Д. С. Аниконов, Я. А. Киприянов, Недоопределенная задача интегральной гео- метрии для обобщенного преобразования Радона, Сиб. журн. индустр. матем., 2016, том 19, номер 1, 18–26

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Д. С. Аниконов, Я. А. Киприянов, Недоопределенная задача интегральной гео- метрии для обобщенного преобразования Радона, Сиб. журн. индустр. матем., 2016, том 19, номер 1, 18–26

DOI: https://doi.org/10.17377/sibjim.2016.19.102

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 06:48:47

Январь–март, 2016.ТомXIX,№1(65)

УДК517.958

НЕДООПРЕДЕЛЕННАЯ ЗАДАЧА ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА

Д. С. Аниконов, Я. А. Киприянов

Исследуется новая задача интегральной геометрии. В трехмерном евклидовом пространстве рассматриваются всевозможные плоскости. Известными данными являются интегралы по всем таким плоскостям от неизвестной кусочно-гладкой функции,зависящей как от пространственных переменных,так и от переменных, характеризующих плоскости. Искомым объектом является поверхностьразрыва первого рода подынтегральной функции.Доказана теорема единственности иско- мой поверхности. Выполненное исследование является одним из аспектов теории зондирования неизвестных сред различными физическими сигналами.

Ключевые слова: интегральная геометрия,обобщенное преобразование Радона, зондирование,неизвестные границы.

DOI 10.17377/sibjim.2016.19.102

Теория интегральной геометрии весьма значительна. В наиболее простой постановке задачи интегральной геометрии даны интегралы от функции по некоторому семейству многообразий и требуется найти неизвестную подын- тегральную функцию. Не претендуя на общий обзор темы, можно отметить, что подобные задачи успешно исследовались,например,такими авторами,как И. Радон [1], Р. Курант [2], Ф. Йон [3], И. М. Гельфанд [4]. Также значи- тельный вклад внесен трудами математической школы М.М.Лаврентьева[5]

и В.Г.Романова[6, 7]в связи с исследованиями обратных задач для уравнений математической физики. В более сложном варианте неизвестная подынтеграль- ная функция умножается на известную весовую функцию,зависящую не только от переменных интегрирования. В этом направлении полученные результаты оказываются более скромными. К тому же построены контрпримеры, указы- вающие на невозможность получения столь общих теорем единственности,как для варианта единичного веса. В настоящей работе рассматривается несколько иная постановка проблемы, а именно, заданы интегралы по всем плоскостям в трехмерном пространстве, а неизвестная разрывная подынтегральная функ- ция зависит не только от переменных интегрирования, но и от параметров, характеризующих плоскости. Естественно,что в таких условиях найти подын- тегральную функцию невозможно,т.е. в классическом смысле задача являет- ся недоопределенной. Поэтому ставится более частная проблема нахождения только поверхности разрывов подынтегральной функции. Выполненное иссле- дование является продолжением работ,посвященных интегральной геометрии для одномерных многообразий[8, 9], и для ясности ссылок мы стремились ис- пользовать обозначения,принятые в[9].

1. Обозначения, предположения и постановка задачи. Введем ос- новные обозначения: E³ — трехмерное евклидово пространство, в котором задана некоторая основная система координат,определяемая ортамиe₁,e₂,e₃,

∗) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований(проекты13–01–00275, 16–31–00112мол−а).

c 2016 Аниконов Д.С.,Киприянов Я. А.

Недоопределенная задача интегральной геометрии 19 и по умолчанию представление точки пространства E³ дается в этой систе- ме. Также будут использоваться и другие системы координат. Представление точек в таких системах специально оговаривается. Далее, G —ограниченная строго выпуклая область в E³; ∂G — ее граница класса C²; Ω = {ω ∈ E³ :

|ω| = 1} — единичная сфера в E³; Π(ζ, p) — плоскость в E³, определяемая единичным вектором нормали ζ∈Ωи расстоянием p от начала координат до плоскости(с учетом знака).

