Livia Harabagiu prof. gr.

(1)

Marius PERIANU

Cdtslin STANICA

$tefan SMARANDOIU

atematicd

clasa a V-a

II

(2)

Prezentul auxiliar a fost avizat de Ministerul Educatiei Nalionale

p

n Ordinul

ff.

3022 din 08.01.2018 qi se regaseqte la pozilia nr. 287 din anexa Ordinului.

Lucrarea a fost rcalizate in confomitate cu nora Programd tcolard

pe

tru ditciplina MATEMATIC,|. CLASELE

A

V-A

- ^A VI

-A, a$obatA prin O.M. nI. 3393/28.02.2017.

Referenli

rtiinlif

cit prof. drd. Livia Harabagiu prof. gr. I. Dorin Irinel Popa prof. gr. I. Nicolae Bivol

R e d a c t or'.

lina

Mllnteafu

Te hnoredact are: Comel

Drighia

Copettat Alexandfl)

Dal

ISBN 978-606-003-148-2

ISBN 978-606-003-150-5 (sem.

II)

Pentru comenzi vd puteti adresa Departamentului Difuzare C.P. 12, O.P.63, sector

l,

Bucuresti

Telefoanet 0744 634 719'.07512817'74;021 796'73 83i 021 796 73 80 Fax: 021 369 31 99

www.art-educational.ro

Toate drepturile asupra acestei

lucdri

sunt rezervate Editudi Art Educalional.

Nicio parte a acestei

lucdri

nu poate fi reprcdusi, stocati ori transmisi, sub nicio forma (electronic, mecanic, fotocopiere, lffegistrare sau altfel),

fird

acordul prealabil scris al Editurii Art Educafional,

O Art Educational, un imprint al Art Klett SRL, 2019

CupnrNs

Unitatea

1.

Fractii ordinare

l.'1. Fraclii ordinare.

Noliuni introductive

1.2. Clasifi carea

fracliilor

ordinare 1.3. Fractii echivalente

1.4. Amplificarea gi simplificarea

fracliilor.

Fraclii

ireductibile

Teste de evaluare

Fit;

^pentru

portofoliul

individual (A1)

1.5, Reprezentarea frac.tiilor ordinare pe axa

numerelor

1.6. Compararea gi ordonarea

fracliilor

ordinare,,...,..

1.7. Adunarea

fracliilor ordinare...

³⁵

L8. Scdderea

fracliilor ordinare...

39

7 'i1

16 19 25 27 29 32

Teste de evaluare

Fi$d pentru

portofoliul

individual (A2) 1.9. lnmultrirea

fractiilor

ordinare

1.1 O. lmp64irea

fracliilor

ordinare

1.1 1. Ridicarea la putere a unei fractii ordinare. Reguli de calcul cu puteri ...

Teste de evaluare...

Fi$5 pentru

portofoliul

individual ^(A3)

1.12 Fracliilprocente

dintr-un

numdr natural sau dintr-o fractie ordinar;.,,...,,..

Teste de evaluare...

Fisd pentru

portofoliul

individual ^(A4) Test

-

model pentru Evaluarea NalionalS

Unitatea 2. F;ac!ii zecimale

2.1. scrierea

fracliilor

ordinare cu

numitori

puteri ale

lui

10 sub forme zecimalS. Transformarea unei

fraclii

zecimale, cu un numEr

finit

de zecimale nenule,

intr-o

fraclie ordinar;...

2.2, Compararea, ordonarea

ti

reprezentarea pe axa numerelor a

fracliilor

zecimale. Aproxim6ri

2.3. Adunarea $i scdderea fractiilor zecimale care au un numer

finit

de zecimale nenule Teste de evaluare

Figd pentru

portofoliul

individual (A5)

2.4.lnmul!irea

fraciiilor

zecimale care au un numer

finit

de zecimale nenule

2.5. Ridicarea la putere cu exponent

naturala

unei

fraclii

zecimale care are un

num;r finit

de zecimale nenule

Teste de evaluare

43 45 47 50 52 55 57 59 63 65 67

75 79 85 a7 89

Fi$d pentru

portofoliul

individual (A6)

93 96 97

(3)

2.6.

impirlirea

numerelor naturale cu rezultat fractie zecimald.

Periodicitate

2.7.lmpi4irea

^a^doud

fracliizecimale

operaliilor. Aproximeri 2.8. Ordinea efectudrii

Teste de evaluare

99 104

r08

112 r13

ll5

118 120 121

"t23 125 't28

133 138 '143

"t45

^t48 153 155 157 159

"t64 167 169

173 176 180 r83 185 187

r89

192

197 202 206 212 Figa pentru

portofoliul

individual ^(A7)

2.9. Media aritmeticd a doud sau mai multe

fraclii

zecimale finite...

