П. Н. Вабищевич, Численное исследование за- дач упругого кручения цилиндрических стержней, Матем. моделирование, 1998, том 10, номер 1, 63–

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

П. Н. Вабищевич, Численное исследование за- дач упругого кручения цилиндрических стержней, Матем. моделирование, 1998, том 10, номер 1, 63–

72

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 01:52:18

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ТОМ 10 номер 1 год 1998

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

ЗАДАЧ УПРУГОГО КРУЧЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

© 17.Н. Вабищевич

Институт математического моделирования РАН, Москва

Рассматриваются разностные методы решения двумерных краевых задач кручения цилиндрических стержней сложного сечения. Для задач упругого кручения используются вычислительные алгоритмы сквозного счета, построенные на основе метода фиктивных областей. Рассмотрены особенности исследования напряженного состояния цилиндрического стержня с многосвязным сечением.

NUMERICAL STUDYING PROBLEMS OF CYLINDRIC BAR ELASTIC TORSION P.N. Vabishchevich

Institute for Mathematical Modelling RAS, Moscow

Difference methods for solving 2D boundary value problems of torsion of cylindric bars with complicated section are considered. For problems of elastic torsion fixed grid computational algorithms are employed based on fictitious domain methods. Peculiarities of a stressed state of a cylindric bar with a multi-connected section are examined.

1. Введение

Задачи упругого кручения цилиндрических стержней относятся к классу основных и хорошо изученных задач механики твердого тела [1,2]. При круче­

нии стержней с односвязным сечением приходим к необходимости решения зада­

чи Дирихле для двумерного уравнения Пуассона [3,4]. Такие краевые задачи относятся к классу базовых задач математической физики, численные методы приближенного решения которых в настоящее время глубоко проработаны. Это относится к разностным методам [5,6], методу конечных элементов [7,8], методу граничных элементов [9].

Математическое моделирование напряженного состояния цилиндрического стержня с многосвязной границей связано с решением так называемой (см.

[10]) видоизмененной задачи Дирихле. На внутренних границах решение посто­

янно, но эти постоянные не заданы, а определяются из дополнительных интег­

ральных условий. Это обстоятельство затрудняет разработку эффективных вы­

числительных алгоритмов.

В данной работе делается попытка систематического изложения единого подхода к приближенному решению задач упругого кручения цилиндрических стержней на основе использования вычислительных алгоритмов сквозного сче­

та. Исходная расчетная область погружается в прямоугольник, и задача реша-

64 I7.H. Вабищевич ется без выделения границ сечения стержня, а также границ упругой и плас­

тической областей. На таком пути достигается цель создания унифицированно­

го программного обеспечения, максимально ориентированного для использова­

ния в прикладных исследованиях.

Для задач упругого кручения с односвязным сечением применяются раз­

личные варианты метода фиктивных областей [11,12]. Аналогичный подход ис­

пользуется при рассмотрении задач с многосвязным сечением.

2. Кручение упругих стержней

Обсуждаются вычислительные алгоритмы сквозного счета для решения за­

дач кручения с произвольным односвязным сечением.

2.1. Постановка задачи. Рассматривается цилиндрический стержень с поперечным сечением D в плоскости xvx2 (ось х3 направлена вдоль оси стер­

жня), который подвергается равномерному кручению. Пусть а - угол закрутки на единицу длины стержня. Для компонент тензора напряжений имеем

_ди ди

T l 3 ~дХ2 ' Т2 3= дХг '

где u = u(x)^f х = (х¹,х²). При упругих деформациях функция напряжений и(х) удовлетворяет уравнению

дт13 _ а т2 3

дх2 дХг -2aG, xeZ), (2.2)

где G — модуль сдвига материала стержня. Из (2.1) и (2.2) получим уравне­

ние Пуассона

- S ^ = 2aG, X€D. (2.3) 1=1 dxj

Пусть сечение стержня D односвязно (рис.1а). Тогда уравнение (2.3) допол­

няется однородным условием первого рода на границе:

u(x)=0, xedD. (2.4) При обработке результатов расчетов основное внимание уделяется вели­

чине крутящего момента tf=2 J u(x)dx.

D

Домножая уравнение (2.3) на u(x) и интегрируя его по всей области D, полу­

чим

Обезразмерим задачу упругого кручения (2.3), (2.4) так, чтобы правая часть уравнения равнялась единице, т.е. в дальнейшем будем рассматривать уравнение

- 2 *-? - 1 . *

<

-

)

/=1 dxj

с граничными условиями (2.4).

