Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Л. Р. Волевич, С. Г. Гиндикин, Задача Коши, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам.
направления, 1988, том 32, 5–98
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 06:17:04
УДК 517.955+517.951
Дьс——3
/ЗАДАЧА
кощни АЛр
Л. P. Волетч^^ Г. Гиндикин ,
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Введение . , . . .. , ,. . . • . * » . * « . 7 Глава 1. Задача Коши в функциях и .распределениях степенного убы
вания проста (постоянные коэффициенты) ., . . . 1&
< § 1. Сверточные уравнения в пространствах Шварца на Rn , . ' * 13 1.1. Пространства Щварца основных функций ,, « . \\ . . | | 1.2. 9 как счетно-гильбертово пространство . ... , '« , i § 1.3. Операторы свертки . . . , , , . . , . , , . , . , , . » . \j 1.4. Описание свертывателей . . . " * " . ' - " . . "'. . . 1 8 1.5. Сверточные уравнения на Rn ' . " . ' . ' " . ' . . .. * , 1 9 1.6. Дифференциальные уравнения на Rn .... „., . . . . » 2 0 1.7. Некоторые общие замечания . . . . . . . £0
§ 2. Однородная задача Коши в функциях {распределениях) степей- , ного убывания (роста) . . . ,.' ." . . . , . • • 21 2.}. Обозначения , . . . . . . . . . , 22 2.2. Пространства 9 + и (#.')+' . . . ." . - -.' . . . 22 2.3. Свертыватели в 9*+ и «/')+ ;... .. . . 24 -• 2.4. Свертыватели в 0+ и (£")+ ' . . . . - .. • • * • * 25 2.5. Сверточные уравнения , . . . . . . . . 26 2.6. Сверточные уравнения на конечной Полосе . . . ; . 27 2.7. Задача, двойственная однородной задаче Кодш . . . . зо
§ 3. Неоднородная задача Коши в функциях (распределениях) сте
пенного убывания (роста) . . . • • 31
• 3.1. Свертыватели на Pf^^ . . . . „ .., * * , , . 32 3.2. Пространства £/[+] и U+ , . . . * . . . 55 3.3. Сверточные уравнения в бУ[+]{-00> , , ; . . . ^ 3.4- Связь с классической постановкой задачи Коши . . . . ***
3.5. Сверточцые уравнения на конечной полосе . . . . . j£
§ 4. Краевые задачи для сверточных уравнений . . . *«
4.1. Свертыватели Винера—Хопфа . . , . •> , . . . . ™ 4.?. Свертыватели Винера—Хопфа с условием гладкости (транс-
миссии) . . . ,; . . . . * . • . **
4.3. Уравнения на полуоси (67), отвечающие свертывателям из U * < >
4.4. Факторизация распределений из U j5>
4.5. Метод Винера—Хопфа *о Глава 2. Экспоненциальные классы корректности задачи Коши . . 51
§ 1. Сверточные уравнения в пространствах функций и распределе
ний экспоненциального убывания , 52
1.1. Выпуклые функции . 52 1.2. Гёльдеровские шкалы, отвечающие экспоненциально растущим
весам 54 5
* 1.3. Гильбертовы шкалы, отвечающие экспоненциально растущим весам . . . . . . . . • • р.- 1.4. Свертыватели на пространствах # V и (<7')и . * ••• * • *£
1.5. Сверточные уравнения н а - ^ ц , (<?')и . . . . - • • % 1.6. Связь с задачей Коши . . . . . . . . . . . J~
1.7. Замечания о задаче в полосе и неоднородной задаче Коши . 0 У
••§ 2. Сверточные уравнения в функциях (распределениях) экспонен-
цнального роста w
2.1. Пространства функций (распределений) экспоненциального
роста W 2.2. Свертыватели в 9 -д, (.5?')* * • • г • - • - • }>*
2.3. Сверточные уравнения ®£
2.4. Замечания о задаче в полосе и неоднородной задаче Коши •• 62
§ 3. Специальные классы дифференциальных операторов и их клас
сы корректности 64 ЗЛ. Экспоненциально корректные операторы . . . . * . 64
3.2. Гиперболические полиномы 65 3.3. 26-параболические полиномы (по И . Г. Петровскому) . . ^
3.4. 2 6 + 1 -гиперболические полиномы ' . ^ 3.5. Параболические полиномы относительно многоугольника Н ь ю -
тона . > . . . . 68
3.6. Доминантно корректные полиномы 69 3.7. Плюрипараболические полиномы 69 1*лава 3 . Задача Коши д л я линейных уравнений с переменными к о э ф
фициентами 70
§ 1. Однородная задача Коши д л я псевдодифференциальных у р а в
нений . . . 72 1.1. О б щ а я идея метода 72 1.2. Исчисление псевдодифференциальных операторов, ассоцииро
ванное с однородной задачей Коши 73 1.3. Однородная задача Коши д л я п. д . о. и д л я экспоненциально
корректных дифференциальных операторов постоянной силы 75 1.4. Однородная задача Коши в пространствах функций степенного
убывания (роста) 77 1.5. Неоднородная задача Коши в пространствах функций степен
ного убывания (роста) . 78 1.6. П. д. о. с голоморфными символами и классы корректности
задачи Коши для уравнения с»переменными коэффициентами 80
§ 2. Интегралы энергии дифференциальных операторов с перемен
ными коэффициентами . 82 2.1. Доказательство разрешимости однородной задачи Коши, осно
ванное на энергетических оценках в Я - ^ ] • . • • « « 82 2.2. Достаточные условия существования оценок (33)» (34) . . 85 2.3. Задача Коши в пространствах функций степенного и экспонен
циального убывания (роста) 88 2.4. Строго гиперболические операторы 89 2.5. 26-параболические операторы 90 2.6. Плюрипараболические операторы . . . . . . . . 91
2.7. Доминантно корректные операторы . . . . . . . 92 2.8. (2Ь+1)-гиперболические операторы . . . . . . . . 93 Дополнение. Смешанная задача „ 95
Литература 97
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая статья представляет собой обзор результатов о корректности задачи Коши для дифференциальных операторов как с постоянными, так и с переменными коэффициентами.