2.10. Metode aritmetice pentru rezolvarea problemelor cu

fraclii in

care intervin

ti unitdtide ^mesuri

Teste de evaluare

Fi5; pentru

portofoliul

individual (A8) ...

'lest

model pentru tvaluarea NaIiona16...

2.1 1. Probleme cu caracter aplicativ

2.12. Probleme pentru performanl5 tcolard

ti ^olimpiade Unitatea 3. Elemente de geometrie

3.1. Punctul. Dreapta. Planul 3.2. semidreapta. Semiplanul 3.3. Segmentul de

dreapti

3.4. Poziliile relative a

doui drepte

3.5. Lungimea unui

Teste de evalua

Fitd pentru

portofoliul

individual ^(G1) Test

-

^model

^pentru

^Evaluarea

^Najional;

3.6. Unghiul

3.7. Clasifi carea

unghiurilor

3.8. Probleme cu caracter aplicativ

3.9. Probleme pentru performanld gcolard gi

olimpiade Unitatea ^4. Unitili

4.1.

Unit;!i

de mAsurS 4.2.

Unitilide ^mesuri

de misuri

pentru lungime, Perimetre. Transformdri pentru arie. Aria

pitratului ti

^a

dreptunghiului.

Transformdri

4.3.

Uniuli

de mdsurd pentru volum. Volumul cubului _5ial paralelipipedului dreptunghic.

Transformiri

Teste de evaluare

Figd pentru

portofoliul

individual (G2) Test

-

model pentru Evaluarea

Nalional;

4.4 Probleme cu caracter aplicativ

4.5 Probleme pentru

performanli

gcolard _9i

olimpiade Unitatea

5.

Subiecte pentru evaluArile finale

5.1. Variante de subiecte pentru tezd

5.2. Variante de subiecte pentru evaluarea

final;

Teste

-

model pentru Evaluarea Nationald

Solutii

UNITATEA

Fnacu ^oRDTNARE

Tema 1.1,

Fraclii ordinare.

Noliuni introductive Tema 1,2,

Clasificarea

fracliilor ordinare Tema 1.3.

Fractii

echivalente

Tema 1.4.

Amplificarea gi simplificarea

fracliilor.

Fractii

ireductibile Teste d€ evaluare

Fitd pentru portofoliul individual (Al

)

Tema 1.5.

Reprezentarea

fracliilor ordinare

pe axa

numerelor Tema

1

,6.

Compararea gi ordonarea

fracliilor ordinare Tema 1.7.

Adunarea

fraqiilor ordinare

Tema 1.8,

Sciderea

fracliilor ordinare Teste de evaluare

FitA pentru portofoliul individual (42) Tema 1,9. inmultirea fractiilor ordinare

Tema

1 .1O.

imp;rlirea fracliilor ordinare

Tema

¹

,l I.

Ridicarea la putere a unei

fraclii

ordinare. Reguli de calcul cu

puteri Teste de evaluare

Fisd

pentru portofoliul individual ^(A3) Test - model pentru Evaluarea Nalionald

Tema

1 .12.

Fracliilprocente dintr-un

numdr natural sau

dintr-o fraqie ordinard Teste de evaluare

Fiti ^pentru portofoliul individual

^(A4)

Test - model pentru Evaluarea Nalionali

(4)

Competenle ^generale ti ^specifice ^vizate

1.

ldentificarea unor date, mirimi

gi

relalii matematice, in contextul in care

acestea

apat

1

.2.

ldentificarea

fracliilor

ordinare sau zecimale

in

contexte variate 2,

Prelucrarea unor date matematice

de

tip cantitativ, calitativ, structural,

cuprinse in diverse

surse

informa!ionale

2.2.

Efectuarea de calcule cu fraclii

folosind

proprietSli _ale

operaliilor aritmetice

3,

Utilizarea con(eptelor

gi a

algoritmilor specifici in diverse contexte

matematice

3.2.

Utilizarea de

algoritmi

^pentruefectuarea

operaliilor

cu

fra4ii

ordinare sau zecimale

4.

Explimarea in limbajul specifi( matematicii

a

informaliilor' concluziilol

gi

demersurilor de rezolvare pentru

o

situatie dati

4.2.

Utilizarea

limbajului

specific

fracliilor/procentelor in situalii

date 5.

Analizarea caractelisticilor matematice ale unei situa!ii date

5.2.

