opencourses.auth | Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΑΠΘ | Αυτόματος Έλεγχος | Απόκριση Συχνότητας Δυναμικών Συστημάτων

(1)

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Αυτόματος Έλεγχος

Ενότητα 5

^η

: Απόκριση Συχνότητας Δυναμικών Συστημάτων

Παναγιώτης Σεφερλής

Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

(2)

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η

άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

(3)

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση

(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

(4)

Στόχοι του κεφαλαίου

• Κατανόηση απόκρισης συχνότητας δυναμικού συστήματος.

• Ανάλυση συστημάτων με την απόκριση συχνότητας.

• Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας.

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

(5)

• Υπολογισμός απόκρισης συχνότητας.

• Ανάλυση συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας.

• Διάγραμμα Bode.

• Κριτήριο ευστάθειας Bode στο πεδίο της συχνότητας.

• Διάγραμμα Nyquist.

• Κριτήριο ευστάθειας Nyquist.

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

Περίληψη του κεφαλαίου

(6)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

Με την απόκριση συχνότητας ενός συστήματος εννοούμε την απόκριση του συστήματος σε μόνιμη κατάσταση σε μια

ημιτονοειδή είσοδο.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-3 -2 -1 0 1 2 3

Time, t

Amplitude

Σήμα εισόδου x(t)=Asin(ωt) Σήμα εξόδου y(t)

(7)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

Θεωρείται το ακόλουθο δυναμικό σύστημα που υπόκειται σε ημιτονοειδή διέγερση.

Σήμα εισόδου

x(t)=Asin(ωt) Σήμα εξόδου

y(t) x(t)=sin(1/3t)

3

∫

Η απόκριση του συστήματος είναι ημιτονοειδής με την ίδια συχνότητα όπως το σήμα εισόδου αλλά με

διαφορετικό πλάτος ταλάντωσης και με διαφορά φάσης.

     

   

 

^ ^

 

2 2 1 2

1

3 1 3 1 3

3 1 3 3 1 3

3 3 1 3

4 24 1 3 0 785 3 3

y t sin t sin t dt

sin t cos t

sin t φ . sin t .

φ tan^

 

 

  

 



(8)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

• Ποιο όχημα πιστεύεται ότι επηρεάζεται περισσότερο από μια ημιτονοειδή διαταραχή στο οδόστρωμα υψηλής συχνότητας;

Ένα λεωφορείο, ένα αυτοκίνητο ή μια μοτοσικλέτα;

• Ποιο όχημα πιστεύετε ότι επηρεάζεται περισσότερο από μια ημιτονοειδή διαταραχή στο οδόστρωμα χαμηλής συχνότητας;

Ένα λεωφορείο, ένα αυτοκίνητο ή μια μοτοσικλέτα;

(9)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

Διαταραχή: w=0.1sin(10t), Συχνότητα: 10 rad/s=1.59 s^-1 Πλάτος ταλάντωσης μετατόπισης

Λεωφορείο: 0.1 m Αυτοκίνητο: 0.17 m

(10)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

Λεωφορείο: 0.38 m Αυτοκίνητο: 0.78 m

(11)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

Λεωφορείο: 0.92 m Αυτοκίνητο: 0.15 m

   

 

₂ ₂

x t A sin ωt X s Aω

s ω



 

       

 

² ²

q s Aω Y s G s X s

p s s ω

 



 

^jωt ^jωt ₁ ^{p t}¹ ₂ ^{p t}² _n ^{p t}ⁿ

y t  ae^  ae b e^  b e^  b e^

Οι εκθετικοί όροι εξασθενούν με το χρόνο.

(13)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

     

2 2

s jω

s jω

AG jω a G s Aω s jω

s ω j

AG jω a G s Aω s jω

s ω j





   



  



   

^jφ

G jω  G jω e Η G(jω) γράφεται ως:

   

1 Im G jω φ tan

Re G jω

  

  

 

Με φ το όρισμα:

   

2 2

jφ jφ

A G jω e A G jω e

a a

j j

  

(14)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

 

   

^ ^ ^ ^

     

2

jωt jωt

j ωt φ j ωt φ

y t ae ae

e e

y t A G jω

j y t A G jω sin ωt φ



  

   

   

   

Η απόκριση σε μόνιμη κατάσταση, κάθε ευσταθούς συστήματος που υπόκειται σε περιοδική ημιτονοειδή διέγερση με συχνότητα ω και πλάτος Α, είναι ημιτονοειδής με συχνότητα ω, πλάτος

Α|G(jω)| και διαφορά φάσης φ (όρισμα της G(jω)).