В основном внимание концентрируется на результатах, отно
сящихся по возможности к общим операторам, в частности, без априорного выделения старшей части. Утверждения для специальных классов операторов — гиперболических, парабо
лических и т. д. — обсуждаются лишь в той мере, Ь 'какой они иллюстрируют общие конструкции. Более подробные сведения о них можно почерпнуть из статей, специально посвященных тем или иным типам уравнений. При отборе результатов об уравнениях с постоянными коэффициентами мы останавлива
лись на тех утверждениях, которые, по крайней мере, в доста
точной части переносятся на случаи переменных коэффициен
тов.
Задача Коши является классической задачей для уравне
ний в частных производных: ее первые постановки естественно возникали из физических задач. Первые примеры уравнений в частных производных появились в середине XVIII века в рам
ках математической физики. Даламбер, Эйлер, Д. Бернулли с разных точек зрения исследовали уравнение колебаний струны, Основная задача виделась в получении общего решения (ин
теграла) уравнения. Исходное наблюдение состояло в том, что в то время как общее решение обыкновенного уравнения зави
сит от некоторого количества произвольных констант, общее решение уравнения в частных производных должно зависеть от некоторого числа произвольных функций. Решение Даламбера уравнения струны содержало две произвольных функции от одного переменного. В работах классиков XVII! века содержа
лись зародыши многих основных идей будущей теории: харак
теристики» разделение переменных, разложение решения по базису (гармоникам).
Эйлер, заметив» что произвол в решении можно устранить, фиксировав начальное положение и начальную скорость стру
ны» по существу рассмотрел задачу Коши мя уравнении стру
ны, Знаменитая дискуссия между Эйлером и Даламбером о классе функций, в котором следует решать уравнение струны»
не только способствовала уточнению понятия функции в ана
лизе, но и предвещала общую проблему выбора функциональ*
ного класса» в котором следует решать уравнение. В противо
вес мнению Даламоера, что следует ограничиться аналитиче
скими решениями» Эйлер настаивал» что струна может прини
мать любую форму, которую только можно изобразить
«свободным влечением руки» (ср. ниже обсуждение идей Ада- пара). В трудах Эйлера и Даламбера появилось значительное число уравнений математической физики» в частности, уравне*
Ъ
ние Лапласа и волновое уравнение в двумерном и трехмерном случаях. За пределами уравнения струны строились лишь спе
циальные решения, причем проблемы для трехмерных уравне
ний казались Эйлеру' лежащими вне возможностей современ
ного ему анализа. , В XIX веке математическдя физика продолжает быть основ
ным источником нов уравнений в частных производных и постановок задач для них Рассмотрения носят более система
тически характер в отношении уравнения Лапласа, волнового уравнения. В накале века Фурье присоединяет к ним уравнение тeплoпpoвoднocти;, Замечательный прогресс в получении точных формул связан с именем Пуассона: формулы для решения задачи Дирихле в круге, для решения задач Коши для урав
нения теплопроводности и волнового уравнения в трехмерном пространстве. Физические постановки приводили к тому, что первоначальная задача получения общего решения постепенно вытеснялась реально возникавшими в физике граничными за
дачами, среди которых важное место занимала задача Коши.