Analizarea unor

situalii

date

in

care

intervin fraclii pentruaestima

sau

pentru

a verifica

validitatea

unor calcule

6.

Modelarea matematici

a

unei situalii date, prin integrarea achiziliilor din diferite domenii

6.2.

Reprezentarea matematic6, folosind

fracliile,

a unei

situalii

date,

in context intradisciplinar

_9i

interdisciplinar

(geografie, fizicd,

economie

etc.)

Tema t.{

Fraclii ordinare. Noliuni introductive

O parte

dintr-un

intreg,

imp64it in pn4i

egale, se numeqte

rnitatefrdclionard.

Exemple.

Partea coloratd din urmdtoarele

figuri

reprezintd:

o

doime

sar ^o

jumdlate

sau unu

pe

doi;

," ,"ri. I.

₂

o

lreime

sav unu

pe trei; se

scrie

\

^.

o

pdtrime

sau un

sJbrt

sav unu pe

patru;

a"

,"ri" ¹

^.

4

mai multe uniteli fractionare

se nvmeqte

frqclie. ^Forma

^generala^a

liacliei

esle

1.

^unde

^r.

b sunt numere narurale gi b + 0.

b

Numirul a

se nume$te

numdrdtor qi

arate cate unit6,ti

ftaclionaxe

s-au

luat;

numirul

b se nume$te

numitor

gi aratd

in

cate

pdrfi

egale a

fost impd4it intregul;

linia

orizontald (sau oblicd ) ^se^numeqte

linte defraclie.

t'ruclin

este o pereche de numere nahtrale,

a

^qi.

b,

scrisd

subforma !

_b ^sau^a'b,^b^{+ 0.}

Exemple.

Partea coloratd din urmdtoarele

figuri

reprezintE:

1 _citim

trei

pdtrimi

sau

trei

supra

petru

sau trei pe

potru.

a f

H Una

sau

.t

d)

o rreime;' e) o sutime;

J) trei optimi',

T

J s I

F

E

ul F

=

7

O 9

! _citrm patru treimi

sau

patru

supra

trei

^sau

pahu pe trei.

1.

Scrieli

sub

formd

de

fraclie:

a) o

pdtrtme;

D) o qesime;

c) o zecime;

2. Citi{i

urmdtoarele

frac{ii:

1111111 I

"' s' t' 9' rr'40'19'17'loooooo'

g)

o

miime;

ft.) o

milionime;

r) doud

cincimi.

(5)

23s7 93 2210 1624 rs ¹³

¹²

"'7'5'4'

₈

^'

₉

^'

₄

^'

₆

^'

₈

^'

_r₅

^'

₂₃

'

_l₀

' ₈ ' ₈ '

₇

3.

Reprezenra!i

prin

desene

urmatoarel. fi".tii' ' ₃ _1.3. 4'5'2 +.:. +.: 4

²

4. Scrieji

sub form6 de fractie:

a)

trei noimi;

D)

cinci

gesimi;

c,) qapte

pitrimi;

5. Reprezentati,

in

urmetor:

.l)

opt

zecim|'

e) patru

cincimi;

,

^qase

^p6trimi;

g) cinci cincimi;

fr)

treizeci

$i $apte de

sutimi;

t

^patru

^optimi.

Rezolvare. d,l trei noimi se

scriel

desene

direrite. fractiire

;.? r

I ; i : : ^din ^inhesul

6.

Desenafi un

pdtat

cu lah.ra de 3 cm. ColoraEi cu roqu

]

^OU

^.t

^9l

_"u ^u.ra" ]

^Oin

"1.

'33

7. Desenati

un dreptunghi cu dimensiunile de 6 cm gi 4 cm. Colorati din

acest drenrunshi

f.n",iil. 1.5.7.1

^|

"-'' '- _3' _6' 24't2'2'

8. Scrieti in tabelul

de mai

jos fraclia reprezentati

de partea haqurate

din

desen ca

in

exemplul de la d).'

l.*.+-..t;!l#

@

@ K

ffi

@

a)

b)

o 2 o z

E E

e

I z

F

= z s

c, o.

.E

2

F--+--t +.,-l

r:$xrx s

ffi

@ ffi _rTTTl

I

h) i)

m) d)

k)

J)

fi gura b d P h I k

fracfia ?

8

J. .t-

- .. l3 9 810948 ¹⁰³ 83c2x

9.

('itiri

urmatoarele

-hacln: -. 64127 -. -. -. ⁴² ¹⁶ ⁵⁰ ²⁰¹ 96b5Y

I

o.

Folosind

cite doui

dintre numerele 3, 5, 7,

scrieli

toate

fracliile posibile.

