моделирование, 2002, том 14, номер 7, 3–14

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ю. Д. Шевелев, В. А. Михалин, Н. Г. Сызранова, Сверхзвуковое обтекание тел вязким теплопровод- ным газом при разделении ступеней ракет, Матем.

моделирование, 2002, том 14, номер 7, 3–14

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

5 ноября 2022 г., 22:58:32

СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВЯЗКИМ ТЕПЛОПРОВОДНЫМ ГАЗОМ ПРИ РАЗДЕЛЕНИИ СТУПЕНЕЙ РАКЕТ

© Ю.Д. Шевелев, В.А. Михалин, Н.Г. Сызранова Институт автоматизации проектирования РАН, Москва

Исследуется процесс "слабого" вязко-невязкого взаимодействия при разделении ступеней ракет, движущихся со сверхзвуковой скоростью. Задача рассматривается сначала в рамках невязкого ударного слоя, потом проводится учет вязкости и теплопроводности в приближении пограничного слоя. Представлены методы решения уравнений невязкого сверхзвукового обтекания и уравнений пограничного слоя, а также результаты исследований аэродинамических характеристик и па­

раметров трения и теплообмена для блоков первой и второй ступеней ракеты-носителя на этапе разделения.

ON SUPERSONIC VISCOUS FLOWS DURING JETTISONING OF LAUNCH VEHICLE STAGES

Yu.D. Shevelev, V.A. Mikhalin, N.G. Syzranova

Institute for Computer Aided Design of Russian Academy of Science

This paper devoted to numerical simulation flow fields during throwing away stages of multi-stage rocket. The stages are jettisoned when the propellants are exhausted. Very important problem is the aerodynamic interference between the stages. Unsteady process of separation considered as quasi- steady. The methods of numerical modeling are developed in case of "weak" interaction of main body and rocket stages. The mathematical problem is studied in framework of Euler and boundary layer equations. The results as heat transfer, skin friction and pressure distribution on main and second stages of rocket are presented for different scenarios of throwing away.

Введение

При сверхзвуковом обтекании вязким теплопроводным газом комбинации тел, возника­

ет сложная картина течения, которая имеет области с различными физическими и математи­

ческими свойствами. При анализе подобных течений отмечаются внутренние ударные волны, волны разрежения и сжатия, эффекты взаимодействия и интерференции этих волн. Возможны также процессы взаимодействия и поглощения энтропийного слоя пограничным слоем и появ­

ление поперечных и продольных местных зон "отрыва" потока.

Для расчета подобных течений следует применять полные уравнения Навье-Стокса. Од­

нако иногда имеет смысл рассмотреть более простые предельные случаи - уравнения движе­

ния идеального газа и пограничного слоя. Математически появление пограничных слоев объ­

ясняется наличием малого параметра ej=l/Re0,5 при старших производных в уравнениях дви­

жения. Число Рейнольдса Re, характеризующее отношение инерционных сил к вязким, при моделировании обтекания летательных аппаратов изменяется от значений Re-10 на больших высотах до чисел Re~109 вблизи поверхности Земли. Классическая теория пограничного слоя, применяемая при больших числах Re, позволяет в рамках теории находить газодинамические параметры вблизи поверхности вплоть до поверхности "отрыва потока" [1]. Эффекты "силь­

ного" взаимодействия, например, «отрыв» потока, взаимодействие ударных волн с погранич­

ным слоем, требуют применения других концепций.

4 Ю.Д. Шевелеву В.А. Михалин, Н.Г. Сызранава В данной задаче можно отметить также наличие второго малого параметра е2, который характеризует относительный отход Л/L (L - характерный размер тела) ступеней от ракеты- носителя на этапе разделения. Величина этого параметра для рассматриваемых вариантов рас­

положения тел порядка е2~0.1.

