opencourses.auth | Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΑΠΘ | Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου | Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς

Νίκος Καραμπετάκης

Τμήμα Μαθηματικών

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται

ρητώς.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση

(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

• Συναρτησιακή εξάρτηση.

• Εύρεση τοπικού ακρότατου συναρτησιακού διανυσματικής συνάρτησης η οποία υπόκειται σε δεσμούς - Λύση με την χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange.

• Ισοπεριμετρικό πρόβλημα.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

• Ο μετασχηματισμός της επίλυσης ενός προβλήματος υπολογισμού τοπικού ακρότατου συναρτησιακού

διανυσματικής συνάρτησης η οποία υπόκειται σε δεσμούς, σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα στο οποίο δεν έχουμε δεσμούς πλέον να ικανοποιούνται.

• Ο μετασχηματισμός αυτός επιτυγχάνεται με χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange.

5

Το σύνολο 𝑆 = 𝜑 ₁ , 𝜑 ₂ , … , 𝜑 _𝑛 λέγεται συναρτησιακώς εξαρτημένο στο 𝐽 ⊂ ℝ ^𝑞 αν-ν οι συναρτήσεις 𝜑 ₁ 𝑥 ₁ , 𝑥 ₂ , … , 𝑥 _𝑞 σε κάθε σημείο

𝑥 ₁ , 𝑥 ₂ , … , 𝑥 _𝑞 ∈ 𝐽 ⊆ ℝ ^𝑞 επαληθεύουν μια ή περισσότερες σχέσεις της μορφής 𝐹 𝜑 ₁ , 𝜑 ₂ , … , 𝜑 _𝑛 = 0

οι οποίες δεν περιέχουν καμία από τις μεταβλητές 𝑥 ₁ , 𝑥 ₂ , … , 𝑥 _𝑞 . Πρόταση Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε οι

𝜑 ₁ 𝑥 ₁ , 𝑥 ₂ , … , 𝑥 _𝑞 , 𝜑 ₂ 𝑥 ₁ , 𝑥 ₂ , … , 𝑥 _𝑞 , . . , 𝜑 _𝑛 𝑥 ₁ , 𝑥 ₂ , … , 𝑥 _𝑞 να είναι συναρτησιακώς εξαρτημένες είναι η Ιακωβιανή:

𝐷 𝜑 ₁ ,𝜑 ₂ ,…,𝜑 _𝑛 𝐷 𝑥 ₁ ,𝑥 ₂ ,…,𝑥 _𝑞 =

𝜕𝜑 ₁

𝜕𝑥 ₁

𝜕𝜑 ₁

𝜕𝑥 ₂ … ^{𝜕𝜑 1}

𝜕𝑥 _𝑛

… … … …

𝜕𝜑 _𝑛 𝜕𝜑 _𝑛

… ^{𝜕𝜑 𝑛}

= 0 ∀ 𝑥 ₁ , 𝑥 ₂ , … , 𝑥 _𝑞 ∈ 𝐽

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

𝜑 ₁ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧, 𝜑 ₂ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 6𝑥 + 8𝑦 − 2𝑧 − 1,

𝜑 ₃ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3𝑥 + 4𝑦 − 𝑧

𝐷 𝜑 ₁ , 𝜑 ₂ , 𝜑 ₃

𝐷 𝑥, 𝑦, 𝑧 =

𝜕𝜑 ₁

𝜕𝑥

𝜕𝜑 ₁

𝜕𝑦

𝜕𝜑 ₁

𝜕𝑧

𝜕𝜑 ₂

𝜕𝑥

𝜕𝜑 ₂

𝜕𝑦

𝜕𝜑 ₂

𝜕𝑧

𝜕𝜑 ₃

𝜕𝑥

𝜕𝜑 ₃

𝜕𝑦

𝜕𝜑 ₃

𝜕𝑧

=

2 −1 3

6 8 −2

3 4 −1

= 0

Π.χ. 𝜑 ₂ = 2𝜑 ₃ − 1

7

𝜑 ₁ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 ³ + 𝑦 ³ + 𝑧 ³ , 𝜑 ₂ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧, 𝜑 ₃ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

𝐷 𝜑 ₁ , 𝜑 ₂ , 𝜑 ₃

𝐷 𝑥, 𝑦, 𝑧 =

𝜕𝜑 ₁

𝜕𝑥

𝜕𝜑 ₁

𝜕𝑦

𝜕𝜑 ₁

𝜕𝑧

𝜕𝜑 ₂

𝜕𝑥

𝜕𝜑 ₂

𝜕𝑦

𝜕𝜑 ₂

𝜕𝑧

𝜕𝜑 ₃

𝜕𝑥

𝜕𝜑 ₃

𝜕𝑦

𝜕𝜑 ₃

𝜕𝑧

=

3𝑥 ² 3𝑦 ² 3𝑧 ²

𝑦𝑧 𝑥𝑧 𝑥𝑦

1 1 1

= −3 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑧 𝑦 − 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

Γραμ. ανεξ. ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ ³ : 𝑥 ≠ 𝑦 & 𝑥 ≠ 𝑧 & 𝑦 ≠ 𝑧 & 𝑥 ≠ −𝑦, −𝑧

Άσκηση: Ελέγξτε τις συναρτήσεις

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

𝐷 𝑓 ₁ , … , 𝑓 _𝑛

𝐷 𝜔 ₁ , … , 𝜔 _𝑛 ≠ 0

𝑓 _𝑖 𝜔 ₁ 𝑡 , … , 𝜔 _𝑛+𝜇 𝑡 , 𝜔 ₁ 𝑡 , … , 𝜔 _𝑛+𝜇 𝑡 , 𝑡 = 0, 𝑖 = 1, . . , 𝑛.

