Σ Λ δ) Ισχύει 0 0 0 lim ,    x xx x x R. Σ Λ ε) Το 0 lim ( )  x x f x υπάρχει μόνο αν τοx0ανήκει στο Πεδίο Ορισμού της f

(1)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2016-2017

Σελίδα 1 από 2

ΘΕΜΑ Α

Α1. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται: α) Συνεχής σε ένα σημείο x0 του Πεδίου Ορισμού της.

β) Παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του Πεδίου Ορισμού της.

(Μονάδες 8) Α2. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Bolzano. (Μονάδες 7) Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος:

α) Ισχύει



^^x



^'^^^{x x}^, ^^R^. ^Σ ^Λ

β) Ισχύει ^{( )} ' ^{( )} ^{'( )}₂ ^{'( )} ^{( )}

( ) ( )

    

  

 

f x f x g x f x g x

g x g x . Σ Λ

γ) Αν ισχύει f x( )g x( )h x( ) «κοντά» στο x0 και

0 0 0

lim ( ) limh( ) lim ( )

x x f x x x x l ό   x x g x l

      .

Σ Λ δ) Ισχύει

0

0 0

lim ,

  

x xx x x R. Σ Λ

ε) Το

0

lim ( )



x x f x υπάρχει μόνο αν τοx₀ανήκει στο Πεδίο Ορισμού της f. Σ Λ

(Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση

2

( ) , 1

 1 



f x x x

x .

B1. Να δείξετε ότι i)

2 2

'( ) 2

(x 1)

 



x x

f x ii) ''( ) ² ₃

( 1)

  f x

x (Μονάδες 5+5) Β2. Να λυθεί η εξίσωση 2 ( )f x (x1) f '( )x (x1)²f ''( )x  2 (Μονάδες 6) Β3. Να υπολογισθούν τα όρια: i)

0

'( ) '(0) lim



x

f x f

x ii) ₂

0

lim '( )

 2

x

f x

x x (Μονάδες 4+4)

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄Λ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Γ΄Λ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/3/2017

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΠΑΠΑΝΑΓΙΩΤΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

(2)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2016-2017

Σελίδα 2 από 2

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση

2

, 1

( ) 4, 1

2 , 1

   

 

  



x x x

f x x

x x

 



Γ1. Να υπολογίσετε τα όρια: i)

1

lim_ ( )

 x

f x ii)

1

lim_ ( )

 x

f x (Μονάδες 4)

Γ2. Αν f συνεχής στο x0 = 1 να δείξετε ότι: α = 3 και β = 2. (Μονάδες 7) Αν α = 3 και β = 2 :

Γ3. Να υπολογίσετε τα όρια

1

( ) (1) lim^^ 1



x

f x f

x και

1

( ) (1) lim^^ 1



x

f x f

x και να αποδείξετε ότι η f είναι

παραγωγίσιμη στο x0 = 1. (Μονάδες 8)

Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-1,0). (Μονάδες 6)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται πολυώνυμο 3^ου βαθμού για το οποίο ισχύουν: (0)6,'(1)  4, ''(1)6, ''(2) 12

Δ1. Να αποδείξετε ότι (x)x³7x6 (Μονάδες 6) Δ2. Να λύσετε την ανίσωση: (x) '(x) P'' ⁵

6

 P      . (Μονάδες 5)

Δ3. Να υπολογίσετε τα όρια:

i) ₂

1

lim (x)

 1





x x (Μονάδες 5)

ii)

3

'( ) ''(3) '( 3)

lim^ 1 2

 

 

x

P x P P

x (Μονάδες 6)

Δ4. Αν  , διανύσματα με μέτρο 1 και ⁰ ^

 

^{ }^, ^⁹⁰^ να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ^{f x}^{( )}^



^{ }^¹



^x³^^{P x}^{'( ) 2}^ ^x²^²^{ }^⁷ τέμνει τον άξονα xx’ σε ένα τουλάχιστον σημείο με

τετμημένη x0(0,1).

(Μονάδες 8)

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