Задачи упругого кручения цилиндрических стержней 65 2.2, Метод фиктивных областей. Будем строить вычислительный алгоритм сквозного счета для решения задачи (2.4), (2.5) с нерегулярной областью D на основе метода фиктивных областей. Дополним исходную расчетную область до прямоугольника

Q = {x|x = (x¹,x²), 0 < x^/< ^^/, i = l , 2 } ,

и пусть D⁰ — фиктивная область (см. рис.1а). Приближенное решение задачи ищется как решение задачи во всем прямоугольнике. Обозначим через ие(х) решение в Q и сформулируем соответствующую задачу в расширенной области.

* , О

а

Рис. 1.

Пусть ие(х) определяется из уравнения

- 2 ~:(кеМ тгг)+с*(х)ц«(х) = Г«(х), xeQ

1 = 1 ОХ; ОХ,-

и граничного условия u£(x)=0, x€dQ.

(2.6)

(2.7) Отметим основные варианты метода фиктивных областей, которые характеризу­

ются выбором коэффициентов уравнения (2.6) в фиктивной области D0 [13].

Для правой части уравнения (2.6) с учетом (2.5) положим fe(x) = l, x€Q.

При продолжении по старшим коэффициентам (малый параметр продолжения

£>0) разрывны коэффициенты при вторых производных:

[ 1 , 0 , xeD ,

k^fe(x), с^е(х) = J (2.8)

[ e'2t 0, X€D0 .

Имеет место следующая оценка близости решения задачи (2.6)-(2.8) к решению исходной задачи (2.4), (2.5):

Wu4x)-u(x)\\^w4m *Ce^2t

где постоянная С зависит от области D и решения задачи и(х).

В плане вычислительной реализации (построение разностной схемы, реше­

ние сеточной задачи итерационными методами) более приемлемым является ва­

риант метода фиктивных областей с продолжением по младшим коэффициентам. В

66 17.Н. Вабищевич этом случае в уравнении (2.6)

( 1, 0, х€£>,

ке(х), се(х) = 1 (2.9)

[ 1, е"2, x€D0.

Тогда соответствующая оценка близости приближенного и точного решений име­

ет вид

lluf(x)-u(x)ll^1 ( z ) ) * Се,

т.е. по порядку параметра продолжения е точность варианта метода фиктивных областей хуже, чем для варианта с продолжением по старшим коэффициентам.

Необходимо также отметить, что задача в расширенной области (2.6)-(2.8) сингулярно возмущена [14] (малый параметр продолжения е при старших произ­

водных), а задача (2.6), (2.7), (2.9) уже регулярно возмущена.

23. Разностная задача. В Q введем равномерную по каждому направлению сетку (o = a>\Jdw с шагами Ьг и h2. Пусть со - множество внутренних узлов, т.е.

w={x|x = (x1,x2), x ^ i ^ h , , 1^ = 1,2,...JVj-l, N,h, = *„ i = l,2>,

a dw - множество__ граничных узлов. Разностное решение задачи (2.6),(2.7) обозначим у(х), хеш.

Используются стандартные безындексные обозначения теории разностных схем [15]. Для направленных разностных производных имеем

_w(x/-bh/)-w(x/) wix^-iXj-hj)

w*i " ht ' w*i ~ h~t ' l~1'2 ,

а центральная разностная производная есть i wixt + h^-wixt-ht)

%

2К

^

2/г; •

>

-

Краевой задаче с разрывными коэффициентами (2.6), (2.7) ставится в соответствие разностная задача

- 2 (^а1У-)х, ⁺ с(х)у = 1 , х€ш, (2.10)

/ = i xi l

у(х)=0 , хедсо . (2.11) Для задания коэффициентов разностного уравнения привлекается интегро-ин-

терполяционный метод [15]. Как показывают вычислительные эксперименты, в методе фиктивных областей без существенной потери точности можно использо­

вать простейшие аппроксимации типа аг(х) = 0,5(/c£(x1-h1,x2) + /с*(х)) , а²(х) = 0,5(k^£(x^vx²-h²) + кЦх)) ,

С ( х ) = С^е(х) , X € СО .

Разностная задача (2.10), (2.11) решается итерационными методами [16,17]. Особенности использования методов Якоби, метода переменных напра­

влений и треугольных методов при решении задач с сильнопеременным' коэффи-

Задачи упругого кручения цилиндрических стержней 67 циентами обсуждаются в [13]. При продолжении по младшим коэффициентам (за­

дача (2.6), (2.7), (2.9)) скорость сходимости не зависит от параметра про­

должения е (аналогично задаче в D = Q). При продолжении по старшим коэффици­

ентам (задача (2.6)-(2.8)) скорость сходимости, вообще говоря, зависит от е. Наилучшие характеристики имеют варианты попеременно-треугольного итера­

ционного метода сопряженных градиентов, например, метод приближенной фак­

торизации [18,19].