При расчете газодинамического поля течения около компоновки ракеты-носителя, со­

стоящей из второй ступени - центрального блока - и первой ступени, насчитывающей четыре боковых блока, используется «маршевый метод». Аэродинамические характеристики опреде­

ляются для двух сценариев относительного движения ступеней ракет. Основным отличием их друг от друга является величина смещения носовой части блоков первой ступени от продоль­

ной оси второй ступени. В частности, второй сценарий характеризуется меньшими значения­

ми отхода блоков. Для первого сценария вследствие больших отходов блоков интерференция между корпусами ступеней не оказывает значительного влияния на его аэродинамические ха­

рактеристики, а определяющими являются неоднородности в ударном слое. Напротив, при втором сценарии отделения интерференция между корпусами ступеней ракеты играет сущест­

венную роль. Этим и можно объяснить резкие изменения значений аэродинамических коэф­

фициентов. В то же время неоднородности потока оказывают сильное влияние на моментные характеристики при уменьшении угла поворота блока и переходе его значений в область от­

рицательных величин углов атаки по отношению к неоднородному потоку. В невязкой поста­

новке задача о численном моделировании разделения ступеней ракет-носителей пакетной схе­

мы рассматривалась в [2-3].

С учетом данных невязкого обтекания получены основные характеристики погранично­

го слоя, возникающего на поверхности центрального и боковых тел. Определены коэффици­

енты напряжения трения на поверхности тел, числа Стантона и толщины вытеснения погра­

ничного слоя. В результате исследования параметров пространственного пограничного слоя, возникающего при обтекании близко расположенных друг к другу тел, установлено, что в об­

ласти вязко-невязкого взаимодействия, где наблюдаются скачки давления, возникают также скачки величин поверхностного трения, теплового потока, а также изменяется толщина вытес­

нения пограничного слоя. Выявлены основные закономерности изменения этих величин в за­

висимости от расположения тел относительно друг друга. Установлено, что в условиях силь­

ного вязко-невязкого взаимодействия параметры обтекания необходимо исследовать с помо­

щью полных уравнений Навье-Стокса.

1. Численный метод невязкого обтекания

Метод исследования параметров газа в ударном слое тел основан на использовании гео­

метрически сложных областей стационарного сверхзвукового течения газа и, соответственно, вычислительных сеток в этих областях. Уравнения Эйлера, описывающие течение невязкого газа, записанные в дивергентной форме, имеют вид

дри 1 дх + Эру / ду + dpwl дг = 0,

д(ри2 + p)/dx+dpuv/dy + dpuw/dz = Q, dpuv 1 дх + 9(pv2 + p)/dy + dpvw/dz = 0, dpuwl дх + dpvwl ду+д{р\г + p)/dz = 0, ЗриЛо /Эдс + ЭруЛд /ду + dpwhoidz - 0.

(1) (2) (3) (4) (5) Здесь x,y,z - оси прямоугольной системы координат; i*,v,w -проекции вектора скорости на оси x,y,z; р, р - плотность и давление, Ло - полная энтальпия.

В качестве численного метода используется модификация метода С.К.Годунова [4], предложенная А.В.Родионовым [5].

Численное решение системы (1)-{5) осуществляется маршевым методом при последова­

тельном переходе от одного слоя (х=хп) к другому - (x=xn+l). Алгоритм нахождения величин при переходе от слоя х=х" к слою x=x"+l следующий. Предположим, что все параметры тече­

ния в слое х" известны. Допустим, что задан алгоритм построения регулярной четырехуголь­

ной конечно-разностной сетки на каждом слое х=х" (л= 1,2,3,...). Обозначим координаты узлов разностной сетки через rnjk (j=l,...JN; k=l,...,KN), а осредненные по элементарным плоским ячейкам параметры течения - через соу_1/2 *_1/2 (co=w, v, н>, р, Р, у, Л0). Проинтегрируем систе­

му дифференциальных уравнений (1)45) по одной из элементарных ячеек от слоя х=х" до х=

=JE"+1. В качестве примера выпишем конечно-разностный аналог уравнения (5):

[(р«Л0)Д5] %и.ш 4(puho)*S] ;_,,„_,„ +П £ | £1 / 2 +П £ ' £ , _ , - П %Lln - П # £ , . (6) Здесь AS - площадь элементарной ячейки в плоскости jc=const, Ах^^-х", 17- поток энталь­

пии через боковую грань ячейки, определяемый соотношением:

П "J1-?,! =[pho(wAy+vAz)Ax+phouAS] £!£/ 2 , (7)

ny - i / L =[pho(w&y+vAz)Ax+phouAS] J*,1'^,

я+1/2 n+l/2 g.

