Λύνουμε το σύστημα lim ( ) 1 lim ( ) lim ( ) lim ( ) 1 2 lim ( ) 3lim ( ) 4 2 lim ( ) 3 1 lim x x x x x x x x g x f x f x g x f x g x f x f x lim ( ) 1 lim ( ) lim lim ( ) 3 3lim ( ) 4 lim x x x x x x g x f x g x f x f x f x Β2

(1)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2017-2018

Σελίδα 1 από 3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Α1. Φροντιστηριακό Βιβλίο σελίδα 189 Α2. Φροντιστηριακό Βιβλίο σελίδα 227 Α3.

α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ Β

B1. Λύνουμε το σύστημα

 

1 1

1 1 1 1

lim ( ) 1 lim ( ) lim ( ) lim ( ) 1

2 lim ( ) 3lim ( ) 4 2 lim ( ) 3 1 lim ( ) 4

 

   

  

   

 

 

      

x x

x x x x

g x f x

f x g x

f x g x f x f x

1 1 1

lim ( ) 1 lim ( ) lim ( ) 1 ( 1) 2 2 lim ( ) 3 3lim ( ) 4 lim ( ) 1

  

       

 

      

x x x

g x f x g x

f x f x f x

Β2. ₁ ² ₁ ² ₁ ₁



²



¹

1

1 1 lim1

lim ( ) 3 lim ( ) 3 lim lim ( ) 3

( ) ( ) lim ( )



   



 

        

 

 

x

x x x x

x

f x f x f x

g x g x g x



1



²

lim ( ) 3 1 2

   

x f x

2 1 1 5

( 1) 3 2

2 2 2

     

Β3. ²

 

2 2

2 ( 2)

lim 4 lim 2 2 4

2 ( 2)

 

 

    

 

x x

x

x x

Β4.

  

   

2 2

1

1 1 1 1

lim ( ) 1 1 1 1

lim lim lim lim

1 1 ( 1) 1 ( 1) 1



   

    

   

     

x

x x x x

x f x x x x x

x x x x x x

   

1

1 1

1

1 1 lim1 1 1

lim lim

1 1 1 2

( 1) 1 lim 1



 



    

 

  

x

x x

x

x x x x

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄Λ ΠΡΟΕΤ. Γ΄Λ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/12/2017

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΠΑΠΑΝΑΓΙΩΤΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

(2)

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Πρέπει x2 1 0 x2  1 x 2 1 και x   2 1 x3 x1 άρα το πεδίο ορισμού είναι ^{  }



^,1

 

^ ^1,3

 

^ ^3,^



^.

Γ2. Από

2

0 0

3 3

0 2 1

(0) 3 3 3

4 2 3

(2) 1 2 2 1 2 7 1 4

1 1

2 2 1

   

   

 

      

   

     

               

   f

f

 

  

  

 

Γ3. Από f(0)3 το Cf τέμνει τον άξονα yy΄ στο Α(0,3). Τον άξονα xx΄ θα τέμνει η Cf αν δίνει

λύση το σύστημα

2

4 3 2

( ) 0 4 3 0 1 3

2 1

0 0 0

0

  

          

 

  

   

       

x x

y f x x x x x

y x y y

y

 Αδύνατο

γιατί 1, 3 . Άρα Cf δεν τέμνει τον άξονα xx΄

Γ4. α.

2 2 2 2

5 5 5

4 3 4 3 4 3 5 4 5 3 25 20 3

lim lim lim 4

2 1 2 1 3 5 3 2

  

          

    

     

x x x

x x x x x x

x x x .

β. ²

 

1 1 1

1 ( 3)

4 3 1 3

lim ( ) lim lim 2

( 1) ( 1) 1

  

 

  

   

    

x x x

x x

f x x x

γ.

2 2 2

3 3 3 3 3

4 3 4 3 4 3 ( 1)( 3)

lim ( ) lim lim lim lim 3 1 2

2 1 2 1 3 3

    

       

      

     

x x x x x

x x x x x x x x

f x x x x x

ΘΕΜΑ Δ Δ1. To

0

lim ( )



x x f x υπάρχει άρα τα πλευρικά όρια είναι ίσα

0 0

4 2 4 2

lim ( ) lim ( ) 8 9 8 9 0

 

 

       

x x x x

f x f x     απ’όπου α² = -1 (αδύνατη) ή α² = 9 άρα α = 3 ή α = -3. Επειδή α θετικός είναι α = 3.

Δ2. Θέτουμε

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim lim ( ) 0 0

  

         

x x x

g x f x f x x g x f x x g x

x 

(3)

Δ3.

3

3 2

3 2 : 3 3 3

2 2 3

0 0

3 3 3

( ) ( ) ( )

( ) x f ( ) ( )

lim lim

( ) ( ) ( ) ( )

 

 

  

 

  

 

x

x x

x f x x f x x f x

x f x x x f x x x x

x f x f x x x

x x x



 

3 3

0 0 0 0 3

2 2 2 2 2 2

0

0 0 0

( ) (x) ( ) ( ) ( ) ( )

lim lim lim lim

3 1 3 3 27

lim (x) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 13

1 lim lim lim 1

   



  

   

             

  

       

   

       

       

x x x x

x

x x x

f x x f f x f x x f x f x

x x x x x x x x

f f x x f x f x x

x x x x x x

 

Δ4. Είναι f x( ) ²⁰¹⁷  f x( ) ²⁰¹⁷  f x( ) 1

x x

  . Άρα

2017 2017

( )  ( )   ( )  ( )  ( )

f x f x f x f x f x

x x

  . Είναι   0

  και

0 0

lim ( ) 0 lim ( ) 0

    

x f x x f x και ^lim_x_₀^



^{f x}^{( )}



^⁰

Άρα από Κ.Π. και

0

lim ( ) 2017 0

  

x f x

 x