Άρα f v , f % %  v f f f f f f %  % Ώρες διαβάσματος  ,  Κεντρική τιμή xi Αριθμός μαθητών vi Αθροιστική συχνότητα Ni i f % x vi i Σύνολα ΑΡ Α ΡΧ ΧΗ Η 2 2Η ΗΣ Σ Σ ΣΕ ΕΛ Λ ΙΔ Ι ΔΑ ΑΣ Σ ΤΕ Τ ΕΛ ΛΟ ΟΣ Σ 2 2Η ΗΣ Σ ΑΠ Α ΠΟ Ο 5 5 Σ ΣΕ ΕΛ ΛΙ ΙΔ ΔΕ ΕΣ Σ B2.

ΤΕ Τ ΕΛ ΛΟ ΟΣ Σ 1 1Η ΗΣ Σ ΑΠ Α ΠΟ Ο 5 5 Σ ΣΕ ΕΛ ΛΙ ΙΔ ΔΕ ΕΣ Σ

ΓΓ΄΄ ΤΤΑΑΞΞΗΗ ΕΕΠΠΑΑΓΓΓΓΕΕΛΛΜΜΑΑΤΤΙΙΚΚΟΟΥΥ ΛΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΟΥΥ

ΚΚΥΥΡΡΙΙΑΑΚΚΗΗ 3300//0044//22001177 -- ΕΕΞΞΕΕΤΤΑΑΖΖΟΟΜΜΕΕΝΝΟΟ ΜΜΑΑΘΘΗΗΜΜΑΑ:: ΜΜΑΑΘΘΗΗΜΜΑΑΤΤΙΙΚΚΑΑ ΙΙ ΣΥΣΥΝΝΟΟΛΛΟΟ ΣΣΕΕΛΛΙΙΔΔΩΩΝΝ:: ΠΠΕΕΝΝΤΤΕΕ ((55))

ΑΠΑΠΑΑΝΝΤΤΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 65 Α2. Σχολικό βιβλίο σελ 16

Α3. i) Λ ii) Λ iii) Λ iv) Σ v) Λ

ΘΕΜΑ Β

B1. Έχουμε

N

₁

 v

₁

 5

και

v

₂

 N

₂

 N

₁

 15 5 10  

.

Οι κλάσεις έχουν πλάτος

c  2

και τα κέντρα είναι ₁

5 3 2 4

x   

,

x

₂

 6

,

x

₃

 8

,

4

10

x 

. Οπότε

v

₃

 120 8 :  15

και

v

₄

 50 30   20

. Από τον τύπο _i

v

ⁱ

f  v

βρίσκουμε τις σχετικές συχνότητες. Άρα:

1

1 1

5 0 1 10

50

f v , f % %

 v    

, ₂

10

₂

0 2 20

f  50  ,  f %  %

3 3

15 0 3 30

f  50  ,  f %  %

, ₄

20

₄

0 4 40

f  50  ,  f %  %

Ώρες διαβάσματος



^,



Κεντρική τιμή

x

i

Αριθμός μαθητών

v

i

Αθροιστική συχνότητα

Ni ⁱ

f % x v

_i



_i

 ^{3 5 ,} 

^{4 5 5 10 20}

 ^{5 7 , }

^{6 10 15 20 60}

 ^{7 9 ,} 

^{8 15 30 30 120}

 ^{9 11 ,} 

^{10 20 50 40 200}

Σύνολα 50 100 400

ΑΡ Α ΡΧ ΧΗ Η 2 2Η ΗΣ Σ Σ ΣΕ ΕΛ Λ ΙΔ Ι ΔΑ ΑΣ Σ

ΤΕ Τ ΕΛ ΛΟ ΟΣ Σ 2 2Η ΗΣ Σ ΑΠ Α ΠΟ Ο 5 5 Σ ΣΕ ΕΛ ΛΙ ΙΔ ΔΕ ΕΣ Σ

B2.

4

1

400

50 8

i i

i

x v

x v





   

και

R  11 3   8

Για να υπολογίσουμε την διάμεσο θα κατασκευάσουμε το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων

F%

_i .

Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια. Άρα:

^{2 30 30}  ⁷  ^{40 30 210 40 30 250}

7 20

                  

    8 3 ,

 

B3. i) Έχουμε _i

v

ⁱ

360

  v 

οπότε ₄ ⁴

20

360 360 144 50

v

  v    

ii) Το πολύ 8 ώρες διαβάζουν όλοι οι μαθητές της πρώτης και δεύτερης κλάσης και αφού οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες γύρω από τις κεντρικές τιμές των κλάσεων, και οι μισοί μαθητές της τρίτης κλάσης για το διάστημα από 7-8 ώρες.