где соу*_|/2 и coy._j/2A - осредненные параметры на боковых гранях ячейки;

А я+1/2 я+1/2 я+1/2 . я+1/2 я+1/2 я+1/2

А я+1/2 я+1/2 я+1/2 А я+1/2 я+1/2 я+1/2

Здесь ASj*kl?/2 - площадь проекции четырехугольника с вершинами r"k , r"k_]t r"*kl, r"V-i на плоскость jc=const. Аналогично, АБ"1Ц2к - площадь проекции четырехугольника с верши­

нами г" k , r"_lk , r"*\ k, r"*k на плоскость jc=const.

Предположим, что известны осредненные параметры на л-м слое и на четырех боковых

я+1/2 я+1/2 я+1/2 я+1/2 гр

фанях ячейки со Jk_U2» © /-1/2,* » ^/-u-1/2 и ^ /-1/2,А-Г Тогда разностные уравнения переписы-

я+1

ваются относительно неизвестных параметров со •_|/2А_|/2: они позволяют определить все неиз­

вестные. При этом из решений нужно выбирать решение, соответствующее условию и>а, где а - скорость звука.

Таким образом, определена процедура расчета параметров C0y*l/2jfc_l/2no известным па-

- „ я+1/2 я+1/2 я+1/2

раметрам на л-м слое и на четырех боковых фанях ячейки - сОу*_1/2, соу_1/2А, С0у_,д_1/2м со"*,/2^_,. Она состоит из следующих этапов.

Этап I. Для каждой ячейки определяются приращения параметров Асо по известным па­

раметрам в центрах четырех соседних ячеек и их координатам. Затем эти приращения кор­

ректируются для обеспечения монотонности кусочно-линейного распределения параметров.

Этап II. (Шаг предиктор). Предварительно рассчитываются параметры *в^,/2д_1/2по

я+1 я+1

описанной выше процедуре, в которой величина со . 1/2^_1/2 заменяется на ш _|/2 А_,/2;

6 Ю.Д. Шевелев, В.А. Михалин, Н.Г. Сызранова

. "+1/2 » . Г А iw /л и+1/2 п ГА т" /п л+1/2

®Л*-1/2 - н а ® j-\n*Ai2+№<b]hm^xlll2\ соу.и_1 / 2 - на ©y.1/2^_1/2-[Aco]y_1/2ik_1/2/2; со> ч / 2^

" Н а ©y-l^-l^+fA®] "-1/2^-1/2^ ®y-l/2jk-l - Н а W 7-1/2,^-1/2-[Д ( £ >]"-1/2,*-1/2/ 2'

Этап III. Определяются параметры на боковых гранях ячеек из решения задачи Римана (взаимодействие двух сверхзвуковых потоков) для определения со"^,2/2 и для определения

я+1/2

® М О * •

Этап IV. (Шаг корректор). Окончательный расчет (оп^_\щс-\п •

Описанная разностная схема имеет второй порядок аппроксимации в областях с равно­

мерной конечно-разностной сеткой и первый порядок - в местах сильной неравномерности сетки. Подробно вопросы аппроксимации подобных схем на деформируемых сетках обсужда­

ются в [5]. Схема обладает свойством монотонности при выполнении условий Ax<AxCMrs smin{Ax^.r,/2 A_1 / 2} , где A*^1/2,*-i/2 ~ локально максимально допустимый расчетный шаг по условию Куранта-Фридрихса-Леви.

