Απλοποίηση μαθηματικών προτύπων με χρήση Η/Υ

T .E .l. Ηλεκχ/γων Κ Α Β Α Λ Α Σ 1 9 8 8

Π Τ Υ Χ ΙΑ Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ ΙΑ

ΘΕΜ Α: Α Π Λ Ο Π Ο ΙΗ Σ Η Μ ΑΘ Η Μ ΑΤΙΚΩΝ Π Ρ Ο ΤΥΠ Ω Ν ΜΕ Χ Ρ Η Σ Η Η /Υ

Εισηγητής: Α ν . Μπόγλου Μ ΑΘ Η ΤΗ Σ: Γ ΙΑ Ν Ν Α Κ Ο Υ Δ Α Κ Η Σ Ν ΙΚ Ο Σ

-d-

I ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

I ,

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

|-Ορισμ6ς : , , , ....

|-Παράδειγμα

,ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗΣ

'μ έ θ ο δ ο ς PADE ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΙΑΣ ΕΙΣΟΔΟΥ ΜΙΑΣ ΕΞΟΔΟΥ

-θεωρΐ)τικ/ΐ περιγραφτ^

-Απλό παράδειγμα

ΜΕΘΟΔΟΣ PADE ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΕΙΣΟΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΕΞΟΔΩΝ -θεωρητική περιγραφή

-Γευικευμένο παράδειγμα ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΠΡΩΤΗ

-Απλοποίηση συνάρτησης μεταφοράς συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου, με τη χρήση ηλ.υπολογιστή

-Εξαγωγή και παρουσίαση των γραφικών -παραστάσεων της εξόδου της αρχικής καθώς και των απλοποιημένων συνάρτήσεων.μεταφοράς ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΕΥΤΕΡΗ

Απλοποίηση συνάρτησης μεταφοράς συστήματος πολλών εισόδων πολ­

λών εξόδων με τη χρήση ηλ.υπολογιστή

-Εξαγωγή και παρουσίαση των γι»αφικώυ παραστάσεων των εξόδων της αρχικής, καθώς· καί των απλοποιημένων συναρτήσεων μεταφοράς

ΛΟΓΙΚΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ

-Παρουσίαση λογικού διαγράμματος του προγράμματος εξομοίωσης της μεθόδου PADE,για συστήματα μιας εισόδου και μιας εξόδου,σε ηλ.

υπολογιστή

-Παρουσίαση λογικού διαγράμματος του προγράμματος εξομοίαχϊης της μεθόδου PADE, για συστήματα πολλών εισόδων πολλών εξόδων, σε ηλ υπολογιστή

^

3

Σ Υ Ν ^ Η Σ Η _ Ι ^ Α Φ Ο Ρ ^ '

Η συνάρτηση μεταφοράς είναι μια περιγραφι^ συτημάτων αυτομάτου ελέγχου στο πεδίο της μιγαδικτ^ς συχνότητας και ισχύει για μια περιο ρισμένη κατηγορία συστημάτων και συγκεκριμένα για τα γραμμικά, μη χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα που έχουν μηδενικές αρχικές συνθή­

κες. Η συνάρτηση μεταφοράς συμβολίζεται H(S) και ορίζεται ως εξής:

Η συνάρτηση μεταφοράς ενός γραμμικού μη χρονικά μεταβαλλόμενου συ­

στήματος ορίζεται σαν ο λόγος του μετασχηματισμού LAPLACE της ε­

ξόδου του^^^Ο μετασχηματισμό L1PLACE της είσοδοι- του 0*^0 δηλαδή: μ

L

Με την προϋπόθεση ότι όλες οι αρχικές συνθήκες του συστήματος είναι μηδενικές.

Π ^ Μ Ε Ι Γ Μ Α

Εστω το δίκτυο του κάτωθι σχήματος, το οποίο περιγράφεται στο πε­

δίο της μιγαδικής συχνότητας με αρχικές συνθήκες Ic και Vo μηδενι­

κές. TSTfrenr-

L s

)_ VLS)

i )

— 1 R,

J--- V v V -

H είσοδος του δικτύου είναι η V(s) · έξοδο μπορούμε να πάρουμε το ρεύμαΚί^^ή την τάση στα άκρα ενός η περισσοτέρων στοιχείων.

Εστω ότι η έξοδος του δικτύου είναι το ρεύμαΤί5^, Προκειμένου να υπολογίσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς εργαζόμαστε ως εξής:

Γράφουμε του νδμο των τάσεων του

Επομένως

Γ VCS)

U f «Λ- ____

Λ -

Αν σαν έξοδο θεωρούσαμε την τάση .άκρα του αντιστάτη Ε, τδτε η συνάρτηση μεταφοράς θα ήταν , ■; - ^

, ί ---Ε ά 5 _ - -

ν'ίή VC5) U s \ fe s U .

9

V

ι ι

i

li

V

I

^

5

ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗΣ

Η περιγραφή ενός συστήματος με ένσ μαθηματικό πρότυπο αποτελεί τη βά­

ση για την μελέτη του. Παραδείγματα τέτοιων μαθηματικών προτύπων είναι οι ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις, η συνάρτηση μεταφοράς, η κρουστική από­

κριση, οι εξισώσεις καταστάσεως κ.α.

Συμβαίνει πολλές φορές το μαθηματικό πρότυπο ενός συστήματοο να είναι αρκετά πολύπλοκο, όπως π.χ. η τάξη του να είναι πολύ μεγάλη, να είναι μη γραμμικό κ.λ.π. Η πολυπλοκότητα του μαθηματικού προτύπου έχει σαν α­

ποτέλεσμα να δημιουργούνται κατά την -ανάλυση και την σύνθεσή του,δυσκο­

λίες. Προκειμένου.να μειωθούν οι δυσκολίες αυτές, έχουν προταθεί κατά καιρούς διάφορες μέθοδοι απλοποίησης μαθηματικών προτύπων.

