Это, с одной стороны, задача выпуклого программирования, а с другой — оптимального управления. Пусть х(-) — решение задачи (10). Принцип Лагранжа приводит к следующему тож
деству:
/ < (z(t)x(t) + q(x -у)+ р(у - u))dt + /л(а~(0) - 1) = 0,
\u{t)\ ^ 1.
Интегрируя по частям, приходим к принципу максимума Понт- рягина
§{t) = -x(t), S(t) = sgap(t). (i) Из этих соотношений вытекает интеграл энергии
x2(t)
-?(-)pW + - yi= s g n p ( - ) - (ii) Кроме того, мы приходим к следующему основному тождест
ву:
-Я0)х(0) + f(x(t)x(t) +p(t)x(t))dt = 0. (iii) То, что из (i) следует (iii), тривиально проверяется непосредст
венно.
Таким образом, для решения задачи достаточно построить пару (£(•)-.?(*))- удовлетворяющую (i). Действительно, если та
кая пара построена, то тогда из (iii) последует точное неравен-
ство (для ж(0) = 1, |.г(-)| < -):
1/2 / \ -1/2
f x(t)x{t)dt (Ш)
1/2
' $(0) - J p(t)4t)dt\ > \J$
2dt
т.к. согласно (iii),
Я0)-/|Я*)|А = [j$dt
V — + / V У
Для построения пары (x(t),p(t)) используем автомодель^
ность этой задачи, т.е. инвариантность уравнений (i) отно
сительно преобразований: Л Н* (х\{'),Р\{-))) ЖЛ(*) ^ ^ x(t/^)i px(t) = А4р(£/Л). Обозначим 2(0) = - а , а > 0; тогда из (и) по
следует р(0) = — . Получаем, что для малых t наши функции выражаются следующими формулами:
t2 t t2 t3 t4
2(t) = --at + l, m = - - - + a - - - .
Пусть T = T(a) — первый положительный нуль функции р(-).
Из описанной инвариантности и единственности решения (сле
дующей из строгой выпуклости функционала) должно последо
вать, что
х(т) = (.г(т))-1г(^
/1ад|* + т), Ят) = -(г(т))-
2р(У|ад|* + т ) ,
откуда немедленно вытекает равенство х(Т)х(Т)2 = -а"2х(Т)2. Таким образом, для определения двух неизвестных а и Т име
ются два уравнения:
- а ^ . а Т + 1\= [ Т_а )2 ^ ( i v )
Т Т2 Т3 Г4 Л
f{a)
= ^-Y
+ aT-24=°-
(V)Из квадратного по Т уравнения (iv) получаем: Т = а I 1 + \ i2—о I * ^а к и м 0Фазом, а ^ V-, причем р(л/2) = х(л/2) = x(V-) = 0. При этом легкий подсчет показывает, что
"/'(\/2) = —оо, и / ( а ) —> сю при а -> оо. Отсюда следует, что уравнение / ( а ) = 0 имеет положительный корень S. Это и за
вершает построение пары (x(t),p(t)) на отрезке [0,T(S)], а зна
чит, из-за автомодельности задачи можно достроить решение на всей полупрямой. Оно оказывается финитным и склеенным из счетного числа парабол. Величина а легко считается при
ближенно и оказывается равной (с точностью до одной десяти- тысячной) 1.4997. (Оно находится и "явно": S4 = ——.) Таким образом, имеет место
Теорема (Фуллер—Габушин—Магарил-Ильяев). Имеет мес
то неравенство
где К = К(2,0,2,оо,оо,М+) = v ^ } = 1.69659....
Замечание. Само по себе явление учащающихся колебаний в счетном числе при стабилизации процесса (получившее на
звание чаттеринг-режима) достаточно распространено; таково, например, поведение упругого шарика при падении на твердую поверхность (когда чаттеринг-эффект можно "услышать").
Применение численных методов позволяет вычислить кон
станты К во всем квадрате I2. Приведем некоторые подсче
ты, проведенные А. С. Кочуровьш. Обозначим .К(2,0,2,оо,г) = К (г). Тогда
^ (оо) = L _ _ _ 1.6966, К(6) = 1.6701, К (4) = 1.6411, К(2) = 1.5753,
#(4/3) = 1.5001, К(&/7) = 1.4625, К (1) = 31 / 3 = 1.4422.
