ELEMENTE DE MECANICA

DANIELATARNITA DI]MITRU BOLCU

ELEMENTE DE MECANICA

$r

REZISTENTA

_t

MATERIALELOR

qffi

EDITURA UNIVERSI'TA.RIA

Craiova, 2012

CUPRJNS

1.

ELEMENTE DE ALGEBRj, VECTORIALA

l. 1.

Mirimi

scalare gi mdrimi vectoriale.

1.2. Sistem de referinld. Componentele unui vector 1.3. Opera{ii cu vectori.

I .4. Reprezenlarea unui vector

intr-o

baz6 oarecare 1.5. Baza reciprocd a unei baze date

1.6. Modificarea componentelor unui vector la schimbarea sistemului de referinlS

1.7. Sisteme de coordonate

curbilinii

1.8.

Aplicalii..

2.REDUCEREA SISTEMELOR DE VECTORI

2.

l.

Momentul unui vector

in

raport _{cu un} punct... . ..

...

2.2. Momentul unui vector fald de o

axi... ...

2.3. Momentul reciproc a doi vectori...

2.4. Torsorul unui sistem de vectori.. . . .. . .

2.5. Axa centralh a sistemului de vectori. .. ... ^{. .}

2.6. Cazurile de reducere ale unui sistem de vectori...

2.7. Sisteme de vectori concurenJi... . .. .

2.8. Sisteme de vectori coplanari... . . . .. ^.

2.9. Sisteme de vectori paraleli. .. ... ... ..

2.10.

Aplicatii...

3.CINEMATICA PUNCTULUI

3.1. Traiectoria.

3.2. Parametrii cinematici ai miqcdrii punctului..

3.3. Parametrii cinematici ai migcdrii punctului in coordonate intrinseci..

3.4. Parametrii cinematici

in

coordonate

curbilinii.

3.4.l.

Sistemul de coordonate carteziene..

3.4.2. Sistemul de coordonate cilindrice..

3.4.3. Sistemul de coordonate sferice..

3.5. Viteza gi accelera{ia areolari.

3.6. Migcarea relativd a punctului

9

l0

11 11 18

20 22 26

3"1

39 40 41 43 44 45 45 46 49

61 62 63 67 67 68 68 69 72 3.7.

Aplica{ii.

'78

4.

CINIiNIATIICA

S[rrl,]iDLrn

UI

R.nG[D

4.1,

Delinirea

s,.rlidu,lui

iigid,

^. . . , " . .. . . . .

.

89 4.2. Grade cle libertatc ia solidul

rigid...

^il9

4.3. Ma'cricea cle schimbare de bazd... ^. "....

.. ^ql

4.4, UnghiLrrile

lui Euier,...

_",

"..

⁹³

4.5. I,/iti:za _gi aeceleraiia unghiulard- a solidului rigiC... ... ... ..,

..

^g4

4.6.

Distrib{ia

de

r'itezr

gr

accrleralii

pentru solidul

rigid...,._.

95 4.7"

nrroprietlli

a1c cAmpriiui de vitczc. "..,.

"

⁹⁸

4.8.

Fioprietdli

ale

cimpul.ri

de acceier:a{ii la solidul

rigid...

¹⁰⁴

,1.9. hligci1ri par:Iiculare ale

soliduiui Ligicl... ...

¹⁰⁶

'.1.9.1, h,{igearca cle

transla{ie...

105

4.9r.2. $rligcarea de

rotagrc...

¹⁰⁷

.1.9.3. _{Mige are a}

elicoidali...

^{.. ,}

..

¹¹⁰

.i"9.4. h{i;;carca

plan-paialelir...

I X2

4.9.5. rt{igcarca rigidulLii cLl

uli

punct

lix...

... ... ... ...

. i

19

,1.i0,Aplrcatii... _i22

5. G ll0lMETn{j1.4 })ilASISL'o,ti

j. _L

Uerrcr:rlit.lri. ..'r

iiri1.:

^.

5,

i.l. ^Axiomele

dc

nasa...

5. 1.2.

Varictili

gcomciric.r

materiale...

5.2.'ientnrl

cic rnas[,...."...,...