11. Folosind cate dou6 dintre numerele

6,4,10, scdeli

toate

fractiile posibile.

12.

Scriefi

toate

fracliile

^de

forma |

^{, unde}

^a

^gi

⁶

sunt numere naturale

mai mici

b

dcc6t 6 qi mai

mari

dec6t 3.

t:1.

scrieti toate fractiile de forma f, ^unde ^c

^Ai

^b

^sunt

numere naturale prime

tlistincte cuprinse

intre l0

5i 20.

Rezolvare, Numercle

p

me cuprinse intre

l0$i20sunt:11,

^13,^{17$i 19}^Fracliile^care

sc pot scrie cu aceste numere sunt:

l1-

11.11-13- 13.13

-l'7 "l'7 .l'1

.19

^1'9¹⁹

13' 1'.7'

lg' tt' l7'

19' I I ' ₁₃

'

19' 11' 13' l',l ^' 14.

Scrieli toate fracJiile de forma 4, _unde _a gi b

sunt numere nahrrale

prime

diferite

cupdnse

intre

20 _{$i 40.}

I

5. Scrieli in tabelul

de mai

jos

frac{ia ca

in

exemplul &):

,,, _{/.- \} /l\ n

"mm

reprezeltatd

de partea

hagurati din

desen,

,'a) \_7

,ffi\

ffi ,ooo

--l l

|_H I f I

F-i.;:lg-,,i,+;]-]-- ⁺ ^_]

r[il,f

E-rffr1

llllll

.l)

e)

J)

E

O \,/

i)

k)

T

!

v

_F

E

ul

F E

9

(6)

l 6 o z

4 E

,E

g z

F .g

f

z

E t!

o,

'-

a 10

16.

Scrieli

toate

fractiile

care indeplinesc, simultan,

condiliile:

.

numeretorul este o

cifri

para, nenula;

. numitorul

este o

cifre

cu cel

pufin

3 mai mare decdt numdrdtorul.

17.

Scrieti toate

fiacliile de forma 1

, unde a este

dlizor al

_{12 5i}b este

divizor

al b

lui

35.

18.

Scrie{i toate fracliile de forma 1.

_unde

_{a qi} _b _sunt

_numere

_prime

_cuprinse

b

intre

25 _9i45,

iar

a

<b.

?k ?k ?k

19.

Fie fiactia ' -4

2x

+l ^, ^. Oa,"r-inu[i numaml natural r, patrat perfect, pentru

care

fraclia

ale

numitorul

mai

mic

decdt numdrdtorul.

Rezolvare. Avem

2r + I

^<23

e ²ⁱ

^<²³

- ^I ^<)

^{2x <}^{22 |}^:²

e ^x ^<

^{I 1.}

Cum'

^este pitrat pefect gi .r

<

I

l,

rezulte ce

r

^poate^f10, 1, 4, 9.

20. Fie fractia '98 {l? . Dete.minufi numaxd

natural

x,

pAtrat perfect,

pentru

_care

fraclia

are

numitorul

mai mare decat

numdrebrul.

21, Scrieli

toate

fracliile {

_h ^unde

^a

^este^parratul

^unui ^numAr

^naLural.

^b

^esLe^cubul

unui numdrnatural qi

0 < a

<37, 0<,

<

38. 22,

Scrieli toate

fracliile

care indeplinesc,

simultan, condiliile:

.

numfuAtorul este o cil'ra impara:

. _numitorul

_este_o

_cifrd pari

nenula mai mare dec6t

numdritorul

cu cel

mult

5.

23. Determinati num6rul fracliilor d" fomu 4i i

care au proprietatea cA suma ha + I:t

dintue

numlritor

_Si

numitor

este petrat perfect.

Probleme de ;apte ^stele

24.

Determinafi

numirul

perechilor de

fractii ' \b

[

9;1 ^d) |

^astfel

^incdt a-d=b.c=6.

25. Determinali

numdrul

fiactiilor

de

fo.rnu :-]__=-

ab+bc+ca

26.

a) Delerminali numirul fiac{iilor d" fo.rru 4.

ab

b) DinlJe frac{iile gasite la punctul anterior, afla{i-le pe cele care

au propdetatea ce

numirdtorul qi numitorul au cel pulin un divizor comun

mai mare sau egal cu 2.

Tema t.2

Clasificarea frac!iilor ordinare

Fie a gi b doui numere nanrale. cu

b+0.

