BREVIAR TEORETIC. EXERCITII Sl PROBLEME PRoPUSE $l REZOLVATE. TESTE DE EVALUARE.

(1)

PETRE SIMION VICTOR NICOLAE

MATEMATICA

clasa a lX-a

BREVIAR TEORETIC. EXERCITII Sl ^PROBLEME PRoPUSE $l REZOLVATE. TESTE DE EVALUARE.

rESTE SUMATIVE

I filiera teoretici r profilul real

r specializarea gtiinte ale naturii

r filiera tehnologicl

Consultant:

Prof. untv,

dr.mat.em.

^OC1AV,AN

SfAnA$ A

NICUTESCU

(2)

CUPRINS

Algebrtr

Capitolul

I.

Mul1imi _Eielemente de logicd

matematicd """""""

⁸

1. Numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui numlr ^real.

Operalii cu numere reale. Operafii cu numere reale

reprezentate prin

litere """""""

⁸

2. Oplralii cu intervale ^denumere reale. Aproximlri ^prin

lipsl

sau prin adaos, partea intreagd _{$i partea}fracfionar[

aunuinumfure-a1...,. """"

¹⁴

3. Propozifii logice, operafii ^cupropozifii, predicatg

cuantificatorul exiitenlial ^qiuniversal

"""""""' """""

²¹

4.Relafiigiopera|iicumu$imicorelatecuelementedelogicl.

Probleme de

numlrare """""'

²⁸

5. Metoda induc{iei

matematice. """""-"" """"""""""'"

³¹

Capirolut

II. Funclii... """"""""""

³⁶

l.Nofiuneadegir;modalit{ideadefiniunSir;girurimlrginite'

giruri

monotone...'.. """"

³⁶

2. Tipuri ^degiruri: progresii aritmetice, progresii geometrice"

""""""

⁴³

3. Reper cartezian. Drepte in ^plan^de^formax ₌m

liy

= ^m,^nz

e

^IR'

Reprezentare

grafic[..'.... """"

⁵²

4. Defini1ie,

modalit{i

^de^a^descrie^o^funclie.^Graficu.l

unei funcfii. ^Imaginea^qipreimaginea unei mulfimi prinr-o funcfie.' Egalitate4 a doul

t r4ii,

^resuiclii^ale^uneifunctii,lTm4

grafice"';"""

56 5. Func{ii numerice. Propriet[fi ^alefuncfiilor numerice introduse

prin iecturi grafice, paritate, imparitate, ^simetrie" - " "' _:" " " " " " " "

"'

⁶³

6. Periodicitatea ^gimonotonia funcfiilor. Rezolviri ^grafice^de^ecuatii9i

inecuafii de formafl'r) ₌_8@)'

((' )' ('

2)' Funcfii

mlrginite"""""

⁶⁸

7. Compunerea

func1iilor....'..."""' """""""'

⁷³

8. Funcf,a de gradul intai. Definifie, intersectia graficului cu axele de coordonate, reprezentarea grafic[ a

funcfieif

^IR^-+^IR,

flx) = ^ax+ b, a, b

e R""" """"

⁷⁹

f.

ivlonotonia ^qi^semnulfuncfiei ^de^gradulintdi. Inecuafii ^deforma ax +

b<

⁰^(>,^<,

>)...'... """'

⁸⁵

10. Pozifia relativl a doul drepte. sisteme de ecua,tii liniare cu dou6 ngcunoscute.$i sisteme de inecuafii liniare ^cu^onecunoscuta... ⁸⁹ 11. Funclia ^degradul al

doilea... """"""""""

⁹⁵

. ^12.^Relafiile

luividte;

tezolvareasistemelor

simetrice ""'

¹⁰²

13. Interpretarea geometrici âpropriet[filor âlgebriceâlefuncfiei

de giadul al doilea.

Monotonia """"""""

¹⁰⁹

14. Poiiyarelativ[ ^aunei drepte fa!5 ^{de o}parabol[;

prritlurelativl

^adoui ^parabole;

sisteme """""""""'

¹¹⁶

(3)

Geometrie

Capitolul

I.

Calcul vectorial...

l.

segmente orientate, vectori legafi, vectori. Adunarea vectorilor...

2. Inmu[irea vectorilor cu scalari. Vectori coliniari...

3. Descompunerea unui vector dupr doi vectori rtecoliniari gi nenuli.

Descompunerea unui vector intr-un reper cartezian.

Versorul unui vector

4. Teoremele lui Thales, Menelaus, Ceva, Sylvester gi a bisectoarei ...

Capitolul

II.

