umana, pensando di poter affermare che solo gli uomini sanno quale sia il significato delle parole relative a concetti astratti: come dimostrato inconfutabilmente dagli etologi moderni, anche scimpanzé, gorilla e bonobo sanno come concepire e utilizzare concetti astratti, come amicizia, pace e amore (de Waal.
La risposta Platonica
Ma, e non potrebbe essere altrimenti, Lombardo Radice non la introduce come definizione, ma solo come strumento per illustrare intuitivamente il significato dei concetti che evoca. Ma date le recenti scoperte di etologi e primatologi, in parte dovute a (e in parte riportate da) de Waal (vedi Bibliografia) e Russon et al. (1996), dovremmo accettare di incontrare molti scimpanzé nel mondo delle idee, bonobo, gorilla, ma anche oranghi e macachi.
La risposta Aristotelica
Un giovane che studia Geometria, secondo la visione platonica, impara a camminare, con la mente, nel mondo delle idee, un mondo la cui realtà è indiscutibile quanto quella del mondo materiale. Forse, se fosse ancora viva e trovassimo il modo di intavolare una conversazione con un macaco, la femmina Imo, grande innovatrice della “tecnologia” del suo gruppo sociale, potrebbe raccontarci cosa riflette sulla controversa esistenza di il mondo delle idee (chi ritiene questa affermazione un po’ inverosimile prima di prendere una posizione definitiva è invitato a Russon et al.
La disputa fra Matematici Platonisti e Matematici Aristotelici
Inoltre, non dovrebbe nemmeno essere possibile ricavare una proposizione e la sua negazione da un elenco di assiomi, utilizzando regole di deduzione ammissibili. I concetti primitivi che affermano un sistema contraddittorio di assiomi verificano ogni affermazione che con essi può essere formulata: quindi tali concetti non possono avere alcun significato.
Importante avvertenza: la Teoria che parla di Teorie
Peano e la sua scuola, ancor più di Tarski, ci insegnano a evitare, nella costruzione delle teorie più fondamentali, come la Semantica e la Teoria degli Insiemi, qualsiasi forma di metalinguaggio e metateoria. E si noti bene che, sebbene non sia possibile escludere che ci siano antinomie nascoste in alcune matematiche (vedi Hatcher (1973)), non sono state scoperte contraddizioni, riferimenti autoreferenziali e ragionamenti circolari in larga misura. delle teorie matematiche sviluppate a partire dal III secolo a.C.
Insiemi e sottoinsiemi, appartenenza ed inclusione
Innanzitutto dobbiamo stare molto attenti nella scelta dell'elenco degli assiomi della teoria degli insiemi in modo da non entrare in conflitto con gli assiomi della semantica. Per comodità, separeremo gli assiomi in due gruppi: i primi sono chiamati assiomi logici, mentre i secondi sono specifici della teoria degli insiemi.
Assiomi logici
- Lista di assiomi “Calcolo delle Proposizioni”
- Lista di assiomi “Calcolo dei Predicati”
Probabilmente la prima formulazione di almeno alcuni degli assiomi logici che seguono si deve a Crisippo. Subito dopo aver elencato gli assiomi logici, daremo le regole che ci permettono di calcolare altre wff vere da tutti gli assiomi (sia quelli logici che quelli specifici della Teoria degli Insiemi).
Regole Primitive di Inferenza
Sia costruito wbf in modo tale che una variabile y che non appare ancora in wbf sia sempre sostituita da una variabile x.
Intermezzo: Calcolo delle Proposizioni
Una formula ben formata che può essere derivata (cioè calcolata!) dagli assiomi del Calcolo delle proposizioni utilizzando le regole del ragionamento è chiamata teorema. La semantica del Calcolo delle Asserzioni è stata evidenziata in II. il capitolo in cui si trovano i concetti.
Assiomi di Zermelo-Fraenkel
- Assioma ZF1. Assioma del vuoto
- Assioma ZF2. Assioma di uguaglianza
- Assioma ZF3. Assioma della coppia
- Assioma ZF4. Assioma dell’unione
- Assioma ZF5. Assioma delle parti
- Assioma ZF6. Assioma di fondazione o di regolarità
- Assioma ZF7. Assioma di rimpiazza mento
- Assioma ZF8. Assioma dell’infinito
- Assioma ZF9. Assioma della scelta
Se un insieme x appartiene all'insieme y, allora y non può essere un elemento di x. L'intervallo di e è l'insieme degli elementi di b che sono correlati a qualche elemento di a.
