. Modolitdti de lucru diferentiote

le de invdldmAd preuniyersitdr in tigoare pentra clasa a V-a,

ftia

9i recomanddrile Conrisiei oetice din Romdnia. Aceasta $i-a

oranudc.

Ion TUDOR

]notetnotic6

oritmeticd, olgebrd, geometrie

. Modolitdti de lucru diferentiote

. Pregdtire suplimentord prin plonuri individualizote

Coiet de ^lucru

Partea I

Editio o IIf-o,

revizuitd _5i oddugitd

t L.rr b*

^{: caiet}

Prdeta +5

"!e-

ietxe intelectual5.

Edilura Paralela 45

74

98

Leclia 27. Amplificarea ftac{iilor

...

... l l0

Leclia 28. Simplificarea

fiac1ii1or...

... I 13

Lecfia 29. Aducerea fractiilor la acelaqi numitor comun

...

...,... 116

Leclia 30. Compararea ftacgiilor

ordinare...

... l 19 Lecfia 31. Reprezentarea fracliilor ordinare pe axa

numerelor...

...,,...123

Teste de evaluarc

sumativd...

...12i

Lec{ia 32. Adunarea fractriilor ordinaxe. Propdetilile adunarii

...

... 128

.

^{Lec{ia 33.} Sciderea fiacliilor

ordimre...

... 133

Leclia 34. inmulfirea Aaqiilor ordinare. Proprietifle inmullirii

.

...t3'l Leclia 35. Puterea cu exponent natuml a unei ftactii ordinaxe. Reguli de calcul cu puteri...141

Lec{ia 36. impi4irea frac1iilor

ordinare...

... 145

Lecfia 37. Aflarca uaei fractii dintr-un numir natual. Aflarea unei ftactii dintr-o ftactie... 148

Leclia 38. Procente. Aflarca unui procent diltr-wr numir natual. Aflarea unui procent dintr-o fi'aclie

...

...,... 153

Teste de evaluare

sumativd..-...-...

...,...156

Fitd pentru portofoliul

e\ew(ui...,

... 158

Model de test pet tru Evaluarea

Naliondld...,

...,... 159

MODELE DE TEztpn\nRU SEMESTRUL

L...

...,... 161

INDTCATI

$rRisuNsuRr

... 163

---

ALGEBRA Capitolul I

Nuunnn NATURALE

J

g oo

s (,

rci.9 .Fo Eq)

+

_o

€

8

I". Scrierea gi citirea numerelor naturale

@ 4,r."" _ei relin

Scrierea unui num[r natural se face cu ajutorul a zece simboluri numite cifre.

Acestea sunt: O,

l,2,

3, 4, 5, 6,

7,8,

9. Cu ajutorul acestora putem scrie numere naturale cu doul sau mai multe cifre, respectind urm[toarele reguli:

o prima cifrd a unui numEr natural format din doui sau mai multe cifre este

diferiti

de zero;

o in scrierea unui numir natural orice

ciftl

se poate repeta sau nu.

Acest mod de scriere a unui numlr nafural se nume$te scriere

in

sistem zecirnal sau scriere

in

baza zece, pentru ce zece unitt1i ^de un anumit ordin formeazd o unitate de ordin imediat superior.

Un numir natural de doui cifie se scrie aD,

a+O,iar D

^{se numeqte}

rlsturnatul s[udacdb*0.

Un numir natural de trei cifre se scrie abc,

a+0,iar

cba se numeqte

rlsturnatul

sdu dacd c + 0 gi aqa mai departe.

Citirea unui numdr natural se face gnrp6nd cifrele cdte trei de la dreapta spre stAnga.