Elemente de trigonometrie ...

1. unghiuri qi arce. Rapoarte constante in triunghiul dreptunghic (sin, _cos,tg, ctg)...

2. Definirea funcfiilor trigonometrice. semnul gi monotonia 1or...

3. Paritate, periodicitate. Reducerea la primul cadran. Funcfiile trigonometrice _{ale sumei}sau diferenlei de unghiuri...

4. Formule nigonomerice ale arcului dublu gi ale jum66tii _dearc...

5. Formule penfru fansformarea sumelor gi diferenfelorin produse...

6. Produsul scalar a doi vectori. Teorema cosinusului.

condilii

de perpendicularitate

...

Capitolul

III.

Aplicalii ale trigonometriei _Siale produsului scalar a doi vectori tn geometria p\and...

1. Aplicafii vectoriale gi trigonometrice in geometrie ...

2. Rezolvarea triunghiului dreptunghic gi _atriunghiului oarecare...

Teste sumative Teste 1-10

t24

124 131

137

r44

150 150 156 162 169

lt3

178

185 185 190

197

(4)

Capitolul

I

MULTIMI $I ^ELEMENTE

DE LOGICA MATEMATIGA

1. Numere reale, ordonarea numerelor reate, modulul

unui numir real. operafii cu numere reale. operalii

cu numere reale reprezentate prin litere

IMPORTANT!

INczc@clR

(se noteazr IR\ ^(Dmurlimea numerelor irafionale!)

o _intredoul numere reale diferite

x

^<

y

existr cel pufin un num6r ra[ional

r

qi cel pufin _unnumir irafional cr,:

r

^<

, <y $i*. ^o..y;

o

oricare ar

fi

numerele reale

x

^>0 ^gi

y,

existI

*

o.r,ne, natural

n

astfel ca rN> y (axioma lui Arhimede);

o modulul

I x

I

^alunui numir x se defineqte astfel:

I ^x, ^x>o l.l=]

^o,

^x=o

[-x, ^x<o

Proprietifile

modulului

1)lrl>o,vxerR.

:) lrl)x, ^Vx

^e^IR.

s)ll,l-l /l<l+y1 =l,ll/1,

^v

^x,ye

^R.

-. lrl ^lxl

,r l;l=irj ^{, v} ^xe

^IR,

^vy

^e

IR-.

⁸⁾

_l,l=lyl ex=y sau.r:_/.

Fie

a>

0. Atunci:

9)

l4=rex=a

^sau

^x=-a

^.

10)

lxl=oo ^xef-a,al.

1 1) _{| "x}l> ^a

a xe

(-co,-al

u

_[a,co).

sau t,t={_i; _]==l *, l.rl=max(x,-x).

z)l*l' _{=x2, Vx€R.}

4) lxl=l-rl, vx

^e^IR.

Olryl=lrl'l yl,v x,ye

R.

(5)

Iumere reale, orclonare, modulul unui numir ^real.Operalii cu numere

reale

9 Modele

pentru

rczolvarea

problemelor

gi redactarea

soluliilor

''

1

+E-- E;E ^- ^Ji ^* ^Jl ' _Jzon

₊_J2o2s^'

Solulie:

Prin amplificarea fiecflrui ^termencu,,conjugatul" numitorului oblinem:

I

-.6

_T-T-

^,6-,6 ^Ji -Jl ^J2on ^-J2o2s _-

-2 -2 -2 ^-2

=

-1 2\

^.^(,

-..6 ^*

^..6

-.6 ^*

^.,6

^- ^{J1 *}

^...⁺

^{Jzon -} ^J ^rrr,r,)

⁼

i'

⁰

^-

^4s)⁼

=-L.(-4,4,\=zz.

2t

^/

2. Demonstrafi

c[

ôricarêâr^fr^x,^{y, z e}^{IR are}^locinegalitatea:

ll+ly-sl l -Zx+y+zl ^+l x+5v-al >s.

Solulie:

gtim

c[ lrl

>*,oricare

x frx

elR 9i l.x

I :

_I

_-

xl ^.

Astfeloblinem:' ll*+ ^+y- 5l>:x + 4y-5;.1-2x+y+21 >-Zx+y+2;

lx+5y'-81 :l- x-5y+81 >-x*5Y+8.

