Automaty komórkowe - AGH

Czym są automaty komórkowe (AK)?

Trochę historii

Literatura

Każde obliczenie można przedstawić za pomocą siedmiu podstawowych operacji składających się na język Turinga-Posta, który jest w stanie wykonać dowolne możliwe obliczenia.

Twierdzenie G¨ odla

Problem zatrzymania: dla danego programu Turinga-Posta P można za pomocą obliczeń sprawdzić, czy dla niektórych danych w tym programie program P zatrzyma się, jeśli obliczenia programu P rozpoczęto z tymi danymi. Istnieje cała grupa problemów NP-klasy, które można na siebie tłumaczyć (w formalnej definicji problemy mają być wielomianowo redukowalne do siebie) - stanowią one grupę problemów NP-zupełnych (NP-com).

Najprostsza notacja

Elementarne AK

• Legalne AK
• Automaty głosujące
• Klasyfikacja Wolframa
• Diagramy de Bruijna

AK klasy 3 są niestabilne: niewielkie zmiany w początkowej konfiguracji mogą prowadzić do zupełnie różnych czasowych ewolucji sieci - nawet chaotycznych; więc zdecydowanie nie nadają się do przechowywania informacji (i obliczeń). Jeśli jednak najpierw wykonamy N → ∞, zakładając skończony czas obserwacji, możemy zaobserwować zachowanie chaotyczne: niewielka zmiana początkowej konfiguracji sieci prowadzi do zmian kolejnych stanów systemu, które narastają w czasie.

Klasyfikacja na podstawie reguł

Metody średniego pola

• Aktywność AK
• Stabilność rozwiązań równania iteracyjnego
• Równania ewolucji

Pytanie o stabilność punktu stałego jest pytaniem, jeśli punkt xn przyjmuje wartość zbliżoną do mux∗ punktu stałego, to kolejne wyrazy to xn+1,xn+2,xn+3,. Innymi słowy, czy małe odchylenie od ustalonego punktu jest wzmacniane czy osłabiane przez ewolucję w czasie.

Teoria struktury lokalnej

Szybkość rozprzestrzeniania się różnic

Możemy więc być pewni tylko wyniku negatywnego: jeśli jest to nieodwracalne dla konkretnego systemu, to jest nieodwracalne w ogóle.

Rajski ogród

Przykład: Life

Stan ten jest równoznaczny z zastąpieniem takiego kwadratu kwadratem 5×5 z dokładnie jedną żywą komórką centralną w tym sensie, że w następnym kroku oba stany wybranego kwadratu 5×5 dają taki sam końcowy stan całego układu.

Symetria T

Reguła AK jest iniekcyjna w (i+k)-tym składniku (gdzie=−r, .., r) jeśli dla każdego stanu środowiska (xi−r, .., xi+r) reguła jest jedynką -do-jednego mapowania .

Sekwencje aperiodyczne

Zdolność automatów do generowania ciągów aperiodycznych wyraża twierdzenie: Jeżeli reguła jest iniekcyjna w składowej (i+1) i konfiguracja (100) daje „1”, lub jeśli reguła jest iniekcyjna w składowej (i-1 ) a konfiguracja (001) daje „1”, to dla dowolnych skończonych warunków początkowych może istnieć co najwyżej jeden ciąg okresowy. Niektóre automaty nieliniowe mogą „naśladować” AK 90dec, jeśli usuniemy niektóre konfiguracje końcowe ze stanu początkowego.

Zapis odwzorowań na zbiorach skończonych

Co ciekawe, ze względu na przynależność gatunkową matematyk zjadł swój lunch na kolację. 9 nam to ułatwiło – generalnie jednak możemy to traktować jako symboliczny zapis stanów układu, którego komórki siatki mają tylko k=2 stany: „0” i.

Boole’owska odległość wektorowa

Pochodna Boole’a

Kiedy szukamy właściwości charakteryzujących dane odwzorowanie, możemy porównać je z ich średnimi ze wszystkich możliwych odwzorowań. Obliczając średnią długość cyklu granicznego dla każdego z NN odwzorowań, musimy wziąć pod uwagę N możliwych warunków początkowych, więc pełna statystyka to NN+1 przypadków.

Model Kauffmana

Reguły automatu były takie, że lawina uruchamiała się po przekroczeniu pewnego kąta krytycznego → ziarnko piasku przesunęło się wówczas z jednej komórki → co mogło spowodować przekroczenie kąta krytycznego w następnej komórce → itd. W tym sformułowaniu znika również problem zmiany reguł: dla dużego systemu istnieje małe prawdopodobieństwo, że spotkają się dwa ziarna lądujące w tej samej pozycji.