Пусть задана функция f(x, y) =

f₁(x, y), (x, y)∈(E³\G)– ×E³, f₂(x, y), (x, y)∈ –

G×E³, x, y∈E³, x= (x₁, x₂, x₃), y= (y₁, y₂, y₃).

Предполагается,что функцияf(x, y)финитна по x,причем соответствую- щий носитель содержится в некоторой области,не зависящей отy. Обозначим через [f(z, y)] величину разрыва первого рода функцииf(x, y)при переходе x извне внутрь областиGчерез точкуz∈∂G,т.е.

[f(z, y)] = lim

x→zf₂(x, y)− lim

x→zf₁(x, y), x∈G, x∈E³\G.

Считается, что

f₁(x, y)∈C¹((E³\ –

G)×E³), f₂(x, y)∈C¹(G×E³), [f(z, y)]= 0 для всех z∈∂G.

Обобщенное преобразование Радона функцииf(x, y) определяется следую- щим равенством:

R_f(ζ, p) =

Π(ζ,p)

f(x, y)dσ_x, y∈E³,

где σ_x — элемент площади по переменным x = (x₁, x₂, x₃); y = pζ; ζ = (ζ₁, ζ₂, ζ₃);|ζ|= 1.

Везде в этой работе при фиксированномζ частная производная отR_f(ζ, p) по переменной pобозначается через I(p).

Задача: определить поверхность ∂G, имея в качестве исходных данных всевозможные значения обобщенного преобразования Радона R_f(ζ, p) функ- цииf(x, y).

Замечание 1. Выбранный способ представленияy=pζозначает,что при p = 0 (y = 0) обобщенное преобразование Радона совпадает с обычным. Это было сделано для простоты, поскольку более общий случай y = (ζ₁, ζ₂, ζ₃, p) потребовал бы заметного удлинения рассуждений.

2. Основные результаты.

Теорема 1. ФункцияR_f(ζ, p)ограничена и непрерывна по переменнойp, а ее производная по p непрерывна для всех ее значений, кроме тех, которые соответствуют плоскостям,касательным к поверхности∂G.

Доказательство. Ограниченность R_f(x, y) очевидна. Для дальнейшего используем тот факт,что такие свойства,как непрерывность и дифференцируе- мость функции не зависят от выбора системы координат. Рассмотрим произ- вольную плоскостьP в E³,пересекающую областьGпо некоторой двумерной

строго выпуклой области D. Возьмем произвольную точку a∈ D и выберем такую декартову систему координат, чтобы две первые оси лежали в плоско- сти, параллельнойP, а третья проходила через точку a. Точки из E³ в этой системе координат будем обозначать (ξ₁, ξ₂, η). Для простоты предположим, что область G лежит в полупространствеη > 0. Ясно, что a= (0,0, p)и су- ществует некоторый интервал для чисел p такой, что для всех его значений плоскость P, проходящая через a = (0,0, p), имеет непустое пересечение с об- ластьюG. Тогда плоскостьPможно представить в видеΠ

|a|a , p ,т.е. Π(s, p), s= (0,0,1). Интеграл от функцииf(x, y)по плоскостиP запишем в виде

P

f(x, y)dσ_x=

Π(s,p)

f(x, y)dσ_x=

D

f₂(x, y)dσ_x+

Π(s,p)\D

f₁(x, y)dσ_x. (1) Интегралы в выражении (1) существуют в силу финитности по x функции f(x, y). В плоскости Π(s, p) введем полярную систему координат с центром в точкеa. Тогда сумму двух интегралов в правой части(1)можно представить в виде

|ω|=1 t(a,ω)

0

τ f₂(a+τ ω, a)dτ dω+

|ω|=1

∞ t(a,ω)