Aceste grupe se numesc clase.

in

ordine, de la dreapta la stAnga avem: ilasa unitAlilor, clasa miilor, clasa milioanelor, clasa miliardelor etc. Cele

hei

cifre din fiecme clasl reprezinti de la dreapta

la

stdnga cifra de ordinul unitElilor, cifra de ordinul zecilor, respectiv cifra de ordinul sutelor de unit?ili din clasa respectiv[. Din acest motiv, scrierea numerelor naturale

in

baza zece este

o

scriere poziJional6, deoarece valoarea fiecdrei cifre este datl de poziJia pe care o ocupl.

clasa miliardelor

clasa milioanelor

clasa miilor

clasa unitedlor Numere naturale pare. Numere naturale impare

Orice numdr natural care are cifta unit5;tilor

0,2,4,6

sau 8 se numegte

numir

par.

Orice num5r natural care are cifra unitlfilor

l,

3, 5, 7 sau 9 se numegte

numir

irnpar.

Numerele nafirale scrise in ordinea succesivi: 0, 1,2, ...,9,10, 11, ..., 99, 100, 101, ...

forrneaz6 girul numerelor naturale.

Dac[

r

^este un num[r natural mai mare ca zero, atunci numirul z

- ^I

^{se numeqte}

predecesorul siu, iar numerul /r + 1 se nume$te succesorul siu.

Dace

n

este un

numir

natural, atunci

n

^qi

n i 1

se numesc numere naturale consecutive.

@ ^{ar^ se oplicd?}

1.

Scrieji urmetoarele numere naturale:

a) qase mii cincizeci qi patru;

c) cinci ^{sute qase} mii treizeci.

LE

r naturale

ae

simboluri numite cifre.

ffia

put€m scrie numere rele rcguli:

u

nqi mlte

cifre este diferitd peh

s m-

E Eirr€ in

sistem zecimal

mit adin

fcmeazd o unitate

.E * o,r-"St" rlsturnatul

rlv se

^rmette

risturnatul

:

tei

^de la dreapta spre stanga.

{ilge

av€rn: clasa unitdtilor,

h tei

cifte din fiecare clasi

f,fi.

cifi-a de ordinul zecilor, lir6- Din acest motiv, scrierea

h,

demece valoarea fiec[rei

b) noudzeci qi trei de mii cinci;

Solalic:

a) 6054; b) 9300s; c) 506030.

2.

Se considerd numdrul

63

^{0 4}

gLi

5. PrecizaJi clasa qi ordinul cifrelor subliniate.

Solutie:

Cifra 1 face parte din clasa

unitllilor

^qi este de ordinul sutelor.

Cifra ^{8 face parte} din clasa miilor qi este de ordinul unitdlilor.

Cifta ^{6 face parte} din clasa milioanelor ^qi este de ordinul zecilor.

3.

Determinali numerele naturale impare de forma

3"7y

"ur" ^{au suma cifrelor egal6} cu

i7.

Solali.e:

3 +

x+

7

:f

^{17, deci}

^x

^+-y

⁼

¹⁷

-

10, de unde rezulti

cdx * y:7.

^Deoarece

numerele

3x7y

surfi impare, deducem

cAI

^poate

fr

1,

3, 5

sau 7, prin urmare valorile corespunzitoare ale lui .r sunt 6, 4, 2, respectiv 0. Numerele cerute sunt:

367

I,

347 3, 327 5 qi 307 7 .

2.

Citilr urmatoarele numere naftrale:

a) 358;

e) 4123;

i)

1234s;

a) 523149;

e) 1020400;

b) 504;

0

^5017;

j)

42038;

b) 603468;

I)2203109;

c) 612;

g

6704;

k) s0821;

c) 700207 g) 600600s;

d) 7eo;

h) 9820;

l) 83106.

d) 206046;

h) 4040108.

3.

Compteta{i spaliile ^punctate cu rispunsul corect.

a) Numerele naturale de doui cifre diferite scrise cu ciftele 1 qi 8 sunt:

I .

Citili urmatoarele numere naturale:

b) Numerele naturale de trei cifre scrise cu cifrele 2 qi 5 sunt:

au 8 se numegte

numir

par.

9 se n|Imeqte

numir

impar.