Лишь в рамках уравнений первого порядка исходная постанов
ка об общем интеграле оправдывала себя. Здесь первые шаги Опять-таки связаны с именами Даламбера и Эйлера; теория интенсивно развивалась весь XIX век и получила замечательно совершенный вид, благодаря работам Гамильтона, Якоби,
Фробениуса, Э. Картана,
В рамках конкретных уравнений рассмотрения в основном не выходят за пределы уравнений второго порядка и даже трех переменных. Во второй половине XIX века была осмыс
ленна классификация уравнений 2-го порядка (Дюбуа-Рей- мон). Увеличение числа переменных не диктовалось приложе
ниями и, в частности, приводило к мало понятному ультраги
перболическому случаю. Увеличение порядка, требовало суще
ственного психологического сдвига: нужно было от задачи классификации перейти к задаче выделения классов.
Что касается общей теории, то здесь первые существенные результаты связаны с именем Коши, которому вообще был присущ интерес к общим постановкам в век, когда в анализе больше ценили конкретные задачи. Его результаты не получи
ли широкой известности, и к ним вернулись лишь через трид
цать лет, когда их переоткрыла С В. Ковалевская. Теорема Коши—Ковалевской утверждает, что для нехарактеристической задачи Коши для системы с аналитическими коэффициентами
при аналитических начальных данных имеют место (локально) существование и единственность в классе аналитических функ
ций.
Изучение голоморфных решений для характеристической зйдачи Коши было продолжено Рикье, Жане и др. При этом возникли аналоги задачи Коши, когда начальные данные за
даются на многообразиях разной размерности. Законченная
8
теория таких задач (на языке систем уравнений Пфаффа) была построена Э. Картаном и Келером.
Вопрос об отказе от условия аналитичности при изучении задачи Коши (или ее обобщений) возник достаточно рано:
было очень заманчиво1 в теореме Коши—Ковалевской заменить голоморфные решения гладкими. Тем более, что благодаря Вейерштрассу была очень популярна аппроксимация непрерыв
ных функций аналитическими и, в частности, полиномами. До
полнительным аргументом в пользу этого подхода была теоре
ма Хольмгрена, утверждавшая единственность решения в усло
виях теоремы Коши—Ковалевской в классе функций конечной гладкости. Адамар показал, что наивный план перехода при помощи аппроксимации от аналитических функций к гладким в общей ситуации не может быть реализован, поскольку близ
ким начальным данным могут отвечать существенно разные решения. На примере задачи Коши для оператора Лапласа Адамар показал, что сколь угодно малое возмущение началь
ных данных может привести к сколь угодно сильному возму
щению решения. Этот пример Адамар подкрепил указанием, что ни одна известная в то время физическая задача не при
водила к задаче Коши для эллиптических уравнений. В связи с этим Адамар [25] ввел понятие корректной начальной или краевой задачи для уравнения в частных производных. Задача называется корректной, если она имеет единственное решение, непрерывно зависящее от данных задачи в некотором классе функций конечной гладкости, i
Адамаром (25] была доказана корректность задачи Коши для общих линейных гиперболических уравнений второго по
рядка. В случае постоянных коэффициентов соответствующие результаты следовали из рабът Вольтерра и его учеников.
Случай переменных коэффициентов и двух переменных был рассмотрен еще Римаиом, по его результаты не получили ши
рокой известности. Адамаром было предложено обобщение метода Римана на случай многих переменных, позволившее ему построить фундаментальное решение задачи Коши для гиперболического уравнения 2-го порядка (функцию Римана) и с ее помощью выразить решение линейного гиперболическо
го уравнении второго порядка через правую часть и данные Коши. Поскольку существование функции Римана доказыва
лось мя достаточно малого интервала времени, то Адамар получал формулы для решения на малом (но не зависящем от начальных данных и правых частей) интервале времени.
Последовательное повторение этой процедуры позволяло построить решение па любом конечном интервале времени.
Однако на каждом шагу происходила «потеря гладкости» ре
шения, характерная для гиперболических уравнений: таким образом, чтобы гарантировать существование , классического решения из Ст на интервале времени длины 7\ следовало пред-
9
полагать высокую (зависящую от Т) гладкость данных задачи.
Использование энергетических оценок позволило Шаудеру и С. Л. Соболеву [18] избавиться от завышенных условий гладкости. Шаудер доказывал разрешимость задачи Коши с помощью аппроксимации коэффициентов аналитическими - функциями и применением теоремы Коши—Ковалевской-
С. Л. Соболев пользовался методом, близким к методу Адама^- ра. Рассматривая обобщенные решения в классах функций квадратично суммируемых вместе с производными (простран
ства Соболева), С, Л. Соболев получил точные результаты о гладкости решений гиперболических уравнений.
Подход к решению задачи Коши, основанный на прямых методах (конечные разности) и оценках интеграла энергия.-.
был предложен Курантом, Фридрихсом и Г. Леш в 1928г. [23].
Уже с начала этого века развивались некоторые другие на
правления в общей теории. Осмысливалась связь уравнений с постоянными коэффициентами с алгебраическими фактами об их символах, в частности при помощи операционного исчисле
ния. Это приводило к некоторым явным формулам для фунда
ментальных решений: Фредгольм, Цейлон, Герглотц., С другой стороны, закладывались некоторые общие приемы решения уравнений с переменными коэффициентами, прежде всего ме
тод параметрикса: Пикар, Гильберт, Гендрик, Е. Леви [30].