SOC w Life

Kupa piasku bez określonej odległości między ziarnami: sąsiedzi są wybierani losowo spośród wszystkich ziaren na zboczu, niezależnie od ich lokalizacji. Wynik jest nieco kontrowersyjny, ponieważ Life jest uważany za AK klasy IV - warunki wstępne są ważne dla klasyfikacji danej maszyny.

Algorytm

Charakterystyka populacji

Kilka (o‘kay — kilkanaście) przykładów zastosowań

Wpływ parametrów modelu na liczebność populacji

Groźba wyginięcia

The survival-extinction phase diagram for (a) various values ​​of the mutation and birth rates (M, B) and probabilities (B,b) and (b) for average numbers of mutations M mand births Bb per "season" and per individual. The phase diagram survival-extinction at (harmful mutation threshold T)-(minimum reproductive ageR) level for Verhulst's factor which is on all individuals and.

Ciśnienie ewolucyjne

Polowanie/odławianie/wojny

Poza partenogenezę

Dlaczego Natura wynalazła płeć?

Dlaczego kobiety żyją dłużej?

W modelu tylko niewielka część loci jest dominująca, a u kobiet „1” w genomie prawdopodobnie będzie maskowana przez brak drugiego chromosomu X (o ile znajduje się w tym samym „0” loci) . a loci jest recesywne).

Dlaczego wśród niektórych gatunków ssaków pojawia się menopauza u

Wierność czy rozwiązłość?

Czy długowieczność jest dziedziczna?

Współzawodnictwo: ofiara (1) i drapieżnik (2)

Żyjąc w izolacji (nie tylko przestrzennej, ale przede wszystkim genetycznej) na wyspie od ponad 4000 lat populacja oposów wyewoluowała wiek dojrzałości płciowej (Rmin w górę) i liczbę potomstwa (B w dół) w stosunku do grupy osobników tego samego gatunku żyjących na kontynencie.

Dlaczego drzewa żyją dłużej?

Inne próby zastosowania

Chociaż różnice między zależnością liniową i kwadratową B(a) są niewielkie, różnica w prawdopodobieństwie przeżycia S(a) między nimi a zależnością standardową B(a) = B0 jest wyraźnie widoczna. http://home.agh.edu.pl/malarz/dyd/ak/. AK w fizyce magnetyzmu: model Isinga. NaH można postrzegać jako energię oddziaływania spinów z zewnętrznym polem magnetycznym lub bezpośrednio jako pole H.

Metody Monte Carlo

Metody obliczeń

• Schemat Metropolisa
• Dynamika Glaubera
• Kąpiel cieplna

W schemacie Metropolis prawdopodobieństwo zaakceptowania nowej konfiguracji wyraża się wzorem . 11.3) Jednakże, w przeciwieństwie do dynamiki Glauberowskiej, spiny są odwiedzane w losowej kolejności (losowa permutacja etykiet spinów zapewnia, że ​​każdy spin jest odwiedzany dokładnie raz na MCS). Dla każdego spinu i znajdującego się w sąsiedztwie (rozumianego „z nim”) konfiguracji µi, tworzona jest i akceptowana z prawdopodobieństwem nowa konfiguracja ηi wynikająca z odwrócenia i-tego spinu (Si → −Si).

Kilka uwag natury technicznej

Energia spinu w sieciach regularnych jest „kwantowana”: nie ma potrzeby obliczania jej za każdym razem.

Rozprzestrzenianie się uszkodzeń

Ergodyczność

Trajektoria {Si(t)}, która może swobodnie penetrować dodatnie i ujemne obszary namagnesowania powyżej TC, traci tę możliwość poniżej TC. W rzeczywistości tylko czas potrzebny na przejście z jednej części przestrzeni stanów do drugiej wydłuża się poza czas trwania eksperymentu. AK Q2R - ruch powierzchniowy o stałej energii: odwraca spin tylko wtedy, gdy dwóch z jego czterech sąsiadów to ↑ i dwa.

Przykład zastosowania

• Temperatura Curie na sieciach regularnych z dodatkowymi sąsiadami
• Temperatura Curie na sieciach Archimedesa
• Dygresja: Oznaki SOC w antyferromagnetykach J = −1 na sieciach ro-
• Efektywny algorytm obliczania sumy statystycznej

Similar to penetration phenomena, also for IM the dimensionality and coordination number are not sufficient for determining the TC critical point. The choice of a target node, k, is given by a certain probability p(k, i). http://home.agh.edu.pl/malarz/dyd/ak/. http://home.agh.edu.pl/malarz/dyd/ak/ Opowieść 11. do słowiech strukturalnych sieci bezskalowych wrocimy przy okzadi dziksi zagadnień z socjofizyki). Field dependence of (a) the total number of flipped spins s(H)/N in the given field Hand (b) the density of the walls (the number of antiferromagnetic pairs NAFP(H)) normalized to the total number of NP bonds for types of different networks.