, 9, 10, I

t,

..., 99, 100, 101, ...

cinumdruln-lsenume$te rl

seL

e numesc numere naturale

c) Numerele natuale de trei cifre diferite scrise cu cifrele 0,4 gi 9 sunt:

4.

Completali spa{iile punctate cu r[spunsul corect. _-

a1 Nurnerele naturale impare de trei cifre diferite scrise cu cifrele 1,6 ^gi 9 sunt:

(t o

()

o

xi

.o .F(J

Eq)

!

b) Numerele naturale pare de patru cifre diferite scrise cu cifi'ele 0, 5, 7 9i ^{8 sunt:}

=

.-.

5.

ScrieJi urmdtoarele numere naturale:

a) noud

miitrei

sute unu ...,

cjcinci mii treize.i _$i

""rt

^{. . . . : . . . : . . . . : . . . . . ;}

e) douSsprezece mii cinci ^{. . . . .} . . . . . . . . . . . . . . . . ;

6.

Scrieli un numir natural de:

a) patru cifre care si aibi cifra sutelor ^g;

b) ^patru cifie care s[ aibil cifra zecilor 0;

b) doui mii noui sute doi ... _; d) patru mii gaizeci qi panu ... _; f) nouisprezece mii gapte ... .

fTTl_n

n-n-fn

fTT_rN

fTrt-n

c) cinci cifte care

si

aibd cilia zecilor de

mii

1;

d) ^qase cifre care _sd aibl cifra sutelor de mii 9.

7.

Scrieli urmitoarele numere naturale:

a) o sutd doud mii ^qaptezeci; _{b) Sapte sute Sapte mii} noui;

c) nou6 sute cincisprezece mii opt; d) cinci sute patru mii o sutd FSe.

8.

Scrieli un numir natural de:

a) cinci cifre care si aib[ cifra sutelor 2 gi cifra zecilor de mii ^g;

b) cinci cifre care sI aib6 cifra zecilor 4 gi cifra zecilor de mii 3;

c) ^qase cifre care sd aibl cifra unitiJilor 5 qi cifra zecilor de mii 9;

d) ^qase cifre care sI ^aibd cifra

unitIlilor

3 qi cifra sutelor de mii 6.

9.

Scrie(i urmltoarele numere naturale:

[-TI-TI

tT-fT-rf-l

fTTN fT-rTfI

a) un milion doul sute patru mii o sutl doi;

b) trei milioane douizeci de mii qapte sute;

c) treizeci gi unu de milioane o sutd de mii douizeci;

d) gaizeci 9i cinci de milioane dou6 mii opt sute cinci.

10.

Completali urmitorul tabel:

o

do

5 !!

lo

F

_o

Eq)

{-_(t

€ lo

I I .

Completati tabelul urmltor, unde rn qi z sunt numere naturale consecutive:

12.

Completa{i urmdtorul tabel, aceeaqi paritate:

unde

n

^qi

ⁿ

sunt numete nahrale consecutive de

13.

Daci propozitia este adevaxatE, incercuiJi litera

A,

iar daci propozitia este fals6, incercuiJi litera F.

a) Daci, m qi n sunt doui numere naturale conseeutive,

aluncin=mi 1. A

^F

b) Dacd m qi

r

sunt doui numere naturale consecutive

de aceeaqi paritate, alJJrrci

n:

^m+

2. A

F

noui sute doi ... _; gaizeci _9i patru ... _; ece mii qapte

t $qte ^mii noui;

rIffu

mii o sutE $ase.

:&mii8;

r&mii3;

rde

^mii 9;

(rde

lrrii 6.

tT-fT-fft

ftrTrrn fl-fr-fn

rT-n-[n

--t

14. in

tabelul umdtor este inregistrat numlru] de pagini citite de Radu, in cinci zile, din romanul Doi ani de vacanld' scris de Jules Veme.

a) Folosind informaiiile din tabel, precizali zilele in care numerele de pagini citite sunt doue mrmere nahrrale consecutive ...

b) Folosind informaliile din tabel, precizali zilele in care numerele de pagini citite sunt doud numere nafurale pare consecutive ...

c) Folosind informaJiile din tabel, preciza\i zllele in care numerele de pagini citite sunt douA numere naturale impare consecutive

15.

