Lez.7 Bipoli equivalenti - Elettrotecnica

Lez.7 Bipoli equivalenti

Equivalenza tra bipoli

Due bipoli si dicono equivalenti se hanno la stessa caratteristica

Due bipoli tra loro equivalenti possono essere sostituiti l’uno all’altro senza modificare la condizione di funzionamento della rete

Quando si incontrano bipoli in serie o parallelo, interessa individuare il bipolo ad essi equivalente, tale da poter essere sostituito senza alterare il funzionamento del resto della rete

Serie di due bipoli

A B C D

1 2

i (t)

i (t)

v (t)

v (t)

2

Vista dai morsetti estremi A e D, la serie è ancora un bipolo:

A D

i (t)

v (t)

S

S S

Qual è la caratteristica del bipolo equivalente alla serie di due bipoli?

Con la convenzione dell’utilizzatore sul bipolo equivalente si ha:

 











S S

v v

v

i i

i

2 1

2 1

Il bipolo equivalente serie ha la stessa corrente dei bipoli 1 e 2 e tensione pari alla somma delle tensioni sui due bipoli

Se le caratteristiche dei bipoli 1 e 2 sono

^v

^{ f}

  ⁱ

^{; v}

^{ f}

  ⁱ

caratteristica

^v

^{ f}

  ⁱ

     

 

s

v v f i f i f i f i

v 











e si ottiene sommando le tensioni a parità di corrente

Serie di due resistori i (t)

R

v (t)

1

1

1

i (t)

R

v (t)

2

2

2

i (t)

R

v (t)

S

S S

 

s

v v R i R i R R i R i

v 













2

1

R

R

R

 

La caratteristica del bipolo equivalente serie è:

v

i

R1 R2 RS

v_s i_s

Serie di più resistori

S S k

S S

k k

k k

s

v R i R i i R i R

v         

k k

k k





s

R

R

Partitore di tensione

Dalle formule precedenti si ricava che la tensione Vs si ripartisce su ciascun resistore secondo le seguenti formule:

i (t) R

v (t)

1

1

1

i (t) R

v (t)

2

2

2

i (t) R

v (t)

S

S S





1 1

1 1

1

R R

v R R

R v i

R i

R

v

S s

s

  









2 2

2 2

2

R R

v R R

R v i

R i

R

v

S s

s

  





Serie di un resistore e un bipolo cortocircuito

i (t) R

v (t)

1

1

1

i (t)

v (t)=0

2

2

v (t)_s

i (t)_s

R

R



Serie di un resistore e un bipolo circuito aperto

i (t) R

v (t)

1

1

1

i (t)=0

v (t)

2

2

v (t)_s

i (t)_s

La serie di un resistore e di un circuito aperto è un circuito aperto

Serie di un resistore e un generatore indipendente di tensione (1) (generatore di tensione reale idealizzato)

i (t) R

v (t)

1

1

1

i (t)

v (t)=E

2

2

+

v (t)_s

i (t)_s

E i

R E

i R v

v

v







 



v

i

v_s i_s

E

Serie di un resistore e un generatore indipendente di tensione (2) Con la convenzione del generatore sul bipolo equivalente si ha:

 















S S

v v

v

i i

i

2 1

2 1

E i

R E

i R v

v

v







  



v

i

v_s i_s

E

Serie di un resistore e un generatore indipendente di corrente

i (t) R

v (t)

1

1

1

i (t)=J

v (t)

2

2

v (t)_s

i (t)_s

J i

i v

J R v

v

v













Il bipolo è ancora un generatore indipendente di corrente J con tensione pari a

v

 R

J  v

Serie di due generatori indipendenti di tensione

i (t)

v (t)=E1

1

1

1

i (t)

v (t)=E2

2

2

+ +

v (t)_s

i (t)_s

E’ un generatore indipendente di tensione:

v

 v

 v

 E

 E

 i

i (t)

v (t)=E1

1

1

1

i (t)

v (t)=E2

2

2

+ +

v (t)_s

i (t)_s

E’ un generatore indipendente di tensione:

v

 v

 v

 E

 E

 i

Serie di un generatore indipendente di tensione e uno di corrente

i (t)

v (t)=E1

1

1

i (t)=J

v (t)