Fraction of turns reversed atH=−M and maximum avalanche sizes max/N compared to fraction of turns with degree equal to M for various networks.

Dynamiczny diagram fazowy

Sieć kwadratowa z oddziaływaniem jak w modelu Isinga

• Konstrukcja DDF
• Magnetoelastyczne przejście fazowe w YMn 2

Oczywiście z punktu widzenia nauk społecznych i ekonomicznych należy obawiać się nadmiernego upraszczania napotykanych przez nas skomplikowanych procesów do prostych „mechanicznych”. Grupa społeczna składa się z N osób, z których każda może mieć jeden z dwóch radykalnych poglądów (tak/nie) w kwestii opisanej jako σi=±1. Każdy osobnik charakteryzuje się dwoma parametrami, które określają intensywność interakcji z osobnikami o przeciwnych lub tych samych poglądach.

Jednostki umieszczane są w przestrzeni społecznej z zachowaniem pewnego dystansu między poszczególnymi parami osobników dij: intensywność interakcji jest malejącą funkcją wzajemnego dystansu.

Przejścia fazowe w obecności guru

Z jednej strony wprowadzenie T > Tc może prowadzić do przejścia fazowego klastra/unifikacji (0 < a < R → a = R), ale z drugiej strony może prowadzić do jednorodnej mieszaniny opinii. w społeczeństwie: nie ma klastrów ihσii = 0.

Sieci króla Salomona

Model Sznajdów

Dlaczego w sylwestrową noc nie można się do nikogo dodzwonić

• Scheff Theory of an Emergency Scenario
• Models of a Phone Communication Jam
• Kinds of networks
• The Network Approach

In the former case, their positive self-esteem is improved, which makes interpersonal coordination and social solidarity possible. The selfish strategy is of course in the case of major disasters, where everyone wants to know if the family members or friends are still alive. In the cellular automaton, we use von Neumann neighborhoods of four cells, and the topology is just a plane.

On the contrary, in the case of the Erd˝os–R´enyi network the topology is random with the small-world property.

Sieć Barab´ asiego–Alberta–Isinga

Since this result is obtained in two completely different models, it can be considered confirmed. It is clear that strategy S can only be effective if it is chosen by a minority.

Zastosowanie: przewidywanie wyników wyborów

Histogram liczby głosów

Do której partii i kiedy się zapisać?

MBE = wzrost warstw monokrystalicznych jednego rodzaju materiału na monokrystalicznym podłożu innego materiału, gdy głównym procesem mikroskopowym jest dyfuzja powierzchniowa cząstek poprzedzona ich osadzeniem (tj. gdy resublimacja, odparowanie i desorpcja materiału rosnącej warstwy jest znikoma jest mały).

Charakterystyka powierzchni i dynamiki jej wzrostu

Deterministyczne modele SOS

Model nanoszenie przypadkowego (MNP)

Model Family’ego

Model Wolfa–Villaina

Model Das Sarmy–Tamborenea

Probabilistyczne modele SOS

Model 1

Model 2

Przykłady zastosowania

• Początkowe stadia wzrostu
• Samoafiniczność powierzchni
• Model HPP
• Model FHP
• Gaz siatkowy Boltzmanna
• Inne przykłady zastosowań
• Symulacja przepływów lepkich

Pozornie skomplikowane przepływy płynów, wiry, turbulencje są tylko makroskopową konsekwencją oddziaływania dużej liczby cząstek zgodnie z newtonowskimi równaniami ruchu. Jednak symulacje dynamiki molekularnej dla takiego układu nie są w praktyce obliczalne (107 cząstek przez kilka pikosekund) - a zatem bezużyteczne. Ponadto metody badawcze oparte na technice „kuli bilardowej” są niezwykle czułe na warunki początkowe, które powodują.

W danym węźle może znajdować się dokładnie jedna cząstka o zadanym wektorze prędkości (a więc w węźle może znajdować się maksymalnie sześć cząstek).

Korki

Podstawowy model jednowymiarowy

Model Nagela–Schreckenberga

Model Chowdhuryego–Schadschneidera

Materiały granulowane

Kwantowy motyl pogodowy (Papilio tempestae) jest dość powszechnym żółtym kolorem, chociaż wzory Mandelbrota na skrzydłach powinny być interesujące.

Pożary lasów

Klasyczne podejście bazujące na technice AK

Czy pożary lasów da się przewidzieć?