↓

𝜔 ₁ = Φ ₁ 𝑡, 𝜔 ₁ 𝑡 , … , 𝜔 _𝑛+𝜇 𝑡 , 𝜔 ₁ 𝑡 , … , 𝜔 _𝑛+𝜇 𝑡 𝜔 ₂ = Φ ₂ 𝑡, 𝜔 ₁ 𝑡 , … , 𝜔 _𝑛+𝜇 𝑡 , 𝜔 ₁ 𝑡 , … , 𝜔 _𝑛+𝜇 𝑡

⋮

𝜔 _𝑛 = Φ _𝑛 𝑡, 𝜔 ₁ 𝑡 , … , 𝜔 _𝑛+𝜇 𝑡 , 𝜔 ₁ 𝑡 , … , 𝜔 _𝑛+𝜇 𝑡

(1)

Έστω 𝜔 _𝑛+1 , . . , 𝜔 _𝑛+𝜇 ανεξάρτητες. Τότε από την (1) παίρνω:

𝜔 ₁ = 𝑔 ₁ 𝜔 _𝑛+1 , . . , 𝜔 _𝑛+𝜇 , 𝜔 _𝑛+1 , . . , 𝜔 _𝑛+𝜇 𝜔 ₂ = 𝑔 ₂ 𝜔 _𝑛+1 , . . , 𝜔 _𝑛+𝜇 , 𝜔 _𝑛+1 , . . , 𝜔 _𝑛+𝜇

⋮

𝜔 _𝑛 = 𝑔 ₁ 𝜔 _𝑛+1 , . . , 𝜔 _𝑛+𝜇 , 𝜔 _𝑛+1 , . . , 𝜔 _𝑛+𝜇

9

Πρόβλημα: Να βρεθούν αναγκαίες συνθήκες ώστε το 𝑥 ^∗ ∈ 𝐶 ² 𝑡 ₀ , 𝑡 _𝑓 ^𝑛+𝑚 να αποτελεί σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού

𝐽 𝑥 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 𝑑𝑡

όπου το 𝑥 ^∗ ∈ 𝐶 ² 𝑡 ₀ , 𝑡 _𝑓 ^𝑛+𝑚 , ικανοποιεί το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 𝑞 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 = 0 ή 𝑞 _𝑖 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 = 0, 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛

Εδώ επιπλέον κάνουμε την υπόθεση

𝜕 𝑞 ₁ ,…,𝑞 _𝑛

𝜕 𝑥 _{1,…, 𝑥𝑛} =

𝜕𝑞 ₁

𝜕 𝑥 ₁

𝜕𝑞 ₁

𝜕 𝑥 ₂ … ^{𝜕𝑞 1}

𝜕 𝑥 _𝑛

𝜕𝑞 ₂

𝜕 𝑥 ₁

𝜕𝑞 ₂

𝜕 𝑥 ₂ … ^{𝜕𝑞 2}

𝜕 𝑥 _𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝜕𝑞 _𝑛 𝜕𝑞 _𝑛

… ^{𝜕𝑞 𝑛}

≠ 0 →

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

𝑥 ₁ = Φ ₁ 𝑡, 𝑥 ₁ , … , 𝑥 _𝑛+𝜇 , 𝑥 _𝑛+1 , … , 𝑥 _𝑛+𝜇 𝑥 ₂ = Φ ₂ 𝑡, 𝑥 ₁ , … , 𝑥 _𝑛+𝜇 , 𝑥 _𝑛+1 , … , 𝑥 _𝑛+𝜇

⋮

𝑥 _𝑛 = Φ _𝑛 𝑡, 𝑥 ₁ , … , 𝑥 _𝑛+𝜇 , 𝑥 _𝑛+1 , … , 𝑥 _𝑛+𝜇

↓

𝑥 ₁ = 𝑔 ₁ 𝑥 _𝑛+1 , … , 𝑥 _𝑛+𝜇 , 𝑥 _𝑛+1 , … , 𝑥 _𝑛+𝜇 𝑥 ₂ = 𝑔 ₂ 𝑥 _𝑛+1 , … , 𝑥 _𝑛+𝜇 , 𝑥 _𝑛+1 , … , 𝑥 _𝑛+𝜇

⋮

𝑥 _𝑛 = 𝑔 _𝑛 𝑥 _𝑛+1 , … , 𝑥 _𝑛+𝜇 , 𝑥 _𝑛+1 , … , 𝑥 _𝑛+𝜇

όπου οι συναρτήσεις 𝑥 _𝑛+1 , … , 𝑥 _𝑛+𝜇 είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.

𝑛 + 𝑚 𝛼𝛾𝜈𝜔𝜎𝜏𝜀𝜍 𝜎𝜐𝜈𝛼𝜌𝜏𝜂𝜎𝜀𝜄𝜍

𝑛 𝜀𝜉𝜄𝜎ώ𝜎𝜀𝜄𝜍 ⇒ 𝑚 γρ.ανεξ. συν. (είσοδοι)

Α’ Τρόπος: Επίλυση των εξισώσεων και αντικατάσταση στο συναρτησιακό.

11

Θεωρούμε λοιπόν τις συναρτήσεις (και όχι σταθερές) 𝑝 _𝑖 (𝑡) και σχηματίζουμε το νέο συναρτησιακό

𝐽 _𝑎 𝑥, 𝑝

=

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) + 𝑝 ₁ 𝑡 𝑞 ₁ 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Ορίζουμε την συνάρτηση

𝐹 _𝑎 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑝(𝑡) = 𝐹 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝑞(𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡)) Δ𝐽 _𝑎 𝑥, 𝑝 = 𝐽 _𝑎 𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑝 + 𝛿𝑝 − 𝐽 _𝑎 𝑥, 𝑝 =

=

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 _𝑎 𝑥 𝑡 + 𝛿𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 + 𝛿𝑥 𝑡 , 𝑝 𝑡 + 𝛿𝑝(𝑡)

13

𝐹 _𝑎 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑝 𝑡 ≜ 𝐹 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝑞 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡

