Curs 3 - Agenda

Curs 3 - Agenda

† recursie

† arbori binari

† aplicatie: reprezentarea expresiilor ca arbori

† coada cu prioritati si max-heap

† colectii de multimi disjuncte si “union-find”

Subprograme recursive

† subprogramul f() apeleaza direct

subprogramul g() daca blocul care defineste f() include un apel al lui g()

† subprogramul f() apeleaza indirect

subprogramul g() daca f() apeleaza direct un subprogram h() si h() apeleaza direct sau

indirect g()

† f() este definit recursiv daca se autoapeleaza direct sau indirect

Subprograme recursive: Fibonacci

function fibRec(n) if (n <= 1)

then return n

else return fibRec(n-1) + fibRec(n-2) end

fibRec(5) fibRec(4)

fibRec(3) fibRec(2)

fibRec(3)

fibRec(2) fibRec(1)

Fibonacci – nerecursiv

function fib(n)

if (n<=1) return n

// k = 0

fk_1 ^← 0 // fib[k-1]

fk ^← 1 // fib[k]

for k ^← 2 to n do fk_2 ^← fk_1

fk_1 ^← fk

fk ^← fk_2 + fk_1 return fk;

end

Functii recursive: conversie binara

procedure convert(x) 1.if (x != 0)

2.then convert(x/2) 3. print(x % 2) }

convert(12) convert(6)

convert(3)

convert(1)

11

1 110 1100

0 1 3 3 3 6 3

Functii recursive: turnurile din Hanoi

sursa intermediar destinatie

sursa intermediar destinatie

Functii recursive: turnurile din Hanoi

procedure muta(n, a, b, c) // a = sursa

// b = destinatia // c = intermediar

if (n = 1)

then print(a, “->”, b);

else muta(n-1, a, c, b);

print(a, “->”, b);

muta(n-1, c, b, a);

Tipul de date abstract ArbBin

¾ obiecte : arbori binari

• un arbore binar este o colectie de noduri cu proprietatile:

1.orice nod are 0, 1 sau 2 succesori (fiii, copiii)

2.orice nod, exceptand unul singur – radacina, are un singur nod predecesor (tata, parintele)

3.radacina nu are predecesori

4.fiii sunt ordonati: fiul stang, fiul drept (daca un nod are un singur fiu, trebuie mentionat care)

5.nodurile fara fii formeaza frontiera arborelui

Arbori binari: exemplu

C

M D

K A

E G

F I L

H

B

Arbori binari: definitia recursiva:

„ arborele cu nici un nod (vid) este arbore binar

„ daca v este un nod si t1, t2 sunt arbori binari atunci arborele care are pe v ca

radacina, t1 subarbore stang al radacinii si t2 subarbore drept al radacinii, este arbore binar

t2 t1

v

ArbBin: operatii

†

insereaza()

„

intrare:

†

un arbore binar t, adresa unui nod cu cel mult un fiu (tatal noului nod), tipul fiului adaugat (stinga, dreapta) si

informatia e din noul nod

„

iesire

†

arborele la care s-a adaugat un nod ce

memoreaza e; noul nod nu are fii

ArbBin: inserare

C

M D

K A

E G

F I L

H X B

Y

ArbBin: eliminare

†

elimina()

„

intrare:

†

un arbore binar t, adresa un nod fara fii si adresa nodului-tata

„

iesire

†

arborele din care s-a eliminat nodul de

pe frontiera dat

ArbBin: eliminare

C

L

M D

K A

E G

F I H

B

ArbBin : parcurgere preordine

† parcurgePreordine()

„ intrare

† un arbore binar t, o procedura viziteaza()

„ iesire

† arborele binar t dar cu nodurile procesate cu viziteaza()in ordinea:

„ radacina (R)

„ subarborele stanga (S)

„ subarborele dreapta (D)

ArbBin : parcurgere preordine - exemplu

C

L

M D

K A

E G

F I H

B

C, E, K, B, H, A, L, F, G, M, D, I

ArbBin : parcurgere inordine

† parcurgeInordine()

„ intrare

† un arbore binar t, o procedura viziteaza()

„ iesire

† arborele binar t dar cu nodurile procesate cu viziteaza()in ordinea S R D

ArbBin : parcurgere inordine - exemplu

C

L

M D

K A

E G

F I H

B

K, H, B, E, L, A, F, C, M, G, I, D

ArbBin: parcurgere postordine

† parcurgePostordine()

„ intrare

† un arbore binar t, o procedura viziteaza()

„ iesire

† arborele binar t dar cu nodurile procesate cu viziteaza()in ordinea S D R

ArbBin

parcurgere BFS

† parcurgeBFS()

„ intrare

† un arbore binar t, o procedura viziteaza()

„ iesire

† arborele binar t dar cu nodurile procesate cu viziteaza()in ordinea BFS (pe

nivele)

ArbBin: parcurgere BFS - exemplu

C

L

M D

K A

E G

F I H

B

ArbBin : implementare cu structuri inlantuite

† reprezentarea obiectelor C

E G

B H

K A

L F

M D

I

ArbBin : structura unui nod

† un nod v este o structura cu trei campuri:

„ v->inf /* informatia memorata in nod */

„ v->stg /* adresa fiului stanga */

„ v->drp /* adresa fiului dreapta */

Arbori binari: parcurgePreordine()

procedure parcurgePreordine(v) if (v = NULL)

then return

else viziteaza(v)

parcurgePreordine(v->stg) parcurgePreordine(v->drp) end

Arbori binari: implementarea parcurgerii BFS

C

M D

K A

E G

Arbori binari: implementarea parcurgerii BFS

procedure parcurgeBFS(t) begin

if (t = NULL) then return

else C ← (t)

while (not esteVida(C)) citeste(C, v)

viziteaza(v) elimina(C)

if (v→stg ≠ NULL)

then insereaza(C, v->stg) if (v→drp ≠ NULL)

then insereaza(C, v->drp) end

Aplicatie: expresii intregi

† Expresii intregi

„ definitie

„ exemple

† Reprezentarea expresiilor ca arbori

„ similaritati intre cele doua definitii

„ arborele asociat unei expresii

„ notatiile pref-, in- si postfixate si parcurgeri ale arborilor

Definitia expresiilor intregi

<int> ::= ... –2 | -1 | 0 | 1 | 2 ...

<expr_int> ::= <int>

| <exp_int> <op_bin> <exp_int>

| (<exp_int>)

<op_bin> ::= + | − | * | / | %

† reguli de precedenta

12-5*2 este (12-5)*2 sau 12-(5*2)

† reguli de asociere

15/4/2 este (15/4)/2 sau 15/(4/2)? 15/4*2 este (15/4)*2 sau 15/(4*2)?

Expresiile reprezentate ca arbori

-12 + 17 * 5 – (43 + 34 / 21 * 66)

−

+ +

* *

/ -12

17 5 66

43

Notatiile postfixate si prefixate

† notatia postfixata se obtine prin parcurge postordine

-12 17 5 * + 43 34 21 / 66 * + -

† notatia prefixata se obtine prin parcurge preordine

- + -12 * 17 5 + 43 * / 34 21 66

−

+ +

* *

/ -12

17 5 66

43

Coada cu prioritati: tip de data abstract

† obiecte de tip data: structuri de date in care elementele sunt numite atomi; orice atom un camp-cheie numit prioritate

Coada cu prioritati:operatii

† citeste

„ intrare: o coada cu prioritati C

„ iesire: atomul din C cu cheia cea mai mare

† elimina

„ intrare: o coada cu prioritati C

„ iesire: C din care s-a eliminat atomul cu cheia cea mai mare

† insereaza

„ intrare: o coada cu prioritati C si un atom at

„ iesire: C la care s-a adaugat at

maxHeap

† arbori binari completi cu proprietatea: pentru orice nod, cheia din acel nod este mare decit sau egala cu cheile din nodurile fii

† exemplu

12

3 4

7 1

9 8

maxHeap: eliminarea

12

3 4

7 1

9 8

5 2

maxHeap: inserarea

12

3 4

7 1

9 8

5 2

10

maxHeap: implementarea cu tablouri

(∀k) 1 ≤ k ≤ n-1 ⇒ a[k] ≤ a[(k-1)/2]

8 7

6 5

4 3

2 1

0

12

3 4

7 1

9 8

5 2

0

2 1

3 4 5 6

12 9 8 7 1 3 4 5 2

maxHeap: inserare

procedure insereaza(a, n, cheie) begin

n ← n+1

a[n-1] ← cheie j ← n-1

heap ← false

while ((j > 0) and not heap) do k ← [(j-1)/2]

if (a[j] > a[k])

then swap(a[j], a[k])

maxHeap - elimina

procedure elimina(a, n) begin

a[0] ← a[n-1]

n ← n-1 j ← 0

heap ← false

while ((2*j+1 < n) and not heap) do k ← 2*j+1

if ((k < n-1) and (a[k] < a[k+1])) then k ← k+1

if (a[j] < a[k])

then swap(a[j], a[k]) j ← k

else heap ← true end

maxHeap: timp de executie

† inaltime (adancime) arbore = lungimea celui mai lung drum de la radacina la frontiera

† lungime drum = numar arce

† n =2^k+1-1

† inaltime arbore = k = log (n+1)-1

† operatiile inserare/eliminare necesita timpul O(inaltime abore) = O(log n)

0

Colectii de multimi disjuncte: tip de data abstract

† obiecte: colectii de submultimi disjuncte (partitii) ale unei multimi univers

† operatii:

„ find()

†intrare: o colectie C, un element x din univers

†iesire: submultimea din C la care apartine x

„ union()

†intrare: o colectie C, doua elemente x si y din univers

†iesire: C in care componentele lui x si resp. y sint reunite

„ single()

†intrare: o colectie C, un element x din univers

†iesire: C la care componenta lui x are pe x ca unic element

Colectii de multimi disjuncte: “union-find”

† structura “union-find”

„ multimea univers = {0,1, ..., n-1}

„ submultime = arbore

„ colectie = padure

„ reprezentarea unei paduri prin legatura parinte

2 6

1 3 0

5

8 7

9

Colectii de multimi disjuncte: “union-find”

function find(C, i) begin

temp ← i

while (parinte[temp] >= 0) do temp ← parinte[temp]

return temp end

procedure union(C, i, j) begin

ri ← find(i) rj ← find(j) if (ri ≠ rj)

then parinte[rj] ← ri