Fractia

'b {

^se^numeSte:

-

echiunitqrd, dacd a

=b (nurndritorll

este egal cu

numitorul);

- subunitard,

dacd a

<6

(numdr6torul este mai

mic

decat

numitorul);

- supraunitqrd,

dacd a >

b

(numdrdtorul este mai mare decdt

numitorul).

Exemple.

l

^Completafi

echiunitare:

.L _,t

numerdtorul sau numitorul

61rIlo13!

E'E' '3'n'n' ^u'

2.

Daf

cate

trei

exemple de:

a)

fracJii echiunitare;

,.) fractii

subunitare cu

numirdtorul

7;

c)

fraclii

subunitare cu

numitorul

12;

d)

fraclii

supraunitaxe cu

numitorul

10;

e)

fractii

supraunitare cu

numdritorul

20.

astfel incat si obtineli fractii lipsi,

n

103

i

J

-g

IJ F

=

qt

F E

11

Fraclii echiunitare Frac!ii subunitare Fra(!ii supraunitare

mFt W

J ^fuut*nat i-o

K

]

^(o

^oatrime)

ffi Krui$ ffi

f

($apte

paffimi

)

.i'h'

W

-

^(trer

^fermr) 3..

- ^(trel

^crncrml⁾

&&

w ^\_-/

I ._...

t

(trer dormr)

I 11 23 t00

²⁰⁵

I'n'z'fio'2os ^l0' ^7144307 ^13' ^s'7'

^300s

⁵ ^{8 8 8}

100

156'.?

²⁵

(7)

3. Scrieli ftacliile echiunitare, frac{iile subunitare qi fracfiile

supraunitare

din

qirul de

fraclii:

3 57 83lt9 914 ³¹ 90 103

405

t'E' 1' 4'i' ^r2' ^{s' ro'zo'} 30'sl' x'

⁵⁰⁴

4. in urmdtorul

qir _de

fiaclii, subliniali-le

pe cele supraunitare:

125517 2341 70 51 83 99 86

¹⁵

t'T'l'A'G'20' ^{43' 60'} 41' E' ^r03'68'ros

5.

in urmitoarea secven{i

de

ftaclii, subliniali cu o linie

pe cele subunitare qi cu doud

linii

pe cele supraunitare:

12446436711 92354 18 43 72 86

97

l'+'l' ^s 'j 'a'6'6'8'l0' _t0' ts'2i' 4t'

43

' _7l '86'

₇₉

6.

Aflali, in

frecare

caz, numarul

natural .n

pentru

care

fracliile

urmdtoare sunt echiunitare:

q) .l .x .

¹⁴

et

- ' x+2

b '7 ^x+l:

: flft:

tt

,+l

_,

'7

4T, -a .

¹⁰⁴

o' _2ox+4'

ofi;

,, '

^3x

_2x+7 ⁺²

il+

_+X

lui r ⁱⁿ ^fraclia I,

7.

Determinali, in fiecare

caz,

valorJe numdrului

natural

r ^pentru

care

fracliile

urmatoare sunt supraunitare:

s) .4 -; _x ^c'' ^. ^x-2 ₁₀ ^: ^al ^..6 _zx

c)

.

_^;

t-l

8.

Aflali

numarul natural

r

pentru care

fracliile

urmetoare sunt subunitare:

a);i ,x

J

.. x+12 tt- '17

f

o _o z

0c

E

U

z

F

f

2

OElll 4

'-

=

12

9. Indicali patru numere naturale care, puse in locul determini

o

fiaclie

subunitard.

Rezolvare. Fraclia este subunitari dacA

numixitorul

este mai

mic

decet numitorul, adici

r ^<

13. Prin urmare.x poate

fi

unul dintre numerele

0, 1,2,

..., 12. Putem lua oricare patru dintre aceste valori; spre exemplu pentlu x

-

^2,^x

:

5,

r :

8

!i r :

I

se

. 2 5 8.ll

obtln ftactrle

subunr,*"

t:,t:-t: tttJ.

10,

Aritati

cd fiact

,^ tO4i:t

este echiunitarS..

ac+cb+ba

11.

Pentru cdte numere naturale n

fraclia {

^estesupraunitarA?

n+

^I 12. Se considerS

fiacliile:

233 ss387 698 8 911 14 ts ²³ 39 74 103 20s

1'1'4' 4'a'1' 6'l'A'8' r0' r2't' B' t4'n' u' %'E' u' su

Selectali dintre acestea:

a,)

fracjiile subunitare;

^D)

fracliile echiunitare;

^c)

fractiile

supraunitare.

-?- -t-

r3.

Care

dinhe

urmbtoarele frac.tii sunt

subunitare: !,t",i,i,i,1,4.!,

'7'

3' 4' 6' 8'8' 3'15'

r4.