Un pericolo potenziale ci impone di essere cauti anche con concetti apparentemente così semplici come quelli di Insieme, Elemento ed
Una funzione di scelta seleziona esattamente un elemento da ciascun insieme della famiglia di insiemi assegnata. Se un insieme della famiglia x non si riduce a singleton e se f è una funzione di scelta in x, allora esiste un elemento a che gli appartiene tale che a≠f(.
Appartenenza: l’antinomia di Russel
Infinito/Finito
In linguaggio naturale: la potenza dell'insieme delle parti x è sempre strettamente maggiore della potenza di x. Quindi: se la mappatura è una corrispondenza biunivoca tra x e un sottoinsieme p di P(x), allora p non può essere tutto P(x) perché abbiamo scomposto un insieme (l'insieme R) che non può appartenere a P .
Familiarizzare con la Teoria degli Insiemi
Il ragionamento che porta all'antinomia di Russell diventa la dimostrazione di un importante teorema (quello di Cantor), che afferma l'impossibilità di stabilire una corrispondenza biunivoca tra un insieme e l'insieme delle sue parti. Tuttavia, grazie all'assioma della scelta è possibile caratterizzare il concetto di insieme infinito con la definizione di Dedekind.
Relazioni in un insieme o fra due insiemi
- Condizione di Esistenza di un Dittatore
- Condizione di Imposizione di Preferenze
- Teorema di Arrow: Una nuova chiave di lettura per la comprensione dei fenomeni sociali
Diremo che viene imposta una funzione di scelta sociale F o, equivalentemente, che le vengono imposte preferenze quando. Poiché la funzione di scelta sociale “ottimale” non è disponibile (come dimostrato dal Teorema di Arrow), una democrazia.
Pratica: Un Esempio di Dittatore che assicura il funzionamento di un sistema
Don Pasquale è Lui che Decide
- Il processo di attribuzione dei ruoli in un gruppo sociale
- Una Importante Avvertenza
- Come Filippo incontrò Don Pasquale
- Un dittatore è semplicemente colui che permette ad un sistema democratico di funzionare
- Il Brusco Risveglio
- Meccanismi di selezione che portano al ruolo di dittatore, descritti attraverso la narrazione di eventi accaduti in due gruppi di primati
- Le caratteristiche di un gruppo sociale sono forgiate dal carattere del suo dittatore
- Un dittatore rappresenta fedelmente le caratteristiche del gruppo sociale che lo ha scelto
- Il meccanismo di selezione imposto da Don Pasquale forgia il carattere dei candidati ad entrare nella corporazione accademica
- La specifica funzione di Don Pasquale nella sua comunità Accademica
- Un dittatore è un gorilla (o uno scimpanzé) super-super alfa
- La Signora di Don Pasquale Ovvero
La sua (diabolica!) idea è stata quella di chiedere a Don Pasquale di accogliere Filippo tra le fila dei suoi alunni. Ciò non significa che Filippo non aspirasse a pubblicare un'opera sotto la tutela di don Pasquale.
Le femmine giocano un ruolo decisivo nella lotta per il potere fra i maschi
- Un esempio di scelta dittatoriale basata sul consenso del corpo elettorale
- Descrizione del Corpo Elettorale che ha scelto Don Pasquale come dittatore
- La caduta di un dittatore
- Arriva il momento in cui anche Don Pasquale (Yeroen) deve uscire di scena
Così, le elezioni del corpo accademico nazionale furono finalmente rappresentate da un solo uomo: Don Pasquale. Quando, durante i lavori di un congresso, di cui era il principale organizzatore, Don Pasquale lo chiese a Filippo.
Aforismi (commentati) sulla matematica
Fourier avait l’opinion que le but principal des mathématiques était l’utilité publique et l’explication des phénomènes naturels; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science,
'Eglino', direbbe Galileo, (cioè queste persone) non vedono che nella loro mente è presente l'errore, che è dovuto alla loro incapacità di 'riconoscere in concreto gli effetti dimostrati in astratto' di quella teoria ( o meglio il metodo scientifico, cioè il metodo che ci permette di scegliere la teoria adeguata a descrivere determinati fenomeni) non sembra funzionare. Non è possibile, pena una regressione infinita, definire attraverso altri concetti tutti i concetti che la nostra mente utilizza per descrivere il mondo.
Dizionarietto di alcuni termini e concetti utilizzati in tutto il presente saggio
Francesco dell'Isola (Napoli, 1962) è dal 2006 Professore Straordinario nel Settore Scientifico Disciplinare (SSD) di Scienze delle Costruzioni presso la Facoltà Tecnica dell'Università di Roma “La Sapienza”. Dal 1998 al 2006 è stato Professore Associato di Scienza delle Costruzioni SSD presso la Facoltà Tecnica dell'Università di Roma “La Sapienza”.
