Άρα f v , f % %  v f f f f f f %  % (1 μονάδα) Ώρες διαβάσματος  ,  Κεντρική τιμή xi Αριθμός μαθητών vi Αθροιστική συχνότητα Ni i f % x vi i Σύνολα μονάδες) (2) ΑΡ Α ΡΧ ΧΗ Η 2 2Η ΗΣ Σ Σ ΣΕ ΕΛ Λ ΙΔ Ι ΔΑ ΑΣ Σ ΤΕ Τ ΕΛ ΛΟ ΟΣ Σ 2 2Η ΗΣ Σ ΑΠ Α ΠΟ Ο 5 5 Σ ΣΕ ΕΛ ΛΙ ΙΔ ΔΕ ΕΣ Σ B2

ΤΕ Τ ΕΛ ΛΟ ΟΣ Σ 1 1Η ΗΣ Σ ΑΠ Α ΠΟ Ο 5 5 Σ ΣΕ ΕΛ ΛΙ ΙΔ ΔΕ ΕΣ Σ

ΓΓ΄΄ ΤΤΑΑΞΞΗΗ ΕΕΠΠΑΑΓΓΓΓΕΕΛΛΜΑΜΑΤΤΙΙΚΚΟΟΥΥ ΛΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΟΥΥ

ΚΚΥΥΡΡΙΙΑΑΚΚΗΗ 3300//0044//22001177 -- ΕΕΞΞΕΕΤΤΑΑΖΖΟΟΜΜΕΕΝΝΟΟ ΜΜΑΑΘΘΗΗΜΜΑΑ:: ΜΜΑΑΘΘΗΗΜΜΑΑΤΤΙΙΚΚΑΑ ΙΙ ΣΥΣΥΝΝΟΟΛΛΟΟ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΩΩΝΝ:: ΠΠΕΕΝΝΤΤΕΕ ((55))

ΟΔΟΔΗΗΓΓΙΙΕΕΣΣ ΑΑΥΥΤΤΟΟΔΔΙΙΟΟΡΡΘΘΩΩΣΣΗΗΣΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 65 (10 μονάδες) Α2. Σχολικό βιβλίο σελ. 16 (5 μονάδες)

Α3. i) Λ ii) Λ iii) Λ iv) Σ v) Λ

(5x2 μονάδες)

ΘΕΜΑ Β

B1. Έχουμε

N

₁

 v

₁

 5

και

v

₂

 N

₂

 N

₁

 15 5 10  

.(1 μονάδα) Οι κλάσεις έχουν πλάτος

c  2

και τα κέντρα είναι ₁

5 3

2 4

x   

,

x

₂

 6

,

x

₃

 8

,

4

10

x 

. (1 μονάδα) Οπότε

v

₃

 120 8 :  15

και

v

₄

 50 30   20

.(1 μονάδα) Από τον τύπο _i

v

ⁱ

f  v

βρίσκουμε τις σχετικές συχνότητες. Άρα:

1

1 1

5 0 1 10

50

f v , f % %

 v    

, ₂

10

₂

0 2 20

f  50  ,  f %  %

3 3

15 0 3 30

f  50  ,  f %  %

, ₄

20

₄

0 4 40

f  50  ,  f %  %

(1 μονάδα)

Ώρες διαβάσματος



^,



Κεντρική τιμή

x

i

Αριθμός μαθητών

v

i

Αθροιστική συχνότητα

Ni ⁱ

f % x v

_i



_i

 ^{3 5 ,} 

^{4 5 5 10 20}

 ^{5 7 , }

^{6 10 15 20 60}

 ^{7 9 ,} 

^{8 15 30 30 120}

 ^{9 11 ,} 

^{10 20 50 40 200}

Σύνολα 50 100 400

(3 μονάδες)

ΑΡ Α ΡΧ ΧΗ Η 2 2Η ΗΣ Σ Σ ΣΕ ΕΛ Λ ΙΔ Ι ΔΑ ΑΣ Σ

ΤΕ Τ ΕΛ ΛΟ ΟΣ Σ 2 2Η ΗΣ Σ ΑΠ Α ΠΟ Ο 5 5 Σ ΣΕ ΕΛ ΛΙ ΙΔ ΔΕ ΕΣ Σ

B2.

4

1

400

50 8

i i

i

x v

x v





   

(1 μονάδα) και

R  11 3   8

(1 μονάδα)

Για να υπολογίσουμε την διάμεσο θα κατασκευάσουμε το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων

F%

_i .

Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια. Άρα:

^{2 30 30}  ⁷  ^{40 30 210 40 30 250}

7 20

                  

    8 3 ,

 

(4 μονάδες) B3. i) Έχουμε _i

v

ⁱ

360

  v 

οπότε ₄ ⁴

20

360 360 144 50

v

  v    

(2 μονάδες)

ii) Το πολύ 8 ώρες διαβάζουν όλοι οι μαθητές της πρώτης και δεύτερης κλάσης και αφού οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες γύρω από τις κεντρικές τιμές των κλάσεων, και οι μισοί μαθητές της τρίτης κλάσης για το διάστημα από 7-8 ώρες.

Τελικά το ποσοστό είναι: _{1 2} ³

10 20 15 45

2

f %  f %  f %  %  %  %  %

(2 μονάδες)

ΤΕ Τ ΕΛ ΛΟ ΟΣ Σ 3 3Η ΗΣ Σ ΑΠ Α ΠΟ Ο 5 5 Σ ΣΕ ΕΛ ΛΙ ΙΔ ΔΕ ΕΣ Σ

B4. i)

(2 μονάδες)

4

2

2 1

200

50 4

i i

i

(x x ) v

s v



 

   

άρα s  s

²

 4  2 .

