Teme recapitulative

Adrian Zanoschi Gabriel Popa

Gheorghe lurea Petru R6ducanu loan $erdean

Bacalaureat 201 I

Matematice M_mate-info

Teme recapitulative

60 de teste, dup5 modelul M.E.N.

Breviar teoretic

Editura Paralela 45

U-

Cuprins

CuvAntinsinte...

...5

TEME RECAPITULATIYE

:,::,,::uri Solulii Clasa a IX-a

1.1. Mullimi gi elemente de logicd maten:i:;i

. -

_{. 131}

L2. $iruri.

Progresii .

^:-1-<

1.3. Funclii. Funclia

1iniara... .:

^:-1-

1.4. Ecualia de gradul al Il-lea. Funcgia de gradui al

lI-lea

^.

i

^:,1!

1.5.

Vectori -:

^:-1i

1.6. Trigonometrie

... :: :r

-

1.7. Aplica{ii ale trigonometriei in

geometrie :5

^:tr-:

Clasa a X-a

2.1. Radicali gi

logaritmi..

^....

. :S

:i-<

2.2. Numere

complexe

31 . . .l-15

2.3.

Func(ii

3{. ...:-1S

2.4.Ecualli qi

inecua{ii...

37...1-<1

2.5.

Combinatoric5...

^{... 41} ...2-<-1

2.6.Matematici aplicate.

ProbabilitSli

^44...256

2.7. Geometrie

analiticd

^46...258

2.8. Probleme recapitulative din materia claselor a IX-a

-

^a

X-a...

..49....2.59 Clasa a XI-a

3.1.

Permutiri...

... 56...:61

3.2.

Matrice

57...16i

3.3.

Determinanli...

...60.... 16-1

3.4. Inversa unei matrice. Ecualii

matriceale

^{.. 61 . . . .}

.:G

3.5. Sisteme de ecuatii

liniare... 66..

:i,a

3.6. Probleme de sintez[

- algebr6... 70. ]5:

3.7.

$iruri --( :-

3.8. $iruri ^date prin formule de

recurenf5

...

S[)

-

-:

3.9.Limitedefunc{ii...

...

S: :--

3.10.Asimptote... ... :r --.

3.ll.Func(iicontinue ... i: _---

3.12. Derivata unei

func(ii -

_- '

3.13. Teorema lui Fermat. Teorema lui Rolle. Teorema lui

Lagrange. -:

_-"

3.14. R.egulile lui

l'Hospita1... --

-""

3.15. Rolul derivatelor de ordinul I qi de ordinul al Il-lea in studiul

functirl..: _-'

^-

3. l 6. Reprezentarea grafic6 a funcliilor

... . . -

^-

3. 17. Probleme de sintezd

-

^analizd matematic[ _".

Clasa a XII-a

4.1. Legi de

cornpo2i1ie...

112...304

4.2.

Grupuri.

^... 115...306

4.3. Inele qi

corpuri

120...31 1 4.4. polinoame

...

...124...315

4.5. Probleme de sintezi

- a1gebr6...

... 130.."..320

4.6.

Primitive

^... 133...32t 4.7. Formula

Leibniz-Newton...

...139...324

4.8. Metode de

integrare

...144...328

4.9. ProprietSli ale integralei

Riemann...

.."....147 ...332

4.10. Aplicalii ale integralei

definite...

^... 152...331

4,1 l. Probleme de sintezd

- analizdmatematicd..

155...340

TESTE PENTRU BACALAUREAT 2019, DUPA MODELUL

M.E.N..

159...343

BREVIAR

TEORETIC

...368

BibliograJie.

.'...'...397

,llF

i

I

I

I

il

II t I

I

tl

I

i

II

II I

I

Teme recapitulative

Clasa a ^lx-a

l.l. Mullimi gi elemente de logicd matematicd

t.

^Calculafi:

a)2.(-3)-(-4) :2+ (25):(-5); b12'o

²¹⁸ _-320:31e+ ^50;

; io. [1-o.rnl)

2.

^F te 0,ap2a3. . .a,,. .

.

scrierea zecimalda numdrului

]

^{. Calculali:}

7

. L-. f ^

_.- li u20lq I u20:0.

3.

^Se considerd intervaleie A =

(4,

al qi B =

(-2,7).

Determinali mul{imea:

1

) B).\2.

,,rrdonati cresc6tornumerele

a=2,5(l), t=1.

c=2.(511. ct= 2.51.