𝜕𝐹 _𝑎 ^𝑇

𝜕𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑝(𝑡)

= 𝜕𝐹 ^𝑇

𝜕𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝜕𝑞

𝜕𝑥 (𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡))

𝜕𝐹 _𝑎 ^𝑇

𝜕 𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑝(𝑡)

= 𝜕𝐹 ^𝑇

𝜕 𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝜕𝑞

𝜕 𝑥 (𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡))

𝜕𝐹 _𝑎 ^𝑇 _𝑇

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

𝛿𝐽 _𝑎 𝑥, 𝑝 =

=

𝑡 ₀

𝑡 _𝑓 𝜕𝐹 ^𝑇

𝜕𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝜕𝑞

𝜕𝑥 (𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡)) 𝛿𝑥 𝑡 + 𝜕𝐹 ^𝑇

𝜕 𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝜕𝑞

𝜕 𝑥 (𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡)) 𝛿 𝑥 𝑡

15

= 𝜕𝐹 ^𝑇

𝜕 𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝜕𝑞

𝜕 𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 𝛿𝑥(𝑡)

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

−

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐹 ^𝑇

𝜕 𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝜕𝑞

𝜕 𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 𝛿𝑥 𝑡 𝑑𝑡 =

= −

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐹 ^𝑇

𝜕 𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝜕𝑞

𝜕 𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 𝛿𝑥 𝑡 𝑑𝑡

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

𝛿𝐽 _𝑎 𝑥, 𝑝 =

=

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝜕𝐹 ^𝑇

𝜕𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝜕𝑞

𝜕𝑥 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡

17

που προκύπτουν από τους 𝑛 συντελεστές των 𝛿𝑥 ₁ 𝑡 , 𝛿𝑥 ₂ 𝑡 , … , 𝛿𝑥 _𝑛 𝑡 δηλαδή

𝜕𝐹

𝜕𝑥 ₁ + 𝑝 ₁ 𝑡 𝜕𝑞 ₁

𝜕𝑥 ₁ + 𝑝 ₂ 𝑡 𝜕𝑞 ₂

𝜕𝑥 ₁ + ⋯ − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 ₁ + 𝑝 ₁ 𝑡 𝜕𝑞 ₁

𝜕 𝑥 ₁ + 𝑝 ₂ 𝑡 𝜕𝑞 ₂

𝜕 𝑥 ₁ + ⋯ = 0

𝜕𝐹

𝜕𝑥 ₂ + 𝑝 ₁ 𝑡 𝜕𝑞 ₁

𝜕𝑥 ₂ + 𝑝 ₂ 𝑡 𝜕𝑞 ₂

𝜕𝑥 ₂ + ⋯ − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 ₂ + 𝑝 ₁ 𝑡 𝜕𝑞 ₁

𝜕 𝑥 ₂ + 𝑝 ₂ 𝑡 𝜕𝑞 ₂

𝜕 𝑥 ₂ + ⋯ = 0

⋮

𝜕𝐹

𝜕𝑥 _𝑛 + 𝑝 ₁ 𝑡 𝜕𝑞 ₁

𝜕𝑥 _𝑛 + 𝑝 ₂ 𝑡 𝜕𝑞 ₂

𝜕𝑥 _𝑛 + ⋯ − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 _𝑛 + 𝑝 ₁ 𝑡 𝜕𝑞 ₁

𝜕 𝑥 _𝑛 + 𝑝 ₂ 𝑡 𝜕𝑞 ₂

𝜕 𝑥 _𝑛 + ⋯ = 0

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

𝛿J

𝑥, 𝑝

=

𝑡₀

𝑡_𝑓

𝜕𝐹

𝜕𝑥

+ 𝑝

𝑡 𝜕𝑞

𝜕𝑥

+ 𝑝

𝑡 𝜕𝑞

𝜕𝑥

+ ⋯

19

Θεώρημα: Έστω το συναρτησιακό 𝐽: 𝐶 ² 𝑡 ₀ , 𝑡 _𝑓 , ∙ _∞ ^𝑛+𝑚 → ℝ, 𝐽 𝑥 = _𝑡

0

𝑡 _𝑓

𝐹 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 𝑑𝑡,

όπου 𝑥 𝑡 ₀ = 𝑥 ₀ ∈ ℝ ^𝑛+𝑚 , 𝑥 𝑡 _𝑓 = 𝑥 _𝑓 ∈ ℝ ^𝑛+𝑚 και έστω ότι η συνάρτηση 𝐹 είναι κλάσης 𝐶 ² ως προς 𝑡, 𝑥, 𝑥 (έχει δηλαδή

συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους ως προς 𝑡, 𝑥, 𝑥).

Έστω επίσης ότι το διάνυσμα 𝑥(𝑡) ικανοποιεί το σύστημα

διαφορικών εξισώσεων 𝑞 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 = 0 όπου 𝑞 είναι ένα

διάνυσμα 𝑛 × 1 κλάσης 𝐶 ² ,

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

ενώ επιπλέον ισχύει η συνθήκη ^{𝜕 𝑞 1 ,…,𝑞 𝑛}

𝜕 𝑥 ₁ ,…, 𝑥 _𝑛 ≠ 0 .

Εάν το συναρτησιακό 𝐽 δέχεται ακρότατο στη συνάρτηση

𝑥 ^∗ ∈ 𝐶 ² 𝑡 ₀ , 𝑡 _𝑓 , ∙ _∞ ^𝑛+𝑚 τότε θα ικανοποιείται η διαφορική εξίσωση Euler-Lagrange

𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑡, 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 𝑡, 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 = 0,

∀𝑡 ∈ 𝑡 ₀ , 𝑡 _𝑓

21

όπου

𝐹 _𝑎 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑝(𝑡) ≜ 𝐹 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝑞 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) καθώς και η συνοριακή συνθήκη

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑝 𝑡, 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝐹 _𝑎

𝜕𝑝 𝑡, 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡

= 0, ∀𝑡 ∈ 𝑡 ₀ , 𝑡 _𝑓

ή ισοδύναμα 𝑞 𝑡, 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 = 0 .