5..1. .-'pric.5!il.

cr.,t,rurLjr

J.

^rn

isi..

.'

^{-i. '.}

r-ri:iu

r.tr rrtf

ri lt Lorlui;

omogL'nr

5.j

^I et,rerrrejc

iL;].'

r'.-:lrl-tptrs..

.i.{r.

AIii.

rrlii

6. DllN' r{}l'{liL-A i" ^rLI

t\C]l il

L. U

i

h[A. ll ^E RnA.

[-

5.1.

l'{olirini

lunciamentale

....

¹⁵¹

5.1.

l. For{a... l5l

5.1.2.

Cuplul,....

^I51

6.i.-:.

[-ucru meeanic. Fotenlial. Puteic... .... . .

.

¹⁵⁸

6.2.

Axiornele

mecanicii punctului

material.

¹⁶¹

6.3.

Tipuri

de probleme in dirnairica puncti;.'-: ^-.. .

: .,

^1(j3

6.4. I'coreme fi-indamentale

in

dinamica

Dil:... ^..

^,

^..i...

^s,

113

tJ3 't34 116

lJ!l 140

I /i5 148

siste mclor de puncte materiale,.... . .

5.5. Dinamica

punclului

niaxerial

liber

^. 6.5.1.

Ecuaiiile

difelen{iale ale

mig,:i:::

liber'...

6.5.2. Mipirncr unur pu;rct

nrei,.--

165 111

r r ,

r'.-.arerirll

.: . .-.,.! unei

forle 112

constante.

6.5.3. Cazuri particulare de migcdri ale punctului

material liber...

6.6. Dinamica punctului material _{supus la} legdturi fErd frecare...

6.6.1. Punct material pe suprafald IErE frecare...

6.6.2. Punct material pe curbA fbrd frecare...

6.7. Dinamica punctului material supus la legdturi cu frecare...

6.7.

l.

Punct material pe suprafatd cu frecare...,...

6.7 .2. Punct material pe

curbi

cu fiecare...

6.8. Dinamica miqchrii relative a punctului _material.

6.9. Aplicagii..

7.

STATICA PUNCTULUI MATERIAL

7.

l.

GeneralitSli

7.2. Statica punctului material liber...

7.3. Statica punctului material supus la legdturi fhrd frecare...

7.3. 1.

Echilibrul

punctului material pe suprafald lucie...

7.3.2.

Echilibrul

punctului material pe curbd fbrf, frecare...

7.4. Statica punctului material supus la legdturi cu flrecare...

7.4.1. Statica punctului material pe suprafald cu lrecare...

7.4.2. Statica punctului material pe curba cu frecare...

7.5.

Echilibrul

punctului material latd de repere mobile 7.6.

Aplicatii.

8.

STATICA SOLIDULUI RIGID

8.1. Statica

solidului rigid

liber...

8.2. Statica

solidului rigid

supus la legdturi lbrd

frecare...

8.2. 1. Ecua1iile de echilibru. ^. . . . .

8.2.2. Legdturile rigidului...

8.3. Statica

solidului rigid

supus la legdturi cu frecare. .. . .. ... ,..

8.4.

Echilibrul

sistemelor de rigide...

8.5.

Grinzi

cu zdbrele...

8.5.1.

Defrni{ii. Ipoteze...

... ,.

8.5.2. Metoda

izoldrii

nodurilor...

8.5.3. Metoda sectiunilor

(Ritter)

8.5.4. Determinarea deplasdrilor

nodurilor

la

grinzile

cu zdbrele plane

173

lui rigid.

r solidul

rigid.

solidul

rigid.

material.

rlui

material gi

ctului material

89 89 91 93 94 96 98 104 106 106 107

il0 |2

l19

t22

I JJ .IJJ

t34

136 138 140 145 r48

1s7 157 157 158 161 163

233 233 234 235 178 182

t82

184

188 191 195 186 187

20t

202 202 203 204 206 207 209 212 214

222

225 229 232

165

17t

₂₃₅

237 cliunea

unei

fo4e

172

8.6. AplicaJii..

-.<

9.