2.4. Примеры расчетов. Приведенные ниже примеры иллюстрируют влияние параметра продолжения е при использовании различных вариантов метода фик­

тивных областей на последовательности сеток. Рассматривается кручение ци­

линдрического стержня квадратного поперечного сечения, ослабленного выточ­

кой.

а ' s

Рис.2.

Рис.3.

3*

68 JJ.H. Вабищевич На рис. 2 и 3 представлены приближенные решения по методу фиктивных областей, полученное при некоторых е для варианта с продолжением по стар­

шим (рис.2, е2= 0 . 1 , 0.01) и младшим коэффициентам (рис.3, е2 = 0.01, 0.001).

Изображены изолинии функции напряжений и(х) через равные интервалы. В со­

ответствии с теоретическими оценками лучшая точность приближенного решения при заданном параметре продолжения е достигается при использовании вариан­

та метода фиктивных областей с продолжением по старшим коэффициентам.

е

Рис.4.

Изолинии функции

при упругом кручении цилиндрического стержня рассматриваемого сечения на последовательности сеток 51х51(а), 101x101(6) и 201х201(в) представлены на рис.4 с параметром продолжения е = 10"⁴ для варианта метода фиктивных облас­

тей с продолжением по младшим коэффициентам. Во внутренних узлах сетки использовались аппроксимации центральными разностями, так что при одних и тех же обозначениях для разностного и точного решений имеем

w=(u$ )2 +(и$ )2, х€а> .

Задачи упругого кручения цилиндрических стержней 69 В граничных узлах берутся соответствующие направленные разности. Использо­

вание подробной сетки позволяет на основе вычислительных алгоритмов сквоз­

ного счета получить решение задачи о распределении напряжений с хорошей точностью.

3. Упругие стержни с многосвязным сечением.

При описании напряженного состояния цилиндрических стержней с много­

связным сечением приходим к краевой задаче, когда граничные условия опре­

делены с точностью до постоянной. Обсуждаются особенности приближенного решения таких задач.

3.1. Видоизмененная задача Дирихле. Пусть теперь сечение цилиндричес­

кого стержня многосвязно (рис.1а). Через D^kf k = l,2,... ^tm, обозначим одно- связную область с границей dD^kl которая целиком лежит внутри dD, причем D^kC\Dp = 0 при к*е. В многосвязной области D задача кручения ставится следую­

щим образом [3]. Функция напряжений и(х) снова удовлетворяет уравнению Пуассона

- 2 —² =1> x^€D. (3.1)

/=1 дх]

На внешней границе r = dDf)dD⁰ можем положить

и(х) = 0, хеГ. (3.2) На внутренних границах и(х) также постоянна:

"(*)=£* > x€dD^k , к=1,2,...,л? , (3.3)

но сами постоянные gk неизвестны. Они определяются из дополнительных инте­

гральных условий

S I^м dx=-S^k , k=l,2,...,m, (3.4)

dDk 9v

где v - внешняя нормаль, a Sk - площадь Dkt к = 1,2 т. Задача (3.1)- -(3.4) есть видоизмененная задача Дирихле.

Для приближенного решения задачи (3.1)-(3.4) используются различные подходы. В [20] описаны основные методы численного решения подобного клас­

са задач: линейная суперпозиция, метод фиктивных областей, итерационные методы и методы декомпозиции расчетной области.

Традиционный подход связан с использованием принципа линейной супер­

позиции, когда решение задачи (3.1)-(3.4) ищется в виде

m

u(x)=v0(x) + 2gkvk(x) , x«=D. (3.5)

* = l

Здесь vQ(x) - решение краевой задачи

2 d2V0

- I —— =1 , X€D,

*=1 dxj

v0( x ) = 0 , xedD.

Для каждой vk(x), k = l,2 my имеем 2 d2vk

' 2 —г1 =0, xeD, /=1 dxj

70 /Т.Н. Вабищевич v^k(x) = 0^t х е Г ,

vk = ^dke> xedD,^t £ = 1,2,...,m,

где d^kg - символ Кронекера. Для определения постоянных g^k, к = 1,2 т, подставим (3.5) в (3.4) и получим систему линейных алгебраических уравне­

ний.

При использовании такого подхода требуется решать го+1 обычную краевую задачу в многосвязной области D. Основной недостаток такого подхода состо­

ит в том, что он применим только для линейных задач (задач упругого круче­

ния).

а 5

Рис.5.

3.2. Метод фиктивных областей. Более технологичным представляется подход к приближенному решению задачи кручения стержней с многосвязным сечением с использованием метода фиктивных областей. Для видоизмененной задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка метод фиктивных областей рассматривается в [13,20-23].