τ f₁(a+τ ω, a)dτ dω, (2) где ω = (ω₁, ω₂,0), (ω, s) = 0, а t(a, ω) есть расстояние от точки a до ∂G в направлении ω. Эта функция подробно исследована в [10], где доказано, что в условиях постановки нашей задачи функция t(r, ω),r= (r₁, r₂, r₃), r∈G, является непрерывной функцией всех своих аргументов. Отсюда следует, что в силу финитности функции f(x, y) поxоба интеграла в выражении(2)огра- ничены и являются непрерывными функциями переменногоp. (Напомним,что в выбранной нами системе координат a = (0,0, p).) Также в [10] доказано, чтоt(r, ω)имеет непрерывные производные поr₁,r₂,r₃,причем для градиента функцииt(r, ω)верно равенство

∇rt(r, ω) =− n(u)

n(u)ω, u=r+t(r, ω)ω, (3)

где n(u) — единичный вектор внутренней нормали к поверхности ∂G в точ- ке u ∈ ∂G. Отсюда, а также из того, что функции f₁(x, y), f₂(x, y) имеют непрерывные и ограниченные частные производные первого порядка в своих областях определения, будет следовать тот факт, что выражение(2) является непрерывно дифференцируемой функцией переменногоp. Для этого продиффе- ренцируем выражение(2)поpи получим

I(p) =

|ω|=1 t(a,ω)

0

τ∂f₂(a+τ ω, a)

∂p dτ dω+

|ω|=1

t(a, ω)f₂(a+t(a, ω)ω, a)∂t(a, ω)

∂p dω

+

|ω|=1

∞

t(a,ω)

τ∂f₁(a+τ ω, a)

∂p dτ dω−

|ω|=1

t(a, ω)f₁(a+t(a, ω)ω, a)∂t(a, ω)

∂p dω.

Ввиду того,что все элементы в правой части последнего равенства непрерыв- ны, таковой же оказывается и функцияI(p).

В силу произвольности плоскостиP и выбора точкиaутверждение теоре- мы доказано для случая P∩G=∅.

Недоопределенная задача интегральной геометрии 21 Пусть теперь P и область G не пересекаются. Используем декартову си- стему координат, определенную ранее: первые две оси лежат в плоскости, параллельной P, а третья направлена по нормали к P. Плоскость P в этой системе координат можно представить в виде Π(s, p),s= (0,0,1). Выражение дляR_f(s, p)примет следующий вид:

R_f(s, p) =

Π(ζ,p)

f(x, y)dσ_x= ∞

−∞

∞

−∞

f₁(ξ₁, ξ₂, p,0,0, p)dξ₁dξ₂. (4) Поскольку функция f₁(x, y) финитна поx и непрерывно дифференцируема по всем своим переменным в области(E³\G)– ×E³,то интеграл в выражении(4) ограничен и является непрерывно дифференцируемой функцией переменногоp.

Рассмотрим наиболее трудный для исследования случай, когда плоскость P является касательной к поверхности ∂G. Докажем,что в точке p₀,соответ- ствующей такой плоскости, функцияR_f(s, p) непрерывна. Пусть pтакое,что Π(s, p)∩G=∅,и стремится к p₀. Из формулы(4)следует равенство

p→plim0R_f(s, p) = ∞

−∞

∞

−∞

f₁(ξ₁, ξ₂, p₀,0,0, p₀)dξ₁dξ₂.

Пусть теперь p такое, что Π(s, p)∩G =D, и стремится кp₀. Поскольку область G строго выпуклая, то диаметр области D стремится к нулю. По- скольку функцияf(x, y) ограничена,то из(1)следует равенство

p→plim0R_f(s, p) = lim

p→p0

D

f₂(x, y)dσ_x+

Π(s,p)\D

f₁(x, y)dσ_x

=

Π(s,p0)

f₁(x, y)dσ_x= ∞

−∞

∞

−∞

f₁(ξ₁, ξ₂, p₀,0,0, p₀)dξ₁dξ₂. Тем самым функцияR_f(s, p)непрерывна в точкеp₀. Теорема доказана.