Με τον όρο απλοποίηση μαθηματικών προτύπων εννοούμε τον προσδιορισμό ενός νέου μαθηματικού προτύπου το οποίο να προσεγγίζει ικανοποιητικά το αρχικό, ενώ ταυτόχρονα να είναι πολύ απλό στην»ανάγνωσή του από αυ­

τό.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση θ*αναφερθούμε στη μέθοδο FADE πού είναι μια από τις μεθόδους απλοποίησης μαβΓ,μστ»Μ4ν προτύπων της κατηγορίας εκείνης των συστημάτων πού είναι γραμμικά, μη χρονικά μεταβαλλόμενα.

Σε γενικές γραμμές μια μέθοδος απλοποίησης συνίσταται από τις εξής δι­

αδικασίες.θεωρούμε ότι μας δίνεται μια περιγραφή ενός συστήματος και έστω ότι αυτή είναι η συνάρτηση μεταφοράςί

- 5'^

Εστω μια άλλη συνάρτηση μεταφοράς που έχει την γενική μορφή:

Οπου μ<υ.

To πρόβλημα απλοποίησης της H(S) μπορεί τώρα να διατυπωθεί ως εζήςι Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς H(S) κα* ζητείται να προσδιοριστούν οι παράμετροι d o , d i , . . oLp.j. , €θ 16ΐ

ώστε η G(S) να προσεγγίζει ικανοποιητικά την Η(β) « Συνήθως η τάξη της G(S), δηλαδή το μ, λαμβάνει τιμή 2, οπότε η G(S) θα είναι δευτέρας τά- ξεως.

Είναι φανερό ότι αν η H(S), που είναι τάξεως ν, μπορεί να προσεγγισθεί ικανοποιητικά με την G(S) που είναι τάξεως μςν, τότε η συμβολή της απλο- ποιήσεως του μαθηματικού προτύπου θα είναι μεγάλης σημασίας.

Αυτό απορρέει από το γεγονός ότι τα προβλήματα της αναλύσ·-ως και συνθέ- σεως που τώρα θα μπορούν να γίνουν με βάση την G(S) αντί της H(S) θα εί­

ναι αρκετά πιο εύκολα να λυθούν.

Οι μέθοδοι που αναπτύχθηκαν για ττ^ν απλοποίηση των μαθηματικών μοντέλων είναι πάρα πολλές. Οι περισσότερες από αυτές μπορούν να ομαδοποιηθούν σε τρείς κατηγορίες ως εξής:

1) Μέθοδοι στο πεδίο της συχνότητας (ΡΑΒΕ)

2) Μέθοδοι στο πεδίο της συχνότητας και του χρόνου (μικτοί) 3) Μέθοδοι στο πβδίβ του χρόνου

ΜΕΘΟΔΟΙ ΡΑΒΕ:

Η μέθοδος ΡΑΒΕ με την οποία και θ ’ασχοληθούμε είναι μία από τις κλασσι­

κές μεθόδους απλοποιήσεως μαθηματικών προτύπων στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας και ορίζεται ως εξής;

Εστω ότι οι συναρτήσεις μεταφοράς H(S) και G(S) μπορούν ν’αναπτυχθούν σε σειρά TAYLOR γύρω από το σημείο SrO, ως εξής:

- fC ^

I

Ρ

||

|I

p . - l l

K'.L d s ^

v a ;^ )

τότε η G(S) είναι μια προσέγγιση της H(S) κατά ΡΑΒΕ ότ -

V

- I

λεστές τωυ ομο(ων δυνάμεων του S των 2μ πρώτων 6ρων των σειρών TAYLOR των ,G(S) και H(S) είναι Coot, δηλαδή όταν ισχύει:

C(k):F(h), κ Ο,Ι,.... ,2μ-Ι (^.4)

Η μέθοδος PaDE επομένως συνίσταται στον προσδιορισμό των αγνώστων παρα­

μέτρων gLo ι ά -t^ ,Ο :j-(. - - g'j-· ^

στε να ισχύει η σχέση ^.,2,4), 0 αριθμός των αγνώστων παραμέτρων της G(S) εϋναι, 2μ. Επίσης, ο αριθμός των εξισώσεων που περιέχονται <ττη σχέση (2,4;

είναι 2μ, Αρα η σχέσΐ) \2,4) είναι ένα αλγεβρικό σύσιημα 2μ εξισώσεων με 2μ αγνώστους και λύνεται με τις -γνοχϊτές μεθόδους της γραμμικής <5λγεβρας Οι συντελεστές 0(κ) και γ(η) των σειρών aAYLOR υπολογίζονται σύμφωνα με τη σχέση (2.3). Ενας άλλος τρόπος υπολογισμού των 0(κ) και Ρ(-κ) εί-ναι με την μέθοδο των συνεχών διαιρέσεων,οπότε προκύπτει:

Κ = 1 1 , . . ■ ίο: I f Αν αντικαταστήσουμε την (2.6) στην (2.4; έχουμε:

Co-fo- dc /e c (2.7.α) Κ

α-5)

(2.b)

■ ·- - ρ - μ - ί

Οπου τα 0(κ) υπολογίζονται από τη σχέση (2.5). Οι σχέσεις (2.7.α) και β γράφονται αναλυτικά ως εξής:

d o ' (ίο Co dil €c be d;!,; e’e Cl t €7. Co

dCp-i-(o C^-irC^ C^-lt

G- ^ CH-1+ ·

V C^-iCc

+ cc

O rCc ---- + G ^ - i C v < ' i - + C y » + ....Λ

0 Cij(+ . . . •Giy>>-Ko

,1

Ρ

To σύστημα εξισώσεων είναι ένα γραμμικό αλγεβρικό σύστημα με 2μ εξισώ­

σεις και 2μ αγνώστους. Το σύστημα αυτό λύνεται με τις γνωστές μεθόδους της γραμμικές Αλγεβρας και δίνει τις παραμέτρους Β(ο),Β(Ι),....,β(μ-Ι) , Α(ο),Α(Ι)... Α(μ-Ι) της G(S).