2

2

+ +

v (t)_s

i (t)_s

J i

i v

E v

v

v













Il bipolo è ancora un generatore indipendente di corrente J

Serie di due generatori indipendenti di corrente (J1≠J2)

i (t)=J1

v (t)

1

1

i (t)=J2

v (t)

2

2

Parallelo di due bipoli

A

1

i (t)₁

v (t)₁

B

i (t)₂ 2

v (t)2

Vista dai morsetti estremi A e B, il parallelo è ancora un bipolo:

A B

i (t)

v (t)

p

p p

Qual è la caratteristica del bipolo equivalente al parallelo di due bipoli?

Con la convenzione dell’utilizzatore sul bipolo equivalente si ha:



 











p p

v v

v

i i

i

2 1

2 1

Il bipolo equivalente serie ha la stessa tensione dei bipoli 1 e 2 e corrente pari alla somma delle correnti sui due bipoli

Se le caratteristiche dei bipoli 1 e 2 sono

ⁱ

^{ f}

  ^v

^{; i}

^{ f}

  ^v

caratteristica

ⁱ

^{ f}

  ^v

       

p

i i f v f v f v f v

i 











e si ottiene sommando le correnti a parità di tensione

Parallelo di due resistori i (t)

G

v (t)

1

1

1

i (t)

G

v (t)

2

2

2

i (t)

G

v (t)

p

p p

 

p

p

i i G v G v v G G v G

i 













2

1

G

G

G

 

La resistenza equivalente di due resistori in parallelo si ricava da:

 

 



 

 



 



 











2 1

2 1

2 1

2 2 1

1 2

1

1 1

R R

R v R

R v R

R v R

i v i

i

 

 





 

2 1

2 1

R R

R R

R

è la resistenza equivalente parallelo La caratteristica del bipolo equivalente parallelo è:

v

i

R1 R2

Rp

v_p i_p

Partitore di corrente

Dalle formule precedenti si ricava che la corrente ip si ripartisce su ciascun resistore secondo le seguenti formule:

i (t) G

v (t)

1

1

1

i (t) G

v (t)=

2

2

2

i (t)

v (t)=_p

p

v (t)₁

2 1

2 2

1 1 2

1 1 1

1 1

1

R R

i R G

G i G G

G G i v

G v

G

i

 

 

 





2 1

1 2

1 2 2

1 2 2

2 2

2

R R

i R G

G i G G

G G i v

G v

G

i

 

 

 





Parallelo di un resistore e un cortocircuito

i (t) R

v (t)

1

1

1

i (t)₂ v (t)₂

i (t)

v (t)_p

p

Il parallelo di un resistore e di un cortocircuito è un cortocircuito Parallelo di un resistore e un circuito aperto

i (t) R

v (t)

1

1

1

i (t)=0₂ v (t)₂

i (t)

v (t)_p

p

R₁

R

R



Parallelo di un resistore e un generatore indipendente di tensione

i (t) R

v (t)

1

1

1

i (t)_e + e(t)

i (t)_p

v (t)p ^{p p e}

i

R i e

i i

e

v     

1

Il bipolo è ancora un generatore indipendente di tensione

Parallelo di un resistore e un generatore indipendente di corrente (generatore di corrente reale idealizzato)

i (t) R

v (t)

1

1

1

j (t) v (t)

i (t)_p

v (t)p j

j

R j v

i

i

  



1

v

i

v_p i_p

J

p p

Parallelo di un generatore indipendente di corrente e uno di tensione

i (t)

e (t)

e

j (t) v (t)

i (t)_p

v (t)p j

+

v

 e i

 j  i

 i

E’ un generatore indipendente di tensione

Parallelo di due generatori indipendenti di corrente

j (t)

v (t)

1

j1

j (t) v (t)

i (t)_p

v (t)p 2 j2

i

 j

 j

 v

E’ un generatore indipendente di corrente

Parallelo di due generatori indipendenti di tensione

i (t)

e (t)

e1

i (t) e (t)

i (t)_p

v (t)p 2

+

e2

1

+