Care dintre urmdtoaxele

ftaclii

sunt supraunitare:

i,2,:,:,:,:.1!.9't 5'3'7'5'12'10'59'90'

15.

La cele dintre fractiile i.1.1.18.24.60.

³⁵

,8,19 rebuie sd modificdm

' _3'4 _6'13 53'60 104 8

¹⁴

num6rdtorii pentru ca toate sA devind,

dupi modificare,

fracJii echiunitare?

16. Pentru cete numere naturale n

aacia '27 ',+3

^estes,rbooiturd?

17.

Determinali

numerele naturale n care

verifici

simultan

condiliile:

Rezolvare.

r*"Uu !!

este supraunitari daca n

+l>5,

adica

n>4.Fr^cIia \J ."r"

20 subunitari dacd

h+'t

<2O,ndrcd

zc13.

Ob$nem

4<n <13,d€cin

poate lua valorile 5,

6,7,...,|,12.

18.

Determinali

numerele naturale n caxe

verificd

simultan

condiliile:

o) ! ""t" t

u"1ie

supraunitari;

a) f

^este^fraclie

subunitari;

D ff

^exefrac+ie subunitaxd.

U !

este ftac1ie supraunitarE.

19. Folosind ca

numitori

qi numdretori oricare doud dintre numerele

3, 5, 6 ^gi

9, scrie{i toate fracf

iile:

a,) subunitare;

20. Subliniati fracfile

subunitare:

D) supraunitare.

34823 68 350 16847302a

s' +

^ra-'

21'Z' 10' t3' 2s''' 40' 47' t2o''

21.

cate numere naturale ,t existd astfel incdt

fractia 17 _,e _fr.

supraunitari?

' 2n+3

22. Dati exemplu de o fraclie echiunitard care si aibi la numerdtor cubul unui

numdx natural,

iar

la numitor pdtratul unui

numir

natural.

.LA

23.

Deteminali nwnerele naturale nenule a si b asfel incet

" !"

^sdfie echirlnitari.

'6

24, Determinali

numerele naturale a qi b pentru care

frac;ia '12 &jq

este:

I

J o

F

E

qt F

=

13

a) echiunitard;

,)

subunitara.

25. Determinati numerele naturale a qi b, nu ambele nule, astfel incat ftaclia

(8)

t o o 2

aa

=

I z

F

3 z

oaE' 4

'-

=

14

15

-

sA

fie

echiunitard. iar suma a

+

b sd

fie

minimri.

2a +'7 b

Rezolvare. Fractia

' ----:- 2a+"lb

1S este €chiunitad dacd

2a+7b=35.

Atunci

6

este numar impar (daci 6 ar fi par, suma 2d +

7,

ar

fi fi

^ea^numir^par,^deci^{nu poate}^fi^egalA^{cu 35).}

.

daciL b

=l =2a +7:35

₌₎

a= 74.+

a + b = 75;

.

dacd

b=

3 =>2a +

2l:35

₌₊

a=7..>

a +

b= l0:

. dacdb:5 =2a

⁺³⁵

^=35:+ ^a=

⁰

2

a +

b-

^5.

.

dace 6 > 5 atunci f?aclia nu mai este echiunitari.

Numerele cerute sunt

a=0ti6:5.

26. Determinali numerele

nat.lllale

a _$i 6, nu ambele nule, astfel incdt fraclia

-"

s1 _sdfie echiunitard si suma a

-

^b

^si

fie maximd.

4a+ th

J.L.L

27.

a)

Detemrinali numerele naturale d , b,

c astfelincat ftactia _a' -j

_t_b"

_+c' .

^{sa fre}

supraunitard.

,,, Determinati

numerele naturaie a. b, c. astfel incet

ftacia _a'+h- ;j _+?- ,

^sA

^fie

echiunitard.

c) Determinali numerele naturale a _$i , pentru care fiaclia ; ?; ;

+b"

+4 "rt"

echiunitari.

Rezolvare.

a)

Fraclra datd este supraunitaxi dacd, 4 > a2 + b2 + cz . Numerele a, b, c pot

fi

cel mult egale cu

l,

dar nu pot

fi

toate egale cu 0. Cazurile se pot organiza in tabelul:

28.

a.) DeterminaJi

fiacliile

subunitare de

forma {

^qtiindcd

numdrbtorul x6 5y

pdtrat perfect, iar

numitorul 3y

este numdr

prim.

doud dintre nwnerele a,

,, c

sunt €gale cu

I

$i al treilea este egal cu 0

doue

dinte

numerele a, 6, c sunt egale cu 0 Si al

teilea

este egal cu

I

6./

Determinati fracliile

supraunitare

de forma 9. ^Utt"O

^cri

numi'rdtorul 6x y7

cste pdtrar perfect. iar

numitorul y7

este

numdrprim.