Будем определять приближенное решение и^е(х) из решения уравнения

/ = 1 Эх,

* WM 4?) =1» *eQ,

Задачи упругого кручения цилиндрических стержней 71 дополненного граничным условием

uf(x) = 0 , xedQ. (3.7)

Для продолжения в фиктивную область используется вариант (3.6),(3.7) с

*'<*> = \ т (3.8) Возмущенная задача (3.6)-(3.7) может интерпретироваться как кручение силь­

но неоднородного цилиндрического стержня (с включениями из другого матери­

ала) [24]. Для погрешности может быть получена оценка, полностью аналогич­

ная варианту метода фиктивных областей с продолжением по старшим коэффици­

ентам [11-13] для задачи кручения стержней с односвязным сечением (см.

(2.6)-(2.8)).

Рис.6.

3.3. Пример. Разностная схема для задачи (3.6)-(3.8) строится анало­

гично (2.10), (2.11). Рассмотрим кручение цилиндрического стержня квадрат­

ного сечения, ослабленного одной круговой выточкой в центре и двенадцатью по периферии сечения. Задача решается в четверти сечения с соответствующи-

72 П.Н. Вабищевич ми условиями симметрии на частях границы расчетной области. Используется равномерная квадратная сетка, параметр продолжения е = 10~4.

На рис.5 изображены изолинии функции напряжений и(х) при использова­

нии сеток 51x51, 101x101 и 201x201. Изолинии w(x) для таких вариантов рас­

четов представлены на рис.6. Для расчета крутящего момента используется формула

т

И = 2 2 g^{k s}k ^{+ 2}$ u(*)dx.

* = 1 D

Для рассматриваемого варианта метода фиктивных областей имеем М * М(е) = 2 S ue(x) dxt

а причем М(е)-»М

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Love A.E.H. A treatise on the mathematical theory of elasticity. Cambridge, University Press, 1906.

2. Timoshenko S.P., Goodier J.N. Theory of elasticity. McGraw-Hill, New York, 1970.

3. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. Физматгиз, Москва, 1969.

4. Sokolnikoff I.S. Mathematical theory of elasticity. McGraw-Hill, New York, 1956.

5. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнении. Москва, Наука, 1976.

6. Mitchell A.R., Griffiths D.F. The finite difference method in partial differential equations.

Wiley, Chichester, 1980.

7. Марчук Г.И., Агошков В,И. Введение в проекционно-сеточные методы. Москва, Наука, 1981.

8. Ciarlet P. The finite element method for elliptic problems. North-Holland Publishing Company, Amsterdam New York Oxford, 1978.

9. Brebbia C.A., Telles J.C.F., Wrobel L.C. Boundary element techniques. Theory and applications in engineering. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, 1984.

10. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Москва, Наука, 1968.

11. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Москва, Наука, 1977.

12. Konovaiov A.N. The fictitious regions method in problem of mathematical physics. Computing methods in applied sciences and engineering. North-Holland Publishing Company, Amsterdam-New York-Oxford, 1980, p. 29-40.

13. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. Москва, Изд-во Моск.

ун-та, 1991.

14. Cole J.D. Perturbation methods in applied mathematics. Blaisdell Publishing Company, Waltham, Massachusets-Toronto-London, 1968.

15. Самарский А.А. Теория разностных схем. Москва, Наука, 1983.

16. Самарский А.А, Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва, Наука, 1978.

17. Hageman L.A., Young D.M. Applied iterative methods. Academic Press, New York, 1981.

18. Булеев Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. Москва, Наука, 1989.

19. Dupont Т., Kendal R.P., Rachford H.H.Jr. An approximate factorization procedure for solving selfadjoint elliptic difference equations / / SIAM J. Numer. Anal., 1968, №5, p.559-573.

20. Вабищевич П.Н. Приближенное решение видоизмененной задачи Дирихле / / Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1991, № 31, с.1655-1669.

21. Руховец Л.А. Метод фиктивных областей в задачах об установившихся ветровых течениях / / Числ.

методы механ. сплошной среды., 1981, № 12, с.98-116.

22. Смагулов Ш., Орунханов М.К Приближенный метод решения уравнений гидродинамики в многосвязных областях / / Докл. АН СССР, 1981, т.260, с.1076-1079.

23. Карчевский М.М., Саримов Н.Н. Метод фиктивных областей для одной задачи теории смазки подшип­

ников / Сеточные методы решения задач математической физики. Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1984, с.76-80.

24. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. Изд-во Моск. ун-та, Москва, 1976.

Поступила в редакцию 19.09.97