• Perkolacja, czyli naukowe spojrzenie na proces parzenia kawy
• Średniopolowe podejście do problemów pożarów lasów oparte na

Dodatkowo wykresy te można nałożyć na siebie odpowiednio skalując osie, czyli umiejętnie dobierając wykładniki x i 3. Wykładniki krytyczne β, ν, γ są uniwersalne – nie zależą od szczegółów sieci (kwadratowej lub trójkątnej) ani rodzaju perkolacji (węzły lub wiązania) i przyjętego środowiska, a jedynie od wymiaru przestrzeni. Te dwa węzły mają już przypisane etykiety, a badany węzeł staje się częścią jednego z już istniejących klastrów.

Odwzorowanie pn → pn+1 dla każdego p uzyskuje się przez uśrednienie ponad stu niezależnych realizacji sieci (tj. losowego rozmieszczenia drzew na niej).

Modele epidemii

SIR = Susceptible, Infected, Recovered (Removed)

• Podejście analityczne

SIS = Susceptible, Infected, Susceptible

• Podejście analityczne

Fraktale

Wymiar fraktalny

Skalowanie i podobieństwo

Podobne właściwości wykazuje wiele obiektów w przyrodzie (np. morskie (ale też lądowe) granice państw): liczba kwadratów o boku δ potrzebna do pokrycia linii brzegowej N(δ) =aδ−df (np. dla wybrzeża Norwegiidf = 1,52). Samopowinowactwo - gdy dla różnych wielkości (długości) charakteryzujących zbiór wymagane są różne współczynniki skalowania (mówiliśmy o tym przy modelowaniu przyrostu warstwy). Niektóre mikroskopijne procesy mogą zachodzić tylko w określonych miejscach – dynamika procesu dyfuzji powierzchniowej musi być zatem brana pod uwagę przy badaniu kinetyki reakcji.

Główną trudnością w opisie kinetyki procesów powierzchniowych jest silna zależność współczynników przedwykładniczych ωi oraz energii aktywacji różnych procesów Ei od najbliższego otoczenia cząsteczek na powierzchni katalizatora.

Symulacja kinetyki procesu desorpcji termicznej z powierzchni ciała stałego

Wyniki symulacji dla powierzchni SiO 2 /Si(110) z zaadsorbowanym potasem167

Ci - brak reprezentacji fizycznej: może być warunkowo zajęty przez atom tlenu (C→0 lub C→B w zależności od tego czy któraś z sąsiednich komórek jest w stanie 0 i może przyjąć inny atom tlenu pochodzący z dysocjacji O2 jedna cząsteczka). Symulacja trwa do momentu, gdy średnie pokrycie powierzchni katalizatora cząsteczkami tlenku węgla i atomami tlenu będzie stałe w czasie.

Podsumowanie

Elektroforeza

Model reptonowy

• Zastosowanie modelu do opisu elektroforezy
• Obliczenia analityczne (dla E = 0)
• Symulacja komputerowa — zastosowanie metod Monte Carlo
• Przypadek bez pola
• Przypadek z polem
• Ulepszanie algorytmu
• Dalsze poprawki
• Wyniki
• Symulacja dla E = 0
• Symulacja dla E 6= 0
• Różne koncentracje żelu
• Model reptonowy jako model cząstkowy
• Model
• Wyniki symulacji
• Model
• Wyniki symulacji

Prawdopodobieństwa ruchu w górę i w dół nie są już równe (ruch w górę o exp(E/2) bardziej prawdopodobny niż w przypadku braku pola, ruch w dół o exp(-E/2) mniej prawdopodobny). Zależność między prawdopodobieństwami wzrostów i spadków będzie poprawnie rozpatrywana, jeśli ruch w górę jest zawsze akceptowany, podczas gdy ruch w dół jest akceptowany z prawdopodobieństwem exp(−E). Zamiast odrzucać te ruchy, możemy alternatywnie napisać algorytm tak, aby ruchy w górę i w dół były losowane z odpowiednimi prawdopodobieństwami (oznaczonymi odpowiednio 1−α i α) i wybrać je tak, aby ich stosunek był równy exp(E).

Na ogół jednak jednostka we współczesnym społeczeństwie nie jest samowystarczalna i musi korzystać z efektów działalności innych jednostek zbiorowości.

Książe i żebrak, czyli modelowanie hierarchii społecznych

Model

As a result of the fight, the strength hi of the winner increases by ε, and that of the defeated decreases by ε.

Wyniki symulacji

We note that the obtained values ​​of σ are stable against time, because the power distribution of agent hi stabilizes after a transient time. Dependence of the critical value of the forgetting parameter fC on the system size N for Nf = 50000. Different values ​​of Nf do not change this result, but shift the critical value fC.

When the system is large enough (N = 500), the critical point fC for a given number of collisions Nf depends on the initial conditions.