PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI - Zadania.info

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦– NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

P ^RÓBNY E ^GZAMIN M ^ATURALNY

Z M ^ATEMATYKI

Z ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

ZADANIA

.

POZIOM ROZSZERZONY

20MARCA2021

C

: 180

1

Z

1

WielomianWokre´slony wzoremW(x) = x²⁰²¹+3x²⁰²⁰+2x−⁶

A) jest podzielny przez(x−¹)i z dzielenia przez(x+1)daje reszt˛e równ ˛a−^6.

B) jest podzielny przez(x+1)i z dzielenia przez(x−¹)daje reszt˛e równ ˛a−^6.

C) jest podzielny przez(x−¹)i jest podzielny przez(x+1). D) nie jest podzielny ani przez(x−¹), ani przez (x+1).

Z

2

Liczba log^√₂12 jest równa A) _log¹_√

34 B) _2+log²_√

34 C) _log⁴_√

32 D) 4+_log⁸_√

34

Z

3

Proste y = m₁ i y = m₂, gdzie m₁ 6= m₂ s ˛a styczne do wykresu funkcji f(x) = x³−^5x2+ 6x−7 w punktach A= (x₁,y₁)iB = (x₂,y₂). Zatem

A)x₁x₂ =2 B)x₁+x₂ =−¹⁰₃ ^C)x1x₂ =6 D)x₁+x₂ =10

Z

4

Liczba x jest sum ˛a wszystkich wyrazów niesko ´nczonego ci ˛agu geometrycznego o pierw- szym wyrazie równym 1 i ilorazie ₂√¹

5. Liczba y jest sum ˛a wszystkich wyrazów niesko ´n- czonego ci ˛agu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie

−₂^√1₅^{. Wynika} st ˛ad, ˙ze liczbax+yjest równa

A) ⁴₁₉^√5 B) ⁴⁰₁₉ C) ²₁₉^√5 D) ¹⁰₁₉

2

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦– NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

5

W trójk ˛acie ABC długo´s´c bokuCBstanowi ⁴₃ długo´sci boku AC, a k ˛at B ACma miar˛e 135^◦. Oblicz cosinus k ˛ataABC.

3

O zdarzeniach Ai Bwiadomo, ˙ze P(^B) = 0, 6; P(^A′∪^B) = 0, 75; P(^A\^B′) = 0, 25. Oblicz prawdopodobie ´nstwo zdarzeniaA∪^B.

4

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦– NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

7

Udowodnij, ˙ze dla dowolnych ró ˙znych liczb rzeczywistychx,yprawdziwa jest nierówno´s´c x⁴−^8xy+_4y²+₄>_0.

5

Cztery liczby tworz ˛a ci ˛ag geometryczny, przy czym suma pierwszej i czwartej jest równa 52, a iloczyn drugiej i trzeciej jest równy−108. Wyznacz te liczby.

6

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦– NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

9

Rozwi ˛a ˙z równanie 10 sin²x−3 cos 2x=^{24 cosx}−3 dlax∈ h0, 2πi.

7

Reszty z dzielenia wielomianuW(x) = x⁴−px²−^4x+qprzez dwumiany(1−^2x)i(3x−¹) s ˛a odpowiednio równe −₁₆^{9 i 10}₈₁. Oblicz reszt˛e z dzielenia wielomianu W przez dwumian (3−^2x).

8

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦– NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

11

Oblicz, ile jest dwunastocyfrowych liczb naturalnych, których suma cyfr jest równa 8 i jed- nocze´snie w ich zapisie nie wyst˛epuj ˛a cyfry 1 i 4.

9

Na bokach trójk ˛ataABCzbudowano kwadraty ABKL, BC MNiC AOP(zobacz rysunek).

A C B

L N

K M

P

O

K ˛atyB ACi ABCs ˛a ostre oraz suma ich tangensów jest równa ⁵₂. Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli pole kwa- dratu ABKLjest pi˛e´c razy wi˛eksze od pola trójk ˛ata ABC, to suma pól kwadratów BC MN i C AOPte ˙z jest pi˛e´c razy wi˛eksza od pola trójk ˛ata ABC.

10

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦– NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

11

Podstaw ˛a ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przek ˛atna AC tego trapezu ma długo´s´c 4√

6, jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłu ˙zsz ˛a podstaw ˛aAB tego trapezu k ˛at o mierze 30^◦. Ka ˙zda kraw˛ed´z boczna tego ostrosłupa ma t˛e sam ˛a długo´s´c 9. Oblicz odległo´s´c spodka wysoko´sci tego ostrosłupa od jego kraw˛edzi bocznejSD.

12

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦– NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

14

Dany jest równoległobok, którego boki zawieraj ˛a si˛e w prostych o równaniach:y= ¹_2x+_m, y = ¹

2x+_2m,y =−^x−^1,y=−^x+_m−^{3, gdziem}6=_{0 im}6=2. Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których iloczyn długo´sci dwóch wysoko´sci tego równoległoboku, które nie s ˛a równoległe, jest równy ^√₁₅¹⁰.

13

14

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦– NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

15

Firma logistyczna planuje produkcj˛e pojemników w kształcie graniastosłupa prostego o ob- j˛eto´sci 3 m³ i podstawie b˛ed ˛acej prostok ˛atem, w którym jeden z boków jest 4 razy dłu ˙zszy od drugiego. Koszt materiału potrzebnego do produkcji ´scian bocznych tego pojemnika wy- nosi 40 zł za m², a koszt materiału potrzebnego do produkcji jego górnej i dolnej podstawy wynosi 60 zł za m². Oblicz jakie powinny by´c wymiary tego pojemnika, aby koszt jego pro- dukcji był najmniejszy mo ˙zliwy.

15

16