Граничные условия следующие: на поверхности тела задается условие непротекания, на поверхности ударной волны - решается задача о распаде разрыва параметров течения, где с одной стороны от разрыва задается постоянный набегающий поток. Из решения этой задачи находятся параметры за ударной волной и тангенс наклона волны к оси координат х.

Для построения вычислительных сеток используется модификация параболического ге­

нератора, предложенная в [6]. Метод основан на решении дифференциальных уравнений, оп­

ределяющих связь между декартовыми координатами г, у физического пространства и криво­

линейными координатами £,rj счетного пространства:

я ^ ^ а г г ^ + а з г ^ О , r={z.y), (8) где z, у - декартовы координаты узлов сетки расчетной области,

г^д г/д£, г^д г/дт|, г^д2 гЩдц, г^д1 r/d£d£, г7^=Э2 ?/дг\дг\.

Уравнение (8) эллиптического типа. В качестве граничных условий задаются координаты то­

чек границ расчетной области.

После конечно-разностной аппроксимации системы (8) и приведения подобных членов можно получить:

ДзПи ^-2(а 1+д3)г*/ЬазОы j = H ^

ai=z ^ +у ^ , Я2=-20^п+г^л), аз=г п +У л • (9)

Задача решается в два этапа: первый - этап алгебраического предиктора, второй - па­

раболического корректора.

Полагается, что известны координаты узлов сетки на слое у-1 - rkj.] (fc= 1,2,3,...,*„„«), слой с номером 7=1 соответствует значению координаты £=0 или принадлежности внутренней границы области. На первом этапе приближенно с помощью алгебраических соотношений оп­

ределяются координаты узлов на слоях j - 7кр- при t=h£j-\) иу+1 - 7kPj+] при £=Л^. Опреде­

лив на этапе предиктора 7кр. и 7кру+|, можно численно найти производные, входящие в выра­

жения для а„ после чего система уравнений (9) будет представлять собой систему линейных уравнений с 3-х-диагональной матрицей относительно 7кр,, которую решают методом прогон­

ки. При построении сетки значения координат узлов 7kJ остаются фиксированными. В ря-

де случаев это может привести к сильной деформации ячеек сетки, что делает ее непригодной для проведения вычислений. Поэтому предлагается алгоритм, позволяющий избежать указан­

ного недостатка. Суть его заключается в том, что на этапе предиктора в формулах вместо

используются значения 7

, которые определяются, исходя из конкретных условий задачи. Далее следуют обычные этапы предиктора и корректора. Таким образом, модификация метода заключается в отказе от фиксированного распределения узлов сетки на внешней гра­

нице. Для ее описания по опорным узлам используются локальные полиномы [6].

Отметим, что в целом численное моделирование процесса интерференции при сверх­

звуковых скоростях, проведенное в рамках уравнений Эйлера с применением используемой методики, адекватно отражает физику процесса и может в некоторых случаях использоваться для исследования интерференции более сложных компоновок - разделения блоков ступеней ракет-носителей.

»

2. Метод расчета пространственного пограничного слоя

С учетом особенностей невязкого течения в ударном слое проведены численные иссле­

дования параметров пространственных пограничных слоев на рассматриваемой комбинации тел.

Система уравнений пространственного пограничного слоя в сжимаемом газе в случае произвольной криволинейной системы координат, связанной с поверхностью обтекаемого те­

ла, записывается в виде [1]:

+ уди/дС, + А¹и²+А²а>² +А³и(0 = А4+ (\xduldQ, рдС,

1 Я

+ vdo/dC, + Вхи2 + В2®2 + В3иа> = В4 + - — ( ц д с о / д О , (10) и ди

ф/а; = о,

+

со ди

со дсо

dt> дц

^dH/d$+-^L,dH/di}+pvdH/d$ = —\^

fell V222 ^ l

аЯ/аС + ( а - 1 ) | ; ( с 7

/ 2 )