Calcula{i:

a\

Jas

+Jso -Jns;

.t (J7-r)' +(Ji+r)';

5

^{r:ara!, cd numdrur}

^,

⁼

[v*e ^. off .rfl[rf)-' ".,"

^naturar.

-,:i:agr ca numIrul b

= .! -* ^----1--,- * * ---1----

^{este natural.}

Vl

+V2 V2+V3 ^r/8+V9

s:

^considerd numerele o

=

^JgB_

Jn-.6

^{qi b}

= ^Jtez+Jis +JZ.

Calculali

:::dia

aritrneticd qi media geometricl a numerelor a ^qi b.

):::rnrinali

numerele ra{ionale a _Si b,qtiind

ci (Ji *G)'

= ^o

- bJi

^.

d)8.[0,(3)+0,1(6)].

{-

5.

ts

b) (Jl -,lr)(Jr*J:);

d)-=--*

32

I ^. ,17

+2

^{,17 +3}

En u.tu .'

.

C'a

s:

a 'X- a

1

0. :':.::.:::i:. ci.

daca.r-

e

_{[0, 51],} atunci num6rul o

= Jt

^{+ 49}

* ix+ AX

^{se afl6}

:. .::::-, aiul

i3l.

^36].

ll , '

-

t -

. ..

rre D\^,y)

=

v.x-

-2x+5+tly'+6y+10,

^undex.y

^e

^{IR.. Ardtali} ca E(,r..y) > 3.

pentru orice x, y

e

R.

12.

Afla1i c6te numere iralionale conline mullimea

Ur, J, .,6.

^{. '' 199.}

J200]

^.

13.

Determina{i partea intreagl ^gi partea frac{ionari pentru fiecare dintre urmitoarele

numere: a = ^{2,7, b}

=

-0,6, ^c

=

^{13, d}

= ' _Jl

.

25. -.: ^{:: --'}

^--

a -- - - --*.:..

':i.,---

- - ---::

.r

a+b b+c L-

c)

-*-*

cq:

,

25.

Demonstrali.

prr .::

n€

N*:

a)1+3+5+...- _- b)1.2*2.3

C)

11

-+--r- 1.5 5.9 -

d)

l

^.

il

^.-

r :: -

27.

Dcmonstrali.

pn: .::

numdr nafural ^/r

'i:;

a)2'>2n+1.ri)-:

b)rz!

>2',n)1.

I 3 5 l,:-

c)

_._

2 4 6 ^',' d)Jr<l+ --- \-

I^a

^\

^-'

28.

Demonstrati ca nr:'.-'

29.

Demonstrali ca

- i:

30.

afla1i cdte numere

:.

31

.

^anag cite numer=

:,

32.

Determinali ^cdte

:-::

?1

33.

DeterminaJi cate :--.

cifrele l, 2, J. ^-+. r

34.

Afla1i cate nume:: ^:=

35.

Determinali cdte :

*:

numdr impar.

36.

StaUit4i in cdte r:.;,:-

are5tricoun.Jre:=:

14.

Calculali:

, [;]. [-;]

^,

") [0].[..6] *Ur*..61;

^d)

{o}.{.'6}-{lr*.-6}.

15.

^Rezolva(i in IR. ecuafiile:

a) [x] + [x +

l]

⁺

_[r

⁺

27=24;

^b) [x

+ ll=2x-l;

c)

{2x}

= ^6;

16.

^{Rezolva(i in lR ecua{iile:}

a) l,

- ^2l=

^5;

c)

ll - ^2xl=lx+

^4l;

17.

Rezolva{i in ^IR inecua{iile:

a)

ll - bl<z;

b) {1,64}

- {-2,36};

I

d1 1x1

= -.

₃

b) lr

-

^{1l + l2}

- ^2xl=

^12'

A)Lr'-11+lx+11=0.

b) _lx +

3l>4.

18.

Determinali num5rul elementelor mullimii A = _{x

e Zll2x

+ 1l < 100}.

19.

tuetati cI valoarea expresiei E(x) = px

-

^{8l -214}

-

2xl nu depinde de numdrul real

r.

20.

Demonstrali c5 lzx

-

^{3l + 2lx}

^*

^{1l >}

^l,

pentru orice numdr real

r.

21.

Demonstra{i cix2 ⁺ 3x + 3 > 0, pentru

oricer e

^IR.

22.

Demonstra{ic6,

dacdx,ye 12,-),

^atunci

D)-2x-2y+ 6e

^12,*).

23.