Обозначим if(2,0,p, oo,2) = К\(р). Тогда
#i(8) = 1.3384, i d (4) = 1.4838, Кх{2) = 1.5753, JRTi(4/3) = 1.5587, ifi (8/7) = 1.5349.
3.3. Некоторые экстремальные задачи теории при
ближений.
А. Теорема Ч е б ы ш е в а об альтернансе. С этой теоремы, собственно говоря, началась теория приближений. Речь идет о критерии экстремума в задаче о наилучшем приближении не
прерывной функции на отрезке полиномами:
||у(0-я(011с([а,Ц) -+ПШ1,
*(*) = Ё****-\ »(-)еС(М)-
Имеет место
Теорема (Чебышева об альтернансе). Для того чтобы по
лином х(-) £ Vn-i был полиномом наилучшего равномерного приближения для функции у(-) Е С([а,6]) (у(-) 0 Vn-i), m-e- чтобы
1 1 » ( 0 - » ( - ) 1 1 с ( [ а , Ц ) = МШШ | | » ( - ) - « ( ' ) 1 1 с ( [ о , Ч ) »
%{')€:гп--1
необходимо и достаточно, чтобы нашлась п + 1 точка а --$
т\ < Т2 < • — < rn+i -$ 6, б которых разность у(-) — ж(-) имеет (п + 1)-альтернанс (т.е. в этих точках
\у(п) - х{п)\ = ||у(.) - 2(-)||с([а,ь])» 1 < * < п + 1,
„ пр_ этом знаки у(т{) — £(TJ), 1 ^ г -*$ п + 1, чередуются).
Выведем теорему Чебышева из теоремы об очистке.
1. Формализация. Положим F(t,х(-)) = \y(t) — x(t)\, t Е [а, Ь], х(-) Е Vn-i (Pn-i — пространство алгебраических полиномов степени п — 1). Задача Чебышева формализуется как выпуклая задача без ограничений:
шах Fit, x(')) -> min.
Решение задачи, т.е. полином наилучшего приближения, су
ществует из соображений компактности. Обозначим его £(•).
2. Теорема Ферма приводит к соотношению О Е дх(.\ max F(t, -)bn-
3. Исследование. Согласно теореме об очистке, найдутся г -^
п + 1, точки а -^ Ti < • • • < тг ^ 6, неотрицательные числа аг-, в сумме равные единице, и векторы yi Е dFx^(r^x(')) такие, что
F(Ti,x(')) = max \y(t) - a?(t)|, 1 < t < r, (i)
r
] T Gfilfc = 0. (ii)
i = l
Но функция x(-) -> JP(T»,X(-)) = \y{n) - я(г»)|, очевидно, диффе
ренцируема в точке х(-) и
5F:E(.)(ri,£(.)) = E'(ri, £(•)),
(F'(ri,x(-)),x(-)) = - s g n M . ) - а д ) * ( т ; ) . ( Ш )
Из (ii) и (iii) получаем тождество
г
^аг8ёп(у(п)~х(ц))х(ц) = 0 Va(-) € T V J . . (iv)
г = 1
г
Если г < п+1, то, подставив в (iv) полином ^(t) = f] (t—Tj), j = l
i ^ *
получим, что аг- = 0 при каждом г, — противоречие с условием
£} oti = 1. А при г = п + 1 подставим в (iv) полином ({(•) Е Vn, Ci(ri) = <%> 1 < *\i < п, и получим aiSgn(2/(ri) - £(т»)) = -an+isgn(ff(rn +i) -x(rn+i))Ci(rn+i). Но числа Ci(rn+i), как лег
ко понять, альтернируют , т.е. альтернируют и у{ц) — х(т{).
Необходимость доказана.
Достаточность. Из условий (А) и (В) следует, что функция /(ж(-)) = max \y{r%) — х(т{)\ достигает минимума в точке ж(-)
1^г^п+1
(ибо 0 € 0/(ж(-))), следовательно,
\М-)-х(Щ[аМ)=гжШ-х{г)\ % №•))>№(•))•
Теорема Чебышева доказана.