Prin adunarea relaliilor oblinem:

lz*+ +y-

^5l⁺^I

-2, ^+y+zl

⁺^I^x^+5y

-sl

> (3r + 4v -5) +

(-

2x ⁺v +2) +

+(-x-5Y+8):5._

3. Demonstralicdt

lx+ZJ,-i ⁺ Jr* ^2Jx-1

^e^IN.,

oricarearfrx e ll,2)

,[

_*

- z.!-* _- t

= ^.1G

+ffi; ^=''[,fl ^-

^1)'⁼

_[G' ^-

¹^[⁼

^-G ^-

^r⁺

^r'

Asadar:

J,-t+ ^I - JiJ+ ^1:2

^e^IN.

Exercilii gi probleme pentru fixarea cunogtintelor

1. SE se calculeze:

a)

I -

²⁺³

- ⁴⁺

^...²⁰¹⁵

-

²⁰¹⁶^{+ 2017;}

( t I I 1 \ ^(zooa 2oo7 ^2ot9\

' [r* ^*

^zoos

^* ^nog* ^"'* zo:,n)[r ^*

^zoos

^* "'* _zon);

(t 2 5 ^+\

c)l-:+- '\12 ₂₄ --:-.rl:(-4); ₁₆ _s)

Solulie:

(6)

:t0

^MuUml9i elomente de loolcl matema$ct

,[..*)'(+)

2. Calculafi:

il 3J1-Ja+sJz+3J6;

u; -26+(<.6)-(+"6);

c)

zJl _-sJ3 +oJJ.

3. Calculafi:

a)

Jl +tf,- zJi+

o,s +

(-f) -|;

u; (-2.6+ tJs).zJi;

.l _"6(+G

:z"l-t

-

^Ja

+rJr).

4. Fie numerere: a

=lrrJo,zs -*.+ei

^b⁼

r,4.]3-*..#

Arltari ce _Ia

l-

^|^bI ^este^{un numtrr}inreg.

s. Fie numerelea=2,1-5

-zJI $ b=JE +JB

^.

Calculafi: o

*

b, a

-

^b,^ab,2(a⁺^g)

-

^46.

6. Calculafi media aritmetic[ gi media geometricd a numerelor

a=2,11-1,9i D=2Jf+1.

7.

sr

se arate

ctr,

₌

[rn ^- * ^. _(*l' ^.

lf ^-{]t,

⁺

^JI)

ê,t"ûn^numtrrînreg.

8. Determinafi x din egalitatea:

3ffi

⁼

^t6e*'

^.

e. carcurafi:

") ("6[' (..6-Jl)=' ; ^b) #-.r(O)-'.

10. Comparafi numerele:

a)..6u,#; b)+*#;

^c)

#r,i.h

ll.

Arrtati

'

cd a

=z''ls-j. -zJ Js J3s

^s

^- Jl +3. Ji u.

(7)

Numere reale, OrtlOnare, moclulul unui numir ^real.Operatii cu numere

reale

¹¹

12.calculati( 14 * t-),+.

' [2-./ll ^4+{11/

^./11

13. Afla1i x din egalitate

^ + =#

14. Calculafi: a)

(x-l)(x2 ^+3x+9); ^b) (x-r)(x+4);

^c)

^(x-r)(x2 ^+x+1)'

15. calculafi,

.) (ffi ^- ^rEF)' ^;

^u)

^JoG.Jg*f ^Jg-Ji.

16. Calculafi: a)

(O

⁺

JI

⁺

^r)' ;b) ("R *',D -.6)'

^.

17.

Stabiliti ' au"e(t"\' \ ;) -lT) ⁽ ^x-a\' =*'Pentruorice aelR' xelR'

I 8. Simplificafi raPoartele ^:

"3

-l

^x3

-2x .

^5x2^+5x

a) x'+x- +x _t

_,

*;

^b)

7:G +4;

^c)

Til6[,3x'

19. Rezolvafi ecuafiile:

allzx-rl--t' ^b)

l3x+

zl=12-xl;

^c)

lx-ll+lx-sl=t.

20.Rezolvafiinecua{iile: a)

lzx-tl<Z ; $ lzx-rl<l:x+zl'

21. Pentru a > 0 _{9i b}< 0, s[ se arate

"e f,+L<-Z

^.

:'t

Exercifii gi probleme pentru aprofundarea cunogtinlelor

1. Efectuafi:

.x23x+l

al

-T-

*' zx+l'Zx-l ^4x2-l'

2. Simplificafi rapoartele:

. x'+6x+9-v2

^.