Ενα κύριο χαρακτηριστικό της μεθόδου FADE είναι ότι το μέτρο του σφάλμα­

τος είναι πολύ μικρό στις χαμηλές συχνότητες και αυξάνει καθώς αυξάνει και η συχνότητα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ημέθοδος FADE βασίζεται στη σχέση (2.^*-) που σημαίνει ότι το άθροισμα των 2μ πρώτων όρων της σει­

ράς TAYLOR της H(S), με το άθροισμα των 2μ πρώτων όρων της σειράς ¥AYLOR G(S) είναι ίσο, δηλαδή ισχύει ότι:

^'Σ*0(κ)ς’*=’^Ρ(κ)ς^

ΚϊΟ —

Εδώ παρατείθεται ένα παράδειγμα πού δείχνει αναλυτικότερα τη διαδικ-αιί- α που ακολουθείται με τη μέθοδο FADE προκειμένου να απλοποιήσουμε τη δε­

δομένη συνάρτηση μεταφοράς.

Εστω ότι τβ σύστημα περιγράφεται από τη συνάρτηση μεταφοράς:

H(s)-.Jit£istZs|LsL, '24(·^«55ς?ΐ0?,ς''

Αναλύουμε τη συνάρτηση μεταφοράς H(S) σε σειρά TAYLOF μέχρι και την δύναμη;

M('^^rCc■V Υπολογίζοντας τα 0(κ) σύμφωνα με τη σχέ­

ση (2.5) έχουμε:

Co-i , C l - - , C i ^ i , o q o 2 F 6 ,

- Cc Cc -N.

Oi παρατιάνω εξισώσεις μπορούν να γραφούν ως εξής:

ί

ι

ι

II

ι

I·

^<7 C f ci c *Cs

eo-GL-te^Q--Co C o C l

-i D

C 3 C l O 0

υ

Cl cCc c U

— C c - C t :

H ΜΕΘΟΔΟΣ PADS ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΑΩΝ ΕΙΣΟΔΩΝ-ΠΟΛΑΩΝ ΕΞΟΔΩΝ

Η μέθοδος FADE έχει επεκταθεί και την απλοποίηση συστημάτων με πολλές εισόδους και πολλές εξόδους .

Για ένα πολυμεταβλητό σύστημα της μορφής:

Τ^^6(5) ,(Χ(^^είναι αντίστοιχα τα ί>!,ανύσματα εισόδου και εξόδου, διαστάσεωνρχΙ και και(^(^^ είναι οι πίνακες της συνάρτησης μεταφοράς διαστάσεωvi^X‘7 . Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ως εξής:

+ ■ ■ ■ ■ , δπου Β(ι) με ι=0,1,2,.. .ν-Ι είνα οι πίνακες σταθερών όρων με διαστάσεις^ρ^^^ και α(ι) με ΐςΟ,Ι,2,...ν ε ναι οι σταθεροί συντελεστές του τιαρονομαστή.

Επίσεις η -(S) μπορεί να αναλυθεί- και σε δυναμοσειρά ως εξής:

GCS)-Co-tCl5 + ClS^-V. · .+Cm-1 ι«0,Ί,...,ν είναι σταθεροί πίνακες διαστάσεων οι οποίοι ϊκάνοποιούν τη σχέση:

I ϊ

\

][ Εστω ότι η απλό ποιημένη κατά ΡΑΒΕ συνάρτηση μεταφοράς είναι:

I * , ί ί ο μ , Ί · · ·

“ ι

R ( S ) r Αλ s h f\as\ - - . ■ -f

ho ' · '-V

$που M<v

και A(i) με t=0,I,2,. > .κ-Ι’ eCvau σταθεροί πίνακες διαστάσεων (pXC|() και β(ι) με ι:0,Ι,2,...κ-Ι είναι οι σταθεροί συντελεστές του παρονομαστή που προκύπτουν υπολογίζοντας τους επικρατέστερους πόλους της αρχικής μας συ­

νάρτησης G ( S ) .

Οι σταθεροί πίνακες Α(ι) με ι=0,Ι,2,,.,κ-Ι υπολογίζονται με την μέθοδο FADE, δηλαδή:

k o -Q.o Lc Λί CA + ^i-Co

AW'i-(Sc . . .ή-gK.iCo

Η R(S) έχει επιλεγεί έτσι ώστε οι πρώτες κ χρονικές στιγμές να ισοΟντα'ι με τις πρώτες κ χρονικές στιγμές της0'(3). Δηλαδή η R(S) υά προσεγγίζει ικανοποιητικά την&(3) σύμφωνα με τη μέθοδο FADE.

Για την καλύτερη κατανόηση της μεθόδου FADE για συστήματα πολλών εισόδων πολλών εξόδων παραθέτουμε ένα γενικευμένο παράδειγμα.

Εστω ένα σύστημα δύο εισόδων και δύο εξόδων: Δηλ. (\> Χ ^ ) = 2Χ2 HG (S ) θά είναι της μορφής:

1 βο,Ο

I Β

Ί . iBiiC Β

Ι

ΓΒ

-Ι,Ο

U i .g 6 1,5] ^ Bv-i,

Oj:: tcxv-i

Cw.l . J . .'"(ii.o ' fc j,o C j,r]

LCi.x C i . J όπου 1=0,I,2,.

P

||

r [ i l I I I I I I I I I I’

»

I '

- l i -

ΓΑορ Γ(Η\0 , Αα,ι Q fik -io ΑκΛ Ί w ^

GCS) Ao,-5 J 1 Ai.x Ai.3 P'^ Ar-? ή7.Λ 3 v....4 Ak-i!i ^v-l.3 ^ feci: felStfe-LsV . . - +

Acc A.c,i

f\C(r A03 Γ feo-Ee>c Co,il I Coi^ Cc,3 I

)='“ E:.’:t 2 ] .i .j;::::::g

Av<-i,il [Ck-i.c co,n

^,Κ-1Λ Λν-1,3 c^.i,5j·*--- Cc>2 C O . J f\\o Αί,ι

Ai,7_ Ai3

Σημειώνουμε επ ίσβις, δτι οι συντελεστές β(κ) υπoλoγCζ^wται απδ τους πόλους της συνάρτησης, δηλαδή εφαρμόζοντας την μέ­

θοδο των επικρατεστέρων πόλων.