Справедлива следующая

Теорема 2. Функция I(p) имеет разрыв в точке p=p₀, в которой плос- костьΠ(ζ, p₀)касается поверхности∂G.

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку z ∈ ∂G. Выберем новую декартову систему координат с центром в этой точке такую,что первые две оси лежат в плоскости,касательной к∂Gв точкеz,а третья ось направлена вдоль внутренней нормали к ∂G. Точки из E³ в этой системе обозначаем (ξ₁, ξ₂, η). Положим p = η, s = (0,0,1). Обозначим ξ = (ξ₁, ξ₂). Из условия принадлежности∂G к классуC² следует,что в достаточно малой окрестности точки zповерхность∂G может быть представлена уравнением

η=a₁₁(ξ₁)²+ 2a₁₂ξ₁ξ₂+a₂₂(ξ₂)²+α(|ξ|²),

α(|ξ|²) =o(|ξ|²), |ξ|²→0, a₁₁, a₁₂, a₂₂∈R, η≥0. (5) Действительно, пусть ∂G в окрестности точки z задается уравнением η=F(ξ₁, ξ₂),η≥0.

Разложим F(ξ₁, ξ₂)в ряд Тейлора в окрестности точки(0,0):

η=F(0,0) +F_ξ1(0,0)ξ₁+F_ξ2(0,0)ξ₂+ 0,5F_ξ1ξ1(0,0)(ξ₁)²

+F_ξ1ξ2(0,0)ξ₁ξ₂+ 0,5F_ξ2ξ2(0,0)(ξ₂)²+α(|ξ|²),

α(|ξ|²) =o(|ξ|²), |ξ|²→0.

По построению F(0,0) = 0. Из необходимого условия существования локаль- ного минимума функции F(ξ₁, ξ₂) в точке (0,0) следует, что F_ξ1(0,0) = 0, F_ξ2(0,0) = 0.

Обозначив

a₁₁= 0,5F_ξ1ξ1(0,0), a₁₂= 0,5F_ξ1ξ2(0,0), a₂₂= 0,5F_ξ2ξ2(0,0),

получим (5). Заметим, что величины a₁₁, a₁₂, a₂₂ могут одновременно обра- щаться в нуль.

Приступим теперь непосредственно к доказательству теоремы 2. Дока- зательство разбивается на три случая возрастающей общности, для каждого из которых доказывается свойство, указанное в теореме 2, причем результа- ты,полученные для каждого последующего случая,опираются на результаты, полученные для предыдущего.

Рассмотрим сначала случай,когда функцияf(x, y)имеет вид f(x, y) =

1, x∈G,– 0, x∈G.– Запишем уравнение(5)в следующем виде:

η= Φ(ξ), ξ= (ξ₁, ξ₂). (6)

Заметим,что при достаточно малыхpимеет место неравенство

|Φ(ξ)| ≤A|ξ|², (7)

где A — положительная константа, не зависящая от ξ. Действительно, если величины a₁₁, a₁₂, a₂₂ одновременно обращаются в нуль, то неравенство (7) становится очевидным,поскольку

|α(|ξ|²)|

|ξ|² →0 при |ξ|²→0.

Фиксируяε₁>0 и выбираяpдостаточно малым,мы добьемся выполнения не- равенства (7), полагаяA=ε₁. Если же хотя бы одна из величин a₁₁, a₁₂, a₂₂ не обращается в нуль,то посредством ортогональной замены переменных мож- но привести уравнение (5)к виду

η =λ₁(ˆξ₁)²+λ₂(ˆξ₂)²+α(|ξ|ˆ²), ξˆ= (ˆξ₁,ξˆ₂), λ₁, λ₂∈R, (λ₁)²+ (λ₂)²>0.