В . Теоремы Чебышева, Марковых и Б е р н ш т е й н а о неравенствах для значений полиномов. Исходной для нас здесь служит следующая экстремальная задача.
1. Формализация.
/(&(•)) -> min, ||я?(-)||с(/) < ^ «(•) 6 Irn+ь (i)
где / = [a, Ь] — заданный конечный отрезок вещественной пря
мой, I/-+1 — (п + 1)-мерное подпространство пространства не
прерывных функций С(/), а I = ~(~(*)) — ненулевой линейный функционал на 1>п+1-
Задачу (i) на пространстве Vn алгебраических полиномов степени п исследовали в частных случаях П. Л. Чебышев, А. и В. Марковы. Чебышев изучал проблему экстраполяции полиномов, т.е. задачу (1), в которой 1(х{-)) = ж(т), г ф I. Мар
ковы исследовали задачу (i) с функционалом 1{х(-)) = а?М(т), г е Ж, 1 < fc < п. К задаче (i) редуцируется проблема о не
равенстве Бернштейна для тригонометрических полиномов. Все эти и многие другие подобные задачи мы исследуем методами выпуклого анализа. В следующем параграфе их решения будут использованы при построении оптимальных алгоритмов восста
новления.
Основное тождество и исследование задач Чебышева—
Марковых, Задача (i) относится к числу выпуклых экстремаль
ных задач. Решение £(•) в ней существует в силу принципа ком
пактности (ибо множество полиномов, ограниченных по норме C(J), компактно в пространстве С(1)).
2. Принцип Лагранжа. Применим к задаче (i) принцип Ла~
гранжа (т.е. теорему Куна—Таккера; при этом условие Слейте- ра здесь выполнено). Согласно этому принципу, найдется мно
житель Лагранжа Л > 0 такой, что соответствующая ему функ
ция £(ж(*),А) = 1{х(-)) + Атах|х(-)| достигает в £"(•) глобально- го минимума. Отсюда, из теоремы Ферма и формулы Моро—- Рокафеллера вытекает включение: О G дСх^(х(-), А). Применяя далее теорему об очистке и теорему Каратеодори из конечно
мерной выпуклой геометрии (согласно которой элемент кони
ческой оболочки множества из Ет представим как коническая оболочка не более чем т элементов этого множества), заключа
ем, что существуют натуральное число 1 - ^ r ^ n + l, r точек
г
а < 71 < Г2-< • • • < гг < Ь и чисел {а* > 0}J=1, ]£ а* = 1 такие, что имеют место следующие соотношения:
г
1{х(-)) + A]Ta-iSgn х(п)х(ц) = 0 Уаг(-) Е Ln+i, (И)
\х(п)\ = $. i = l , . . . ,г. (Ш) Соотношение (ц) назовем основным тождеством.
Рассмотрим частный случай задачи (i) — задачу Чебышева—
Марковых, когда / = [-1,1], 1(х(-)) = х ^ ( т ) , а Ln+i =- Vn. 3. Исследование. Выведем из основного тождества вид реше
ний в этой задаче. Соотношения (И) и (iii) здесь приобретают
вид:
*(fc)(T) + A X > i s g n x ( r i ) x ( .) = 0, r^n + l Vx({cdot})6Pn, (ii')
t = i
Шп)\ = i, (Hi')
r
где a* > 0, Yl a% = 1- Покажем, что г = п т1 при |т| > 1 (и любом fc) и г = п или п + 1 при к > 1 (и любом г).
Пусть fc произвольно и \т\ ^ 1. Предположим, что г < п.
г
Тогда подставив в (ii') полином жо(£) = П (* ~~ ri)- приходим к противоречию с (ii') (ибо XQ (г) ^ 0). Значит, г = п + 1 и решение совпадает либо с ЙНЛ(-), либо с -#ГЯ(-).