. ^x'+ ^x'-9x-9 a) ,**'rr*y I o);n+4x'.37;

a

x+l x ^2x2+x

u, _T-_---;-

-'x-2 x+3 x'+x-6

3. Descompunefi ln factori:

a) 3x2(r-s)+(s-x)'(x'+1); ^b) (2x+l)'z-(2x+1)(x-3)+(2r+1)'ax'

4. Descompunefi in factori:

u)

(*'+sx)(x' +sx-2)4; ^b)

(x'z+zx+t)(x'1

+2x+7)+9

_'

5. Fie a e Z. Demonstaf c[ numtrrul a(a +

l)(a

+2) (a + 3)

+t

este

pitat

^perfect.

6. Calculafi media geometricl a numerelor:

BREVIAR TEORETIC. EXERCITII Sl PROBLEME PRoPUSE $l REZOLVATE. TESTE DE EVALUARE.

PETRE SIMION VICTOR NICOLAE

MATEMATICA

clasa a lX-a

BREVIAR TEORETIC. EXERCITII Sl PROBLEME PRoPUSE $l REZOLVATE. TESTE DE EVALUARE.

rESTE SUMATIVE

I filiera teoretici r profilul real

r specializarea gtiinte ale naturii

r filiera tehnologicl

dr.mat.em.

SfAnA$ A

CUPRINS

Algebrtr

I.

matematicd """""""

litere """""""

lipsl

aunuinumfure-a1...,. """"

"""""""' """""

numlrare """""'

matematice. """""-"" """"""""""'"

II. Funclii... """"""""""

l.Nofiuneadegir;modalit{ideadefiniunSir;girurimlrginite'

monotone...'.. """"

""""""

liy

e

grafic[..'.... """"

modalit{i

t r4ii,

grafice"';"""

"'

((' )' ('

mlrginite"""""

func1iilor....'..."""' """""""'

funcfieif

e R""" """"

f.

b<

>)...'... """'

doilea... """"""""""

luividte;

simetrice ""'

Monotonia """"""""

prritlurelativl

sisteme """""""""'

I.

l.

II.

condilii

...

III.

t24

lt3

Capitolul

MULTIMI $I ELEMENTE

DE LOGICA MATEMATIGA

1. Numere reale, ordonarea numerelor reate, modulul

unui numir real. operafii cu numere reale. operalii

cu numere reale reprezentate prin litere

INczc@clR

x

y

r

r

, <y $i*. o..y;

o

fi

x

y,

*

n

I

I x, x>o l.l=]

x=o

[-x, x<o

Proprietifile

1)lrl>o,vxerR.

:) lrl)x, Vx

s)ll,l-l /l<l*+y1 =l,l*l/1,

BREVIAR TEORETIC. EXERCITII Sl ^PROBLEME PRoPUSE $l REZOLVATE. TESTE DE EVALUARE.

MULTIMI $I ^ELEMENTE

, <y $i*. ^o..y;

I ^x, ^x>o l.l=]

^x=o

[-x, ^x<o

:) lrl)x, ^Vx

s)ll,l-l /l<l+y1 =l,ll/1,

^x,ye

-. lrl ^lxl

,r l;l=irj ^{, v} ^xe

^vy

_l,l=lyl ex=y sau.r:_/.

^x=-a

lxl=oo ^xef-a,al.

sau t,t={_i; _]==l *, l.rl=max(x,-x).

z)l*l' _{=x2, Vx€R.}

+E-- E;E ^- ^Ji ^* ^Jl ' _Jzon

^,6-,6 ^Ji -Jl ^J2on ^-J2o2s _-

-2 -2 -2 ^-2

-..6 ^*

-.6 ^*

^- ^{J1 *}

^{Jzon -} ^J ^rrr,r,)

^-

ll+ly-sl l -Zx+y+zl ^+l x+5v-al >s.

_-

Astfeloblinem:' ll*+ ^+y- 5l>:x + 4y-5;.1-2x+y+21 >-Zx+y+2;

-2, ^+y+zl

lx+ZJ,-i ⁺ Jr* ^2Jx-1

- z.!-* _- t

+ffi; ^=''[,fl ^-

_[G' ^-

^-G ^-

^r'

J,-t+ ^I - JiJ+ ^1:2

- ⁴⁺

( t I I 1 \ ^(zooa 2oo7 ^2ot9\

' [r* ^*

^* ^nog* ^"'* zo:,n)[r ^*

^* "'* _zon);

(t 2 5 ^+\

c)l-:+- '\12 ₂₄ --:-.rl:(-4); ₁₆ _s)

,[..*)'(+)