Зафиксируем ε₁ >0 и выберем q₁ >0 так, чтобы для всех η ∈(0, q₁),удовле- творяющих уравнению(5), было выполнено |α(|ξ|²)|

|ξ|² < ε₁. Пользуясь тем,что

|ξ|ˆ²=|ξ|²,получаем

|Φ(ξ)|

|ξ|² =|Φ(ˆξ)|

|ξ|ˆ² ≤

λ₁(ˆξ₁)²+λ₂(ˆξ₂)²

|ξ|ˆ² +α(|ξ|ˆ²)

|ξ|ˆ²

≤|λ1|(ˆξ₁)²+|λ2|(ˆξ₂)²

|ξ|ˆ² +|α(|ξ|ˆ²)|

|ξ|ˆ² ≤max(|λ1|,|λ2|) +ε₁.

Недоопределенная задача интегральной геометрии 23 Таким образом,имеет место неравенство (7),гдеA= max(|λ1|,|λ2|) +ε₁.

Обозначим Ψ(ξ) = A|ξ|². Из неравенства (7) следует, что график функ- ции Ψ(ξ) расположен выше графика функции Φ(ξ). Отсюда, в свою очередь, следует, что при обозначениях

D_p={ξ: Φ(ξ)≤p}, D_p={ξ: Ψ(ξ)≤p}

имеет место неравенство mes(D_p) ≥ mes(D_p), где mes(·) — двумерная мера Лебега. МножествоD_p есть круг радиуса (p/A)^0,5. Следовательно,

mes(D_p)≥πp

A, mes(D_p)

p ≥ π

A >0.

Устремляяpк нулю,получим соотношение для верхнего предела:

p→0+lim

mes(D_p)

p ≥ π

A >0. (8)

Вообще говоря,мы не исключаем и случай бесконечного верхнего предела.

Далее,поскольку в данном случае R_f(s, p) =

Π(s,p)

f(x, y)dσ_x=

Dp

dξ₁dξ₂= mes(D_p),

то имеет место неравенство lim

p→0+I(p)>0. Но поскольку при отрицательныхp выполнено R_f(s, p) =

Π(s,p)

f(x, y)dσ_x = 0, то lim

p→0−I(p) = 0. Тем самым функ- ция I(p) имеет разрыв в точке p= 0,и утверждение теоремы 2 доказано для первого случая.

Рассмотрим теперь более общий случай функцииf(x, y):

f(x, y) =

f₂(x, y), x∈G,–

0, x∈ –

G,

f₂(x, y)∈C¹(G×E³), [f(z, y)]= 0 для всех z∈∂G.

Докажем утверждение теоремы2для этого случая. Как и ранее,мы фикси- руем точкуz∈∂Gи рассматриваем областьGв системе координат,выбранной ранее.

Обозначим D_p = G∩Π(s, p). Запишем тождество f₂(x, y) = f₂(z, z) + (f₂(x, y)−f₂(z, z))и проинтегрируем его по областиD_p:

R_f(s, p) =

Dp

f₂(z, z)dξ₁dξ₂+

Dp

(f₂(x, y)−f₂(z, z))dξ₁dξ₂. (9)

В равенстве(9)вынесемf₂(z, z)за знак интеграла: R_f(s, p) =f₂(z, z) mes(D_p) +

Dp

(f₂(x, y)−f₂(z, z))dξ₁dξ₂. (10)

Зафиксируем ε₂ > 0. Выберем q₂ ∈(0, q₁) (здесь q₁ — малое число, выбран- ное ранее) таким образом, чтобы выполнялось |x−z|+|y−z| < ε₂ для всех

x ∈ G∩Π(s, p), y таких, что y = (0,0, p), где p ∈ (0, q₂). Выбрать такое q₂ возможно, поскольку область G — строго выпуклая. Поскольку в области G функция f₂(x, y) удовлетворяет условию Липшица как по переменным x, так и по переменнымy,существует L >0такое,что

|f2(x, y)−f₂(z, z)|< L(|x−z|+|y−z|) для всех x, y∈G.

