М. М. Вайнберг, В. А. Треногин, К теории неявных функций, УМН , 1962, том 17, выпуск 5(107), 185–186

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

М. М. Вайнберг, В. А. Треногин, К теории неявных функций, УМН , 1962, том 17, выпуск 5(107), 185–186

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 16:28:56

1962 г. сентябрь—октябрь т

XVII, вып. 5 (107}

УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

РЕЗЮМЕ ДОКЛАДОВ,

заявленных Правлению Московского математического общества и принятых Правлением

М. М. В а й н б е р г и В. А. Т р е н о г и й «К теории неявных функций».

Известно, что Ньютон предложил метод отыскания всех решений уравне­

ния F (х, у) = 0, стремящихся к 0 при I H - О , если F (О, 0) —0, F'y(0y 0) = 0 и F (х, у) разлагается в ряд по целым степеням х и у. Этот метод известен под названием

«диаграммы Ньютона». Попытки распространения метода Ньютона на системы неявных функций, когда якобиан в соответствующей точке обращается в нуль, не увенчались успехом [1]. Имеется лишь один результат Л. Грэйвса [2].

В настоящей работе мы рассматриваем классическую задачу о системе неявных функций, когда якобиан в соответствующей точке (за которую без ограничения общности мы принимаем начало координат) обращается в нуль. Д л я решения этой задачи мы выводим уравнение разветвления, устанавливаем основное свойство урав­

нения разветвления, сводим исследование системы неявных функций к исследованию уравнения разветвления и выделяем такой класс систем неявных функций, с обра­

щающимся в нуль якобианом, для которого предлагаемый нами прием приводит к полному решению задачи. Пусть

Pi = Fi(ylt y2, . . . , yq; хъ х2, .. ., хг) (i = l , 2, . . . , р)

определены и достаточно гладки в некоторой окрестности точки М (0, 0, . . . , 0; 0, 0, . . . , 0).

Рассмотрим систему 7^ = 0, которую запишем следующим образом:

q I

2

где

hj=z

~~Wj

""°

°' ' • '

'

ib=W

^.'"'

' °- ••-°)»

lt(x, y)=h(yly . . .5 yq\ хъ . . . , xt)y h = o{\x\-\-\y\)

при x—^0, y->0 и | • | — какая-нибудь норма конечномерного пространства. Для дан­

ной системы (1) мы поставим задачу отыскания всех непрерывных решений (г/ь у%, . . . , 2/q)>

удовлетворяющих условию

у,-(0,0, . . . , 0 ) = 0 (/ = 1,2, ...,<?). (2) Пусть г—ранг матрицы B=\\bi:i\\. Мы будем предполагать, что г > 1 .

Т е о р е м а 1. Если /• = / ? < д, то задача (1)— (2) имеет решение, зависящее от q — р произвольных функций аргументов х^ (/с—1, 2, . . . , Z), обращающихся в нуль при xk — 0.

*) См. протоколы заседаний Общества от 17 апреля и 15 мая 1962 г.

186

Пусть г — # < / ? . Без ограничения общности можно считать, что матрица B1 = \\bij |]

(i, / = 1, . . . , q) обратима, а потому по классической теореме о неявных функциях имеем 2/s = <Ps(*i. х*, •--, xi) (s = l, 2, . . . , q).

Подставляя cps в последние p—^q уравнений системы 1), получим

q I

S ьцЪ (xi> •-, XL)= 2 aikxk + k (хъ • •> Щ\ ф1, ...»фд) (i = g + l, .••» />)• (3) Т е о р е м а . 2. Если r = q <^ р> то локальное решение задачи (1) — (2) единственно и область его существования определяется соотношением (3).

Пусть r < m i n (jp> <?). Так же, как при доказательстве теоремы 2, из первых г уравнений системы (1) найдем

2/e=9s(2/r+i» ••-.Уд; *i» •> *l) (s=l, 2, ..., г) я , подставляя ф8 в остальные уравнения системы (1), получим

г q I

2 MPi+ 2

^ '

2

ifc*fc + *i(*i» ..., *i; ф

..., ф

, t/

, ..., гу

) (4)

j = l j = r - f l fe=l

Л е м м а . .В системе (4) отсутствуют члены первого порядка по уг+1, . . . , г/9

^ нулевого порядка по xlf х2, . . - , #j, л&. е. матрица Якоби системы (4) гари t/r+i t= . . . =yq — Xi= . . . — #/ = 0 равна нулю.

Из данной леммы вытекает, что система (4), вообще говоря, имеет не единственное решение. Ввиду этого (4) представляет собою уравнение разветвления для системы (1).

Т е о р е м а 3. Если 1 < > < min (p, q), то число локальных решений задачи (1) — (2) равно числу локальных решений уравнения разветвления (4), а область определения этих решений и их вид также определяются системой (4).

Данная теорема приводит к полному решению задачи?# (1) — (2), когда Fi — анали­

тические функции, p=:q=zn, 1 = 1 и г = п — 1. В этом случае система (1) принимает вид

71

Предполагая, что главный минор матрицы В расположен в левом верхнем углу, и считая уп = '£, малым параметром, мы получим

2/e = <Ps(*. £) 0 ? = 1 , 2, . . . , л —1).

Подставляя <ps в последнее равенство системы (5), мы согласно лемме получим в дан ном случае следующее уравнение разветвления:

со оэ со

S

fto!

+2 i

2 £ы*'=о. (6)

Каждое малое решение 1 — £>(х) = уп(х) данного уравнения (6) дает малое решение системы (5), обращающееся в нуль при а? = 0. Все малые решения уравнения (6) могут быть найдены при помощи убывающей части диаграммы Ньютона, что приводит к обозримой формулировке достаточных условий существования малых решений системы (5), а также их вида как в комплексной, так и в вещественной области.

Поступило в Правление общества 13 февраля 1962 г.

Ц И Т И Р О В А Н Н А Я Л И Т Е Р А Т У Р А

'[1]. Н. Г. Ч е б о т а р ё в , Многоугольник Ньютона и его роль в современном развитии математики, сб. «Ньютон», М. — Л., 1943, 56—82.

(2J. L. M. G r a v e s , Remarks on singular points of Functional equations, Trans. Amer.

Math. Soc. 79 (1955), 150 — 157.