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Να βρεθούν οι συναρτήσεις 𝜔 ₁ 𝑡 , 𝜔 ₂ (𝑡) που ελαχιστοποιούν το συναρτησιακό

𝐽 𝜔 =

0

𝑡 _𝑓 1

2 𝜔 ₁ ² 𝑡 + 𝜔 ₂ ² (𝑡) 𝑑𝑡 όταν 𝜔 ₁ 𝑡 = 𝜔 ₂ (𝑡).

Συνθήκη: 𝑞 𝜔, 𝜔 = 𝜔 ₂ 𝑡 − 𝜔 ₁ 𝑡 = 0 Ορισμός: 𝐹 _𝑎 𝜔, 𝜔, 𝑝, 𝑡 = ¹

2 𝜔 ₁ ² 𝑡 + 𝜔 ₂ ² (𝑡) + 𝑝 ₁ (𝑡) 𝜔 ₂ 𝑡 −

23

𝜔 ₁ 𝑡 + 𝑝 ₁ 𝑡 = 0 𝜔 ₂ 𝑡 + 𝑝 ₁ 𝑡 = 0

Περιορισμοί 𝜔 ₁ 𝑡 = 𝜔 ₂ (𝑡)

⇒

𝜔 ₁ 𝑡 = 𝑒 ^−𝑡

2 + 𝑒 ^𝑡

2 𝑐 ₁ + 𝑒 ^−𝑡

2 − 𝑒 ^𝑡

2 𝑐 ₂ 𝜔 ₂ 𝑡 = 1

2 𝑒 ^−𝑡 −𝑐 ₁ + 𝑒 ^2𝑡 𝑐 ₁ − 𝑐 ₂ − 𝑒 ^2𝑡 𝑐 ₂ 𝑝 ₁ 𝑡 = 𝑒 ^−𝑡

2 − 𝑒 ^𝑡

2 𝑐 ₁ + 𝑒 ^−𝑡

2 + 𝑒 ^𝑡

2 𝑐 ₂

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Να βρεθούν οι αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να

ικανοποιούνται ώστε να έχει σχετικό ακρότατο το συναρτησιακό 𝐽 𝑥 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝑥 ₁ ² 𝑡 + 𝑥 ₁ 𝑡 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑥 ₂ ² 𝑡 + 𝑥 ₃ ² (𝑡) 𝑑𝑡 Όταν τα 𝑥 _𝑖 𝑡 , 𝑖 = 1,2,3 ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων

𝑥 ₁ 𝑡 = 𝑥 ₂ (𝑡)

𝑥 ₂ 𝑡 = −𝑥 ₁ 𝑡 + 1 − 𝑥 ₁ ² 𝑡 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑥 ₃ (𝑡)

25

𝐹 _𝑎 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑝 𝑡

= 𝑥 ₁ (𝑡) ² + 𝑥 ₁ 𝑡 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑥 ₂ (𝑡) ² + 𝑝 ₁ 𝑡 𝑥 ₁ 𝑡 − 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑝 ₂ (𝑡) 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑥 ₁ 𝑡 − 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑥 ₁ 𝑡 ² 𝑥 ₂ 𝑡 − 𝑥 ₃ (𝑡)

𝜕𝐹

𝜕𝑥 ₁ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 ₁ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 = 0 ⇒ 2𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 + 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 + 2𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 + 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 = 0 ⇒

𝑝 1 ∗ 𝑡 = 2𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 + 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 + 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 + 2𝑥 ₁ ^∗ (𝑡)𝑥 ₂ ^∗ (𝑡)𝑝 ₂ ^∗ (𝑡)

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

𝜕𝐹

𝜕𝑥 ₂ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 ₂ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 = 0 ⇒ 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 + 2𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 − 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 − 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 + 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 ² 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = 0 ⇒ 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 + 2𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 − 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 − 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 + 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 ² 𝑝 ₂ ^∗ (𝑡)

𝜕𝐹

𝜕𝑥 ₃ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 ₂ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 = 0 ⇒ 2𝑥 ₃ ^∗ 𝑡 − 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 0 = 0 ⇒ 2𝑥 ₃ ^∗ 𝑡 − 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = 0

27

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑝 ₁ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑝 ₁ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 = 0 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 − 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 0 = 0 ⇒ 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 − 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 = 0

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑝 ₂ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑝 ₂ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 = 0 ⇒ 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 + 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 − 1 − 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 ² 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 − 𝑥 ₃ ^∗ 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 0 = 0 ⇒

𝑥 ^∗ 𝑡 + 𝑥 ^∗ 𝑡 − 1 − 𝑥 ^∗ 𝑡 ² 𝑥 ^∗ 𝑡 − 𝑥 ^∗ 𝑡 = 0

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Να βρεθούν οι αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να

ικανοποιούνται ώστε να έχει σχετικό ακρότατο το συναρτησιακό

𝐽 𝑥, 𝑢 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓 1

2 𝑥 𝑡 ^𝑇 𝑄𝑥 𝑡 + 1

2 𝑢 𝑡 ^𝑇 𝑅𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 𝑄 = 1 0

0 1 , 𝑅 = 1 𝑥 𝑡 : ℝ → ℝ ² , 𝑢 𝑡 : ℝ → ℝ

𝑥 ₁ 𝑡 = 𝑥 ₂ (𝑡) 𝑥 ₂ 𝑡 = 𝑥 ₁ 𝑡 + 𝑢(𝑡) 𝐹 _𝑎 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑝 𝑡 , 𝑢(𝑡) = 1

2 𝑥 ₁ (𝑡) ² + 𝑥 ₂ (𝑡) ² + 𝑢 ² (𝑡) +

+𝑝 ₁ 𝑡 𝑥 ₁ 𝑡 − 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑝 ₂ 𝑡 𝑥 ₂ 𝑡 − 𝑥 ₁ 𝑡 − 𝑢(𝑡)