Таким образом,еслиp∈(0, q₂),то имеет место оценка

|f2(x, y)−f₂(z, z)|< Lε₂

для всех x∈G∩Π(s, p), y= (0,0, p), p∈(0, q₂).

Тогда из равенства (10)получаем

f₂(z, z) mes(D_p)−Lε₂mes(D_p)≤R_f(s, p)≤f₂(z, z) mes(D_p) +Lε₂mes(D_p).

В неравенстве выше вынесем mes(D_p) за скобку и поделим само неравенство наp:

mes(D_p)

p (f₂(z, z)−Lε₂)≤R_f(s, p)

p ≤ mes(D_p)

p (f₂(z, z) +Lε₂).

Как было показано ранее,верхний предел величины mes(D_p)

p не меньшеπA⁻¹. Поскольку ε₂ произвольное, то верхний предел величины R_f(s, p)

p не меньше πf₂(z, z)A⁻¹,причемf₂(z, z)= 0. Но поскольку при отрицательныхp

R_f(s, p) =

Π(s,p)

f(x, y)dσ_x= 0,

то lim

p→0−I(p) = 0. Тем самым функция I(p) имеет разрыв в точке p = 0, и утверждение теоремы2доказано для второго случая.

Рассмотрим теперь общий случай функцииf(x, y):

f(x, y) =

f₁(x, y), (x, y)∈(E³\ – G)×E³, f₂(x, y), (x, y)∈G–×E³,

f₂(x, y)∈C¹(G×E³), f₁(x, y)∈C¹((E³\G)– ×E³), [f(z, y)]= 0 для всехz∈∂G.

Для заключительного этапа доказательства продолжим функцию f₁(x, y) на всеE³ гладким образом и обозначим ее продолжение черезf˜₁(x, y). Тогда

R_f(s, p) =

Π(s,p)

f(x, y)dξ₁dξ₂=

Dp

f₂(x, y)dξ₁dξ₂+

Π(s,p)\Dp

f₁(x, y)dξ₁dξ₂

=

Dp

f₂(x, y)dξ₁dξ₂+

Π(s,p)

f˜₁(x, y)dξ₁dξ₂−

Dp

f˜₁(x, y)dξ₁dξ₂

=

Π(s,p)

f˜₁(x, y)dξ₁dξ₂+

Dp

(f₂(x, y)−f˜₁(x, y))dξ₁dξ₂.

Недоопределенная задача интегральной геометрии 25 Обозначим

S₁(p) =

Π(s,p)

f˜₁(x, y)dξ₁dξ₂, S₂(p) =

Dp

(f₂(x, y)−f˜₁(x, y))dξ₁dξ₂.

Производная функцииS₁(p)непрерывна,поскольку функцияf˜₁(x, y)непрерыв- но дифференцируема на всем E³. Производная функции S₂(p) имеет разрыв, величиной не менееπ(f₂(z, z)−f1(z, z))A⁻¹приp= 0 (по предыдущему случаю, рассмотренному в этой теореме). Теорема доказана.

Замечание 2. Используя обозначения теоремы 2, покажем, что в точке p= 0функцияI(p)может терпеть разрыв как первого,так и второго рода.

Для обоснования замечания приведем следующие два примера. В обоих из них предположим, что функция f(x, y) равна единице, если x лежит в G, и нулю в противном случае. Используя прежние обозначения, заметим, что функцииR_f(s, p)иI(p)будут равны нулю при p <0.

Пример 1. Пусть в окрестности точкиz = (0,0,0)поверхность ∂G имеет видη= (ξ₁)²+ (ξ₂)². Тогда множествоD_p,которое есть пересечение плоскости Π(s, p)и области G,есть круг радиуса √p. Его площадь равнаπp. Тогда

p→0+lim

R_f(s, p)

p = lim

p→0+

mes(D_p)

p =π.