INTRODUCERE IN REZISTENTA MATERIALELOR

9.1 .GeneralitAli

9.2.No!iuni

de Rezistenla malerialelor...

9.2. l.Clasifi carea materialelor....

9.2.2.Clasifi carea corpurilor...

9.2.3. Clasificarea forlelor...

9.3.Forfe interioare sau

eforturi

sec{iona1e...

9.4.Tensiuni qi deforma1ii...

9.4. l.Tensiuni...

9.4.2.Deplasiri

gi deforma1ii...

9.5.Legdtura intre tensiuni qi deforma1ii...

9.5. LCurba caracteristicd a materialelor....

9.5.2.Curbe caracteristice ale materialelor care respectd legea

lui

Hooke...

9.6.Contrac{ia transversald...

9.6. l.Legdtura dintre e gi r1...,,.,...

9.6.2.VariaJia secliunii transversale...

9.7.Rezistenle admisibile gi coeficienli de siguranfi...

9.8.lpoteze _de

bazi in

rezisten{ar materialelor...

253 253 253 254 256 257 2s9 2s9 260 261 26]1

263 266 267 267 268 269

lO.REPRNZENTAREA DIAGRAMELOR DB EF'ORTURI

l0.l.Algoritmul

de reprezentare a diagramelor de

eforturi labare.. 2jl

l0.2.Regulile

_{de calcul ale}

eforturilor secfionale...

272 l0.3.Rela1ii dif-eren{iale intre efbrturile sec{ionale gi intensitatea

sarcinii

distribuite

la bare

drepte... _...

₂₇₃

lO.4.Reguli de reducere a

incdrcdrilor...

_..

...

275 l0.5.Diagrame de eforturi in bare

curbe... ... z.'g

10.5.

l.Relalii

dilerenliale intre eforturile seclionale gi intensitatea sarcinii distribuite la bare curbe

l0.5.2.Reguli pentru _trasarea diagramelor de eforturi in bare curbe. . . ...

II.CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECTIL\ILOR PLANE

l1.1.Definilii

qi formule generale de calcul....

I

l.2.Varialia

momentului de iner{ie cu

translsl:: -.i:.

^_-:

278 280 281

301

303

.ERIALELOR

r care respectd legea

suranfd.

r-...

:EFORTURI lr

de

eforturi

_{la bare..}

ale...

nale gi intensitatea

! SECTIUNILOR

2s3 253 253 254 256 257 259 259 260 261 261

263 266 267 267 268 269

327 328 329 330 330 332 333 334 I l.3.VariaJia momentelor de ine4ie in raport cu rotatia axelor de

coordonate...

304

I l.4.Caracteristici geometrice ale sectiunilor plane simple

...

306 I 1.5.Caracteristicile geometrice ale secjiunilor plane

compuse

^{3 13}

11.6.

Aplica1ii... ...,...

315

12.

SOLICITARI AXIALE SIMPLE

l2.l.Tensiuni

la

solicitdrile

axiale simple...

l2.2.Deformalii

gi

deplas[ri

la barele drepte solicitate axial...

l2.3.Energia de delormatie la intindere

l2.4.Tensiuni _9i deformatii _{la bare} solicitate axial lindnd ^{cont de} greutatea

proprie

.. . ... ... ^.

12.4.1. Bare de secfiune constantA l2.4.2.Bard de egald rezistenid...

12.4.3.

Baft

cu variaJie in trepte a secJiunii transversale...

l2.5.Aplicatii.

. . .

13.

SISTEME STATIC NEDETERMINATE SOLICITATE AXIAL

13.1.Cazuri de sisteme static nedeterminate solicitate

axial

...

13.2.Echilibrul static nedeterminat al

solidului rigid

legat

prin

bare drepte articulate la capete...

13.3.

Aplicatii

14.

CALCULUL CONVENTTONAL AL BARELOR LA FORFECARE

l4.l.Tensiuni

_Ei

deformalii

373

l4.2.Probleme de calcul al

imbindrilor....

375 14.2.

l.

Dimensionarea buloanelor solicitate la

intindere...

^{37 5}

14.2.2.Dimensionarea buloanelor solicitate la forfecare...

.

^{37 6}

l4.2.3.Bulonarea

tablelor...