Пусть теперь fc ^ 1, |т| < 1. Предположив, что г < п, сно
ва рассмотрим полином а?о(-)- Если xj '(г) ^ 0, то, подставив хо(-) в основное тождество, приходим к противоречию. Если же XQ }(Т) = 0, то берем полином xo(t) — (t — г)#о(-) и сно
ва приходим к противоречию с (ii,). Действительно, щ \т) = fc^Q ;(т) т- 0, в силу того, что полином £()(•)> имеющий г + 1 простой нуль, по теореме Ролля не может иметь кратного нуля (к — 1)-й производной.
Если г = п + 1, то решение £(•) совпадает, с точностью до знака, с полиномом Чебышева Тп(-) (этот факт уже отмечался нами). При к = 0 сказанное решает полностью чебышевскую задачу об экстраполяции: случай \т\ ^ 1 был исследован, а при
|т| < 1 задача (i) имеет тривиальное решение х(-) = —<$.
Если же к ^ 1, |т| < 1, г = п, покажем, что в точках TJ, j = 1 , . . . ,n, полином #(•) имеет п-альтернанс. Предположим,
что это не так, т.е. существует 1 -^ j < п — 1 такое, что £(TJ) =
X(TJ+I). Тогда построим полином £о(*) с корнями {nj^jj+i и, кроме того, x<fc>(-) = x(fc+1)(r) = 0, если к < п - 1; если же fc = n — 1, то приравниваем нулю х(п~~2)(т). Для этого надо решить систему п однородных уравнений с п + 1 неизвестным.
При этом многочлен £о№ н е может иметь иных корней, кроме {ri}i&j+ii B противном случае производная не могла бы (снова по теореме Ролля) иметь кратный корень. Значит, в точках TJ и TJ+I многочлен &(<) принимает значения одинаковых знаков.
Подставляя этот полином в (ii'), приходим к противоречию.
Итак, получен следующий результат.
Т е о р е м а (о решении задачи Чебышева—Марковых). Реше-
нием задачи
х{к){т) -* min, ||x(-)||c([-i,i]) ^ <*• «(•) - Рп,
являются либо полиномы Чебышева ±6Тп(-), либо полипомы Зо
лотарева. Если \т\ ^ 1, гао решением задачи являются полино
мы Чебышева.
С. Неравенство Вейля. Пусть Т — это прямая или полу
прямая, ж(-) локально абсолютно непрерывна, причем функции х(-) и * н-> tic(t) принадлежат ЬгС-П- Тогда имеет место нера
венство
, v l / 2 / \ l / 2
|a*(t)<ft < Я(Г) lft2x2(t)dt\ Ux2(t)dt\ , где JRT(R) = 4, JK"(R+) = 2; неравенство точное и достигается на функции x(t) = £ехр(-А£2), A > 0 (см. [25, с. 199]). При Т = R это неравенство выражает принцип неопределенности в квантовой механике.
Причина, согласно которой здесь срабатывает принцип Ла- гранжа, — в интегрируемости уравнения Эйлера и возможности воспользоваться формулой Вейерштрасса. Но этот подход дает возможность значительно обобщить данное неравенство.
1. Формализация.
f x2(t)dt -> min, f{t2 - l)x2{t)dt = 1.
R+ R+
2. Принцип Лагранжа, примененный к данной изоперимет- рической задаче, приводит к уравнению Эйлера £+А(1 — t2)x = О
и условию трансверсальности ±(0) = 0 . ' i Исследование. Уравнение Эйлера допускает решение !
4>(t) = Bexp(-~At2), А > 0 , |
которое принадлежит рассматриваемому классу и удовлетворя- [ ет условию трансверсальности, что позволяет, базируясь на ос- | новной формуле Вейерштрасса, выписать следующее тождество: j
/ ( i2( t ) - (t2 - l).x*(t))A = J (x - Ш\ dt =
= f(x + tx)2dt ^ 0 .
(0
Справедливость этого неравенства мгновенно получается интег
рированием по частям. Подставив теперь вместо x(t) выражение
y(i/a), приходим к неравенству
/ y2(r)dr -a2 f y2(r)dr + a4 f T2y2(r)dr ^ 0 Va,
R+ R+ E+
и, применив условие неотрицательности квадратного трехчлена, приходим к нужному неравенству.