Первые три уравнения системы (10)- уравнения количества движения в проекциях на оси £,£,г| соответственно, четвертое - уравнение неразрывности и последнее - уравнение для полной энтальпии. В уравнениях (10) gy - компоненты метрического тензора; и, v, со - ком­

поненты скорости, направленные соответственно по осям §,£,т|; Н - полная энтальпия (H=h+

+и

/2); р - давление; р - плотность; а=цс,Д - число Прандтля. Коэффициенты Л,Д связаны с геометрией тела и параметрами внешнего течения [1]. Координаты £,г| располагаются на по­

верхности тела, ось ^ортогональна к ней. Начало системы координат выбирается в критичес­

кой точке таким образом, чтобы линия г|=0 совпала с плоской геодезической линией на по­

верхности и линией тока внешнего течения. Это можно сделать, как правило, при наличии плоскости симметрии у рассматриваемого тела (г)=0 - плоскость симметрии).

Система уравнений (10) дополняется уравнением состояния p=pRT и зависимостями ко­

эффициентов вязкости и теплопроводности от температуры:

ц=цЛ7У7Х Ь=К(Т/Т

8 Ю.Д. Шевелев, В.А. Михалин, Н.Г. Сызранова Граничные условия:

при £=0, и=и

, ю=со

, Н=Н

при £—•<».

Уравнения (10) с помощью замены переменных £i=£, т|1

Ь ^ = J

e КР

^е

) JP^C

Р

0

водятся к виду, удобному для численного интегрирования. Вводятся новые переменные Щ ь r|i,A.), G(^i,T|bX), К^иЦиХ), 9(^i,r|i,X) по формулам (индекс 1 в дальнейшем опускается)

М

= и

($,Л)Щ,лЛ), со = Р ( ^ , л К ( 4 , Л ) ( ^ , л Д ) + ФД4,лД)),

п =

^ ^ (F —j2=r £dX / 3$ — j ^ L ( G + q>E)dX I дц\ Я=Я

+№-Яо)е, Ф=сйе/рм,.

Функции а и р - некоторые функции переменных £ и л- Если а=£, а р=л, то при £=0 система уравнений в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференци­

альных уравнений, решение которой служит начальными данными для построения решения во всей области течения. Плоскость л=0 является плоскостью, на которой производные по коор­

динате л пропадают. Решение вдоль этой плоскости можно также найти независимо и оно также служит начальными данными.

В результате замены переменных система (10) принимает вид

-^(1^-)-УЩ- + ^(Е2 -F) + N'2G2 +N;EG + N4E^ + N5(G + <?E)^-,

ok ok ok cq

^(l^) = V^

Ml(E

-F) + MtG

(11) ok ok ok cq or\

dX 8X dX dX ai 7 Г Т ) 1 Ж [

P

(

^

+2pcos(v

)(G + cp£)£ ] | + + # 4 ( 1 - 0 ) ^ — ! — ^- + N

E— + N

(G + <pE)— + N

(\-Q)(G + (f>E)-

'°

dV п*г т>*п xr дЕ xr dG xi dE

dX

д$

дц дг)

Здесь tQ=Ho/H

, F=pe/p. Коэффициенты М„ N, связаны только с геометрией тела и параметра­

ми внешнего течения [1]. Величины к и cos(yo) определяются по формулам:

Ь2Я^=(1+2/(у-1)/М,

)(1+2Рфсо8(у

)+РУ), cos(v|/

)=gi

/ViUi^T •

Здесь у -отношение теплоемкостей, М

- число Маха на внешней границе пограничного слоя, а - число Прандтля.

Граничные условия в результате преобразований примут вид

£=G= V=0=O при Х=0, £=0= 1, G=0 при Х->оо. (12) Уравнения трехмерного пограничного слоя в сжимаемом газе в преобразованном виде

представляют собой систему трех нелинейных уравнений второго порядка и одного уравнения первого порядка.