³⁷⁷

14.2.4.

imbindri

cu

pene...

378

14.2.5.

Imbinhri

cu

nituri...

380

14.3.

Aplica{ii...

385

15.

SOLICITAREA DE NASUCNN A BARELOR DREPTE

15.1. Calculul momentului de

risucire

15.2.

Tensiuni in

bare de sectiune axial-simetricd..

271 272

34r

3s0 356

273 27s 278 278 280

28t

30t

391 391 393 fia axelor _de

303

I 5.3.Deforma1ii la rdsucire.

l5.ri.Energia d,- i.Lercrrnarc ia

ril;r-rcire...,.""

3g4

i5.5.Calcuiul

arcr.r'jLcr eiiincliicr: elicoicj;lle

...

Jg4 15.6.

Risucirea

batreloi cLi sc.liLLne

dir:ptunghiulari

)L)(:

l5.7.F."isue ilea

profileloi

subqiri

incliise...

3,),i

lj.8.lP'iste

irea pi'ofiie lor

subliri

clesr:hise

,

3g.".!,

15.9.

,_4.piica;ii...

.t ttg

llri;'.S0h-llClllAlidl0,r\.

Dtr

1i.'!"{_t\OV{}iERit a,

E,,liitiE

,r0li,. llrrL.tI:art.t.i!

i6.

i

Incovoierca

puii

a

.bar:eloi',Jiepic..,,...,.,...

4tJt) 16,2 inccvoierea simni;l a bareior

irlpte.... Ill

1r.:.3.'rrrci3ia

ilc

detllt'rnaiie la iqcc

i'oiri"r...

4',.1

15.4,i-lelirirnaL;ilr: bareli;;-,.irr;ptl

lolilil:iie

!a

?iirovcicre..."".,... t,i-i

16.i1. i.Me'lccic

rcrlilr clltriliil

de

l',:i.naiiilcr

bar.elor

soliritilte

ia

incoycieri-',.... _4l

_li

16.5..,iplrr:e';ii....

,t,':,{)

ilT.llTAilliil,ll'l'r\TriiA

.E::tIlniLiBF"it_ri,UI

fl1,l:Ij't't{--- ;\j_

BAl-ttulL,{r-,r_-r,

DR.EN''IIE

l7.l.liotiuni i i.ro.iulrlivrj",".... _4r5

111.?. iurn-rula

iiri

IjLrlcl ^pcriir.,i e alcuiLii lbr1ci cntrcc dc ^f iambaj

ia rrirr:le

dli:lric

coriru

irnilie ... ^,li6

I l.11.iior:nrr-ile-.le'l etnia-,'r-i-izisinsli pentru lianbajr.ii

pla:;iic...

4.,.,a 17.;1..i.'alr:Lrli-ri la llairrba.i a1 balr:lor

r:ompr"!mate...,.",

^{,:i.:5 g}

1'/.,1.1"h.4eiorjtr

cr*ilcir:ntulrri

,.ii:

flarnba-i...

^ri60

17.5.

rtpiicaii:...

rjir _I

,tr57

Fiulara....

\RELOR DREPTE

incovoiere...

ilor _barelor solicitate

rNC _ALBARELOR

critice _de flambaj

6ajul

plastic..

394 394 396 397 398 398

Cap.l. Elemente de algebri vectoriali

1.1. Mirimi scalare ^gi mirimi vectoriale

in

mecanicd exisld

tndrimi

care

pot fi

caracterizate

printr-un singi'' nundr, ele fiind

^cunoscute

^{sub numele generic de mdrimi}

^scalare.

Lunginea unui

segment

de

dreaptd,

aria unei

suprafete,

volumul

unui domeniu, masa unui corp ^se

exprimi

printr-un

numir,

acelagi

in

orice sistem de coordonate.

Pe

l6ngi

^aceastA categorie de

mirimi, existl

gi alte

tipuri

de

mirirni, care ^necesitl, pentru caracterizare, mai multe nwnere. Marimile

caracterizale

complet prin trei

numere

se

numesc

mdrimi vectoriale. In

aceasta categorie putem aminti:caracteristicile unei forJe, ale unei viteze, ale unei acceleralii,

etc. Marimile

caracterizate complet

printr-un

numdr mai mare de numere se numesc mdrimi tensoriale.