29

𝐹 _𝑎 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑝 𝑡 , 𝑢(𝑡)

= 1

2 𝑥 ₁ (𝑡) ² + 𝑥 ₂ (𝑡) ² + 𝑢 ² (𝑡) + 𝑝 ₁ 𝑡 𝑥 ₁ 𝑡 − 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑝 ₂ 𝑡 𝑥 ₂ 𝑡 − 𝑥 ₁ 𝑡 − 𝑢(𝑡)

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑥 ₁ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑢 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 ₁ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑢 ^∗ (𝑡) = 0 ⇒ 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 − 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 = 0 ⇒ 𝑝 1 ∗ 𝑡 = 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 − 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑥 ₂ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑢 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 ₂ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑢 ^∗ (𝑡) = 0 ⇒

𝑑

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑢 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑢 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑢 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑢 ^∗ (𝑡) = 0 ⇒

𝑢 ^∗ 𝑡 − 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 0 = 0 ⇒ 𝑢 ^∗ 𝑡 = 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑝 ₁ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑢 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕𝑝 ₁ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑢 ^∗ (𝑡) = 0

⇒

𝑥 ₁ 𝑡 − 𝑥 ₂ 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 0 = 0 ⇒ 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑥 ₂ ^∗ (𝑡)

31

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑝 ₂ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑢 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕𝑝 ₂ 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑢 ^∗ (𝑡) = 0 ⇒

𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 ∗ 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 − 𝑢 ^∗ 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 0 = 0 ⇒ 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 + 𝑢 ^∗ (𝑡)

• 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 − 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡

• 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 − 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡

• 𝑢 ^∗ 𝑡 = 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡

• 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑥 ₂ ^∗ (𝑡)

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 𝑝 1 ∗ 𝑡 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡

=

0 1 0 0

1 0 0 1

1 0 0 −1

0 1 −1 0

𝐴

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡

⇒

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 _𝑓 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 _𝑓 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 _𝑓 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 _𝑓

= 𝑒 ^{𝐴𝑡 𝑓}

𝑥 ₁ ^∗ 0 𝑥 ₂ ^∗ 0 𝑝 ₁ ^∗ (0) 𝑝 ₂ ^∗ (0)

= 𝑒 ^{𝐴(𝑡 𝑓 −𝑡)}

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡

33

𝑒 ^𝐴𝑡 = 𝐿 ⁻¹ 𝑠𝐼 ₄ − 𝐴 ⁻¹ = 𝜑 ₁₁ (𝑡) 𝜑 ₁₂ (𝑡) 𝜑 ₂₁ (𝑡) 𝜑 ₂₂ (𝑡)

= 1

2 𝑒 ^−𝑡 + 𝑒 ^𝑡 −𝑒 ^−𝑡 + 𝑒 ^𝑡 − 𝑡 1

2 𝑒 ^−𝑡 − 𝑒 ^𝑡 + 2𝑡 1

2 𝑒 ^−𝑡 −1 + 𝑒 ^{𝑡 2} 1

2 −𝑒 ^−𝑡 + 𝑒 ^𝑡 −1 + 𝑒 ^−𝑡 + 𝑒 ^𝑡 − 1

2 𝑒 ^−𝑡 −1 + 𝑒 ^{𝑡 2} 1

2 −𝑒 ^−𝑡 + 𝑒 ^𝑡 1

2 −𝑒 ^−𝑡 + 𝑒 ^𝑡 𝑒 ^−𝑡 −1 + 𝑒 ^{𝑡 2} 2 − 𝑒 ^−𝑡

2 − 𝑒 ^𝑡 2

1

2 −𝑒 ^−𝑡 + 𝑒 ^𝑡

0 𝑡 −𝑡 1

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Επειδή τα 𝑡 _𝑓 , 𝑥 𝑡 _𝑓 είναι άγνωστα και ανεξάρτητα

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓

𝑇

𝛿 𝑥 _𝑓 +

+ 𝐹 _𝑎 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓

35

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 = 0

⇔ 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 _𝑓

𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 _𝑓 = 0

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑢 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 = 0

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑝 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 = 0

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Επειδή τα 𝑡 _𝑓 , 𝑥 𝑡 _𝑓 είναι άγνωστα και ανεξάρτητα

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓

𝑇

𝛿 𝑥 _𝑓 + 𝐹 _𝑎 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓

37

𝐹 _𝑎 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 0 ⇔ 1

2 𝑥 ₁ ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² + 𝑥 ₂ ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² + 𝑢 ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² + 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 _𝑓 𝑥 ₁ 𝑡 _𝑓 − 𝑥 ₂ 𝑡 _𝑓 + 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 _𝑓 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 _𝑓 − 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 _𝑓 − 𝑢 ^∗ (𝑡 _𝑓 ) = 0 ⇔

1

2 𝑥 ₁ ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² + 𝑥 ₂ ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² + 𝑢 ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² = 0

⇔ 1

2 𝑥 ₁ ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² + 𝑥 ₂ ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² + 𝑝 ₂ ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² = 0

𝑥 ₁ ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² + 𝑥 ₂ ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² + 𝑝 ₂ ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² = 0 ⇔ 𝑥 ₁ ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² + 𝑥 ₂ ^∗ (𝑡 _𝑓 ) ² = 0 ⇔

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 _𝑓 = 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 _𝑓 = 0

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

𝑥 ^∗ (𝑡 _𝑓 )

𝑝 ^∗ (𝑡 _𝑓 ) = 𝜑 ₁₁ (𝑡 _𝑓 , 𝑡) 𝜑 ₁₂ (𝑡 _𝑓 , 𝑡) 𝜑 ₂₁ (𝑡 _𝑓 , 𝑡) 𝜑 ₂₂ (𝑡 _𝑓 , 𝑡)