D . Неравенство Г и л ь б е р т а — Х а р д и . Пусть р > 1 и х(-) локально абсолютно непрерывна, причем функция х(-) £ 1/р(К+) и х(0) = 0. Тогда имеет место неравенство
/|!К+т)7^-
При р = 2 это неравенство было доказано Гильбертом, для остальных р — Харди.
Причина, согласно которой здесь срабатывает принцип Ла- гранжа, — та же, что и в неравенстве Вейля: интегрируе
мость уравнения Эйлера и возможность воспользоваться форму
лой Вейерштрасса. И здесь имеется возможность значительных обобщений.
1. Формализация.
j (\X\P - fc-iY | | П dt -» min, x(0) = 0.
Принцип Лагранжа. приводит к уравнению Эйлера й_
dt ( l a f ^ s g n i ) + ( ~ ~ ) l a f ^ s g n s - 0.
3. Исследование. . Ищем решение в виде </>(£) = ta и получа
ем, что a = (p~l)/p. Основная формула Вейерштрасса приводит тогда к тождеству (опять-таки, доказываемому непосредствен
ным интегрированием по частям)
/ О 1 ' - (-г)' Ш * = / £ ('• i(i) - "Ж-*®) dt > °'
где Е — функция Вейерштрасса.
§ 4. З а к л ю ч и т е л ь н ы е замечания
1. Невозможно оценить, каково число точно решенных эк
стремальных задач. Я просматривал многие серии, одна из них представлена в этой работе. По моему впечатлению, большин
ство точных решений стандартны с позиций тех общих концеп
ций, о которых было рассказано в статье. (Это, собственно, и
демонстрировалось в § 3, весьма большое число задач исследо
валось методом Лагранжа в книгах [1], [2], [9], [11].) Анализ тех задач, решение которых не поддается стандартным методам,
весьма интересен. О некоторых из таких задач поговорим чуть ; дальше, когда речь зайдет о нерешенных проблемах. Очень ин-
тересно было бы также понять, какие задачи нельзя решить с j помощью идей, о которых мы рассказывали, но можно решить ' на базе других концепций (негладкого анализа, теории вырож- i денных задач, нестандартных принципов максимума и т.п.). \
2. Обсудим вопрос: а что это значит — точно решенная за- I дача! Скажем, что следует считать решением той или иной за- j дачи о неравенствах для производных? Многие решения задач | этой серии авторы сводили к доказательству существования ре- S тлений некоторых трансцендентных уравнений или систем та- t ких уравнений и ограничивались этим. Разумно, по-видимому, j проявлять максимальную щедрость к авторам и считать это I решением. Но, конечно, в наш компьютерный век желательно ! доводить дело "до числа". Мы и старались так поступать. В J принципе, использованные нами методы уже сейчас позволя- ! ют довести до числа более или менее любую конкретную за-
дачу из той серии, которую мы обсуждали. В частности, при J (1/р, 1/г) € int I2 (при п = 2) для полного решения требуется j в однопараметрическом семействе решений нелинейных диффе- j ренциальных уравнений найти нужный корень, задающий на- j чальное условие, что приводит к решению задачи (если исполь- j
зовать автомодельность). | При этом "на диагонали", когда р = г, структура решения i
такая же, как в габушинском случае (см. п. 3.2): нули peine- j ния образуют арифметическую прогрессию. При р > г решения !
напоминают фуллеровское: они финитны и бесконечное число раз осциллируют, причем нули образуют убывающую геомет
рическую прогрессию. При г > р решения устроены "антифул- леровски": нули решений образуют возрастающую геометричес
кую прогрессию. (Мы специально привели некоторое количество расчетов, где "явные" константы включены в серию констант, подсчитанных численно.) Отметим еще, что один из наших до
кладов на семинаре М. И. Зеликина вызвал интерес у руководи
теля семинара и Л. Ф. Зеликиной, и они получили интересные результаты в задаче о третьей производной при г = оо. Там доказано, что конечномерные приближения быстро сходятся к полному четтеринг-решению. Если же встать на эту более ши
рокую точку зрения, то (после некоторой теоретической подго
товки, по-видимому, не потребующей новых идей) можно будет утверждать, что почти все задачи на прямой и полупрямой ока
жутся "решенными" в том смысле, что будут составлены про
граммы, которые по нажатию кнопки будут выдавать прибли
женно нужные константы и описывать приближенные решения.