Demonstrafic6,

dacdx,!e ( l,l),atunci :y _l+

_xy

^{e (-1, l).}

24.

pie E(.r) ₌ -r*

+.r'

+ 2x2 'r x

*

1, unde

r e

IR.. Demonstrali cd:

a) E(.t) = ^(.r:

-

^{1)(.r2 + x +}

^l),

^{oricare ar fi x}

^e

^IR;

1

b) E(x)

> l.

_oricare ar fi x

e

^IR.

4

I

1.1. Mulfimi ^gi elemente de logicd matematicd

25.

Demonstrali c5:

a)

x+-

1

)2,oicarearftxe (0,+-;'

x

I

b) -r+-L 1-2,oricarearfixe (-,0);

x

. a+b b+c ^c+a

c) -- -+- -+-)6,oricarearftxe _(0,+-;.

cab

26.

Demonstrali, prin inducfie, cd urmitoarele ^egalit61i sunt adevdrate pentru orice n

e

^N*:

a) 1 + 3 + 5 + . .. + ⁽²ⁿ

- ^l)=

^n';

b) 1 .2

+2.3

+ ... +

n(n+ l)=

^{n(n +l)(n + 2)}

.11 1n

c)

-+-+...+-=-.

-' _{1.5' 5'9} ' "" (4n-3)(4n+t) 4n+1'

d) 1 .

lt +2.21+...

⁺

n.nl=(n

⁺

1)!- l.

27.

Demonstrafi, prin induclie,

c[

urm[toarele inegalitdli sunt adevirate pentru orice numdr natural n care indeplinegte condilia indicat[:

a)2'>2n*l,n)3;

b) nl ^> 2",

n)

^4;

135 2n-l

^I

'246 2n ,l2n+l'

d) J; 4.#.+. ...+<2G

,

n)

^2.

28.

Demonstrafi c[ num[rul 13" + 7"

-

^{2 se divide} cu 6, oricare ar

fi

z

e

N.

29.

Demonstrali

cI

7 . ^25" +

2.

6"*t se divide cu ^19, oricare ar fi n

e

N.

30.

Afla{i cdte numere naturale de trei cifre au suma cifrelor egald

ct25.

31. Aflali

cdte numere naturale de trei cifre au produsul cifrelor egal cu 0.

32.

Determina{i cdte numere naturale de patru cifre se pot forma utiliz6nd cifrele 0, 1,

2,3.

33.

Determinafi cdte numere naturale de

trei

cifre distincte se pot forma utiliz6nd cifrele

1,2,3,4,5.

!14. Afla1i ^{cdte numere de} trei cifre au exact doud cifre ^egale.

35.

Determina{i c6te numere de patru cifre distincte au produsul cifrelor egal cu un num[r impar.

:l5.

StaUitili in cdte moduri se poate imbr[ca Dan pentru un meci de tenis, gtiind

cI

el are 5 tricouri, 4 perechi de pantaloni scurfi qi 3 perechi de pantofi de sport.

EnunfurioClasaalX-a

37.

Num6rul de inmatriculare al unui automobil dintr-un jude! este format din doul cifre (nu este permisi combinafia 00) gi din trei litere ale alfabetului latin (26 de litere). Aflafi numdrul maxim de magini care pot fi inmatriculate intr-un judet.

38.

Se consider[mullimea

A= {1,2,3,4,5,6,7}.

^{Aflafi cdte perechi}

^{(a,b) e} AxA

au proprietatea cI produsril a ^{- b} este impar.

39.

Oetermlnali cdte numere naturale, mai mici decdt 101, sunt divizibile cu 3 sau cu 5.

40.

Se consider[

mulfimeal

₌

{1,2,3, ...,199,200}.

a) Afla1i cdte dintre elementele mullimii

I

^se divid cu 6 qi cu 8.

b) Aflafi c6te dintre elementele mu[imii

I

^se divid ^{cu 6, dar} nu se divid cu 8.

c) Determina{i cdte dintre elementele mul(imii,4 se divid cu 6 sau cu 8.

1.2. $iruri. ^Progresii

7.

8.

9.

b) Da'-"

= ^.-

c) De::,r:r-' --

^-

Fie(rr,, --)---

$irul

ta,r :--- --' 1-rn>3 D::-. --*-

Se consicle:.

, :- a)

Calcule::

..

--- ^--

b)

Aratagi

., -.

= ^-.

c)

Calculalr

.---.

^:

10.

Determinalr

pr,::- ^'.

11.

Fie (an),,t

opr.--.::

12.