Completaii tabelul urmitor:

16.

Precizad clasa ^gi ordinul cifrelor subliniate:

{-TTI-rn

|-T_T_[n

frrTt-n

frrT_rft

a) 2940s;

e) 341524;

b) 60178;

ft

917284;

c) 94169;

g) 502{88; Q sa2!4;

h) 584001.

D.8.

mturale consecutive:

1 1018

7024 312510

He

naturale consecutive de

10861

8{n2 701156

ar daci propozitia este false,

20.

ScrieJi numerele naturale:

a) pare de forma 1x7-r _;

c.7;

b) impare de forma 35rr ^.

17.

Completali spatiile punctate cu rdstumatele umdtoarelor numere naturale:

a) 45 ... ... ...

; ^b)72

^{. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .}

;

^{c) 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

;

^{d) 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;}

e)7529..."...t

f)5824...; g)4170s...; h)12359 I

I .

Scrieli numerele naturale de doud cifre care sunt egale cu rSstumatele lor.

19,

incercuili litera corespunz[toare singurului rdspuns corect.

a) Dacd numirul n atval

6A0o

are cifrele diferite _9i este par, atu ci cifra a este:

4.2;

B. 2 sau 5; C. 2 sau 8;

b) Dacd numIrul nabxal 5219x are cifrele diferite ^gi este impar, atunci cifra;r este:

A. 7 sau 5; B.

l;

D. 3 sau 7.

0

h)

(,

6 9 xi

.9

t

E\) I

€

CI

11 21

.

^Scrieli numerele naturale de forma

dilia x

1

^{+ z} in urmitoarele cazuri :

a) 3yz ;

xyz,

x+0,y+0,2

+O,care indeplinesc con-

b)

5y" .

A

22.

Determinati numerele naturale de forma xyz, x

*

O, y + 0, z + O, careindeplinesc condilia

y

_{"r '} z in urmatoarele cazurj:

a) x9z;

b)

x6z ^.

23.

Determinali numerele naturale de fo

t^u +rZy

care au produsul cifrelor egal cu:

a) 24; b) 36.

24.

Determinali numerele naturale pare de forma

56!

"-"

^uu

^..r-a

^{cifrelor egal6 cu:}

a) 15; b) 16.

25.

Determinali numerele _naturare pare de forma abc care au produsul cifrelor egal cu:

a)

6;

b) 8.

26. Determinali numerele naturale impare de forma abc care au produsul cifielor egal cu:

a)

8;

b) 9.

27.

Determinali numerele naturale impare de forna

lxZyz

care au suma cifielor egald cu:

a) 15; b) 16.

28.

Scrieli numerele pare de forma:

a1

i$

. ^:unde x =

2y:

b)

Sx5/,

unde x =

3y: ^cl 4W

_{,unde y} = 4x.

29.

Determinali numirul natural

nbr, o +

0, qtiind cd cifrele sale sunt trei numere naturale impare consecutive, a ceror suml este e gald _{ctt 21} .

30.

Afla1i crite mrmere naturale de trei ciffe sunt egale cu ristumatele lor.

31.

Determinali numerele naturale de trei cifre care au suma cifrelor de trei ori mai mare decAt suma cifrelor succesorilor lor.

32.

DeterminaJi numerele naturale

ob"i

"u ^o + 0

;i , *

0, care indeplinesc conditia:

dacd se gterge cifra a, numerele devin de nou6 ori mai mici.

Ce notd merit?

Test de evolucre stodiold

Se acordd I punct din oJiciu.

fip) l.

Scrieli numarul natural:

a) cinci mii qaizeci _9i

doi;

b) optsprezece mii treisprezece;

c) de qase cifre care are cifra zecilor qapte gi cifra sutelor de mii ^patru.