Un vector este o entitate matematicd care este rcptezenlat geometric printr-un segment de

dreaptiAB,

pe care s-a definit sensal de parcurs de la

A

cdtre

B ^(fig.

^1.1).

409 413 417 417 418 430

455 456 457 458 460 461

467

simbolizat grafic prin

sdgeati

este caracteriza!

de

urmltoarele Fig.

l.l

J

^--)

Ca urmare, un vector a _{= AB,}

deasupra

literei ce

desemneazl mdrimea, elemente:

.

Punctul de

aplicalie

sau originea

A

^.

.

Suportul

s

^:u, care este dreapta definitd de punctele

A gi B.

c

Sensul ^de parcurs, de

la A la B.

c Mdrimea

sa.u

modulul,

care este egal6

cu

lungimea

segmentului

AB .

--) _-

_l-+l

Mirimea vectorului a

^{se noteazd}

lalsau ^a.

Vectorii pot

fi

^:

\,'ectot

i .luite.,i,i)t.i

sa1-t \,)ectot. _{gl i.ra n} ti-crv;t: p{_rt i1vci1

lttrnelul

^cle aplicalie

oriuniz tr

Lrt:ii.ata- /! iJ

-t.eciori.

liberi

^, car:c au acclagl cl'ect jnt!iii:rent _cle

poziiiii

_{in spa,ltr.r} a

punctului

r1e

aoiical:c, dilcii sr

pdstrce?.i

supofiu! ptirt:!t,l ,:|

tt

dreapti data, ,rr:.,rsirl

;i ^norinca

vectonrli;i

rirnininil

ctt:elt,tt;.i.

l,:r'ontl este

vec.a-'-ii care dcfiltesic r-iirec{ur

;i

^{:e'sLrl ,.rner rlt.i:plr si}

care are rnarirnca

egali

cu Lltiitalca.

,i

.2"

Sistcam riic ri"e I'e

rilltfs.

Cortii;oLile..-.tie:ie

unljl

,i,ect{.itr

Iu

inec:ri:iea ciasici,.

s;ialiui

este

iiicii'rcrl:;ii,ral,

absotLit. i.cicircnrler-,t dc nraiierie 5i dc tirnp.

in

care s-a ci_cfiuii

liclrica

cr:cliiiianil

Se consideri trci drcpie i:l

spa{rLr, cone,.trL:r)iu

in our,:tul

{), per.pendicuiale

rioui

clirc dor-ri

{fig.

^{1.2). i.,c} fieca'r: dinii.,: ecle

ii;i

ih,ci:rilr sc rrLege un scns

dc

paicurs

astf!l i'ei1

sir se '.rbiina

r:'

lricrir-ir

lic

sc.,,r dir'i.ci care se i,:1 numi .rl-qle*; de

rc./ertnii

!;trtt.rtpa!. sttt trit,r!i.tt

t!t

rcltt.inri.i.

ir.i pLrnciui

o,

^ne

ticcare,lli-;;,j"

sisrcmrilLri

rir

ir1enu1i. sc al,jgc

cilc uit

vrci()r:, rle

mirimc

egali'.

cit

r,rititalea, avdntl lcelagr sens de parcurs

cu axii re:pectiva. Vectorli astiel tlelinill sutt

v"-rsorij

ccior trer rxc ;i

^se

:roteazir

i _, j , l.

Oricc veclor rapcrtat 1a reper.ul D>i.rz se _1tu,rLr.: ril,Liur"r

'i:'r

lirnclie

de

v*rsorii i , .i , ^k

^{. Frs}

^vectorui a

^cu t_.rigi.ea

iir pii'erul

tl, si tle ;i , ;r. i I' 5i

^al

-, i ;rllrponcnicie

^, salc

pc

ccle

lrci arc als

sjstcrrr.ilui

0q'z

a

^se poaic scfie _-!rib fbrnra:

{n acest caz yeclorul

I{]

at

ti-cue pot

avea

punctul

_de

diferent de pozilia

in

spaliu a

t€azi

suporrul

paralel cu

o rinfurd aceleasi.

direclia gi sensul unei drepte si

[etrtele unui vector

:rsicnal,

absolut, independent

a qrclidiand.

concuente in punctul

_O,

ffie

dintre _cele trei drepte se

Fni

^un U-iedru de _sens direct vt triedru _{de referinsd.}

Geometric,

modulul vectorului ?