𝑥 ^∗ 𝑡

𝑝 ^∗ 𝑡 ⇒ 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 𝜑 ₁₁ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 + 𝜑 ₁₂ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 𝑝 ^∗ 𝑡

𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 0 = 𝜑 ₂₁ (𝑡 _𝑓 , 𝑡)𝑥 ^∗ 𝑡 + 𝜑 ₂₂ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 𝑝 ^∗ 𝑡 ⇒

𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 𝜑 ₁₁ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 − 𝜑 ₁₂ (𝑡 _𝑓 , 𝑡)𝜑 ₂₂ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 ⁻¹ 𝜑 ₂₁ (𝑡 _𝑓 , 𝑡 𝑥 ^∗ (𝑡) 𝑝 ^∗ 𝑡 = −𝜑 ₂₂ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 ⁻¹ 𝜑 ₂₁ 𝑡 _𝑓 , 𝑡

𝐾 𝑡

𝑥 ^∗ (𝑡)

39

𝑝 ^∗ 𝑡 = −𝜑 ₂₂ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 ⁻¹ 𝜑 ₂₁ 𝑡 _𝑓 , 𝑡

𝐾 𝑡

𝑥 ^∗ 𝑡 =

=

− 2 −

𝑒 ^{− 𝑡}

^−𝑡

2 − 𝑒 ^𝑡

^−𝑡 2

1

2 −𝑒 ^{− 𝑡}

^−𝑡 + 𝑒 ^𝑡

^−𝑡

− 𝑡 _𝑓 − 𝑡 1

−1

∗ 1

2 −𝑒 ^{− 𝑡}

^−𝑡 + 𝑒 ^𝑡

^−𝑡 𝑒 ^{− 𝑡}

^−𝑡 −1 + 𝑒 ^𝑡

^{−𝑡 2}

0 𝑡

𝑥 ^∗ (𝑡)

𝐾(𝑡)

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

𝑢 ^∗ 𝑡 = 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = 0 1 𝑝 ^∗ 𝑡 = 0 1 𝐾 𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡

= 𝑡 − 𝑡 _𝑓 𝑆𝑖𝑛ℎ 𝑡 − 𝑡 _𝑓

−2 + 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑡 − 𝑡 _𝑓 − 𝑡 − 𝑡 _𝑓 𝑆𝑖𝑛ℎ 𝑡 − 𝑡 _𝑓 𝑥 ₁ ^∗ 𝑡

− 𝑡 − 𝑡 _𝑓 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑡 − 𝑡 _𝑓

−2 + 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑡 − 𝑡 _𝑓 − 𝑡 − 𝑡 _𝑓 𝑆𝑖𝑛ℎ 𝑡 − 𝑡 _𝑓 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡

41

Με τη βοήθεια του , ορίζουμε αρχικά τον πίνακα Α

Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον πίνακα μετάβασης

Ορίζουμε τους πίνακες 𝜑 ₂₁ και 𝜑 ₂₂

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Υπολογίζουμε τον πίνακα −𝜑 ₂₂ ⁻¹ 𝜑 ₂₁

Αντικαθιστούμε όπου 𝑡 το 𝑡 _𝑓 − 𝑡

43

Άσκηση 2.27 Να βρεθούν οι αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε να έχει σχετικό ακρότατο το

συναρτησιακό

𝐽 𝑥 ₁ , 𝑥 ₂ , 𝑢 = 1 2 ₀

1

𝑥 ₁ ² 𝑡 + 𝑥 ₂ ² 𝑡 + 𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡

όταν τα 𝑥 _𝑖 𝑡 , 𝑖 = 1,2 ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων

𝑥 ₁ 𝑡 = 𝑥 ₂ 𝑡

𝑥 ₂ 𝑡 = 𝑢 𝑡

και επιπλέον 𝑥 ₁ 0 = 1, 𝑥 ₂ 0 = −1.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Έστω 𝐽 ένα συναρτησιακό της μορφής 𝐽 𝑥 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡

όπου 𝑥 ∈ 𝐶 ² 𝑡 ₀ , 𝑡 _𝑓 ^𝑛+𝑚 , 𝑥 𝑡 ₀ = 𝑥 ₀ ∈ ℝ ^𝑛+𝑚 και 𝑥 𝑡 _𝑓 = 𝑥 _𝑓 ∈ ℝ ^𝑛+𝑚 .

Έστω επίσης ότι ικανοποιείται η παρακάτω συνθήκη (ες)

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝑞 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑐

όπου 𝑞, 𝑐 είναι διανύσματα 𝑛 × 1 δηλαδή έχουμε τις συνθήκες

45

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝑞 _𝑖 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑐 _𝑖 με 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Ορίζουμε ως ισοπεριμετρικό πρόβλημα (isoperimetric problem), το πρόβλημα εύρεσης σχετικού ακρότατου του

παραπάνω συναρτησιακού, δεδομένων των περιορισμών που

αναφέραμε.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Θέτουμε

𝑧 𝑡 =

𝑡 ₀ 𝑡

𝑞 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡

↓ 𝑧 𝑡 ₀ =

𝑡 ₀ 𝑡 ₀

𝑞 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 𝑧 𝑡 _𝑓 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝑞 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑐 𝑧 𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡 _𝑡

0

𝑡

𝑞 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑞 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡)

𝐹 _𝑎 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑝 𝑡 , 𝑧(𝑡)

= 𝐹 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥(𝑡) + 𝑝 ^𝑇 (𝑡) 𝑞 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 ) − 𝑧(𝑡)

47

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑥 𝑡, 𝑥 ^∗ , 𝑥 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑧 ^∗ − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑥 𝑡, 𝑥 ^∗ , 𝑥 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑧 ^∗ = 0, ∀𝑡 ∈ 𝑡 ₀ , 𝑡 _𝑓