Существенным событием в общей теории уравнений были работы И. Г. Петровского 30-х годов. В том, что касается за
дачи Коши, И. Г. Петровский стремился описать системы, для которых задача Коши корректна в смысле Адамара. В случае постоянных коэффициентов ему удалось получить достаточно ,: эффективные окончательные результаты.
> В [8] рассматривается задача Коши для системы общего вида с коэффициентами, зависящими только от времени»
N
д1щ dt*
л ZA2U
AIJ {t)«ч.л/ <»>
ka^fij, £===1, ,,'», JV\
= Ф-,(х), £-=1, . . „ Л\ /=*0, • .•,&, — !. (2) Основной результат состоит в том, что задача (1), (2) кор
ректна в классах Сш на интервале {0, Т] тогда и только тогда»
когда выполнено условие (А): система обыкновенных уравне
ний
^ = 2 2 - 4 1 ) *««•>*-... tt/-^ (3)
получающайся из (1) с помощью формального преобразования Фурье по 'Пространственным переменным, имеет фундаменталь- ю
ную матрицу решений, растущую по | не быстрее йекоторой степени |£|.
В случае постояйных коэффициентов условие (А) эквива
лентно тому, что мнимые части корней алгебраического урав
нения
det = 0
стремятся к —оо не медленнее const In (1+UD- Как мы уви
дим ниже, это эквивалентно тому, что мнимые части корней равномерно (по £) ограничены снизу некоторой константой.
Такие системы стали называть корректными по И. Г. Петров
скому.
Конкретизируем STH условия для одного уравнения. Для оператора Р[тш*Т^*'лщ%'<&)УсЛо*ия KOPPefcmHOcmu ti0
Петровскому сводятся к следующим условиям на его символ Р(ъ\) "• (О Р разрешен относительно старшей степени т, т. е.
jP=Tfe+Q, degT Q^k—1; (й) существует у, для которого PfaD'^O при 1шт<7, I^Rn.
В случае коэффициентов, зависящих от t, фундаментальная матрица (3) находится путем интегрирования системы обыкно
венных уравнений, и условие (А), вообще гоборя, не формули
руется в виде алгебраических условий на коэффициенты.
И. Т . Петровский выделил два класса систем: строго гипербо
лические (обобщающие волновое уравнение) и 2Ь-параболиче- ские (обобщающие уравнение теплопроводности), для которых заведомо выполнено условие (А) при коэффициентах, зави
сящих от t и, тем самым, имеет место корректность задачи Коши,
Одновременно И. Г, Петровский исследовал задачу Коши для строго гиперболических уравнений с переменными коэффи
циентами [32]. Что касается 26-параболических уравнений, то и здесь, как выяснилось в дальнейшем, можно построить тео
рию задачи Коши для переменных коэффициентов (см.
О. А, Ладыженская [14], С Д, Эйдельман [201 О. А. Лады
женская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева [15]).
В конце сороковых годов Шварц [34] изложил результаты И. Г. Петровского на языке возникшей теории распределений.
Он показал, что условие корректности Петровского является необходимым и достаточным условием корректности задачи Коши в классе медленно растущих распределений, гладко за
висящих от времени. При этом Шварц отметил, что в резуль
татах И. Г. Петровского можно заменить дифференциальные операторы по пространственным переменным на операторы свертки.
Развитие теории распределений (обобщенных функций) 11
сопровождалось изучением задачи К.оши для систем с постоян
ными коэффициентами в очень общих постановках. Прежде всего это относится к экспоненциальным классам единственно
сти и корректности задачи Коши. Начиная с работ Хольмгрена, А. Н. Тихонова, Тэклинда и О. А. Ладыженской о параболи
ческих уравнениях для различных классов уравнений и систем, исследовались функциональные классы ...с экспоненциальным ростом, в которых .задача Коши разрешима (класс корректно
сти) или имеет единственное решение (класс единственности).
И. М. Гельфанд и Г. Е. ВДилов описали экспоненциальные клас
сы единственности Для общих Систем с .постоянными коэффи
циентами, а Г. Е. Шилов и его ученики в такой же общности рассмотрели вопрос о классах корректности. Мы не касаемся в обзоре этих вопросов, специфических для систем с постоян
ными коэффициентами. Их подробное изложение можно най
ти в монографии И. М. Гельфанда и Г, Е. Шилова [9]. За пределами обзора остался также результат Хёрмандера о кор
ректности задачи Коши для одноМ*уравнения в D' (см. [26, гл. XII]).
На современном состоянии общей теории задачи Коши существенно отразились теория обобщенных функций (распреде
лений), метод априорных оценок и теория псевдодифференци
альных операторов. В рамках общей теории для случая посто
янных коэффициентов теперь естественно перейти к сверточ- ным уравнениям, а в случае переменных коэффициентов часто*
естественно вести рассмотрение в более широких рамках псев
додифференциальных операторов. Оба эти обстоятельства уч
тены в настоящем обзоре.