^este

paralelipipedului ce are

laturile

egale

cu a. a,

relaJia:

(1.1) reprezentat

prin

diagonala

gi a, _ti

se calculeazd cu

-+ -+ -) ^-+

a =al i+a2 j+a3k

(1.2)

-+

Daca

vectorul t

^{este liber,} atunci este suficient sa se cunoasci cele

-)

trei

componente ale sale pe axe.

Daci t

^este vector /eg4l, atunci trebuie cunoscut ^gi

punctul

de aplica1ie (deci, cele trei coordonate scalare), iar dac6 este

vector

alunecdtor,

trebuie

cunosculi

inci doi parametri ce

definesc dreapta suport.

1.3. Operafii cu vectori

Pentru

aplicalii,

este necesard

definirea operaliilor pentru

vectorii

liberi, iar,

legarea

vectorilor

de punctele de care se alaq'eaza va

fi utilizati

prin chiar semnificafia

lor. _) ,_) _) _-)

l. ^{Vectorul nul, esle} vectorul 0 =0 i+0 j+0k. _In

cazul vectorului

nul,

exfiemitAlile vectorului coincid.

Din

relatia

(1.2)

rezultd c5 modulul vectorului nul este zero.

2. Egalitatea a doi vectori liberi.

Doi vectori ^liberi *)

^a

-) -+ -+ ^-+

b =bl ^{i +b2 j +b3} k suntegalidaci ar=b'ar=br.a, _=br.

3. Adunarea vectorilor

liberi.

-+ ^-+

Suma vectorilor

liberi a gi b

^este datd de relaJia:

tl ^{^l*^l*ul}

I

emului de

referinli

_{se alese}

rind

acelagi sens de parcu-rs

versorii celor trei

axe

gi

se

erul Oxyz

se poate exprima

-+ a

cu originea

in

punctul cele

trei

axe ale sistemului

b forma:

-) -+ ^-+

=ari+arj+ark9i

l1

I L I L l,

.i+ ij -',ri , _'

a.,2 _.:,

r a.. ii +ri

-) -)

.-(r.. +b-; ; +11, tl'r-

_.

I

^r

Adunarea ^..'e

ciorilor

iibi:!:i

+ia1+ir.')

k

islc

asociairVa

;i

corrruia'r

ivi.

(1 3)

Liraf

,

:r-{illirare a uecroiii,:;:

:r

^t'ar:i: cu reg'!-rla 'p:ralel.gran-ruiiri

(ijt. i.:,)

;,:i9.. 1i.i

/.Llunalt, vrrtoiil{lr

^iiJ:e Llr'mirioiirilr prop riei:i1r :

i ... , , ..'t, ^:'

I

floinutlriiv itri..:a. :l

-i ir ^..

^1.r

+ a

;

)i1++)'

a+ 0 = ^0-- a'- ^a

,

rtllCc il

^i:sic

^vcciot,ll

^tiiti"

';. t; . .'.,

-f

.r jii

,/\/,\

:: I'

\, ) \ ,

r'!ce:te piopiri,'il.;i

di.:i-non:;';lr:aza

cii utullitrii:lt

i

e,-illilor

^Libi:i i.

?;lll.cuilii

^r:t1

spt:t:tit,

dc

iitiunlli;

i'tr'mc:rzit ^{rrn gi-uit} abcLilrr.

,:t. _.f:i tn:: Llircr-;

u;il.!

^{\)e(;i.ti r.:i;} ii;t:;r:u!t;!.

i

-Da';ii sc

esnsi{lcrar

sc:Lllrui

m

" ^aiur,ci vt.ttir-ii ,ibei:

:-rr

r,l

se caic,;1ec-;.:;it c u- rei:rtii;:

-,t' -j

11'

;l -

¹¹¹ⁱ¹

i +,'l:

.