(3p) 2.

Se considerl numlru] 283 507 6.

precizili

_{ilasa gi} ordinul cifrelor:

a)

0;

b)

3;

c)2.

(3p) 3,

Determinaji numerele naturale impare de forma

1iil,

"*"

^{au produsul ci_}

frelor egal cu 84.

o rt g

\J :ci.9 'Fo

€

_q)

.Fg

€

/

, y + O, z + 0, care indeplinesc

Lecfia ^2. Reprezentarea numerelor naturale ^pe axi

au produsul cifrelor egal cu:

ae

au suma cifrelor ega15. cu:

e an produsul cifrelor egal cu:

ue an produsul cifrelor egal cu:

i care au suma cifrelor egald cu:

c)

47ry,tndey:4x.

ciftele sale sunt trei numere

l-

r rEshrmatele lor-

sma

cifielor de trei ori mai

e 0, care indeplinesc condilia:

ci.

qrezece mii treisprezece;

ra sutelor de mii patru.

;i ordinul cifrelor:

c) 2.

t 7b2y

care au produsul ci-

1 . Dac[ notdm cu

I

^{originea axei}

propozi{iilor:

a) Coordonata punctului

I

^{este 0.}

2.

_Scrieli coordonatele punctelor din axei numerelor:

numerelor naturale, stabilili valoarea de adevir a

@.,r"r" ^{si retin}

O dreapti d pe care se fixeazi un punct O numit origine, se stabilegte un sens

pozitiv (de la origine spre dreapta) pi se alege o unitate de

misuri

^{(un segment ,1.4/}

de lungime oarecare), se nume$te axa numerelor.

do*2,

MN

Fiecirui numir natural n

ii

corespunde un punct pe axa numerelor care se ob{ine misurdnd de la origine in sens pozitiv n

unitlti

de mesure.

Numirul natural n se va numi coordonata punctului respectiv.

$ ^{.u. se oplicd?}

1.

Reprezentali pe axi numerele:

0,2,4,7,

aleg6nd drept unitate de masrra un segment cu lungimea de 1 cm.

Solutic:

2.

Punctul

I

^este reprezentat pe axa nutnerelot cu originea in punctul O qi are coordo- nata 7. Calculati lungimea

unitilii

^{de mnsur6, qtiind}

ci Ol

= 35 mm.

Solulie:

g7

Notdm lnngimea unitiJii de

misuri

cu x, deci OA = 7x, prin urmare 7:r

:

_{35 mm, de}

unde rezultd

ci

x

:

35 mm : 7 qi oblinem.r = 5 mm.

tr

^b) Coordonata punctului ,4 este 1.

f-l

figura urmltoare,

C

o oo

\)

g lci .9+-

oE .t-q)

(t

=

unde punctul O este originea

13

3.

Scrieli coordonatele punctelor din figura urmltoare, unde punctul

o

^este originea axei numerelor.

EF

4.

Reprezentali pe

axi

numerele naturale lungimea de:

a) 2 cm;

o

l, 2

_Si 3, alegdnd unitatea de mdsuri cu b) 3 cm.

a)

5.

Alegdnd unitatea _de mdsur[ de

I

cm, reprezentali pe axi numerele:

a) 0, 1,3, 5, 8, 9, 10;

o

b)

2,4,6,7,8,9,1,L

6.

Alegdnd unitatea _de misurl de 5 mm, reprezentali pe ax[ numerele:

a) 7,8,10,13,17,20:

o.

b)s,9,t2,15,

16, 19.

a)

OA:

1O cm;

b)OA:25mm.

7.

Reprezentaji pe axa numerelor, alegind unitatea de misurE cu lungimea de

I

cm, urnAtoarele puncte:

a) D, de coordonati

5;

^b) E, de coordonatd

8;

^c)

₄

de coordonat[ 3.

8.

Reprezentali pe axa numerelor, aleg6nd o unitate de misuri potriviti, punctele:

a) M, de coordonatd

52;

b) iy', de coordonati

70;

^{c) F,} de coordonatd ^g5.