Обзор состоит из трех глав. Главы 1, 2 посвящены задаче Коши для дифференциальных уравнений с постоянными коэф
фициентами и более общих сверточных уравнений. В первой главе собраны вопросы, относящиеся к задаче Коши в прост
ранствах функций и распределений степенного убывания и ро
ста, а в главе 2 — аналогичные вопросы для пространств- функций и распределений экспоненциального убывания и роста (экспоненциальные классы корректности). Глава 3 посвящена перенесению некоторых результатов, полученных для постоян
ных коэффициентов, на случай переменных коэффициентов.
В каждой главе принята сквозная нумерация формул. При ссылках внутри главы мы указываем только номер формулы, а при ссылках на формулы из других глав мы, наряду с номером формулы, указываем номер главы. Так,, например, (1.20) означает формулу (20) из главы 1,
В каждом пункте у нас, как правило, бывает одно выделен
ное утверждение (теорема, предложение и т. д.). Тогда при ссылках, скажем на теорему из д. 2Д мы пишем теорема 2.3.
Если в данном пункте несколько теорем (предложений), то мы:
указываем номер теоремы (предложения) и номер пункта,
12
• • • - Глава 1 • \ • - •. Л ••'
ЗАДАЧА КОШИ В ФУНКЦИЯХ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ Л СТЕПЕННОГО УБЫЙАНИЯ И РОСТА
(ПОСТОЯННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ)
В 1950 г. появилась книга Шварца [34] по теории распрен делений. Язык теории умеренных распределений оказался ис
ключительно удобным как для формулировки самой теорий И. Г. Петровского, так и для ее распространений (принадлежа*
щего Шварцу) на случай начальных данных степенного роста.
Эта глава но существу и является модернизированным изло
жением теории И. Г. Петровского на языке теории распределе
ний с некоторыми естественными обобщениями и примыкающи
ми вопросами. Доказательства основных утверждений главы можно найти в [7]. Как выяснилось, в большинстве результа
тов теории И. Г. Петровского мало используется специфика дифференциальных операторов. В связи1 с этим мы ведем рас
смотрение в рамках более широкого класса уравнений —свер- точных уравнений,
Все результаты этой и следующей главы получаются по единой схеме, которую нам удобно сначала пояснить на более простом примере, не связанном непосредственно с задачей Ко- ши: на задаче о разрешимости сверточных (и, в частности, дифференциальных) уравнений в пространствах Шварца на всем Rt4.
§ !. Сверточные уравнения I]
в пространствах Шварца на Rn | у
LL Пространства Шварца основных функций. Пространство
^ ( Rn) состоит из бесконечно дифференцируемых функций, быстро убывающих (быстрее любой степени Ы ) при |ж|~»~оо вместе со всеми производными. . •
Точный смысл этих слов состоит в том, что для <рб5* конеч
ны нормы Гёльдера
|Ф||?|— sup (1+хУ12\0*<р(х)\. (1) Здесь s>0 и целое, /—вещественное число» Da=*
ет [ 1 JL.Y1 л.. f I g i J * " . Обозначим через СЭД банахово пространство непрерывно дифференцируемых до порядка 5 функций с нормой (I). Имеются непрерывные вложения
С$с:С\Я s>s',l>l',
т. е. C{J) образуют шкалу банаховых пространств, которую
13
бозначим {С{?)}» Пространства $? является проективным преде
лом этой шкалы:
9 является счетно-нормированньш пространством, следователь
но, пространством Фреше.
По определению непрерывность оператора А : ф-*& озна
чает, что для любых достаточно больших 5, I найдутся такие s P
Г, что имеет место оценка
| А<р|$< const | Ф | | Я <^
Заметим, что хотя 9> не плотно в С\г], замыкание 9* по норме | \[г] будет содержать С\г] для любого / " > / ' . Поэто
му оператор А продолжается до непрерывного оператора из С\г\ в С(/)}. Это означает (по определению), что оператор А непрерывно действует в шкале {Cj^}. Итак, непрерывный опера
тор Д на Щ автоматически продолжается на шкалу {С{/>}.
Отметим, что в теории пространств Шварца имеются два эк
вивалентных языка: язык проективных пределов банаховых пространств и язык банаховых шкал. Часто бывает удобно пе
реходить с одного языка на другой.
Из пространств c\si] с помощью операций проективного и индуктивного предела конструируются важные для дальнейшего пространства:
а^исй
}^ипс(3, (3)
l Is
jr.— n c ^ - n u c j f l . (зо
s s i
Пространство С состоит из С°°-функций, у которых все произ
водные при |х|-^од растут не быстрее некоторой степени | * | , зависящей только от функции. Пространство Ж состоит из С°°-функций, у которых каждая производная оценивается через свою степень. Очевидно, что 0аЖ« Как показывает пример функции exp {i\x\2)£J(7 это включение строгое.