(l

1)

Irmaloarelc ir-(.opr'ic ^iati i:

r + I']ti!

.

^i.

liirir.iul{rrea LlnLri v€ctor cu Lrr Jral:ir 3rr-l

' '; /

^;

,t lF I l- ] I il lti I -

1l-l

ll'

^:.

\ttl

t2

-) -)

'2 j+b3

_k

-+

k

iativd gi

comutativl.

ramului

(fig.

1.3).

(t.3)

Grafic,

-)

^--+

. _{ma+nn =(nr+n)}

a

--) -) ^{1-+ -+\}

. m a+m b =ml a+b

^I

tl

-+ _a.[u+c (t -\ ^{-) --) -) -+}

)=a.b+a.c / -)\ / --)\ ^{-+ -)}

lma llnb l=m.n.a.b:

\. i\ ⁾

t tl

-+ -)

_l-+l

A.a

₌

l1l

lt

unde

m

gi

n fiind

scalari oarecare.

Aceste proprietdti demonstreazl cd mullimea vectorilor liberi

formeazd un spafiu vectorial peste corpul numerelor reale.

-+ -) . _{m.a = a.m}

-t -+

r l.a =

^a

5. Produsul scalar al

vectorilor

Produsul scalar al vectorilor

liberi ?

9i definit prin:

r t=ltl

ltl "".[r,t)

(l

s)

-+

b esle un numdr care este

(1.6)

prieti;i:

I

t'

nullimea vectorilor

_iiberi,

rp abelian.

I nul;

-t a

,

asfel

incdt:

i ^vectorul liber

(l

4)

niloarele proprieteti :

lna -)

se

m;neR (17)

/-) ^-+\

unde

cos[ a

;

^b

J

^{este cosinusul}

^{unghiului lormat}

de dreptele suport ale

-) ^-+

celor doi

vectori, a gi b.

Pentru produsul scalar

al vectorilor

surfi valabile

proprietilile:

-) -) -) ^--) a.b ₌ b.a

? ?

₌

o,

".t ll

⁼

⁰ '* l?l

⁼

0

sau dacd

cei doi vectori

sunt perpendiculari;

l3

Frcdusul

ilcala: -?+ a. b

^poate

Ii

un

numir pozittv

sau negativ, _du1li cum unghtul

ijntre cci doi veclori

esre nrai

r:iic

sar: tnai rnare Cecit

f ^,)

J"

--,

h I ccle ll-\.;i(

1

r

^,,r lr-gJ.:J

,j

a

L

a\

⁾

l

crru

u.Ui

\

,rc Llrc..r,rJ; er,.

llrril. ,1

^,

er':u..,i

^.r ;

dacilvectorii a gi b

^sunt parale1i. atunci

procusul loi

scalaL sc

comporii

ca un ^prodLrs obigni,ril intre scaiari.

Ilcoarece, coqii:rni .lcfiniiiei (1.6), _tt l- ^,t ? -;

) )-\ rr

i - I j - k.h -) ^{= l.}

s* obline er.presia pr'otlu-sLrlui scnlar.:

L. 2,

- + /-t

, a.h -rpr ]6 ' -l ,\

)

^j.i1,i3.r

^I

),' .i

)l a

^l,

I]

' I ); ^t-.

l,' ^lu

L -{l

^si

--) a -\

^-b

=a.!;,+irbr+arb,,

tiu

ajutomi

deiiniliei (i.6)

sc poarc calcLrla

b: ,

crrsl .l

(''

I

i ¹ _"q)

u;igliiul

dinrt e tlor veciot.i

I

j

_'r)

orrgnc.

Itr od rrsul

arb

care cste

,

cu sclisul clat de

rniilirrr:a iur

li inri 6. Protlu.tul t,ecltsriul u.

tloi

veclori.

Se consideli vectorii ii pr ii

ai'inc1 acecapi

)>

vcctorial ai vectoriior a 9i b

^esie

^{un l,e.tor.}

^notal

) -,t

perpendicislt:Lr _pe

plunwl

dcteiminat cle

vectoiii a ;r

^b

J. j.

re;;ulu Suruhului drept

lt

^rat-irca de

la a la b ^(frg.