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑝 𝑡, 𝑥 ^∗ (𝑡), 𝑥 ^∗ (𝑡), 𝑝 ^∗ (𝑡), 𝑧 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑝 𝑡, 𝑥 ^∗ (𝑡), 𝑥 ^∗ (𝑡), 𝑝 ^∗ (𝑡), 𝑧 ^∗ (𝑡) = 0, ∀𝑡

∈ 𝑡 ₀ , 𝑡 _𝑓

ή ισοδύναμα 𝑧 ^∗ 𝑡 = _𝑡

0

𝑡 _𝑓

𝑞 𝑡, 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 𝑑𝑡, 𝑧 ^∗ 𝑡 ₀ = 0, 𝑧 ^∗ 𝑡 _𝑓 =c ή ισοδύναμα _𝑡

0

𝑡 _𝑓

𝑞 𝑡, 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑐

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑧 𝑡, 𝑥 ^∗ (𝑡), 𝑥 ^∗ (𝑡), 𝑝 ^∗ (𝑡), 𝑧 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑧 𝑡, 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑧 ^∗ 𝑡 = 0 ⇔ 0 − 𝑑

𝑑𝑡 −𝑝 ^∗ 𝑡 = 0 ⇔ 𝑝 ^∗ 𝑡 = 0 ⇔ 𝑝 ^∗ 𝑡 = 𝑝 ∈ ℝ ^𝑛

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Να ελαχιστοποιηθεί το εμβαδό που περικλείεται από την καμπύλη 𝑥 ∈ 𝐶 ² 𝑡 ₀ , 𝑡 _𝑓 , ∙ _𝑤 , τον άξονα των xx’ και τις ευθείες 𝑡 = 𝑥 ₀ , 𝑡 = 𝑥 _𝑓 και η οποία έχει συγκεκριμένο μήκος 𝑙.

𝐽 𝑥 𝑡 = _𝑡

0

𝑡 _𝑓

𝑥 𝑡 𝑑𝑡, _𝑡

0

𝑡 _𝑓

1 + 𝑥(𝑡) ^{2 1/2} 𝑑𝑡 = 𝑙

Το μήκος της καμπύλης 𝑙 θα πρέπει να ξεπερνάει την διαφορά 𝑡 _𝑓 − 𝑡 ₀ δηλ. 𝑙 > 𝑡 _𝑓 − 𝑡 ₀ .

𝑧 𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡 _{𝑡 0}

𝑡

1 + 𝑥(𝑡) ^{2 1/2} 𝑑𝑡 = 1 + 𝑥(𝑡) ^{2 1/2}

𝑧 𝑡 =

𝑡 ₀ 𝑡

1 + 𝑥(𝑡) ^{2 1/2} 𝑑𝑡 ↗

↙ ↘

𝑧 𝑡 ₀ =

𝑡 ₀ 𝑡 ₀

1 + 𝑥(𝑡) ^{2 1/2} 𝑑𝑡 = 0, 𝑧 𝑡 _𝑓 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

1 + 𝑥(𝑡) ^{2 1/2} 𝑑𝑡 = 𝑙

49

𝐹 _𝑎 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑝 𝑡 , 𝑧(𝑡) = 𝑥 𝑡 + 𝑝(𝑡) 1 + 𝑥(𝑡) ^{2 1/2} − 𝑧(𝑡)

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑧 ^∗ 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑧 ^∗ 𝑡

= 0 ⇒

1 − 𝑑 𝑑𝑡

1 2

2 𝑥 ^∗ 𝑡

1 + 𝑥 ^∗ 𝑡 ^{2 1 2}

𝑝 ^∗ 𝑡 = 0 ⇒ 𝑑

𝑑𝑡

𝑥 ^∗ 𝑡

1 + 𝑥 ^∗ 𝑡 ^{2 1 2}

𝑝 ^∗ 𝑡 = 1 ⇒ 𝑥 ^∗ 𝑡

1 𝑝 ^∗ 𝑡 = 𝑡 + 𝑐 ₁

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

𝐹 _𝑎 𝑡, 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑝 𝑡 , 𝑧(𝑡) = 𝑥 𝑡 + 𝑝(𝑡) 1 + 𝑥(𝑡) ^{2 1/2} − 𝑧(𝑡)

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑧 𝑥 ^∗ (𝑡), 𝑥 ^∗ (𝑡), 𝑝 ^∗ (𝑡), 𝑧 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑧 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑧 ^∗ 𝑡 = 0

⇒

0 − 𝑑

𝑑𝑡 −𝑝 ^∗ 𝑡 = 0 ⇒ 𝑝 ^∗ 𝑡 = 0 ⇒ 𝑝 ^∗ 𝑡 = 𝑝 ∈ ℝ

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑝 𝑥 ^∗ (𝑡), 𝑥 ^∗ (𝑡), 𝑝 ^∗ (𝑡), 𝑧 ^∗ (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑝 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑝 ^∗ 𝑡 , 𝑧 ^∗ 𝑡 = 0 ⇒ 1 + 𝑥(𝑡) ^{2 1/2} − 𝑧 ^∗ 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 0 = 0 ⇒ 𝑧 ^∗ 𝑡 = 1 + 𝑥(𝑡) ^{2 1 2}

51

𝑥 ^∗ 𝑡

1 + 𝑥 ^∗ 𝑡 ^{2 1 2}

𝑝 ^∗ 𝑡 = 𝑡 + 𝑐 ₁

↓ 𝑥 ^∗ 𝑡 = tan(𝑧) tan(𝑧)

1 + tan(𝑧) ^{2 1 2}

𝑝 = 𝑡 𝑧 + 𝑐 ₁ ⇒ tan(𝑧) 1 cos(𝑧)