^Se consideri

pi.J::

suma primilor

s;:.:

13.

Stabil(i daca nu-- 1--

1

4.

Determinali nu:*-.-- aritmetic6.

15.

Calculali suma

I - :

1

6.

Determinali nun:":-

17.

Aratali ch girul ^,.;

dacdql

az+ ...

-

-

18.

Calculali suma pn:--

aq-a2=4$iai-.;'- 19.

Gasili suma

primiit:

a6

*

a9 +

arr.l

at: =

|

2O*.La un stadion cu ca:

vine

un

spectator. i:

5 spectatori etc. Dup;

21..Se consideri mullim mente. cu ra(ia poziri

22.

D etermina{i numdrui tric6.

1.

Completa(i cu cdte trei fiec6ruia:

a) I,3,5,7,9,...;

c) l,-1, 1,-1, 1,...;

termeni urmdtoarele qiruri, apoi scriefi termenul ^general al b) 0, ^1,

4,9,

16, ...;

d)

1,3,6,

^{10, 15,} ...

2.

^{Se considera} girul (a,),2

'

t.

a,= 4 _n+l

^.

a)

Existd vreun termen al girului .gut

., ]:

3

b)

Cefl termeni ai girului sunt mai mici decdt 0.7?

c)

CAli termeni ai girului sunt in inten.alul (0.99: 1)?

3.

Demonstrali ca girui (a,),>:;.de termen general

,,= i\,

^{este cresc6tor.}

n+5

4.

^{Ar5tali ca} girul (a,), _{r o*,} de termen general e, = ⁿ²

- ^r,

^{este strict monoton.}

5.

^{Fie E(,r)} =

*' -

^4x

*

3, undex

e

IR. Pentru n

e

N,

n>

4, defrnim qirul (a,),2aprin:

o.= | *-' *...+

^I

E(4) E(s)

^Eln)

a)

Demonstrati cd qirul este strict crescdtor.

b)

Demonstra\i cd,9irul este mdrginit.

c)

Ardtali cd

an=

t:,-l).(,1.n

-

_{!-)., pentru orice}

_n2

_4.

4\n

-t)(n -2)-

^'

,,1 n+1+.,1 n

a)

Verificali dacl

o,= Jn+l-J; ,V

ⁿ

e

N*.

10

rA ^b)

^Dacd

s,=at*az+...lantn e

N*, ardtatic5,s,,=

J"+l-1.un,ie

^,:

a

-

Ie _c)

Demonstra\i cd, qirul (a,),2 _r este strict descrescdtor qi mSrginrt.

7.

Fie(a,),,2

lungircuproprietateacd,dacds,-atlaz*...Ictn;oricare.::. ^-

₌

A

e

N*, atunci

s,= -! .,Y

ⁿ

^e

N-. Determina{i termenul general a,,.

; 8.

$irul (o,)r 1este ^definit

n+l

^{recurent prin a1}

: l,

ctz = ^{2, an} = ^2e, - ^|

-

^an -2.

oric:::

_":

fi

n 2 3.Demonstra{i cd a, = n, oricarear

fi

n

e

N..

9.

^Se considerd qirul (a,),2 _r, definit ^prin a1 = ^4, a2= 8,

en+2- a'+t,

unde n

e li'.

an

a)

Calculali a3, a4, as, ct6.

b) Arltali

cd an

-

^{an +} 6, oricare ar

fi

n

e

^N*.

c)

Calculati suma,S

-

^at

t azt

...

*

azooq.

il ^***

1

0.

Determina{i primul termen al progresiei aritmetice al, ^{a2, 13} , ¹⁷ , 2l , ^{. . . .}

1

1.

Fie

(o,),r,

o progresie aritmeticd de raiie

2,in

care az

*

a+= 8. Determina{i a1.

12.

^Se considerd progresia aritmetici (an)n.r, astfel inclfi a3 = 5 _$i ^as = 9. Calculali suma primilor qapte termeni ai progresiei.

13.

StaUitili daci ^num6ru1 2007 apar\ine progresiei aritmetice 2,7

,

^{12, 17} , -.. ^.

14.

DeterminaJi numbrul real

r,

gtiind cd numerele 2,

x

qi

x + 4

sunt

in

^progresie

aritmeticS.

15.

Calculali suma

1+4+7

⁺

...+31.

15.

Determinalinumdrulnaflrral ndinegalitatea

I *5 +9+ ...*n=231.

17.