Следовательно,в точкеp= 0функцияI(p)имеет разрыв первого рода. Пример 2. Пусть в окрестности точкиz = (0,0,0)поверхность ∂G имеет вид η = ((ξ₁)²+ (ξ₂)²)². В этом случае множество D_p есть круг радиуса √⁴p.

Его площадь равна π√p. Тогда R_f(s, p)

p = mes(D_p)

p = π

√p −→

p→0++∞.

Таким образом,функцияI(p)имеет разрыв второго рода в точкеp= 0.

Теорема 3. Пусть дляf(x, y)известнывсевозможные значения обобщен- ного преобразования РадонаR_f(ζ, p). Тогда задача об определении поверхно- сти ∂Gимеет не более одного решения.

Доказательство. Доказательство будем вести от противного. Пусть за- даны две функцииf(x, y)иf˜(x, y),которые имеют разрывы первого рода поx в каждой точке поверхностей∂Gи∂Gсоответственно,причем∂G=∂G, и вы- полнено R_f(ζ, p) =R_f˜(ζ, p) для всех ζ ∈ Ω, p ∈ R. Поскольку ∂G = ∂G, то существует точка z₀ ∈ ∂G, z₀ ∈ ∂G, такая, что плоскость Π(ζ₀, p₀), ζ₀ ∈ Ω, p₀ ∈ R, которая касается поверхности ∂G в точке z₀, не будет касательной плоскостью к поверхности∂G. Тогда функцияI(p) = ∂R_f(ζ₀, p)

∂p имеет разрыв в точке p=p₀ (теорема 2). Далее, поскольку плоскость Π(ζ₀, p₀) не является касательной плоскостью к поверхности ∂G, то функция I(p) =˜ ∂R_f˜(ζ₀, p)

∂p не-

прерывна в точке p=p₀ (теорема1). НоR_f(ζ, p) =R_f˜(ζ, p),поэтому функция I(p)одновременно является и непрерывной,и разрывной в точкеp₀,чего быть не может. Полученное противоречие доказывает теорему.

Заключение. Сформулирована и решена недоопределенная задача инте- гральной геометрии для обобщенного преобразования Радона. Построено се- мейство функций,определяемых данными задачи,по значениям которых мож- но восстановить искомую поверхность разрыва. Полученные результаты могут служить основанием для построения алгоритма решения рассмотренной задачи интегральной геометрии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хелгасон С.Преобразование Радона. M.:Мир, 1983.

2. Курант Р.Уравнения с частными производными.М.: Мир, 1964.

3. Йон Ф.Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным урав- нениям с частными производными.М:Изд-во иностр.лит., 1958.

4. Гельфанд И. М., Граев М.А., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений.М.:Физматгиз, 1962.

5. Лаврентьев М.М.,Савельев Л.Я.Теория операторов и некорректные задачи.Новоси- бирск:Изд-во Ин-та математики, 1999.

6. Романов В.Г.Обратные задачи для дифференциальных уравнений.Новосибирск:Изд- во НГУ, 1973.

7. Романов В.Г.Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа.Но- восибирск:Наука, 1969.

8. Аниконов Д.С.,Коновалова Д.С.Проблема недоопределенности в задаче интегральной геометрии//Докл.АН. 2010.Т. 438,№1.С. 7–10.

9. Аниконов Д.С. ,Коновалова Д.С.Недоопределенная задача интегральной геометрии для семейства кривых//Сиб.мат.журн. 2015.Т. 56,№2.С. 265–281.

10. Аниконов Д.С., Ковтанюк А. Е., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса в томографии.М.:Логос, 2000. C. 102–106.

Статья поступила29июня2015г.

Аниконов Дмитрий Сергееевич

Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН просп.Акад.Коптюга, 4

Новосибирский государственный университет ул.Пирогова, 2

Киприянов Ярослав Андреевич

Новосибирский государственный университет 630090г.Новосибирск

E-mail: anik@math.nsc.ru; yaroslav.kipriyanov@gmail.com