^{1 .4)}

datir de rela;ia:

F. ^nl=Fi

l?1 ,,"[?,?)

t4.

(1r0)

rrmir pozitiv

_{sau negativ, duD6} te mai

mic

sau mai rnare

de;t

+\

I

, I

^este

^proieclia

^{onogonala a}

)-

torul

a';

ahuci produsul lor

_{scalar se} alan-

-) -) ^-+ -)

^{_+ _-)}

'' j=i k= j.k=0 _ri

produsului scalar:

(1.8) cula unghiul _dintre doi vectori

/-+ -+\

unde sinl tt _\./

a

;b I este sinusul unghiului fomrat de dreptele suport

ale

vectorilor a

$i

Fig.

1.4

Produsul vectorial a doi vectori are proprietigile:

-+ -+ -+ --t

. ax b =- ^{bx a}

(anticomutativitatea produsului vectorial)

r +\ r +\ _/-+ -)\

o lma lxlnb I=m.n.l axb

l;

rnlne

^R

\ ,/ \ / ( I

-+ r+ ^{-+\ --)} -) _-) ^-+

. _axl b+c;=axb+axc (l.ll)

-+ \i -+ ^-)

o ax a =

⁰

--) -+ -) l+l

^l_+l

. ax b = 0

dacd

lal=0

^sau

lbl=O ruudacivectorii suntparoleli.

||

Modulul produsului vectorial ?t ? este egal cu

aria paralelogramului ce are ca laturi cei doi vectori.

Deoarece, conform definigiei produsului vectorial,

--) -+ -+ -) -) -+ -) -+ -) -) ^-+ -+ ^-+

ixi= jx j =kxk=0, ix j =k, ixk=- ^j

-+ jx i =-k, jxk=i,kxi= --) ^--) --) -) ^-+ -) -+ -+ j,,kx j ^--) -) _=-1 ^-)

se poate arAta ca pentru calculul produsului vectorial, se poate folosi relatia:

-) b.

(l

e)

d

aceeagi

origine.

^produsul

-+

^_+

:tor notat axb

care _este

--t -t

; a gi b _,

cu sensul dat de

(fig.

1.a), mdrimea

lui ilind

(r.10)

t5

l-+ --) ^-+l

li j ^kl

=

I., ^{u2 .rl}

lot bz ^orl

/-) ^-+ -+\

la;b;c ^l=o

\/ -) ^--t -+ -t ^-+

c dacda+0;b*0; c*

-+ -)

ax

b ₍ r.

l2)

-+ c cu

punctele _de

-) -+ ^-+

a, b gi c

notat

7. Produsul mixt.

Fie

vectorii liberi?,?

^qi

aplicalie in punctul O.

Produsul

mixt al

vectorilor

-) -) -)

( a _; b ; c

₎ ^{este prin}

delnilie,

un numdr dat de:

/-) -) -)\ ^{--; (} -+ -+)

la;b;cl=alu.cl \/\,J

/-+ -) -)\ ^{1", uz ull}

la;u;cJ=lu, ^{bz orl}

l"r '2 ^trl

Produsul

mixt

are urmitoarele proprietati:

o

produsul

mixt

este permutabil:

f

-+ -+ --)\ _/-) ^-+ -)\ ^{/-) --) -)\}

Ia; ^b; cJ=[.,

"; uj=lur c, aJ

r dacicelpufin doidintreu."ton ?, ?,?

Relalia ⁽ I . 13) poate

fi

dezvoltati cu ajutorul determinanlilor:

(1.r3)

( 1.14)

(l.rs)

sunt

paraleli,

atunci:

-+ 0

^gi nu sunt paraleli, _atunci:

r-+ ^--) -+\ *) ^{_+ _)}

din I a;b;c _l=0 rezult[ cI vectorii a, b, c

^strnt coplanari;

\./

/-+ ^-+\ - /+ ^-+\

.la*bl;=-l _b'"1.:

lll. l

f+ -+\ - - ^/-+

^--+\

. _{lu"b l.=;lu*c l;}

\/t/

T6