--

Rezolvare.

a)

Fraclia

4

^eslesubunitara dace

xo . 3y.

de unde

x = I

^sau

r.

²

Pentru

r : _l,

rezultd .x6

:

16 = ^42,iar pentu

t =

2, numdrul

x6-26tr]']

^este

^pitrat

perfect. Numerele prime de lbrma

3;,

sunt

3l ti

^37.Fracliile ciutate sunt

f _3t

^qi

' f.

3'7

29, Anclrei scrie pe tabl6 toate fractiile de forma '8 { ^, ^cu

proprietate

a cd al8.

Bianca scrie toate

ftacliile

Ae

forma |, h'

cu proprietatea

ca ,18. ^Corina

^scrie

toate

frac{iile '

de

fo.-u { _h'

^,

^und" ^al4 ^qi ^bl6.

Determinati fracliile echiunitare, fracliile

subunitare

qi fracfiile

supraunitare scrise de fiecare djntre cei trei

copii.

30.

Fie qirul de

ffactii

^ordinare:

| 2 3 4 2015 2016

²⁰¹⁷

2on' 2016' 20t5'2014'" 3' 2'

^I

Scriefi fracliile echiunitare, fracliile subunitare qi ftacliile

supraunitare

din

acest qir.

Probleme de;aPte stele ---- _.^

nlr\+ll

31.

a., Stiind cd fra

clia ' :_:1

_{).nh + 121} esle echiunitara.

determinali

4

-b.

ab5 + 12

,/ Stiind cd fraclja ' JZ---!1 _2ab+123

este subunitaxa,

determinafi valoarea

^maxima

a

sumei

a

+6.

. .2 .l a2010

32. Ardtati ci frac{ia

(sz"* r"'

este supraunitard.

..r213214321

²⁰

33.

Fie secventa de

hactil ^^--'" -:-:-:- -

_r

_'

_r^'

_2' t' 2' 3' l' 2' 3' 4"""

24 d)

Determinati numirul termenilor

secvenlei date.

,.)

Determinati numirul fracliilor

subunitare

din

secvenla date.

c.)

Determinali

numdxul

ftacliilor

supraunitare din secvenJa dat6.

T

J

!

u tr E

ul

F

E

(9)

Tema 1.3

Frac!ii echivalente

Analizand ligura

alaturale.

conshtam

ca

fracgiile ' 2'4 ] ^qi ]

reprezintd aceeaqi parte din intreg. Putem

""ri. \ =].

Definilie.

Frac1lile

f, ^$i I ^snt

echivalente dacd

a.d

₌

b.c. Scriem . = .

^.

^--.u-L Fracliile

f, ti;

nu sunt echivalente dacd

a

^d

+b.c.Scnen !+fi.

ExemDle. . 1.I J U

^-19-

d"n^r""" 6 ^5-3 10: 2, ' '=2d.deoarece

^I

₁ 28=7.4:

t ^Z. $.d"o*"ce 2.22-tt.4: 4.lt=J.a.our.." t6.3=t2.4:

5. 61 1, !.deoarece3 -3+6.l:. o.f*I. 5'7

deoarece

J 7+5.5.

.t-

1.

Verificali

dace urmdtoarele

perechi

de

frac{ii

sunt echivalente

qi scrief intre

ele semnul corespunzdbr (

:

_sau

_*

_),_ca

_in

_exemplele

_c)

_{qi 6).}

3 6 o z

&

= e 9 z

F

f

2 E

lll 4

'-

16

.2-6 ..2r10

c)=l =l d)=l)--l 5vt5)

n i.+' ^r,:a#, ^c/ *!+, ⁿ ^+2|

.. 15rr3 ,,60rr2 ,.70rr5 ^,. ^l02 n

¹⁷

tt Ul ,: ^,l/ *

^L.l

5: *, ,,li: ^t) U | 4.

2.

Verificali

dacd urmdtoarele

perechi de ftaclii

sunt echivalente

qi scrieti intre

ele

semlul

corespunzdtor

(:

sau

+):

.1

²

q) -==,Jt)

.1-,2

4t _t l- '7'14 . 2 n l8 e) n

^L-l

*:

-. 6 -,

¹²

t/ n

^LJ

,,:

u !=1;

,lr1, ^o _#a+'

^d,,

_*!:,

_ s r- 20 ⁶ -,54 l, ⁹¹¹ ^19,

J) itlls: ^C, iLl 6: s-

^2t)

. rr70 _.tonr, _h LllV I _u

^L-t

u: ^) 4 --:1: s

_t{)

3.