ο

||

[ [ [ [ [ I I

I I

.1 '

-

13

Εδώ θα παρουσιάσουμε δύο εφαρμογές που αυαφέρουται στην απλοποί­

ηση συναρτήσεων μεταφοράς με τη μέθοδο FADE.

Η πρώτη αναφέρεται στην απλοποίηση συστήματος μιας εισόδου και μιας εξόδου, ενώ η δεύτερη στην απλοποίηση συστήματος πολλών ει­

σόδων πολλών εξόδ»ν.

Για τους δύο τρόπους απλοποίησης χρησιμοποιήθηκε ένα πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή σε γλώσσα BASIC, που κατασκεύασα ειδικά για τις απαιτήσεις της μεθόδου FADE.

Οι καμπύλες που εξάγαμε, είναι οι γραφικές παραστάσεις των εξό­

δων των συναρτήσεων μεταφοράς συναρτήσει του χρόνου και δεικνύ­

ουν την συμπεριφορά των συστημάτων καθώς και το βαθμό προσέγγισης που επιτυγχάνεται με την απλοποίηση.

ΜΑΡΜΟΓΗ_ΠΡΩΤΗ

Εχουμε ένα σύστημα μίας εισόδου και μίας εξόδου που περιγράφεται από την εξής συνάρτηση μεταφοράς.

+ Uo310

Πολλοί συγγραφείς θεωρούν πως έχουν μια συνάρτηση μεταφοράς που στον αριθμητή περιγράφεται από πίνακες CJ3XCJ) διαστάσεων (iXl ) (για συστήματα πάντα μίας εισόδου-εξόδου) και πραγματοποιούνε την απλοποίηση με τη μέθοδο FADE για συστήματα πολλών εισόδων πολλών εξόδων. Γι’αυτό το λόγο θα απλοποιήσουμε την παραπάνω συνάρτηση και με τους δύο τρόπους.

Η απλοποίηση της H(S) ρε την μέθοδο FADE για μία είσοδο και μία έξοδο έχει γίνει στον πρώτο και στον δεύτερο βαθμό ενώ με την μέ­

θοδο FADE για πολλές εισόδους και πολλές εξόδους έχει γίνει στον πρώτο, δεύτερο και τρίτο βαθμό αντίστοιχα.

- m -

Στις επόμενες δύο σελίδες παριστάνωνται οι τιμές των απλοποι­

ημένων συναρτήσεων στον πρώτο και δεύτερο βαθμό που μας έδωσε, ο υπολογιστής με τη χρήση του προγράμματος για τη μέθο.δο ΡΑΒΕ για συστήματα μιας εισόδου και μιας εξόδου.

I I I

I

- ^

5

A! 0 )= 40320 A( 1 )= 109584 A( 2 )= 119124 A( 3 )= 67284 A( 4 1= 2249 0( 0 )= 40320 0( 1 )= 185760 0( 2 )= 222088 0( 3 1= 122664 0( 4 )= 36380 ΑΠ0ΤΕΛΕΣΙ1ΑΤΑ T8N C Ct 0 )= 1 C( 1 1= 1.88928571 C( 2 1=-2.55633645 C( 3 1= 2.78629931

ΛΥΕΕΙΣ TOY ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ E( 0 )= 4.82060388 E( 1 )= 5.99331553 Di 0 )= 4.92060388 D( 1 )= 15.1008136

t I

|i II II

I

I

Ρ

Ρ

|Ι

ρ I

I

Λ \

-

49

[ έξοδος της αρχικ4ςι.συνάρ-τ»Ηΐης-

TIMt

3 Λ

ISs-'v + 514s""-6 + 59&2s

+ 1857605 + 40320 7330S--4 -I- 1 2 2 6 0 4s-'3 ■

;''8 + 305'"7 + 5465"'6 + 4 5 3 6 5·"'

- 1 0 9 5 3 4 5 -4- 4 0 3 2 0 • 2 2 4V5"'4 + 6 7 2B45"'3 + 1 1 8 1 2 4=· 1

I I P

|l Bi

II

I

I

N

I

I

I I P II

I

r;

Η έξοδος της απλοποιημένης G'lCi) στον δεύτερο βαθμό - ^

3

I

P

P

II

- 1 5 '

Η έξοδος της απλοποιημένης GlCS^ στον πρώτο βαθμό.

Η απλοποίηση έχει γίνει με την μέθοδο FADE για πολλές εισόδους- εξόδους.

I ;

9

II

— Ε..έξο.δος, .ιη^;_Λτιλοποιημέ.υτ}ς--^(;3)-,σ.τον 6€·ύτ-ερο--βαθμδ - - --- Η απλοποίηση έχει γίνει με την μέθοδο ΡΑΒΕ για πολλές εισόδους- εξδδους

II

II

Η έξοδος της απλοποιημένης G^CS) στον τρίτο βαθμό

Η απλοποίηση έχει γίνει με την μέθοδο PADE για πολλές εισόδους-

^ εξόδους

ίΐ V II

r

ύ

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Απδ τις γραφικές παραστάσεις που δεικνύουν τη συμπεριφορά των εξό­

δων των συστημάτων εξάγουμε το συμπέρασμα πως όλες οι απλοποιήσεις που πραγματοποιήσαμε, πpoσεγγCζoυυ ικανοποιητικά την αρχική μας συ­

νάρτηση.

Σημείωση: Οι γραφικές παραστάσεις παριστάνουν την έξοδο των συ­

στημάτων συναρτήσει του χρόνου

I I

! f

«II

u

Ef^MOra_AETOEPH_

Ενα σύστημα περιγράφεται απδ τις εξισιδσεις καταστάσεως ως εξής;

X - Α χ τ Β ' -t.u^c-

L51.32 -1C'L;2M

ο ο Q

C. ο ο

i^.cS" ο a -^2ti33 ^

C 0

-

33

1

c , S 3 c c Z - l , c v T - b 1, 1^ 3 , 0 3 ©

1

L -

h

0 0 ^{c ?} | o f , i S · -

- 0 | lioi.c3 - Ο ^ ς ^ ί ΐ β o > 3 c q q i - o , l h H S

'

! ; ,

0

°

0 0

'

Π 0 0 _ Γ ο o e

1 B -

^

1 0 q . I ^ ' 5 3

1 o 0

V"

o \ O c C/ 1

ECv o i ένα σύστημα με δύο εισόδους και δύο εξόδους,

ίί συνάρτηση μεταφοράς καθώς και οι ιδιοτιμές που εξάγομε με τη βοήθεια κάποιου προγράμματος φαίνονται εκτυπωμένες στις επόμενες σελίδες.