Готов ли читатель признать это решением?
3. Тем не менее, и в вопросах, касающихся неравенств для производных, остаются многие заманчивые проблемы, требую
щие осмысления.
Не до конца понятно, как эволюционируют решения на гра
нице квадрата I2 при стремлении точек к вершинам. Скажем, эволюция решения при п = 2, г -= g = оо при стремлении р к бесконечности требует еще дополнительного анализа. Зато при стремлении р к единице ничего "страшного" не происходит (в частности, if (2,0,1, оо, оо, R+) = (|)2/3(2 + л/5)1/6 = 1.66682...) и семейство решений (возможно) продолжается и на случай 0 < р < 1 .
Наши рассмотрения, касающиеся неравенств для производ
ных, проведенные в этой статье, побуждают к развитию тео
рии экстремума во многих различных направлениях: к общей теории вариационного исчисления и оптимального управления на бесконечных интервалах, к качественному анализу решений задач, подобных рассмотренным, к поиску эффективных алго
ритмов решения таких задач, а также к поиску стандартных методов решения задач, где решение не существует и т.п.
Отметим, что мы сумели, в принципе, разобраться во всех задачах, которые рассматривали. Но мы могли бы пойти зна
чительно дальше, в частности, проинтегрировать все задачи с п = 2 на конечном отрезке. Можно было бы подключить к рас
смотрению и другие многообразия.
Этим вопросам и случаю q ф оо мы думаем посвятить от
дельную публикацию.
4. Мы охватили значительную часть теории, касающейся не
обходимых условий экстремума, которая строилась на протяже
нии более чем трех с половиной веков (с того момента, когда Ферма в 1629 году впервые получил общий прием решения за
дач на экстремум, и кончая фактически нашим временем). Мож
но провести сравнение содержащегося в этой работе с материа
лов, изложенным в книгах [3], [5], [10], [18], [28] и других учеб
никах и монографиях о теории экстремума, чтобы убедиться в том, что основные результаты о необходимых условиях, содер
жащиеся в этих учебниках, нашли в той или иной мере отраже
ние в нашей статье. При этом наша статья фактически является самозамкнутой, за малым исключением, давались ссылки лишь на общеизвестные из университетских курсов факты. В том же духе с общих позиций можно осветить и проблемы, связанные с возмущениями экстремальных задач и с существованием ре
шений. Каталог эффективных алгоритмов огромен, и здесь еще рано заниматься синтезирующими исследованиями.
Важно обозначить те задачи, которые находятся за гранью описанной теории. Мы, в основном, рассматривали задачи вари
ационного исчисления и оптимального управления в одномерном
случае (когда переменное t одномерно).
Одной из наиболее существенных проблем теории э к с т р е м у ма представляется нам доведение теории многомерных зада^яс вариационного исчисления и оптимального управления до т о го уровня, которого достигла одномерная теория. (О с о с т о я н и и многомерной теории можно получить представление по к н и г а м [31], [34]). Естественно начинать думать и над вариационным исчислением в бесконечномерном случае — хотя бы на у р о в к е условий первого порядка (скажем, в задачах об о п т и м а л ь н ы х диффеоморфизмах и т.п.).
Но и в одномерной теории остаются нерешенные пробл€?мьд:э
например, те, которых мы коснулись, когда обсуждали н е р а в е н ства для производных — проблемы, когда функционалы о п р е д е лены на некомпактны^ множествах типа прямой или п о л у п р я мой. Кроме того, хотелось бы построить теорию, позволяющую алгоритмически действовать и в тех случаях, когда р е ш е н и я нет, чтобы научиться стандартно решать, скажем, н е р а в е н с т ва типа неравенства Гильберта из теории квадратичных ф о р м (см. [25]).
5. Хотелось бы высказать еще и предложение очень н е з н а чительной модернизации курса функционального анализа, к о т о рая позволила бы осветить современные проблемы н е л и н е й н о го анализа и, в частности, послужить базой для общей т е о р и и экстремума. Речь идет, в частности, о небольшом дополнении, связанном с теоремами об обратной функции и выпуклым а н а лизом.