Рассматривается один из возможных вариантов конечно-разностных методов [7,8] рас­

чета уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе. Вводит­

ся по трем направлениям координат неравномерная сетка (Х.ь£

,л

)- Система уравнений (11) с

граничными условиями (12) заменяется их конечно-разностными аналогами. Для случая равно-

мерной сетки аппроксимация дает второй порядок точности. Погрешности аппроксимации при резком изменении размеров шагов сетки играют роль дополнительных источников или стоков и вносят ошибку в вычисление поля течения. При расчетах шаг сетки по координатам

£ и г|, как правило, выбирается равномерным, а неравномерная сетка используется только в областях резкого изменения параметров течения. Полученные конечно-разностные уравнения решаются последовательно одно за другим методом скалярной прогонки с итерациями [1].

В трехмерном пограничном слое возникает понятие о зоне зависимости и о зоне влия­

ния. Возмущение, возникающее в некоторой точке пограничного слоя, распространяется не на всю область, а только на район влияния этой точки. Область зависимости и область влияния определяются двумя поверхностями, образованными нормалями к поверхности, проходящими через предельную линию тока на теле и линию тока внешнего течения. Угол между двумя по­

верхностями задает максимальный угол разворота вектора скорости в плоскости, касательной к поверхности тела. Когда угол между двумя поверхностями стремится к нулю, предельные линии тока имеют то же направление, что и линии тока внешнего течения, и область зависи­

мости и влияния вырождается в одну поверхность, перпендикулярную к поверхности тела.

Если начальные условия заданы на некоторой поверхности 5, перпендикулярной к по­

верхности тела, т.е. известны составляющие скорости и(£,г|,<;), co(^,r|,q) и температура Г(4,г|,<;) или энтальпия #(£,г|,<;), тогда решения уравнений трехмерного пограничного слоя можно най­

ти только в некоторой области, которая зависит от начальных данных на поверхности S. Если имеется точка торможения, то решение определяется в окрестности точки торможения, а за­

тем с учетом влияния начальных данных - последовательно во всей остальной области. Если появляются «дополнительные» локальные максимумы давления, то необходимо учитывать их появление в рамках "маршевого" метода расчета.

Э. Результаты расчетов

Процесс отделения блоков ступеней типичной ракеты-носителя, состоящей из второй ступени, центрального блока и первой ступени (рис.1), состоящей из четырех боковых блоков, определяется следующими параметрами. В каждый момент времени взаимное положение бло­

ков ступеней задается углом развала боковых блоков 5 и их продольным (АХ) и поперечным (А У) смещениями относительно первой ступени. При этом вся компоновка обтекается пото­

ком газа с параметрами Ма,а.

Рис. 1. Схема расположения тел.

С точки зрения выбора расчетной области и построения вычислительных сеток, про­

цесс расчета невязкого обтекания разбивается на два этапа. На первом этапе рассчитывается обтекание головной части и корпуса второй ступени до местоположения носка головной части блока первой ступени. При этом используется простейшая цилиндрическая система координат

10 Ю.Д. Шевелев, В.А. Михалин, Н.Г. Сызранова и соответственно простой алгебраический генератор вычислительных сеток. На втором этапе в области со сложной геометрией используется модификация параболического генератора [6].

В этом случае расчетная область является многосвязной, но путем выбора нижней границы - ABCDEDFEDGHI - и введением разреза DE она сводится к односвязной области с заданием соответствующих граничных условий на разных отрезках границ (рис.2). При переходе от пер­

вого этапа ко второму параметры течения интерполируются на новую сетку.

' I Н"

Рис.2. Расчетная область.

Рис.3. Давление на конце центрального тела, а) 5=0.11°; б) 6=2.11°; в) 5=5.11°.

Для оценки аэродинамических характеристик были проведены расчеты для двух случаев относительного движения при а=0°. В первом варианте расстояние от носка бокового тела до оси симметрии центрального тела принималось равным AK=0.2L (L - длина бокового тела), а углы развала тел 5 изменялись от -1.436° до 2.564°. Положительные значения угла 5 соответ­

ствуют тому, что носовая часть бокового тела наклонена к центральному телу, то есть распо­

лагается ближе к центральному телу, чем хвостовая часть. Для второго варианта - AK=0.15L, a 5=0.11°...5.11°. Что касается первого сценария, то из-за больших отходов боковых блоков от центрального тела не наблюдается сильного вязко-невязкого взаимодействия между корпусами тел. В этом случае интерференция между корпусами ступеней не оказывает значительного влияния на аэродинамические характеристики центрального тела, а определяющими становят­

ся неоднородности в ударном слое.