Οι ιδιοτιμές θα χρησιμοποιηθούν για να κατασκευάσουμε τους παρο­

νομαστές των απλοποιημένων συναρτήσεων, Η διαδικασία είναι η εξής;

S'- Ρΐ) Gcx^ylcc^

0x ^3) i;o£aco|

Im Xi) i^tXXst;V)[sf>s)Cs^^2^nt^itcc. 6«v^·

-iM-

Οπου - O L G H V e ^ - O , ^bSLς 4 - j ,'j\ i-

>‘«'' '/V I , '7^3- -\-3,$M->^5?fc(!H είναι oi ιδιοτιμές της αρχικί^ς μας συνάρτησης.

ιΐ

Ρ Ρ

||

||

II

ί

ι ι I I

|ί;

m

Κ

Ί

Λ

ϊ 9 Ρ

ΠΙ

n

Ρ

|I

IB

rit K

r

Γ

Πε^ιγροψή των συνορτι^σεων μεταφορίς «ου εζίγομ ε (υ*<5 τη μορφή γινομένου πολυωνύμων) με τη χρήση υκολσγνστοΰ, α«<5 τ ι ς εξισώ ­ σ εις καταστιίσεως τον συστήματος.

ί ξ' 2 + 2 7 . 0 6 4 7 4 s + . 1 4 1 8 1 0 . 1 ' · . 5 3 7 8 7 3 3 0 ( s - 2 . 2 9 5 7 3 4 8 - 1 4 )

s"-2 + 1 7 . 8 4 5 1 s

•DB 14s + ; +1 s 1 .4) . 9 3 0 4 4 4 2 · i i 8 7 . 7 1 4 5 9 ) s +

! 7 . 0 6 4 7 4 s + 1 4 1 8 1 0 s + 4 6 . 5 6 2 '

2 7 . 0 8 1 4 s I- 1 4 1 6 1 0 . 4 ) ί . 9 3 0 4 4 4 2 s + 8 7 . 7 1 4 5 9 )

To σύστημά μας, όπως είπαμε αποτελείται απδ δύο εισόδους και δύο εξόδους. Αρα η συνάρτηση μεταφοράς του θα είναι ένας πίνακας τεσσάρων συναρτήσεων με διαφορετικούς αριθμητές και τον ίδιο πα­

ρονομαστή όπως φαίνεται και πιο πάνω.

Στην συγκεκριμένη μας εφαρμογή έχουμε κάνει την απλοποίηση στον τρίτο τέταρτο και πέμπτο βαθμό.

Οπως και στη πρώτη μας εφαρμογή έτσι κι εδώ παριστάνωνται εκτυ-

-Hc-

πωμέυες οι ΐΓιμές που πήραμε απδ τις απλοποιήσεις που πραγματοποιή­

σαμε στον ηλ.υπολογιστή με το ιιρδγραμμα προσομοίωσης της μεθόδου ΡΑΒΕ για συστήματα πολλών εισόδων πολλών εξόδων.

Ακολουθούν οι γραφικές παραστάσεις των εξόδων των συστημάτων που πε­

ριγράφουν τη συμπεριφορά τους και δικνύουυ το βαθμό προσέγγισης της αρχικής συνάρτησης που πετυχαίνεται στις τρείς απλοποιήσεις.

ί IP V V m

r

ί ί I ί

(

Γ

_ ι .

- M l -

Γραφική τιαράσταση της εξόδου του στοιχείου Ι,Ι της αρχικής συνάρτΐ}σ]}2_^εταφο2ά2______

Ρ Ρ VI II Γ

η

i

V

D

|i II II i

»

«

r

-Η 5 -

Γραφική -παράσταση της εξόδου τουστοιχείου 1,5 της αρχικής 2ΗϋίΕΙ!12Ι1£_Β§Ι222£^£Λ_____________________________________

/ / /

i i i

ίΤί +

I

j Γραφ.χή π α ρ ά θ ε σ η της εζίδου τοη στοιχείου 1,4 της αρχικής

συνάρτησης μεταφοράς, _____

!'!

i V II P pi

III

III

m

fil

HI

ru

1 $ P ( 1 ^

I

1

ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟΝ ΤΡΙΤΟ ΒΑΘΜΟ

II II Ρ II

|I

II

|| I

II

rjl

II ΓΙΙ

«

1 1

I r

I

-εΐ'

THE FADE APPROXIM ATION FOR M U LTIVaRIA£sLE SYSTEMS THE DIMENSION PXQ IS 4

THE NUMDER OF SCALER IS 4

S i 0 ΐ ^ ·· 0 2 0 Ι 2 Ε - ί 1 ORDER OF THE SCA;_EP I S I

^ QF;DER OF THE SCAlEF IS 2 s ( 0 ) = .87 .0 7 23 9 ORDER OF THE SCALER I S 3 s ( C ■■=-. 12953 ORDER OF THE SCALER IS 4 s ( i ) = 1 ,9 5 8 9 0 I E - 19 ORDER OF THE SCALER I S 1 S i 1 ) = .1 1 4 4 8 2 0 ORDER OF THE SCALER I S 2 s ( i ) = .2 1 2 7 7 4 1 ORDER OF THE S C A L E R 'IS 3 s ( 1 ) = 1 .0 5 7 9 6 9 E - 0 4 DRDEP OF THE SCALER I S 4 s ( 2 > = - 1 9 9 3 0 .6 4 ORDER OF THE SCALER IS 1 s ( 2 ) = 7 1 5 .0 7 8 1 ORDER OF THE SCALER I S 2 s ( 2 ) = - 4 8 . 8 6 7 0 7 ORDER OF THE SCALER IS 3