Τελικά το ποσοστό είναι: _{1 2} ³

10 20 15 45

2

f %  f %  f %  %  %  %  %

ΤΕ Τ ΕΛ ΛΟ ΟΣ Σ 3 3Η ΗΣ Σ ΑΠ Α ΠΟ Ο 5 5 Σ ΣΕ ΕΛ ΛΙ ΙΔ ΔΕ ΕΣ Σ

B4. i)

4

2

2 1

200

50 4

i i

i

(x x ) v

s v



 

   

άρα s  s

²

 4  2 . 100 2 100 25 10

8

CV s % % % %

 x    Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

ii)

Ισχύει y

_i

 3 x

_i

άρα από βασική εφαρμογή του σχολικού βιβλίου έχουμε: y  3 x      y 3 7 y 21 και s

_y

  3 s

_x

 3 5  3 5

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Απαιτώ:

x  0

συνεπώς:

A

f

    ⁰

  ^{2 2}

₂

^{2 x}

²₂

²

f΄ x x x

   

  

²



²



²

  

^{2 2}



²



4 4

2 x 2 ΄ x 2 x 2 x ΄ 4 x x 2 x 2 2 x f΄΄ x

x x

        

  

4x

3

  4x

³

4 4 3

4 x 4 x 4

x x x

  

Γ2.

^{f΄΄ x}   ^{0 4}

₃

^{0 x}

³

^{0 x 0}

  x     

x  0 

 

f΄΄ x

- +

 

f΄ x Ώρες

διαβάσματος

 

^,

Κεντρική

τιμή

x

_i

v

ⁱ

x  x

_i

(x  x )

_i ²

(x  x )

_i ²

 v

_i

 ^{3 5 ,} 

^{4 5 4 16 80}

 ^{5 7 ,} 

^{6 10 2 4 40}

 ^{7 9 ,} 

^{8 15 0 0 0}

 ^{9 11 ,} 

^{10 20 -2 4 80}

Σύνολο 50 200

ΑΡ Α ΡΧ ΧΗ Η 4 4Η ΗΣ Σ Σ ΣΕ ΕΛ Λ ΙΔ Ι ΔΑ ΑΣ Σ

ΤΕ Τ ΕΛ ΛΟ ΟΣ Σ 4 4Η ΗΣ Σ ΑΠ Α ΠΟ Ο 5 5 Σ ΣΕ ΕΛ ΛΙ ΙΔ ΔΕ ΕΣ Σ

Η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα

 ^{0 , } 

και γνησίως φθίνουσα στο

 ^{ , 0} 

Γ3.

    ⁴

₃

²

²₂

^{2 2 2}

₂²

^{2 2}

₂²

²

2 2

x x x x x

f΄΄ x f΄ x

x x x x

  

       

Γ4. Παρατηρούμε ότι:

  ^{10 2 10 2 20 2 202}

10 10 10

f      

άρα:

       

²2

0 0

10 202 10 10 10 10 2 10 2 198

10 100

h h

f h f h f

lim lim f΄

h h

 

     

   

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με

^{f (x)  }  ^x

²

^{ 4 x  3}  ^{  2 x  4}

^.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο

x

_o

 4

είναι

  ^{4 2 4 4 8 4 4}

f 

       

και

   

  

2 2

3 3 3

4 3 1 2

4 3

1 2 1 2 1 2 1 2

x x x

x x x

f(x) x x

lim lim lim

x x x x

  

   

 

    

       

    

 

 

3 2 2 3

3 1 1 2 3

1 2

x x

x x x x

lim lim



x



    

 

 

 ¹   ^{1 2} 

3

x x

x

  

 

   

3

1 1 2 8

x

lim x x



     

 

Δ2. Για κ=8 και λ=4 οι τιμές στα δύο δείγματα γίνονται:

Α: 6 , 5 , 5 , 4 και Β: 3 , 4 , 5 , 4

Οπότε

6 5 5 4 20

4 4 5

x



  

  

^και

3 4 5 4 16

4 4 4

x



  

  

Διατάσσουμε τα δείγματα σε αύξουσα σειρά μεγέθους και έχουμε Α:

4

, 5 , 5 ,

6

και Β:

3

, 4 , 4 ,

5

Οπότε

5 5 10

2 2 5



    

και

4 4 8

2 2 4



    

Δ3. Ο τύπος της διασποράς είναι ⁴

 

²

2 1

i i

x x

s

^



 



άρα

  

²

 

²

 

²



²

2

6 5 5 5 5 5 4 5 1

4 2 0 5

s

_

       ,

  

και

  

²

 

²

 

²



²

2

3 4 4 4 5 4 4 4 1

4 2 0 5

s

_

       ,

  

συνεπώς:

ΤΕ Τ ΕΛ ΛΟ ΟΣ Σ 5 5Η ΗΣ Σ ΑΠ Α ΠΟ Ο 5 5 Σ ΣΕ ΕΛ ΛΙ ΙΔ ΔΕ ΕΣ Σ

0 5 0 7

s

_

 ,  ,

.και

s

_

 0 5 ,  0 7 ,

.

Τελικά

0 7

100 100 14

5

s ,

CV % % %

x

 



    

και

100 0 7 100 17 5 4

s ,

CV % % , %

x



 

    

.

Αφού είναι

CV

_

 CV

_ το δείγμα Α έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια από το Β.

Δ4. Από το Δ3 είναι

  10 5   50

άρα

x  50

και

14 2 7

s  

οπότε από τη καμπύλη συχνοτήτων της κανονικής κατανομής που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι:

οι πόντοι του νικητή είναι 57, (στο ποσοστό 84% αντιστοιχούν οι τιμές

x   s 43

και

x   s 57

άρα επιλέγουμε την μεγαλύτερη αφού αντιστοιχεί στον νικητή) και του ηττημένου 50, (είναι

x  50

).