Scrief in cisulele libere numere natuale astfel inc6t sd obline{i fraclii echivalente:

r Il - 7 2r ll 12 r r 24 n

s) i=fr: ^b) s=8. ⁽⁾ 7=i: ^d, _E j. ^e, _A=7:

^2o 4 .8ll I-l 36 .. 13 re ll

J)+s=D: 8/s=E: htfr-T: ^u2o=Et t'cz=l'

Rezofvare. c)

4.

12

: 16: 3:.";"- ]=]]. 416

4.

Scrieli

in cisqele

libere numere naturale astfel inc6t sE

oblineli fraclii

echivalente:

6 3 ..2 l-l . l-l 18 .. ll ii .32 [l

a):=_- h,_=- t:) -=_ dt:=_

et

-'4-n' "'a-qs' " s-+s' "!-28' " 8-s'

- l-l 6 8 24 . t-l .ro 2 I-1 . ro ll t i= 3t ^8/ 15=EI' ^ui ffi=r00' 's0=ffi' r ^n=7'

.t .t

5.

Determinaji

numerul natural

r, _ttiind

^cdurmdtoarele

propozilii

sunt adevdrate:

'7 n - n 3 48 6 80 8 18

³

at _=- _h)

-=_ ^ct -=-.

^at)

-=_ ^e) :=_

'9 21 14 2 n l0 50 n n

⁴

^ l00l 13 .l4O n n 48 .. l0l 505 5

ⁿ

I lj|j=-: I s0=t, h)i=U: t)

3j=-: l6=n.

6,

a) Dali trei

exemple de

fraclii echivalente cu fractia ' !

6',

, ai

^caror

numitori

sa fie mai

mici

decdt 40.

b) Dali fiei

exemple de

fracfii echivalente cu fraclia '1 !, ^ai

^caror

^numitori

^sd

fie

mai

mari

dec6.t 20.

Rezolvare. a,

Multiplii lui

6 mai mici decat 40 su:'t:. 12, 18,24,30 qi 36. Prin urmare

t0 t5 20 25 t0 ^

⁵

a\em

lracl le:12.

ls. :a. 30. 36.caresunl.

llecare. ecnrvalenlecu traclra

-.

7.

Stabilifi

care

dintre fracliile

813203224t640

ro'B'x'A' 30'E'

⁵⁰

sunt echivalente

cu 1-

5

-_l

8,

Scrieti doud

fractii

de

forma 4

care sunt echivalente cu

ftactia:

cd a) .5

8:

"t ' lt _18'

o*' ^0#;

efr; ^D3

ht ' 9:

24',

fla;

l1

_tt

I

s 9

F

E

ul

F

=

17

Livia Harabagiu prof. gr.

Marius PERIANU

Cdtslin STANICA

$tefan SMARANDOIU

atematicd

clasa a V-a

II

p

ff.

pe

A

- A VI

rtiinlif

lina

Drighia

Dal

II)

l,

lucdri

lucdri

fird

CupnrNs

Unitatea

Fractii ordinare

Noliuni introductive

fracliilor

fracliilor.

ireductibile

Fit;

portofoliul

numerelor

fracliilor

fracliilor ordinare...

fracliilor ordinare...

portofoliul

fractiilor

fracliilor

portofoliul

dintr-un

portofoliul

-

Unitatea 2. F;ac!ii zecimale

fracliilor

numitori

lui

fraclii

finit

intr-o

ti

fracliilor

finit

portofoliul

fraciiilor

finit

naturala

fraclii

num;r finit

portofoliul

impirlirea

2.7.lmpi4irea

fracliizecimale

r08

ll5

r89

portofoliul

fraclii

fraclii in

ti unitdtide mesuri

portofoliul

'lest

ti olimpiade Unitatea 3. Elemente de geometrie

dreapti

doui drepte

portofoliul

-

pentru

Najional;

unghiurilor

olimpiade Unitatea 4. Unitili

Unit;!i

- ^A VI

ti unitdtide ^mesuri

ti ^olimpiade Unitatea 3. Elemente de geometrie

^pentru

^Najional;

olimpiade Unitatea ^4. Unitili

Unitilide ^mesuri

Fnacu ^oRDTNARE

pentru portofoliul individual ^(A3) Test - model pentru Evaluarea Nalionald

Fiti ^pentru portofoliul individual

Competenle ^generale ti ^specifice ^vizate