■'·· > « I T - . 0 8 5 7 ORDER OF THE SCALER 13 4 s i ~ '= 9 ; i4=;'7S ORDER OF THE SCALER IS 1 E< 3 )- Ei. .2 1 3 7 3 ORDER OF THE SCALER IB 2

. 3 ) = 3 .9 8 Β 5 0 5 Ε -0 2 ORDER OF THE SCALER I S 3 s< ; = - . 2 6 0 31 4 7 ORDER OF THE SCALER IS 4 THOSE ARE THE A (K ) VALUES FOR THE DENOMINATOR OF H (S ) A ( 0 ) = 4 .4 1 1 1 2 7 E + 0 9 '

A ( 1 ) = 2 .1 B 6 6 4 2 E + 1 0 A ( 2 ) = 1 .3 3 1 1 4 9 E + 0 9 A ( 3 )= 2 .7 2 6 8 1 1 E + 0 8

THOSE ARE THE MATRIC ES FOR THE NUMMERATOR OF H (S ) ) = .0 2 1 4 8 7 2

)= - 1 .3 0 5 4 2 3 E + 1 0 _ - »

)= - 4 .3 0 9 4 6 3 E + 0 B )= 4 . 8 3 6 9 6 E - 0 6 )= 2 . 3 2 6 S 2 S E + 0 7 )= 5 . 3 9 1 B 7 1 E + 0 7 .■= 2 5 5 0 7 4 2

> = - 4 . 9 2 1 3 1 6 E + 1 2 ) = - i . 6 2 4 6 2 5 E + l l ) = - 1 . 2 4 8 8 6 6 E + 0 9

> = - 1 2 3 6 9 7 5 )= 1 . 0 6 5 0 8 6 E + 1 0 )= 2 . 0 3 2 6 8 2 E + 1 0 )= 9 . 6 1 6 0 4 1 E + 0 8 )= 1 . 1 6 2 4 E + 0 7

THOSE ARE THE VALUES FOR THE DENOMINATOR OF THE REDUCTED TRANSFEF;-FU NCTIO N 1 R ( 0 ) = 1 7 .8 6 4 4 4

R ( 1 ) = 3 7 .0 8 3 7 7 R ( 2 >= 1 .1 3 5 7

II

|I

pi

pi

II

II

II

II

I

I

I

I

- S 3 '

Γραφικί^ παράσταση της εξόδου'τον:-στοςχεεου Ι,Ι της απλοποιημένη II 2I2i!_I£il2_§“§H^i_5i!if§£ID2DS ϋετα2θ£ά2^

L ·.·...ϋ... .1.. - fc^::::::;:::::::::|~r::·:.

G S is » «315 iSisi CSTi Ϊ3 5

'*“ 2 «■rvil

.Ci3i ! ^ “·ί“ ·« ιώ_ “ ‘ '

i

II

I

|i m w

«

* i i

I

...Π:-::—

Μ

-5-5'

j| Γραφι,κ^ί παράσταση της εξόδου του στοιχείου 1,2 της απλοποιημένης

στον τρίτο βαθμός συνάρτησης μεταφοράς. ,

I Γ

II ί

ϊ I

1 ! !

1 I

1 ^

1 ;

1

II

II

II

A

W

I

i

I

I

I

tJ

II

51

j| Γραφική τιαράσταση της εξόδου του στοιχείου 1,3 της απλοποιημένης μεταφο^ά^.

ί(35ί

ϋΧ

e»jgQ

i£i^. CKB

OvS

II II w II II I

•

I

I

I

Γραφική παράσταση του στοιχείου 1,4 της απλοποιημένης στον Ι£ίΐ2_§2§Β§_2Ηϋί£ΙΠ2Ι12 Ι^ετα20£ά2.

.ρΐΰ

W

ί—

II t

κι in

i

«

)

ο

V V II II II III

« i

i

i

τ

TTH E FADE APPROXIM ATION FOR M U L T IV A R IA B L E SY STEM S THE DIM ENSION PXQ I S 4

THE NUMBER OF S CA LE R I S 5

s ( 0 ) = 6.03 62 49E-05 ORDER OF TH E SC A LE R I S 1 s ( 0 ) = -3.6 6 72 33E+07 ORDER OF TH E S C A L E R I S 2 s ( 0 ) = 1.8 0i a i E +0a o r d e r o f t h e s c a l e r i s 3 s ( 0 ) = -8.8 2 5 5 1l E+08 ORDER OF TH E SC A LE R I S 4

O ) = 4.3 2 27 79E+09 ORDER OF TH E S CA LE R I S 5 s ( 1 ) = 1.35B8 1 3E-08 ORDER OF TH E SC A LE R I S 1 s< 1 ) = 79412.1 ORDER OF TH E S C A L E R I S 2 s ( 1 > = -24 13 24 .4 ORDER OF TH E S C A L E R I S 3 s ( 1 ) = 1182020 ORDER OF TH E S C A L E R I S 4 s ( 1 >= -5789585 ORDER OF TH E S C A L E R I S 5 s ( 2 > = - l .3 8 2 5 1 1E+ 10 ORDER OF TH E S CA LE R I S 1 s ( 2 >= 6.7 9 26 45E+ 1 0 ORDER OF TH E S C A LE R I S 2 s ( 2 > = -3.3 2 71 32E + l l ORDER OF TH E SC A LE R I S 3 s ( 2 >= 1.62 9 6 4 5E+ 1 2 ORDER OF TH E S C A LE R I S 4 s ( 2 > = -7.98 2 0 8 2E+12 ORDER OF TH E SC A LE R I S 5 s ( 3 >= 2.99 3 7 5 7E+07 ORDER OF TH E SC A LE R I S 1 s < 3 > = -9.09 7 6 8 6E+07 ORDER OF TH E SC A LE R I S 2 s ( 3 ) = 4. 4 5 60 96EM-0B ORDER OF TH E S C A LE R I S 3 s ( 3 > = -2.182615E+09 ORDER OF TH E SC A LE R I S 4 s ( 3 ) = 1.06 9 0 5 5E+1 0 ORDER OF THE SC A LE R I S 5 THOSE ARE THE A(K> VA LU ES FOR TH E DENOMINATOR OF H (S> ' A ( 0 >= 4.4 1 1 1 2 7E+09