(15)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

   

 

G jω Y jω

 X jω Λόγος πλάτους εξόδου/εισόδου:

Μετακίνηση φάσης του ημιτονοειδούς σήματος εξόδου ως προς το ημιτονοειδές σχήμα εισόδου.

   

 

G jω Y jω

X jω

 

   

 

Επομένως η απόκριση συχνότητας δίνεται από:

   

 

G jω Y jω

 X jω

(16)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

Σήμα εισόδου x(t)=Asin(ωt)

Σήμα εξόδου

y(t)=A|G(jω)|sin(ωt+φ)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-3 -2 -1 0 1 2 3

Time, t

Amplitude

διαφορά φάσης, φ

(17)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

Λεωφορείο: συχνότητα συντονισμού ~5 rad/s Αυτοκίνητο: συχνότητα συντονισμού ~6 rad/s

(18)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

Παράδειγμα: Σύστημα 1ης τάξης

 

1

G s K

 τs

 Να υπολογισθεί η απόκριση σε μόνιμη

κατάσταση σε ημιτονοειδή είσοδο x(t)=Asin(ωt).

Βήμα 1ο: Αντικατάσταση s=jω.

 

1 G jω K

 τjω

 Βήμα 2ο: Φέρουμε την G(jω) στη μορφή Re+j Im.

   

 

²

 

²

 

²

1 1

1 1 1 1 1

τjω K τωj

K K Kτω

G jω j

τjω τjω τω τω τω

   

   

     

(19)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

Βήμα 3ο: Υπολογίζουμε το μέτρο και το όρισμα της G(jω).

     

¹

 

1 2

G jω K φ G jω tan τω

τω

     



 

_{2 2}



¹

  

1

y t AK sin ωt tan τω

τ ω

    



Συνεπώς η απόκριση του συστήματος σε μόνιμη κατάσταση υπολογίζεται από τη σχέση:

(20)

Διαγράμματα Bode

H γραφική απεικόνιση της απόκρισης συχνότητας γίνεται με τη βοήθεια του διαγράμματος Bode.

To διάγραμμα Bode δείχνει τη μεταβολή του λόγου πλάτους, ΑR (amplitude ratio), και της διαφοράς φάσης, φ, με τη

συχνότητα του σήματος εισόδου, ω.

 

2 2 2 2

1

1 1

AK K

AR A

τ ω τ ω

φ tan^ τω

 

 

 

Σύστημα 1ης τάξης.

(21)

Διαγράμματα Bode

 

2 2 2 2

1

1 1

AK K

AR A

τ ω τ ω

φ tan^ τω

 

 

 

Κλίση ασύμπτωτου υψηλής συχνότητας για ω>>1/τ +∞.

 

Κλίση ασύμπτωτου χαμηλής συχνότητας για ω<<1/τ  0.

    

¹ ^{2 2}

 ^{ } ^{ }

¹

log AR  log K log τ ω  log K log Ασυμπτωτική συμπεριφορά συστήματος 1ης τάξης:

ω<<1/τ (ω 0) ΑR  K φ  0^ο ω>>1/τ (ω +∞) ΑR  0 φ  -90^ο

ω=1/τ AR K 2 φ=-45^ο

(22)

Διαγράμματα Bode

ω=1/τ, κρίσιμη συχνότητα συστήματος.

10^-2 10^-1 10⁰

Magnitude (abs)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-90 -45 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Διάγραμμα Bode λόγου πλάτους.

Γράφημα log(AR) ως προς log(ω).

Διάγραμμα Bode φάσης.

Γράφημα γωνίας φάσης, φ, ως

προς log(ω) .

Κλίση

ασύμπτωτου υψηλής

συχνότητας, -1.

Ασύμπτωτες

(23)

Διαγράμματα Bode

Εναλλακτικά το διάγραμμα λόγου πλάτους εκφράζεται σε 20log(AR) [dB].