Пространство JL является кольцом относительно умножения.
Если авЖ и Ф&97, то а(х)<$(х)Ь9>$ т. е. элементы Ж являются мультипликаторами в 9*.
В любом из пространств Су], 1>п% определено классическое преобразование Фурье
дг:ц> И ~ Ф (|)=- <2я)-*/2 J exp (-хдг-g) Ф (х) dx,
переводящее это пространство в С{ls)\ l'-\-n<l. При этом имеет место оценка
1Ф|jj^ <const I Ф | $ , V +n < U (4) которую естественно называть ^неравенством Парсезадя* дли
г|льдеровских норм. Так как аналогичные оценки имеют место для обратного преобразования Фурье Sr"1» то отсюда BbrreKaet самодвойственность 9 относительно преобразования Фурй
9*9^*9* (5) В силу сказанного, каждому символу а(|)бл£ отвечает псев
додифференциальный оператор (п. д. о.) a[D)% переводящий пространство $Р в себя:
(аф) Ф) (х)-0£2*а © ^ » Ф - - <2я)-*/* J ехр («л. Э а © а (g) tfg.
1.2. Р* как счетно-гильбертово пространство. Важнейшим свойством пространства 9 является возможность рассматривать его не только как счетно-нормированное, но и как счетно- гильбертово пространство.
Так как (1 + |1|2)*/2<УГ, то п. д. о. (1 + |£>|2)*/2 определен на 9 и можно рассмотреть на SF систему гильбертовых норм
н ЧР н^я—иа - ы JC р>
//аа -ы /^ р)*
/ач>Иэ (6)
где 5, /—любые, а || ||—обычная £2-н(орма на R". Через Н{*) обозначим гильбертовы пространства» получающиеся пополнением 55 по норме (6). Имеют место непрерывные вложения
(левое следует из классической теоремы вложения С. Л. Собо
леве* правое тривиально). Отсюда вытекает, что
(Jef
<?—#£,— пя
(% tf-ия},?— и ля(/|,
s, t t I s
(7)
Шкала {НЩ является самосопряженной:
Самосопряженность является важным преимуществом гильбер
товых шкал (по сравнению с гельдеровскими).
В виду (7) и (8), сопряженные пространства &' ш 0*\ мож
но определять на языке индуктивных и проективных пределов:
del
? ' - Я Ы - и Я { & <?-П//1о"-Пи//{/|. (7')
Это равенство следует понимать как алгебраический изомор
физм линейных пространств. Что касается топологического 15
изоморфизма, то его можно доказать для пространств 9 и 9Г
(9— проективный предел гильбертовых пространств). В то же время вопрос о топологий в 0 я 0' достаточно сложен, и мы fee будем на нем останавливаться. При этом под непрерывным Ьператором А : 0^-0 мы будем понимать оператор, действую
щий из 0 в 0 и допускающий оценки: V/ЯГ, YsKs', так что Заметим, что приведенное условие непрерывности сильнее усло
вия непрерывности оператора А на индуктивном пределе счетно- нормированных пространств .Hffi, /6R.
Ц Если же оператор А переводит 0f в себя и при указанном выборе Sy U s'9 V
|[АфЦ^;><:соп5±|!ф||^) vve ^f.;
то Л будет называться непрерывным оператором из Of в 0f.
Для сравнения напомним, что непрерывность оператора А:9-*9 определяется оценками (2) или аналогичными оценками в нормах || '||* , а непрерывность оператора А:9Г->9Г оценка
ми: ^ 5 , I а$', /'
||'A9||(^<const||9||{;J.
*•- Элементы 9Г называются распределениями (обобщенными функциями) умеренного (степенного) роста или просто уме
ренными распределениями, а элементы 0' — быстро убываю
щими распределениями.
На пространстве 9Г по сопряженности определяется преоб
разование Фурье, причем в силу (5)
№~9'. .(&')., Можно показать, что норма || |||^ из (6\ эквивалентна норме
'\\\\[% в которой переставлены местами п. д. о. (1 + |-0|2)*/2
и оператор умножения на (1 + | jcj2)^2. Для этой пары норм имеет место «равенство Парсеваля» (ср. с «неравенством Парсеваля» из предыдущего пункта):
Ч 1 Ф 1 ! Й Ч 1 Ф 1 1 $ - . '
Отсюда вытекает, что
Из (7), (8) и этих равенств следует, что
РО'^Ж. (9) В заключение еще раз подчеркнем, что наличие эквивалент
ных систем гёльдеровских (| |$) игильбертовских (|| j|$) норм — важнейшее преимущество работы с пространствами S3 и 9f и со связанными с ними шкалами.
1.3. Операторы свертки.