A ( 1 >= 2. 1S6 6 42E - H0 A < 2 > = 1.3 3 114 9E+09 A ( 3 >= 2.72 6 8 1 1E+08 A( 4 ) = 1.2 1 09 3E+07

THOSE ARE THE M A T R IC E S FOR TH E NUMMERATOR OF H (S>

B i JL· ,..Q -)= .021 4872 B ( 1 ^ 0 ) = -1.3 0 5 4 2 3E+10

2 , 0 >= -4.3 0 9 4 6 3E+0 8 B< 3 , 0 >=-3312731

4 , 0 > = -3 2 81 .1 87 B ( 0 , 1 >= 4.8 3 6 9 6E-06 B ( 1 , 1 >= 2. S2 0S2 8E+07 B ( 2 , 1 >= 5.3 9 1 8 7 1E+07 B ( 3 , 1 >= 2 5 50 74 2 B ( 4 , 1 ) = 3 0 8 3 3. 72 B ( 0 , 2 > = -4.9 2 1 3 1 6E+12 B ( 1, 2 > = -1.6 2 4 6 2 5E + l l B< 2 , 2 ) = -1.2 4 8 8 6 6ΕΗ-09 B ( 3 , 2 >= -1236975 B ( 4 , 2 > = -8 0 7 5 .7 27 B ( 0 , 3 >= 1.0 6 5 6 8 6E+10

B ( 1 , 3 >= 2.0 3 2 6 8 2E+1 0 ^

B ( 2 , 3 >= 9.6 1 6 0 4 1E+0 8 ?

B ( 3 , 3 >= 1.1624E+07 · |

B·: 4 , 3 >= 89 0 9 . 2 7 4 · J

THOSE ARE THE V ALU ES FOR TH E DENOMINATOR OF TH E RED U CTED T R A N S F E R -F U N C T IO N

R ( 0 >= l . ,23 9 1 9 7E+07 ‘ Ϊ

R( 1 ) = 134161.8 R( 2 >= 141744.5 3 >= 28 .02452 R( 4 >= 1

1 Ϊ

1 lS2020s-'-3 - 2 4 1 3 2 4 . 4s'--2 + 7 9 4 1 2 . 1b + 1 . 35(

S--4 + 2Θ, 0 2 4 5 2β·''3 + 1 4 1 7 4 4 . 5s"'-2. + 134161,. S s + 1 . 2 3 9 1 Θ 7 Ε + 0 7

I m .

4 '■'i'lW:

■■I"

·ίί·ϊ>4,ί.,·.|· y.-M

p i l l .

I

Λ

I ^

3

§ ΓΟ V>J

I

T H E N U M B E R OF S C A L E R IS 6

s( 0 )= 1 . 2 3 2 4 3 2 E - 0 5 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 1 s( 0 )— 7 4 8 7 7 5 9 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 2 s( 0 )= U 7 0 1 2 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 3 s( 0 ) = - 1 3 3 4 9 . 2 8 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 4 s( 0 )= 7 3 8 3 7 , 5 6 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 5 s( 0 )— 3 6 1 0 4 8 . 5 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 6 s( 1 )- 2 . 7 7 4 4 2 6 E - 0 9 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 1 5< 1 )= 1 6 2 1 4 . 3 7 O R D E R O F T H E SCAI.ER IS 2 s( 1 > = 3 0 1 3 8 . 5 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 3 s( 1 )= 2 0 . 4 9 6 4 6 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 4 s( 1 > = - 9 7 . 5 1 1 4 8 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 5 s( 1 >= 4 8 3 . 7 7 5 9 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 6 s( 2 > = - 2 . 8 2 2 8 1 l E + 0 9 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 1 s( 2 )= 4 . 4 1 1 4 9 5 E + 0 7 O R D E R O F T H E S C A L E R IS s( 2 > = - 6 9 2 5 0 2 4 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 3 s( 2 >= 2 . 7 7 9 7 9 2 E + 0 7 O R D E R OF T H E S C A L E R IS 4 s( 2 > = - l , 3 6 1 7 1 3 E + 0 a O R D E R OF T H E S C A L E R IS 5 s( 2 >= 6 . 6 6 5 4 9 1 E + 0 B O R D E R O F T H E S C A L E R IS 6 s( 3 >= 6 1 1 2 6 5 5 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 1 s< 3 >= 1 . 1 3 6 1 9 2 E + 0 7 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 2 s( 3 >= 7 7 1 3 . 6 2 5 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 3 s( 3 > = - 3 6 6 9 8 . 5 3 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 4 s( 3 >= 1 8 2 1 7 7 . 1 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 5 5( 3 > = - 8 9 2 2 3 7 . 1 O R D E R O F T H E S C A L E R IS 6

T H O S E A R E T H E A(lO V A L U E S F O R T H E D E N O M I N A T O R O F H'S' A( 0 >= 4 . 4 1 1 1 2 7 E + 0 9

A( 1 >= 2 . 1 8 6 6 4 2 E + 1 0 A< 2 >= 1 . 3 3 1 1 4 9 E + 0 9 A( 3 >= 2 . 7 2 6 3 U E H 0 S A( 4 >= 1 . 2 1 0 9 3 E + 0 7 A( 5 >= 1 4 6 0 3 1 . 2

T H O S E A R E T H E M A T R I C E S F O R T H E NIJ MME R A T O R O F H(S>

B( 0 , 0 >= . 0 2 1 4 8 7 2 B( 1 , 0 > = - 1 . 3 0 5 4 2 3 E + 1 0 B( 2 , 0 > = - 4 . 3 0 9 4 6 3 E + 0 8 B( 3 , 0 > = - 3 3 1 2 7 3 1 B( 4 , 0 > = - 3 2 8 1 . 1 8 7 B( 5 , 0 > = - 2 1 . 4 2 1 5 9 B( 0 , 1 >= 4 . 8 3 6 9 6 E - 0 6 B( 1 , 1 >= 2 . 8 2 6 Θ 2 Β Ε + 0 7 B( 2 , 1 >= 5 . 3 9 1 8 7 1 E + 0 7 B( 3 , 1 >= 2 5 5 0 7 4 2 B( 4 , 1 )= 3 0 8 3 3 . 7 2 B( 5 , 1 >= 2 3 . 6 3 2 6 5