Р

4 (Г 2 4

х,М а)

0.02 ^J

ц х,М Рис.4. Распределение давления на боковом теле: а) 5=0.11°, б) 5=5.11°

б)

12 Ю.Д. Шевелеву В.А. Михалин, Н.Г. Сызранова Напротив, при втором сценарии отделения интерференция между корпусами ступеней ракеты играет существенную роль. Боковые тела смещены относительно центрального тела та­

ким образом, что вызывают достаточно большие скачки давления на конце центрального тела.

Распределение давления вдоль различных образующих на конце центрального тела для трех значений углов поворота боковых тел 5=0.11°, 2.11°, 5.11° представлено на рис.3. Совпадение данных при различных значениях окружной координаты г\ наблюдается на первой половине тела, а затем они расходятся в виде пяти волнообразных кривых, причем, чем меньше угол 8, тем больше амплитуда и размах этих волн. При наличии таких градиентов в распределении давления возникают сложности исследования вязких параметров в рамках данного метода, причем наиболее "критичными" являются не продольные, а поперечные градиенты давления.

Но в этом случае можно применить метод расчета, основанный на особенностях полной сис­

темы уравнений пограничного слоя вдоль линий растекания. Решение, полученное вдоль ли­

ний растекания, будет достаточно точным [1]. В связи с этим сначала находится решение вдоль линии растекания т|=0, затем решается задача вдоль линии растекания rj=7t/4. Это сде­

лать нетрудно, так как линии г)=0 и г|=я/4 являются линиями симметрии течения, при этом нет необходимости рассчитывать все течение полностью - достаточно найти решение на ли­

ниях растекания. Такой полуавтомодельный метод при положительных градиентах давления дает, как правило, хорошее совпадение с точными численными решениями [1] при оценке ве­

личины сопротивления трения и потока тепла к поверхности тела.

STxRe0'5

Рис.5. Число Стантона на боковом теле при 6=5.11°.

Характеристики пограничного слоя для различных углов 5 расположения бокового тела относительно центрального представлены на рис.5-6.

Интересные особенности обтекания боковых тел наблюдаются при втором сценарии расположения тел. В этом случае меняется как характер обтекания ракеты-носителя, так и ее ступеней. Появляются скачки давления различной интенсивности на поверхности боковых тел, причем, при уменьшении значений угла б определяющим на характер течения становится вли­

яние головных ударных волн, возникающих от соседних ступеней. Об этом свидетельствуют данные, представленные на рис.4, где приводится, давление вдоль поверхности бокового тела при углах наклона 5=0.11° и 5.11° его оси к оси центрального тела. Для большей наглядности эти данные представлены в трехмерном виде. Можно отметить общие закономерности изме­

нения давления: относительно большие значения на конической части, градиенты давления вдоль всех образующих при изменении кривизны поверхности тела и "всплески" давления на

"хвостовой" части тела, обращенной к центральному телу (при т|>я/2). Анализируя эти дан­

ные, следует учесть, что при изменении угла б от 0.11° до 5.11° положение носка тела не ме­

няется, а "хвостовая" часть тела отодвигается от центрального тела по мере увеличения угла б.

В связи с этим, можно отметить, что влияние на параметры обтекания взаиморасположения центрального и соседних боковых тел сказывается тем сильнее, чем меньше угол б. Представ­

ленные данные четко отражают ещё один эффект, связанный с так называемым углом атаки (в данном случае б) бокового тела. Максимальный перепад давления на наветренной и подвет­

ренной части поверхности наблюдается при угле 6=5.11°. Таким образом, сочетание следую­

щих факторов: величины угла поворота тела, его "близости" к центральному телу, а также взаимного расположения боковых тел относительного друг друга - формирует данные, предс­

тавленные на рис.4.