(1 μονάδα)

100 2 100 25 10

8

CV s % % % %

 x    Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

(1 μονάδα) ii)

Ισχύει y

_i

 3 x

_i (1 μονάδα)

άρα από βασική εφαρμογή του σχολικού βιβλίου έχουμε: y  3 x      y 3 7 y 21 και s

_y

  3 s

_x

 3 5  3 5

(3 μονάδες) ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Απαιτώ:

x  0

συνεπώς:

A

f

    ⁰

(2 μονάδες)

  ^{2 2}

₂

^{2 x}

²₂

²

f΄ x x x

   

(3 μονάδες)

  

²



²



²

  

^{2 2}



²



4 4

2 x 2 ΄ x 2 x 2 x ΄ 4 x x 2 x 2 2 x f΄΄ x

x x

        

  

4x

3

  4x

³

4 4 3

4 x 4 x 4

x x x

  

(3 μονάδες) Ώρες

διαβάσματος

 

^,

Κεντρική

τιμή

x

_i

v

ⁱ

x  x

_i

(x  x )

_i ²

(x  x )

_i ²

 v

_i

 ^{3 5 ,} 

^{4 5 4 16 80}

 ^{5 7 ,} 

^{6 10 2 4 40}

 ^{7 9 ,} 

^{8 15 0 0 0}

 ^{9 11 ,} 

^{10 20 -2 4 80}

Σύνολο 50 200

ΑΡ Α ΡΧ ΧΗ Η 4 4Η ΗΣ Σ Σ ΣΕ ΕΛ Λ ΙΔ Ι ΔΑ ΑΣ Σ

ΤΕ Τ ΕΛ ΛΟ ΟΣ Σ 4 4Η ΗΣ Σ ΑΠ Α ΠΟ Ο 5 5 Σ ΣΕ ΕΛ ΛΙ ΙΔ ΔΕ ΕΣ Σ

Γ2.

^{f΄΄ x}   ^{0 4}

₃

^{0 x}

³

^{0 x 0}

  x     

(3 μονάδες)

x  0 

 

f΄΄ x

- +

 

f΄ x

Η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα

 ^{0 , } 

και γνησίως φθίνουσα στο

 ^{ , 0} 

(4 μονάδες) Γ3.

   

^{2 }

⁴

₃

²

²₂

²

^{3 }

^{2 2}

₂²

^{2 2}

₂²

²

2 2

x x x x x

f΄΄ x f΄ x

x x x x







 

       

Γ4. Παρατηρούμε ότι:

  ^{10 2 10 2 20 2 202}

10 10 10

f      

(2 μονάδες) άρα:

     

^{ }

 

²₂

0

3 0

10 202 10 10 10 10 2 10 2 198

10 100

h h

f h f h f

lim lim f΄

h h









     



   

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με

^{f (x)  }  ^x

²

^{ 4 x  3}  ^{  2 x  4}

(1 μονάδα).

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο

x

_o

 4

είναι

  ^{4 2 4 4 8 4 4}

f 

       

(1 μονάδα) και

   

  

2 2

3 3 3

4 3 1 2

4 3

1 2 1 2 1 2 1 2

x x x

x x x

f(x) x x

lim lim lim

x x x x

  

   

 

    

       

    

 

 

3 2 2 3

3 1 1 2 3

1 2

x x

x x x x

lim lim



x



    

 

 

 ¹   ^{1 2} 

3

x x

x

  

 

   

3

1 1 2 8

x

lim x x



     

 

(3 μονάδες)

Δ2. Για κ=8 και λ=4 οι τιμές στα δύο δείγματα γίνονται:

Α: 6 , 5 , 5 , 4 και Β: 3 , 4 , 5 , 4

Οπότε

6 5 5 4 20

4 4 5

x



     

και

3 4 5 4 16

4 4 4

x



     

(2 μονάδες)

ΤΕ Τ ΕΛ ΛΟ ΟΣ Σ 5 5Η ΗΣ Σ ΑΠ Α ΠΟ Ο 5 5 Σ ΣΕ ΕΛ ΛΙ ΙΔ ΔΕ ΕΣ Σ

Α:

4

, 5 , 5 ,

6

και Β:

3

, 4 , 4 ,

5

(2μονάδες)

Οπότε

5 5 10

2 2 5



    

και

4 4 8

2 2 4



    

(2μονάδες)

Δ3. Ο τύπος της διασποράς είναι ⁴

 

²

2 1

i i

x x

s

^



 



άρα

  

²

 

²

 

²



²

2

6 5 5 5 5 5 4 5 1

4 2 0 5

s

_

       ,

  

και

  

²

 

²

 

²



²

2

3 4 4 4 5 4 4 4 1

4 2 0 5

s

_

       ,

  

συνεπώς:

0 5 0 7

s

_

 ,  ,

.και

s

_

 0 5 ,  0 7 ,

. (4 μονάδες)

Τελικά

0 7

100 100 14

5

s ,

CV % % %

x

 



    

και

100 0 7 100 17 5 4

s ,

CV % % , %

x



 

    

. (2 μονάδες)

Αφού είναι

CV

_

 CV

_ το δείγμα Α έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια από το Β. (1 μονάδα) Δ4. Από το Δ3 είναι

  10 5   50

άρα

x  50

και

14

2 7

s  

(2 μονάδες) οπότε από τη καμπύλη συχνοτήτων της κανονικής κατανομής που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι:

οι πόντοι του νικητή είναι 57, (στο ποσοστό 84% αντιστοιχούν οι τιμές

x   s 43

και

x   s 57

άρα επιλέγουμε την μεγαλύτερη αφού αντιστοιχεί στον νικητή) και του ηττημένου 50, (είναι

x  50

).(5 μονάδες)