𝑝 = 𝑡 𝑧 + 𝑐 ₁ ⇒ sin 𝑧 𝑝 = 𝑡 𝑧 + 𝑐 ₁

𝑡 𝑧 = 𝑝𝑠𝑖𝑛 𝑧 − 𝑐 ₁ ⇒ ^𝑑𝑡

𝑑𝑧 = 𝑝𝑐𝑜𝑠(𝑧) (1) 𝑥 ^∗ 𝑡 =

𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑧

=

𝑑𝑥 𝑑𝑧

𝑝𝑐𝑜𝑠(𝑧) = tan 𝑧 ⇒ 𝑑𝑥

𝑑𝑧 = 𝑝𝑐𝑜𝑠 𝑧 tan 𝑧 = 𝑝𝑠𝑖𝑛(𝑧) ⇒

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

(1)+(2)

𝑥 𝑧 + 𝑐 ₂ ² + 𝑡 𝑧 + 𝑐 ₁ ² = −𝑝𝑐𝑜𝑠(𝑧) ² + 𝑝𝑠𝑖𝑛(𝑧) ² = 𝑝 ² Ας υποθέσουμε οτι

𝑥 −1 = 0, 𝑥 1 = 0, 𝑙 ∈ ℝ → 𝑙 > 1 − −1 = 2

↓ 0 + 𝑐 ₂ ² + −1 + 𝑐 ₁ ² = 𝑝 ²

0 + 𝑐 ₂ ² + 1 + 𝑐 ₁ ² = 𝑝 ² ⇒ 𝑐 ₁ = 0

𝑐 ₂ = ± 𝑝 ² − 1

53

Να γράψετε τις αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να

ικανοποιούνται ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συναρτησιακό 𝐽 𝑥 ₁ , 𝑥 ₂ =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓 1

2 𝑥 ₁ (𝑡) ² + 𝑥 ₂ (𝑡) ² 𝑑𝑡

αν τα 𝑥 ₁ 𝑡 , 𝑥 ₂ (𝑡) ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων

𝑥 ₁ 𝑡 = −𝑥 ₁ 𝑡 + 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑢(𝑡) 𝑥 ₂ 𝑡 = −2𝑥 ₁ 𝑡 − 3𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑢(𝑡)

και ισχύει επιπλέον η παρακάτω ισοπεριμετρική συνθήκη

𝑡 _𝑓

𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑐 ∈ ℝ.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Η ερμηνεία από την πλευρά της Θεωρίας Ελέγχου, είναι να υπολογίσουμε την είσοδο 𝑢(𝑡) που πρέπει να εφαρμόσουμε στο σύστημα Σ, ώστε να πλησιάσουν τα 𝑥 ₁ 𝑡 , 𝑥 ₂ (𝑡) στο μηδέν, δεδομένου ότι η ενέργεια που θα χρησιμοποιήσουμε θέλουμε να είναι περιορισμένη.

55

Άσκηση 2.28 (Πρόβλημα αλυσίδας) Να υπολογίσετε καμπύλη 𝑥 ∈ 𝐶 ² 𝑡 ₀ , 𝑡 _𝑓 , ∙ _𝑤 δοθέντος μήκους 𝑙 , η οποία να περνά από τα σημεία 𝑡 ₀ , 𝑥 𝑡 ₀ , 𝑡 _𝑓 , 𝑥 𝑡 _𝑓 και της οποίας το κέντρο βάρους να βρίσκεται στην κατώτερη δυνατή θέση ή ισοδύναμα να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του συναρτησιακού

𝐽 𝑥 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝑥(𝑡) 1 + 𝑥 𝑡 ^{2 1 2} 𝑑𝑡

δεδομένου ότι 𝑥 𝑡 ₀ = 𝑥 ₀ , 𝑥 𝑡 _𝑓 = 𝑥 _𝑓 και το μήκος της καμπύλης δίνεται από τη συνθήκη

1

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Πρόβλημα: Δίνεται το σύστημα που περιγράφεται από το σύστημα δ.ε.

𝐴 ₀ + 𝐴 ₁ 𝜌 + ⋯ + 𝐴 _𝑞 𝜌 ^𝑞

𝐴 𝜌

𝑏 𝑡 = 𝐵 ₀ + 𝐵 ₁ 𝜌 + ⋯ + 𝐵 _𝑞 𝜌 ^𝑞

𝐵 𝜌

𝑢(𝑡) 𝜌 ≔ 𝑑

𝑑𝑡 , 𝐴 _𝑖 ∈ ℝ ^𝑛×𝑛 , 𝐵 _𝑖 ∈ ℝ ^𝑛×𝑚 Να βρεθούν τα σχετικά ακρότατα του συναρτησιακού

𝐽 𝛽, 𝑢 =

0 𝑡 1

2 𝛽 ^𝑇 𝑄𝛽 + 𝑢 ^𝑇 𝑅𝑢 𝑑𝑡 όπου 𝑄 ≥ 0, 𝑅 > 0.

Σημείωση: Κυβεντίδης (σελ.84)

Επίσης για 𝐽 𝜔, 𝑣 = ₀ ^{𝑡 1} ₂ 𝜔 ^𝑇 𝑄𝜔 + 𝑣 ^𝑇 𝑅𝑣 𝑑𝑡

𝜔 ^𝑇 𝑡 = 𝛽 𝑡 𝛽 ¹ 𝑡 … 𝛽 ^𝑛−1 𝑡 𝑣 ^𝑇 𝑡 = 𝑢 𝑡 𝑢 ¹ 𝑡 … 𝑢 ^𝑛−1 𝑡

57

• Νικόλαος Καραμπετάκης, 2009, Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων, Εκδόσεις Ζήτη.

• D.E. Kirk, 1970, Optimal Control Theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.

• D. S. Naidu, 2002, Optimal Control Systems, CRC Press LLC.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Νικόλαος

Καραμπετάκης. «Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2014.

Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

http://eclass.auth.gr/courses/OCRS288/

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες,

διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία

αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να

χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Τμήμα Μαθηματικών

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

 το Σημείωμα Αναφοράς

 το Σημείωμα Αδειοδότησης

 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει)

μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου

Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο 2013-2014