ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Θεωρία Πιθανοτήτων &
Στατιστική
Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών.
Γεώργιος Ζιούτας
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Α.Π.Θ.
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση
(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Χρηματοδότηση
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Χαρακτηριστικά Τυχαίων
Μεταβλητών.
1. Μέση Τιμή.
2. Διακύμανση.
3. Τυπική Τυχαία Μεταβλητή.
4. Ανισότητα Chebyshev.
5. p-Ποσοστιαίο Σημείο, Διάμεσος, Επικρατέστερη Τιμή.
6. Άλλες Παράμετροι και Ροπές.
Περιεχόμενα ενότητας
8 η Διάλεξη
Ασκήσεις-Παραδείγματα-Προβλήματα
Παράδειγμα 1
Να βρεθεί η μέση τιμή, η διάμεσος και η επικρατέστερη τιμή.
Επικρατέστερη Τιμή ( )
f x
4 (9 2 ) 81 ,
x x 0 x 3
0, ύ
( ) 36 12 2
81 0
1, 73 1, 73
df x x
dx
x T
Διάμεσος
Μέση Τιμή
2
0
2 2 4
0
2 4
2
4 (9 ) 81 0, 5
4 (9 ) 4 9
( ) 81 81 2 4
; _ _ ( ) 0, 5
4 9 9
0, 5 9 2
81 2 4 2
1, 62
M
x
x x
dx
u u x x
F x du
M ώ F M
M M
M M
3
( ) ( ) 1, 60
E X xf x dx
Παράδειγμα 2
Έστω η ακτίνα καλωδίου η τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την παρακάτω συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας .
( ) f x
2 , ax a
4 , a
0,
2 x 6 6 x 12
ύ
6 12
2 6
2
6 6 12
2 2 6
( 2 ) 4
[ ] 2 [ ] 4 [ ] 1 2
16 8 24 1
1
ax a dx a
a x a x a x
a a a
a
2 x
( ) F x
0,
2
( 2 ) ,
x
au a du
2 x 6
6
2 6
( 2 ) 4 ,
x
ax a dx adx
6 x 12
1, x 12
6
2 6
( ) 4 0,5
M
f x dx adx M
) _ ;
a M ) _ 2
( ) ;
b Y x
E Y
6 12
2 2
( ) ( )(2 2 ) ( )(4 )
E Y x ax a dx x a dx
Παράδειγμα 3
Η εκλυόμενη ισχύς ενός κυκλώματος:
Κάνοντας χρήση της ιδιότητας , έχουμε ότι:
Η μέση τιμή της εκλυόμενης ισχύος:
Από την f(i) έχουμε ότι:
Άρα:
P I R
2( ) 2 ( )
E P i R f i di
( ) ( )
( ( )) ( ) ( )
E aX E X
E g x g x f x dx
3 4
3
1 1
1 1
4 2
a
di di a
3 4
2 2
1 3
1 1
( ) 4 2
E P i R di i R di
Παράδειγμα 4
Μία ηλεκτρική μηχανή λειτουργεί όλο το 24ωρο και ισοπίθανα μπορεί να χαλάσει εντός αυτού.
Η μηχανή μπορεί να χαλάσει ισοπίθανα στην χρονική στιγμή t και δίνεται ότι σίγουρα θα επισκευαστεί ισοπίθανα εντός του διαστήματος (t, 24).