-40 -30 -20 -10 0

Magnitude (dB)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-90 -45 0

Phase (deg)

Bode Diagram

2 2 2

1 2 2

n

n n

G jω ω

ω ω

ζ ω ω



   

 

   

 

 

¹ ² ₂

1

n

ζ ω G jω tan ω

ω ω



 

 

         Όρισμα της G(jω), για 0<ζ<1.

Μέτρο της G(jω), για 0<ζ<1.

(26)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

ζ=0.1 ζ=0.2 ζ=0.3 ζ=0.5 ζ=0.7 ζ=1.0

(27)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

1 2 2

r n

ω  ω  ζ

 

^r



² ¹ ²



¹

G ω ζ ζ

  

Μέγιστο μέτρου G(jω), για 0<ζ<0.707 Συχνότητα συντονισμού

(28)

Απόκριση συχνότητας στο Matlab

kp=1.0; taup=5.0;

wstart=0.001; wend=100; wtimes=800;

w=logspace(log10(wstart),log10(wend),wtimes);

s=j*w;

G=kp./(taup*s+1);

AR=abs(G);

phi=180*angle(G)/pi;

figure(1)

subplot(2,1,1), loglog(w,AR) xlabel('frequency, rad/time') ylabel('amplitude ratio')

subplot(2,1,2), semilogx(w,unwrap(phi)) xlabel('frequency, rad/time')

ylabel('phase angle, deg')

(29)

Ερμηνεία απόκρισης συχνότητας

0 2 4 6 8 10

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Time, sec

Amplitude

1

 

1 G s 1

 s

 ₂

 

¹

5 1

G s  s



-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Amplitude

y₁

y₂

Δυο συστήματα υποβάλλονται σε ένα σήμα εισόδου (σειρά από βηματικές μεταβολές με κάποια περιοδικότητα).

Η συνάρτηση G₂ είναι πιο αργή από την G₁.

Κάθε σήμα μπορεί να εκφρασθεί σαν άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων διαφορετικής συχνότητας

(μετασχηματισμός Fourier).

   

u 



a ω sin ωt

(30)

Ερμηνεία απόκρισης συχνότητας

0 2 4 6 8 10

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Linear Simulation Results

Amplitude

Το ισοδύναμο του σήματος εισόδου ορίζεται με τη μορφή

u(t)=sin(t)+1/3sin(3t)+1/5sin(5t)+…

H απόκριση συχνότητας υπολογίζεται από την υπέρθεση των αποκρίσεων για κάθε ένα ημιτονοειδές σήμα.

y₁

y₂

(32)

Κανόνες κατασκευής διαγράμματος Bode

• Παραγοντοποίηση πολυωνύμων αριθμητή και παρονομαστή.

• Υπολογισμός κρίσιμων συχνοτήτων (ριζών) για κάθε επιμέρους όρο.

• Υπολογισμός κλίσης ασυμπτώτου για ω∞.

(-1) (βαθμός παρονομαστή-βαθμός αριθμητή)

• Υπολογισμός γωνίας φάσης για ω∞.

(-90) (βαθμός παρονομαστή+μηδενικά ΔΗΕ-μηδενικά ΑΗΕ)

• Χρήση κριτηρίου μέτρου και φάσης για υπολογισμό ενδιάμεσων σημείων.

(33)

Παράδειγμα: Σταθερά κέρδους.

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

 

G s  K

 

G jω  K

 

⁰

G jω K G jω



 

Ποια η φυσική σημασία του αποτελέσματος;

(34)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

 

^θs

G s  e^

 

1 G jω e θjω

G jω

G jω θω

 



  

Τι προκαλεί η καθυστέρηση χρόνου στο σύστημα;

Παράδειγμα: Καθυστέρηση χρόνου.

(35)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

   



^{τ s}¹₂ ¹¹



² ¹

G s , τ τ

τ s

  



-15 -10 -5 0

Magnitude (dB)

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹

-60 -30 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

τ₂=10 s, ω₂=1/τ₂=0.1 rad/s τ₁=2 s, ω₁=1/τ₁=0.5 rad/s Παράδειγμα: Δικτύωμα

καθυστέρησης φάσης.