Xratag c5 girul (an),

,

t, ^an

=

³ⁿ

-

^{2 este} o progresie aritmetic[. Determinali n, dacd a1

*

ct21- ...

I

an= 51.

I: 18.

Calculali suma primilor 20 de tenneni ai progresiei aritmetic e (a,),21, dacd'.

a+- az= 4 ^qi

qta at+

a5+

a6-

30.

19.

Cas4i suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice ^(a,)n21, dacd,:

aa* asl ap*

ars=20.

2O".Laun stadion cu capacitatea de 10000 de locuri vin spectatorii.

inprimul

minut vine

un

spectator,

in al

doilea minut

r,in 3

spectatori,

in al

treilea minut vin 5 spectatori etc. Dupd cAte minute se umple stadionul?

21..Se considerd mullimea

M= {1,2, ..., i0}.

^CAte progresii aritmetice de trei ele- mente, cu ralia pozitiv/a, se pot forma cu elementelefui ilI?

22.

Detercrinali numIrul real pozitiv x, qtiind

ci r,

6 qi x

-

^{5 sunt in} progresie geome- tric5.

11

o Clasa a lX-a

23.

Determinafi primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi by, 6, b3,

24,....

24.

^gtiin0

c[

doi termeni ai unei progresii geometrice sunt D3 = 2 qi ^bs = 4, determi- na[i b7.

25.

calculali ratia progresiei geometrice

(b,),t,

cu termeni pozitivi, dacd b1 -t _b2 = ^J gi D3 +

fu=

^12.

26.Determina{i primul termen gi rafia unei progresii geometrice,

dac6 a1+aa=fr,

nf

.7

al -$*ar=-.

-8

27.

Numerele reale pozitive a, b, c, d sunt in progresie geometric[. Dacd d

-

^{a = 7}

;i -

^c

-

^b = 2, aflati ralia progresiei.

28'.rie

o, b, c numere naturale nenule in progresie geometricd. Dacd a + _b

*

c este

numir par, ardta[i

ci

numerele a, b, c sunt pare.

29.

se consider[ numlru] real s = t

* 1* Z -1 t-+...+ f*r

^I Demonstrafi cd s

e

(1,2).

30.

eretali

cd2(t

⁺ 3

+

32+ ... +

3t).

3,.

31.

Calculalis=

I -2+22-23 +...+Ztm.

32.

Se consider[ o progresie geometrici

(b,),.1,

cu rafia e

=2.

Determinafi n

e

N pentru care bo= 96, iar suma primilor z termeni ai progresiei este 189.

33.

eretati cn

$nrl (b,),rb b,=

6 ^.

2"-',n ) I

este o progresie geometrici. Deter- minati

ndac5,h+h+...

+

b,=93.

!!4.

Determinali numerele reale a,

b,

dacd numerele 2, a,

b

sunt

in

^progresie geo- metric[, iar numerele 2,4, a sunt in progresie aritmetic[.

3.

a)

^Se considerd

fimqi ."f(-

₈₎ . ...

.,f(8)-,f(9 b)

^Se consider[

fimgi +f

(2)

+... +/(10).

c)

^Se consider6 flmc+

.f

_{(2) . ...}

./(100).

Determina[i numdnrl

f

a) "f (1) ="f (3);

Determinali num[nrl I

impar

pi/(l)

este pm.

Determinafi numirul

f

a)

Arltali

cd

tuncfial:

b) Arltali cI tunqia/

c)

Deterrninati numin l)emonstrafi c5 3 este

reprezinti partea frac1i

9.

^{Si se determine} nurrfrr

a)

strict crescitoare;

10.

Se consideri

funcfia/:

1

1.

Se consideri

funqiih funcJiile/. ggig"f

12.

^Se consideri func1iile.

numerele reale a qi D.l

13.

Fie

funcliile/:

(0,

*-

=&{.Determin4i1 14..Se

consideri

furcdif

lx-1. -r<0

-i

^.DEt

l2x-4, ^x>0

4.

5.

6.

7.

8.

1.3. Functii. Functia liniard

a) J lx) =--;----= x i

x'-9

2.

^{Se consider[}

funcliile/: _{-1,

0,

a} + ^{Z,f (x)=} (-t),

qi g : _{.x

e Zllxl<2}

-s A,

*, ={;' ::-i

Determinafi numerele reale aqi b qi mullimea

l,

astfel inc6t cele dou6 func{ii

si

fie egale.

12

b)f (x)=-z _{x -5x+z} 4 _; ^c)f

^{(x) =}

-x

²

1.