В случае незначительного влияния центрального тела и соседних боковых тел на обте­

кание рассматриваемого тела, например, при угле 6=5.11°, распределение параметров трения и теплообмена вдоль тела напоминает картину распределения этих величин при обтекании тела под углом атаки и, почти полностью, повторяет характер распределения давления вдоль по­

верхности тела. В качестве примера на рис.5 представлено изменение числа Стантона на по­

верхности бокового тела. Небольшое повышение давления в узкой области на подветренной стороне (рис.46) вызывает также небольшое повышение параметров теплообмена в этой же области. При меньших значениях величины отхода «хвостовой» части бокового тела от цен­

тральной ступени возникают особенности, связанные с вязко-невязким взаимодействием. Они приводят к значительным трудностям расчетов вязкого течения в рамках уравнений погранич­

ного слоя. Об этом свидетельствуют данные, представленные на рис.6, где показано изменение коэффициента трения при 6=0.11°. По мере уменьшения угла б на некоторой части поверхно­

сти тела растут положительные градиенты давления, как в продольном, так и в поперечном направлении, что не позволяет просчитать с помощью представленного метода с остаточной степенью точности параметры пограничного слоя на этой части поверхности. Так, например,

"хорошие" гладкие данные наблюдаются на наветренной стороне тела, где не сказывается вли­

яние центрального тела. В области же больших градиентов давления сходимость метода резко ухудшается. Для более основательного исследования характера течения в этих случаях необ­

ходимо применять методы решения уравнений Навье-Стокса. Тем не менее, полученные дан­

ные отражают характер изменения параметров обтекания при изменении угла наклона боково­

го тела к оси центрального тела и с определенной степенью точности демонстрируют влияние двух факторов - угла атаки тела и интенсивности скачков давления, обусловленных близостью расположения рассматриваемого тела к центральному и другим боковым телам.

Таким образом, выявлены основные закономерности изменения параметров обтекания в зависимости от расположения тел относительно друг друга. Установлено, что при некотором расположении тел в условиях сильного вязко-невязкого взаимодействия параметров целесооб­

разно проводить исследования с помощью полных уравнений Навье-Стокса.

14 Ю.Д. Шевелев, В.А. Михалин, Н.Г. Сызранова STxRe05

Рис.6. Коэффициент трения на боковом теле при 8=0.11°.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ю.Д. Шевелев. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. -М.: Наука, 1986.

2. В.В. Еремин, В.А. Михалин. Построение расчетных сеток и расчет сверхзвукового стационарного об­

текания тел сложной геометрической формы / Изв.РАН, МЖГ, 1995, №3.

3. В.В. Еремин, М.Н. Казаков, В.А. Михалин, А.В. Родионов, Сверхзвуковая аэродинамическая интерфе­

ренция ступеней ракет-носителей типа «Союз», в том числе с учетом истекающих холодных боковых струй / XIII Всероссийская конференция 'Теоретические основы и конструирование численных алго­

ритмов для решения задач математической физики", посвященная памяти К.И. Бабенко. Тезисы док­

ладов, Пущино, 2000.

4. С.К. Годунов и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. -М: Наука, 1976.

5. А.В. Родионов. Численный метод решения уравнений Эйлера, сохраняющий аппроксимацию на де­

формированной сетке / ЖВМ и МФ, 1996, т.36, №3, с. 117-129.

6. В.А. Михалин. Модификация параболического генератора сеток / Вопросы атомной науки и техники, серия "Математическое моделирование физических процессов", 1995, №1-2.

7. О.М. Белоцерковский, Ю.Д. Шевелев, В А. Андрющенко. Избранные главы вычислительной механики сплошной среды. -М., "Наука", 1999.

8. А.А. Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1983.

Поступила в редакцию 26.12.00.