О п р е д е л е н и е . Оператором свертки на пространстве ЗР (или 0, 9Р\ 0') будем называть всякий непрерывный опера
тор, перестановочный со сдвигами.
П р е д л о ж е н и е . Пусть Ф =5*, 0. Для всякого оператора свертки А на Ф существует такое распределение /еф'|, что
(Лф),(х) = ^, / 7 » , (10) где (/.ф)(х)=ф(—х)у (-Гзсф)(^)=ф(х+г/), а (/, -ф)—значение
функционала /6ф' на основной функции -фбф.
Обратно, если для каждого фбф правая часть (10) при /еф*
является функцией из Ф, то (10) является оператором свертки.
В случае функционала типа функции, (10) переходит в обычную формулу для свертки:
(/*Ф) (х) = J / (у) <р (х-у) dy.
Наметим доказательство предложения. Всякому непрерыв
ному оператору А на Ф сопоставим набор распределений fxe<br, где (fx, 1ТХ<$) ==(Лф) (х) (мы здесь пользуемся тем, что Ф = ^ , 0 инвариантно относительно сдвигов Тх и отражений I). Непо
средственно проверяется, что перестановочность А со сдвигами эквивалентна независимости распределений fx от х.
Что касается обратного утверждения, то правая часть (10) определяет замкнутый оператор в 9, 0. Тогда непрерывность этого оператора следует из теоремы о замкнутом графике, спра
ведливой для пространств Фреше (и, тем самым, для 9>) и их индуктивных пределов (и, тем самым, для 0).
В условиях предложения А будем называть оператором свертки, отвечающим свертывателю f; обозначается
Аф = соп/ф=/*ф. (10') Совокупность свертывателей обозначается через Й(Ф).
Очевидно, что операторы свертки на пространствах распре
делений 9Р\ 0Г сопряжены операторам свертки на простран
ствах основных функций 9, 0. Оператор на ф/=5?', 0\ сопря
женный оператору con/, /6-2(Ф), обозначим через сопг/. Это обозначение корректно, поскольку на ФП'Ф' этот оператор сов
падает с оператором сопх/: Ф-И). Поскольку 9> к 0 инвариант
ны относительно отражений /, то
в(Ф)=Й(Ф'), Ф = ^ , О. (И) Очевидно, что композиция операторов свертки cori/ и cong,
ft вгвв(ф), ф п ^ , 0, перестановочна со сдвигами и, согласно предложению, является оператором сопл с некоторым НЩФ).
С другой стороны, как мы только что указали, для /£й(Ф) и
#6Ф' определена свертка f*g№l<. Непосредственно проверяется совпадение f*g и h9 т. е. имеет место
2—1359 28 17
Л е м м а. Пусть-/, g*%(Ф), где Ф = ^ , 0. Тогда
С0ПуС0П5-=С0П/^.
1.4. Описание свертывателей/ /;
Т е о р е м а
8(^)-=в(^/)=8;(С?)-=6(^,)=^/- (12>
Набросок доказательства. Для доказательства всех ра
венств (12) достаточно проверить включения:
0'сЯ(9), О'сЦО'), (12х)
ЦУУсО'. ' .(12").
Действительно, тогда Ц&)=01, а в силу (II), 8(^')==0'. По определению %{0)а:0\ а тогда ' Z(0')c0'f и, в силу (12') и (11), имеют место последние два равенства (12).
Наметим доказательство (12'). Пусть / б ^ , /(1)вЖ — его преобразование Фурье. Тогда / — мультипликатор на Р7 и .-Jf, а п. д. о. / (D) переводит в себя 9 и О'. Очевидно, что / (D)
является оператором свертки. Непосредственно проверяется, что отвечающий ему свертыватель совпадает с /, т. е. /бв(^),
№{0').
Идея доказательства (127/) состоит в том, что всякий опе
ратор con/: ^~>-57, /€й(^), по непрерывности продолжается до непрерывного оператора con, :0'-+0'. Тогда с учетом того, что
8(х)в0' и /•б=Д мы получим (127).
Непрерывность сощ:9>-+9р означает (см. п. 1.1), что V(s, /) найдутся 5', 1\ так что
11/»ФШ<СОП81||Ф||(Я.
Используя описание (7') пространств &' и 0Г, можно проверить»
что операторы соп/? / б £ (З7) коммутируют с п. д. о. a(D)>
а(§еЖ и, в частности, с п. д. о. (1 + |/)|2)*'2, градуирующими шкалу {//(/)} по гладкости. В силу этого обстоятельства можно выбрать I'= %([), $' = s + o(l). Но тогда в последнем неравенстве s и s' можно поменять местами, т. е. V ($, I) Э($', 1% так что
l l / ^ l i l f ^ c o n s t l ^ H ^ .
Эти оценки в точности и означают непрерывность оператора conf:0'-+O'.
Таким образом, пространство 0' быстро убывающих распре
делений является одновременно пространством свертывателей как для быстро убывающих функций (распределений), так и для умеренно растущих.