   

 

     

2 1

2 2

1 1

1 2

1 1 G jω τ ω

τ ω

G jω tan^ τ ω tan^ τ ω

 



  

(36)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

   

0 30 60

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

τ₂=2 s, ω₂=1/τ₂=0.5 rad/s τ₁=10 s, ω₁=1/τ₁=0.1 rad/s

(37)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

 

¹

 

1 1

1 0 90^o jω j

G jω jω jω ω

G jω ω

G jω tan^ ω

   





    

10⁰ 10¹

-91 -90.5 -90 -89.5 -89

Phase (deg)

-20 -15 -10 -5 0 5

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Παράδειγμα: Ολοκληρωτής. ^{G s}

 

¹

 s

(38)

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² -180

-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

frequency, rad/time

phase angle, deg

   

 

     

2 2

1 1

0 2 1

0 2 G jω . ω

. ω

G jω tan^ ω tan^ . ω

 



   

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

   



^s ¹⁵



G s s

 



 

     

1 5

G jω ωj

ωj

G jω ωj ωj

 



      

Καθυστέρηση φάσης

από το μηδενικό στο ΔΗΕ.

Σύστημα μη-ελάχιστης φάσης

Παράδειγμα: Μηδενικό στο δεξί ημι-επίπεδο.

(39)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

   

2 1

1 1

1

c

I

G jω K

ωτ

G jω tan^ ωτ

 

  

Παράδειγμα: Ελεγκτής PI.

 

_c ¹ ¹

I

G s K

τ s

 

   

 

20 30 40 50 60 70 80

Magnitude (dB)

10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

-90 -45 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)1/τ_Ι

(40)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

   

2 1

c D 1

D

G jω K ωτ

G jω tan^ ωτ

 

 

Παράδειγμα: Ελεγκτής PD. ^{G s}

 

^ ^K_c



¹^^{τ s}_D



20 25 30 35 40 45 50 55

Magnitude (dB)

10^-1 10⁰ 10¹ 10²

0 45 90

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)1/τ_D

(41)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

20 30 40 50 60 70 80

Magnitude (dB)

10^-4 10^-2 10⁰ 10²

-90 -45 0 45 90

Phase (deg)

Bode Diagram

Παράδειγμα: Ελεγκτής PID. ^{G s}

 

^ ^{K τ τ s}^c



^{I D} ² ^^{τ s}^I ^¹



^{τ s}^I

(42)

Ασυμπτωτική συμπεριφορά:

Κλίση λόγου πλάτους για ω∞: -1, -1, -2, +1 = -3

Γωνία φάσης για ω∞: -90^ο, -90^ο, -180^ο, +90^ο, -270^ο Κρίσιμες συχνότητες: ω=2, ω=10 rad/s

       

   

 

1 2 3

4 5 2 2

5 0 1 1 1

1 1

0 5 1 1 50 1 2 50 1

g s g s . s g s

s

g s g s

. s s . s

   

 

  

Παράδειγμα: Διάγραμμα Bode για σύνθετο σύστημα.

   

^{2 2}

5 0 1 1

0 5 1 1 50 1 2 50 1

G s . s

s . s s . s

 

 

    

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

(43)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

g₁ g₂

g₃ g₅ g₄

g₁ g₂

g₃ g₅ g₄

 

^{5 0 1}



^{. s} ¹



G s 



(44)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

   

^{2 2}

5 0 1 1

0 5 1 1 50 1 2 50 1

G s . s

s . s s . s

 

 

    

(45)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

Άσκηση: Να εκτιμηθεί η συνάρτηση μεταφοράς 1^ης τάξης από τα ακόλουθα πειραματικά δεδομένα.

AR=2, φ=0^ο, ω=2π/Τ=0.01 rad/s

(46)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

AR=2, φ=0^ο,

ω=2π/Τ=0.01 rad/s

AR=0.25, φ=90^ο, ω=1 rad/s

(47)

Απόκριση συχνότητας δυναμικών συστημάτων

Άσκηση: Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς της οποίας το διάγραμμα Βοde εικονίζεται παρακάτω:

(48)

Απόκριση δυναμικών συστημάτων

Βήμα 1ο: Από το διάγραμμα λόγου πλάτους υπολογίζεται η κλίση των ασύμπτωτων και οι κρίσιμες συχνότητες του

1 μηδενικό ω=0.1 rad/s

2 πόλοι ω=1 rad/s

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

10^-1 10⁰ 10¹

frequency, rad/time

amplitude ratio

-1 +1

Κέρδος = 1.0

   

     

 

2 2

10 1 10 1

1 ή 1

s s

G s G s

s s

 

 

 

-

(49)

Βήμα 2ο: Από το διάγραμμα φάσης διαπιστώνεται η ύπαρξη μηδενικών στο δεξιό ημιεπίπεδο ή καθυστέρησης χρόνου.