Ποια η πιθανότητα ότι η μηχανή θα δουλέψει τουλάχιστον 12 ώρες;
Λύση
• αν χαλάσει μετά το 12ωρο
• ή αν χαλάσει πριν το 12ωρο και η επισκευή διαρκέσει λιγότερο από 12 ώρες, αυτό μπορεί να συμβεί με πιθανότητα
Συνολικά η ζητούμενη πιθανότητα εκτιμάται ως ακολούθως:
Αν Χ ο χρόνος καλής λειτουργίας του συστήματος
12 24 t
1 12 1 12 ( 12)
2 24 24
P X dt
t
8 η Διάλεξη
Άσκηση 2
Έστω ότι έχουμε τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή μεταξύ των τιμών α και β,
~ ( , ) X U
( ) 0
E X ( 1) 2
P X 3 , ;
( ) f x
1 ,
x
0, ύ
1 η Εξίσωση
2 η Εξίσωση
( ) 2
2 0
E X
1 1
1
2 1
( 1) 1 ( 1) 1
3 3
1 1 1
( ) 3 3
1 1 1 1
[ ] 3( 1)
3 3
3 3 3 3
P X P X
f x dx dx
x
( ) f x
1 , 6
3 x 3
0, ύ
0,5
3 3
3
0,5
( 0, 5) 0
1 1
( 0, 5) 3, 5
6 6
1 6
( 4) 1
6 6
1 1
( 0, 5 0, 5) P X
P X dx
P X dx
P x dx
Άρα έχουμε:
Και προκύπτει:
Πρόβλημα
Η μηνιαία κατανάλωση πετρελαίου Χ είναι τυχαία μεταβλητή με πυκνότητα:
Να βρεθεί η μέση τιμή για τους 5 μήνες. Για τη μηνιαία κατανάλωση έχουμε:
( ) f x
5(1 x ) , 4 0 x 1 0, ύ
1
4 0
0 0 5 6
4 4 5 0
( ) ( ) 5(1 )
1
1
5 1
5 (1 ) 5 ( ) 5[ ] 1
E X xf x dx x x dx x u
dx du
x u
u u u u du u u du
Η μέση τιμή κατανάλωσης για τους 5 μήνες είναι:
1 2 5
1
1 2 3 4 5
{ , ,..., } ( ) 1
6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5
6
X x x x
E x
E X E x E x E x E x E x
Άσκηση
Έστω ένας φοιτητής απαντά τη λύση για 2 προβλήματα Α (3 δυνατές απαντήσεις) και Β (5 δυνατές απαντήσεις):
{ _ _ _ _ _ _ }
A ό ή ά
{ _ _ _ _ _ _ }
B ό ή ά
( ) 1
3 ( ) 2
3 P A
P A
( ) 1
5 ( ) 4
5 P B
P B
συνέχεια...
Έστω ότι ο φοιτητής επιλέγει τυχαία μία από κάθε πρόβλημα. Να βρεθεί η μέση τιμή των σωστών απαντήσεων Χ του φοιτητή.
όπου:
Η πιθανότητα να μην απάντησε σε κανένα σε ένα και στα δύο προβλήματα σωστά:
Άρα:
( )
i(
i) E X x P X x {0,1, 2}
X
2 4 8 ( 0) ( ) ( )
3 5 15
1 4 2 1 6 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
3 5 3 5 15 1 1 1
( 2) ( ) ( )
3 5 15 P X P A P B
P X P A P B P A P B P X P A P B
8 6 1 8
( ) ( ) 0 1 2
15 15 15 15
i i
E X x P X x
συνέχεια...
Να βρεθεί η διακύμανση:
2 2
( ) ( ) ( ( )) VAR X E X E X
2 2 2 8 2 6 2 1 10
( ) ( ) 0 1 2
15 15 15 15
i i
E X x P X x
2
2 2 10 8
( ) ( ) ( ( )) ...
15 15
VAR X E X E X
Άσκηση
Η μηνιαία κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας σε ένα εργοστάσιο είναι μηνιαία μεταβλητή με πυκνότητα:
Να υπολογιστεί αρχικά η μέση τιμή της μηνιαίας κατανάλωσης ενέργειας:
( ) f x
(1 ) , 4
a x
0,
0 x 1
ύ
0 5
4 4 0
1
0 1
( ) 1 (1 ) 1 1 [ ] 1
5 5
f x dx a x dx a u du a u
a
συνέχεια...
Ποια κατανάλωση ενέργειας δε ξεπερνιέται στους 10 μήνες του χρόνου:
Ποσοστιαίο σημείο 10 12
X p X
1
1 5
4 4 1
0 1
5
10 10 10
5(1 ) 5 5[ ]
12 12 5 12
(1 ) 1 10 ...
12
p p
p
X X
X
p p
x dx u du u
X X