B( 0 , 2 > = - 4 . 9 2 1 3 1 6 E + 1 2 ^

B( 1 , 2 > = - 1 . 6 2 4 6 2 5 E + l 1 B( 2 , 2 > = - 1 . 2 4 8 8 6 6 E + 0 9 B( 3 , 2 > = - 1 2 3 6 9 7 5 Bi 4 , 2 > = - 8 0 7 5 . 7 2 7 B( 5 , 2 >= 0

B( 0 , 3 >= 1 . 0 6 5 6 8 6 E + 1 0 B( 1 , 3 >= 2 . 0 3 2 6 8 2 E + 1 0 B( 2 , 3 )= 9 . 6 1 6 0 4 1 E + 0 8 B( 3 , 3 >= 1 . 1 6 2 4 E + 0 7 B( 4 , 3 >= 8 9 0 9 . 2 7 4 B( 5 , 3 >= 7 9 . 6 6 9 3

T H O S E A R E T H E V A L U E S F O R T H E D E N O M I N A T O R O F T H E R E D U C T E D T R A N S F E R - F U N C T I O N R( 0 >= 2 5 3 0 1 7 3

R( 1 >= 1 . 2 4 1 9 2 7 E + 0 7 R( 2 >= 1 6 3 1 0 3 . 2 R( 3 )= 1 4 1 7 5 0 . 2

R( 4 : 1287

>=

1

I I I I Ϊ II II P P I I I I I

IT

β u t (■ 1

P y & h 1 t (· 11

i h j | i ₁ , i\ 1 k ^{l L} 1 ; f 1 Γ i ii Ϊ i J i f j t H 1 H n fl / ΐ ϋ π :

ti i| ^{/ 1 ,1 ';! 1 !}

-3(l[ ||

j ___ L

έ 9 12 15

- 9 7 . 5 1 :1403···4 + 2ΰ4964ώκ··'··3 + 3 0 1 3 0 , 5 s '"2 + 1 6 2 1 4 , 3 7 s + 2. 7 7 4 4 2 6 E -0 9 ^ '1 ^ S ™ -» ,

II I II I

»

n

I

II D I 1 I 1 f

II

-

6 5

ΣΥΜΠΕΡ^ΜΑΤΑ

Απδ τις γραφικές παραστάσεις των εξδδωυ, τδσο της αρχικής δσο και των απλοποιημένων συναρτήσεων μεταφοράς συμπεραίνουμε πως έχει επι­

τευχθεί ικανοποιητική προσέγγιση στην απλοποίηση τρίτου βαθμόύ,ενώ αντιθέτως υπάρχει σοβαρή απόκλιση στις απλοποιήσεις τετάρτου και πέ­

μπτου βαθμού.

Στη συνέχεια παραθέτουμε τα, λογικά διαγράμματα των προγραμμάτων που μελετήσαμε και κατασκευάσαμε προκειμένου να εξομοιώσουμε την μέθοδο ',ΡΑΒΕ σε υπολογιστή

-8t-

h I ,

U

Tade

GoexH\;5cxta e i ' 6o S o o ^ ε,γο -

δ ο ο .

-8V

t l l i ^

1

1

- S i -

Fc5 i Tocy/ayi:

I

|3>'3lINi v/v/i,(y/2,yv

I

/ 3 lEf\X?LCY) /

rC3l JO 3)F-i

^y>LM

I <?Uv)

;'^(·ίι>ν> 5 ε|

i N t X

i a

I

IG--J

hoX y5LCv)TcyF-l

|q<4w3--C(5)

G ^ G + j .

Λ/εχτ j

NhXT V

■ -sv

Λ ____

f · - ‘ '

! >

Η-(>ίίΛ)ρ..|

1

I

1 1

" I I ^

Γ

■;' :Ι;Μ or Μ ;- λ " ;r y j

I

i oT r ,· ;7o·} i

(ίΛ·.··

> ■ Λ /·,

- i P i -

1 ^{^EXT 1}

Fo1Ur2)F/i

L I W

xa;I

γ- h i

NtXT I

-\c r

fClll'DT-j.-rcci'STtP-i

S--(}

1-001 y-\^i T O '1-1 (ΘΦΦ)

ca C' i .1) *

NEXT 1 ( I yci)-- Cb(t)-s)/qq,j)

^'ίXT I [TlETU'Rlv' loCSpqj) |

ΚΕ

a s - l

poll

-ft, K-1

X J m M

boO- H

KtOoEoS Tkde

3

NEXT X FoU WE=0) TO k t'l

F

Ρ^Φ T

\<-i

/ S

. A v i''i..'k

J ^{■ w}

LCP,Rfi.)^N

/VfXT P

Fo a'W ^ i) TO \^E-l

I L(PiRR)/BC»j I

PRINT cCi..RR^ !

F O R l· I TO K-F

I

NtXT T

5 - Φ

T O L

;S - S-v 1

i Ν'6)<Tt

ici^LCa^.RPQ-3

iC CliRR')= f»cC

jPRiH T C U iR rO

^3—

i o T T ^ m

NEXT 1

„ « 'l. .... ~··τ-··-ί5

φ -i

Kt XTt

i SCRR)~ (i*

i h OR 1 = Φ TC L-1

:5CRR)-SCRR)^att)

NEXT

1 1 1 1

I I

I I I

i?>R!K-T SCRR·^

NEXT L

1 ^{NEXT RR}

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

ΟΗΙϋΔΜΒΑΕΑ,Μ.Ε, 1969,PBOC. JOINT AUTOM.CONTBOL CONP,669.

HOUSEHOLDER,A.S, 1970, THE NUMERICAL TREATMENT OF A SINGLE NON-LINEAR EQUATION (NEW YORZiMC GRAW-HILL)

ROSSEN,R.H, AND LAPIDUS.L, 1972,1.1.CH.E.JL,18,673.

WALL, H.S, I9^Sy ANALYTIC THEORY OF CONTINUED FRACTIONS (NEW YORK: VAN NOSTRAND).