Απόκριση συχνότητας

Ασύμπτωτος στα 270^ο

 μηδενικό στο ΔΗΕ

 χωρίς καθυστέρηση χρόνου Απορρίπτεται

   

     

 

2 2

10 1 10 1

1 ή 1

s s

G s G s

s s

 

 

 

-

(50)

Απόκριση συχνότητας

u m₁

k

1 m₃

k

2

F₁ F₂ F₃

c₁ c₂

z₁ z₂ z₃

m₂

   

     

 

2 4 2 2 2 2 2

2 2 2 4 2 2

1

2 2

2

2 2 2 2 4 2 2 3

2 3 4 1

2 2 3

2 2

3

2

3

4 3

m s mks k mks k k

F

mks k m s mks k mks k F

k mks k m s mks k F

s m s m k z

z s mk

z

    

  

       

 

    

   

  

  

 

 

 

 

0 62 1 62

0 62 1 62 0 0 1 1 732

. j , . j j

j j , j j

j . j , . j , , j , . j

   

   

   

 

(51)

Απόκριση συχνότητας

-150 -100 -50 0 50 100 150

Magnitude (dB)

-315 -270 -225 -180

Phase (deg)

Bode Diagram

πόλοι συστήματος

μηδενικά συστήματος

u m₁

k

1 m₃

k

2

F₁ F₂ F₃

c₁ c₂

z₁ z₂ z₃

m₂

(52)

Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας

Κριτήριο ευστάθειας Bode.

Ελέγχει την ευστάθεια του συστήματος κλειστού

βρόχου από τη συμπεριφορά του συστήματος ανοικτού βρόχου.

Περιορισμοί.

1. Σύστημα ανοικτού βρόχου ΕΥΣΤΑΘΕΣ.

2. Μονότονα φθίνουσα συμπεριφορά γωνία φάσης.

(53)

Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας

• Σε συνθήκες ανοικτού βρόχου θέτουμε μια ημιτονοειδή μεταβολή στο σημείο αναφοράς.

• Μετά από ικανό χρόνο τα μεταβατικά δυναμικά

χαρακτηριστικά της διεργασίας αποσβένονται και παραμένει μονάχα η ημιτονοειδής μεταβολή.

0 0.10.2 0.30.4 0.50.60.7 0.80.9 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

G_P(s) G_v(s)

G_C(s)

G_S(s)

Υ(s) Υ_m(s)

R(s) + E(s) U(s)

–

0 0.10.2 0.30.40.5 0.60.70.8 0.9 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.20.3 0.40.50.6 0.70.80.9 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(54)

Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας

• Μηδενίζουμε το σημείο αναφοράς και ταυτόχρονα θέτουμε το σύστημα σε κλειστό βρόχο.

• Καταγράφουμε την ελάττωση ή αύξηση του πλάτους του σήματος λόγω ανάδρασης.

• Αν ο λόγος πλάτους μειώνεται σταδιακά με κάθε πέρασμα από το βρόχο ανάδρασης τότε το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές.

• Στο πεδίο της συχνότητας εξετάζουμε το λόγω πλάτους του συστήματος ανοικτού βρόχου στη συχνότητα που αντιστοιχεί σε γωνία φάσης -180^ο . Γιατί επιλέγετε αυτό το σημείο;

• Αν είναι μικρότερος του 1 ή 0 dB τότε το σύστημα ΚΛΕΙΣΤΟΥ βρόχου είναι

0 0.10.2 0.30.4 0.50.60.7 0.80.9 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

G_P(s) G_v(s)

G_C(s)

G_S(s)

Υ(s) Υ_m(s)

R(s) + E(s) U(s)

–

0 0.10.2 0.30.40.5 0.60.70.8 0.9 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.20.3 0.40.50.6 0.70.80.9 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(55)

Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας

 

^{5 0 1}



^{. s} ¹



G s 



10^-10 10^-5 10⁰ 10⁵

Magnitude (abs)

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

-270 -180 -90

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) Κρίσιμη συχνότητα ΑR<1

ευσταθές

(56)

Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας

Το κριτήριο ευστάθειας Bode δηλώνει ότι ένα σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές όταν ο λόγος

πλάτους για τη συνάρτηση μεταφοράς του ανοικτού βρόχου είναι μικρότερος της μονάδας (ή μικρότερο από 0 dB) στην κρίσιμη συχνότητα ω

_c

(που αντιστοιχεί σε γωνία φάσης -180

^ο

).

Το σύστημα είναι ασταθές αν ο λόγος πλάτους είναι

μεγαλύτερος της μονάδας στην κρίσιμη συχνότητα.

(57)

Ευστάθεια στο πεδίο της συχνότητας

10^-10 10^-5 10⁰ 10⁵

Magnitude (abs)

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

-270 -180 -90

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

περιθώριο φάσης, ΠΦ

περιθώριο κέρδους, ΠΚ

ΠΚ=1/ΑR

ΠΦ=180+φ(ω_c)

κρίσιμη συχνότητα, ω_c

 

^{5 0 1}



^{. s} ¹



G s 



(58)

Περιθώριο κέρδους

To περιθώριο κέρδους (ΠΚ) δηλώνει πόσο περισσότερο στατικό κέρδος (π.χ. κέρδος ελεγκτή) μπορεί το σύστημα να ανεχθεί προτού προκληθεί αστάθεια στη δυναμική συμπεριφορά του

κλειστού βρόχου.

1. Υπολογίζουμε την κρίσιμη συχνότητα, ω_c, για την οποία η γωνία φάσης είναι -180^ο.

2. Υπολογίζουμε το λόγο πλάτους στην κρίσιμη συχνότητα ω_c, ΑR(ω_c).

3. ΠΚ=1/ΑR(ω_c).

(59)

Περιθώριο φάσης

To περιθώριο φάσης (ΠΦ) δηλώνει πόσο περισσότερη

καθυστέρηση φάσης (π.χ. λόγω καθυστέρησης χρόνου) μπορεί το σύστημα να ανεχθεί προτού προκληθεί αστάθεια στη

δυναμική συμπεριφορά του κλειστού βρόχου.

1. Υπολογίζουμε την κρίσιμη συχνότητα, ω_c, για την οποία ο λόγος πλάτους είναι 1.0.

2. Υπολογίζουμε τη γωνία φάσης στην κρίσιμη συχνότητα ω_c, φ(ω_c).

3. ΠΦ=180+φ(ω_c).

(60)

Άσκηση στην ευστάθεια

Ζητούμενο: Να προσδιορισθεί το εύρος τιμών για τη

σταθερά Κ_c του ελεγκτή ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές.

H συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου

είναι 1ης τάξης και δεν υπάρχει συχνότητα ώστε το διάγραμμα φάσης να τέμνει τη γωνία -180^ο.

Συνεπώς το σύστημα είναι ευσταθές για κάθε τιμή του Κ_c.

 

^c



¹⁰ ⁵ ¹



G s K

 s



G_v=1 G_C=Κ_C

G_S=1

Υ(s) Υ_m(s)

R(s) + E(s) U(s)

–

5 10s1

(61)

Άσκηση στην ευστάθεια

Ζητούμενο: Να προσδιορισθεί το εύρος τιμών για τη σταθερά Κ_c του ελεγκτή ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι

ευσταθές.

Το σύστημα δεν έχει αμελητέα δυναμικά χαρακτηριστικά για τον ενεργοποιητή και τον αισθητήρα.

H συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου

είναι 3^ης τάξης και το διάγραμμα φάσης προσεγγίζει ασυμπτωτικά τις -270^ο.

 

^c



¹⁰⁵ ^{1 0 2}



¹ ^{1 0 1}



¹ ¹



G s K

s . s . s

   

G_C=Κ_C Υ(s)

Υ_m(s)

R(s) + E(s) U(s)

–

5 10s1 1

0 2. s1

1 0 1. s1