Заметим, что дифференциальный оператор P(D) с постоян
ными коэффициентами является оператором свертки с распре
делением P(D)6(x)G0\ а оператор сдвига Th — оператором свертки с 8(x+h).
^Подчеркнем, что возможность явного описания свертывате- лей является одним из самых замечательных свойств прост
ранств Шварца.
1.5. Сверточные уравнения на Rn.
Т е о р е м а . Пусть Ф=5^, Ог С\ 9' и А&У (т. е. АЩФ))9
Следующие условия эквивалентны:
(I) Для любого -фбф сверточное уравнение
4»«р=ф (13) имеет единственное решение <р6Ф.
(II) Уравнение (13) имеет фундаментальное решение GeC:
A*G = G*A = 8(x). (14) Для Ф=С?'&6(х) условие (II) тривиально следует из (I).
Из условия (I) и теоремы Банаха об обратном операторе вытекает непрерывность оператора
(coiu)-1: Ф-^Ф, Ф=^, О, 9>г. (15) Очевидно, что этот оператор перестановочен со сдвигами, т. е. он
является оператором свертки: (conA)wl=conG для некоторого G§0f. Воспользовавшись леммой 1.3, мы придем к (14). Ис
пользуя лемму 1.3 и коммутативность свертки в О' из (II), вы
водим (I).
В число эквивалентных условий теоремы можно включить (IF). Для символа A (Q с некоторыми с>0 и р. справедлива степенная оценка снизу:
\£®\>с(1+\№ V66R«. (16) В самом деле, условие (II) означает, что распределение А
является обратимым элементом кольца (относительно свертки) Ог. Изоморфизм (9) является изоморфизмом колец. Тогда (II) эквивалентно обратимости символа А в кольце (относительно
у ч
умножения) Jf, т. е. каждая производная D А"1 должна расти не быстрее некоторой степени | . Элементарная выкладка показы- вает, что при условии А (|)6«# последнее эквивалентно сущест
вованию оценки (16).
З а м е ч а н и я . 1) Расшифровывая условия непрерывности оператора (15) для Ф=9>, С, Ь\ 9й, можно заменить (I) утвер
ждениями о непрерывности оператора
(соплГ:С((^С((М, Я(%и#( (Я
для некоторых наборов s, s', /, /', т. е. утверждениями о раз
решимости (13) в пространствах функций (распределений) конеч
ной гладкости и фиксированного роста (убывания) на бесконеч
ности.
2* 19
. 2) Операторы сопл, А60', переводят в себя пространства С\7)\ Я а г0 Для всех /gR (это связано с тем, что распределение т С убывают быстрее любой степени). Оператор сопд дейст
вует в шкалах С( / )« { С $ } ; Я( 0=={ЯЙ} как оператор конечного порядка, т. е.* существует такое й (if), что для всех 5 непреры
вен оператор
Обратимость А в кольце О1 означает, что и обратный оператор является оператором конечного порядка в шкале, т. е. сущест
вует такая функция 6 $ , что (13) имеет решение ФбС((//"н) или
<реЯ((о+%), >;<б(/), при любой правой части грбС(% я|)6#$.
1.6. Дифференциальные уравнения на Rn. Как уже говори
лось выше, дифференциальный оператор P(D) с постоянными коэффициентами является оператором свертки с распределени
ем P(D)6(x)G0'9 и к нему применима теорема 1.5. При этом условие (1(3) упрощается. Дело в том, что по теореме Зайден-
•iepra—Тарского (см., например, приложение в [26]) для поли
нома А(Ъ,)=Р(1) неравенство (16) следует из того, что А(1)ф0. Итак, имеет место
Т е о р е м а . Дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
P(D)<p(x)^(x) (17) однозначно разрешимо на каком-либо из пространств ф^0, 9>ГУ
V тогда и только тогда, когда символ Р(%) не обращается в нуль на Rn.
1.7. Некоторые общие замечания. В описанных выше резуль
татах мы столкнулись с ситуацией, которая еще не один раз повторится. Она состоит в том, что в некотором функциональ
ном пространстве имеется естественное определение свертыва- теля (конструктивное или аксиоматическое через условия ин
вариантности). При этом оказывается, что пространство свер- тывателей можно достаточно эффективно описать. Далее, разрешимость уравнения в свертках оказывается равносильной существованию фундаментального решения, являющегося свер- тывателем. Заметим, что многие доказательства разрешимости по существу состоят в получении оценок на фундаментальное решение, обеспечивающие то, что оно является евертывателем на соответствующем пространстве правых частей или начальных данных. По существу это и делается в работе И. Г. Петровского о корректности задачи Коши [17].
> Далее, благодаря имеющемуся описанию свертывателей, упомянутое выше условие разрешимости, становится эффек
тивным. При этом часто теорема Зайденберга—Тарского позво
ляет в случае дифференциального оператора упростить условие 20