9.

Reprezentali pe axi numerele: 0, 10, 20, 40, g0, 100, 110, 120, 130, 140.

lo.

P'nctul

I

^este reprezentat pe axa numerelor cu originea in

p'nctul o

^gi are coor- donata 5. AflaJi lungimea unitiJii de mlsur[ pentru fiecare caz:

J

(, g it

\Jct

ti

.9_.F (t E{) .Fo

.=

t4

I I

. Punctele

I

$i B sunt reprezentate pe axa num6reior cu originea in punctul O gi au qesrdsn4fsle

{,

lsspectiv 7. Aflali lungimea

unitilii

de mesure pentru fiecare caz:

a)AB=9cm;

_b)

AB:42

mm.

unde punctul O este originea

EF

G

_,+__+__r.__re_+__)>

iegind unitatea de mdsur[ cu

L nr.rmerele:

, 8, 9, 11.

i

^numerele:

15. 16, 19.

trAsrre cu lulgimea de ¹ cm, c) F, de coordonatl 3.

6srri

potrivitti, punctele:

c) P, de coordonatd 85.

10, 120, 130, 140.

rnea in punctul O pi are coor-

e caz:

15 mm.

:u originea in punctul O gi au isurd pentru fiecare caz:

2 mrn.

12.

Punctele E qi.F sunt reprezentate pe axa numerelor cu originea in punctul O _{$i au} coordonatele 8, respectiv 9. Dacd EF = 2 cm, a'flati OE qi OF.

1

3.

Punctele M qi N ^sunt reprezentate pe axa numerelor cu originea in punctul O _{$i au} coordonatele 5, respectiv 9. Dacd MN

:20

_{mm, af1a1i OM Si ON.}

14.

Punctele

I

^{qi B} sunt reprezentate pe axa numerelor cu originea in punctul _{O $i} au coordonatele 5, respectiv

13.DacdOA:35

mm, aflfii AB.

15.

Punctele D, E qi F sunt reprezentate pe axa numerelor cu originea in punctul O ^gi au coordonatele 3, 8, respectiv 1l-Dacd DE

:3

_{cm, aflali OF.}

Ce notd merif?

Test de evoluore stadiald

Se acordd I punct din oJiciu.

(3p) l.

Reprezentatri pe axa numerelor cu originea in punctul O, alegAnd unitatea de m6suri ^cu lungimea de 1 cm, punctele:

a)1,

de coordonatl

4;

^{b) B, de} coordonatd

5;

^{c) C, de} coordonatl 7.

Punctul Meste reprezentat pe axa numerelor cu origilea in punctul O qi are coordonata 4. Calculati lungimea

uniti{ii

de misurd ^qtiind

c[ OM:

8 cm.

Punctele M gi N sunt reprezentate pe axa numerelor cu originea in punctul O qi au coordonatele 5, respectiv 12.

$tlnd

^cA

OM:5

cm, calculali ^,14y'.

Leclia 3. Compararea gi ordonarea numerelor naturale

(3p) (sp)

@ r,*"r" _{si retin}

Dintre

doui

numere naturale care nu au acelagi

numlr

de cifre este mai mare numdrul care are mai multe cilre.

Penhu a compara doul numere naturale care au un num[r egal de cifre, se comparl

cifri

cu cifr6, incep6nd de la st6nga, pAni cdnd doui ciffe de acelagi ordin sunt diferite.

Este mai mare numirul care are cifia respectivi mai mare.

Prin ordonarea numerelor naturale inJelegem scrierea in ordine crescdtoare sau des- cresc[toare a acestor numere.

Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor este o modalitate de a ordona numerele naturale, lindnd ^{seama de} faptul c6: dintre doui numere naturale, reprezentate pe _axa numerelor, este mai mare cel reprezentat in dreapta celuilalt.

o o

g

ct rd .9.F Eo

.F\)

€

(, 15