С. С. Граськин, М. И. Ништ, Математическая модель отрывного обтекания несущих поверхностей сжимаемым потоком, Докл. РАН, 1994, том 339, номер 3, 335–341

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

С. С. Граськин, М. И. Ништ, Математическая модель отрывного обтекания несущих поверхностей сжимаемым потоком, Докл. РАН, 1994, том 339, номер 3, 335–341

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы про- читали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

5 ноября 2022 г., 22:58:25

МЕХАНИКА

УДК 533.6.011

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ НЕСУЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ СЖИМАЕМЫМ ПОТОКОМ

© 1994 г. С. С. Граськин, М. И. Ништ

Представлено академиком Г.П. Свищевым 26.04.94 г.

Поступило 05.05.94 г.

В настоящее время одной из актуальных про­

блем является исследование аэродинамических характеристик и обтекания произвольных прост­

ранственных несущих поверхностей при больших скоростях потока и в широком диапазоне измене­

ния кинематических параметров, характеризу­

ющих их движение. В ряде экспериментов [1]

получены нелинейные зависимости основных аэродинамических характеристик и установлены основные источники нелинейностей в виде устой­

чивых вихревых жгутов и скачков уплотнения, определяющих характер обтекания верхних и ни­

жних поверхностей рассматриваемых несущих элементов. В общем случае оба зтих источника нелинейностей взаимодействуют друг с другом, в особенности на режимах, соответствующих трансзвуковым и большим сверхзвуковым скоро­

стям потока. В настоящей работе предлагается, не затрагивая вопросов такого взаимодействия, более подробно рассмотреть проблему учета при больших скоростях нелинейностей, связанных лишь с отрывом потока и образованием вих­

ревых структур.

1. Пусть произвольная система 5, состоящая из совокупности тонких несущих поверхностей, дви­

жется в идеальном установившемся потоке газа с постоянной дозвуковой или сверхзвуковой скоро­

стью V„. Будем полагать, что в процессе этого движения массовые силы и теплообмен отсутст­

вуют, а завихренность потока Q сосредоточена только на элементах S и вихревых пеленах G, схо­

дящих с фиксированных мест отрыва. Тогда в произвольной точке М пространства вне S и G су­

ществует потенциал ф(М) возмущенной скорости V'(M), который в подвижной прямоугольной сис­

теме координат OXYZ (рис. 1) удовлетворяет не­

линейному волновому уравнению [2, 3]

V

2

(p-Mi(p^= (y-l)MiV

2

(p

Ф,+ о ( ^ ф )2

+ 2M;iV<pV ф +

7

( У ф ) '

(1)

Военно-воздушная инженерная академия им. Н.Е. Жуковского, Москва

где ML - число Маха невозмущенного потока;

у - отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме. В соответствии с [2, 3] решение уравнения (1) отыскивается в ин­

тегральном виде при известных граничных усло­

виях на поверхности самих несущих элементов, вихревых пеленах и на кромках их схода, скачках уплотнения и на бесконечности и включает в себя поверхностные интегралы по всем несущим эле­

ментам S и пеленам G и объемный интеграл по некоторой части пространства Т. Причем, в отли­

чие от [4, 5], граничное условие схода вихревых пелен с передних и боковых кромок элементов S будем формулировать на основе эксперименталь­

ных данных Стэнбрука-Сквайра в зависимости от исследуемого угла атаки а, стреловидности кромки % и числа М^ набегающего потока, све­

денных к совокупности двух параметров а„ и М„

[1]. В зависимости от этих параметров будем раз­

личать отрывное (области А и В на рис. 1) и безот­

рывное (область С на рис. 1) обтекание кромок. В свою очередь, отрыв потока с кромки может быть как полным с выполнением условия Чаплы­

гина-Жуковского (область А), так и частичным с линейным изменением циркуляции сошедших в поток свободных вихрей (область В). Для задних кромок условие схода вихревой пелены сформу­

лируем традиционным для метода дискретных особенностей способом, учитывая при этом поте­

ри циркуляции на хвостовом скачке уплотнения по двумерной теории по тем же самым парамет­

рам а„ и М

п. Дискретизация полученных таким

способом интегралов требует размещения на 5 и

G газодинамических особенностей типа вихрей

или диполей, а в области пространства Г - объем­

ных источников, интенсивности которых необхо­

димо определять в процессе расчета по итераци­

ям. Все это приводит к большим вычислитель­

ным затратам и делает такой подход к решению задачи трудно реализуемым на ЭВМ ограничен­

ной производительности. Однако уравнение (1) можно упростить, если в правой части пренебречь

335

ГРАСЬКИН, НИШТ

Рис.1.

третьей степенью возмущений. В результате лри- этим элементом, определим на основе интеграль- дем к упрощенному нелинейному уравнению

( 1 - М 1 ) ф „ + Фуу + фн =

= (Y-^Micp^v'cp+ 2 * ^ 9 ^ ,

которое, в свою очередь, после алгебраических преобразований запишем в виде

ной формулы Кирхгоффа [2]

£ср,(М) = 1

3vt R

1 Л ds, (4)

(1-Л/*)Ф„ + Ф„ + Ф„ = О,

М2 ⁼ Mj [ 1 + 2(ф^лф„ + ^ФуФ,^у + ф^гФ^и)/фJ

L 1-М1(у-1)Ф^х

(2)

(3)

где Е = (4л, 27Г) при М € (Г, S*) и Е = 0 при М е Г;

v^ - вектор внешней конормали, равный v ; = ( l - M ^ . ) c o s ( n⁺, x ) i +

+ cos (n⁺, у) j + cos (n⁺, г) k;

^ = [ ( ' , - x )²+ d - < , ) ( y , - y )²+ + ( 1 - Л / ^ ) (^{г 1}- г )²]^{1 / 2}

Теперь уравнение (2) с учетом (3) в локальном смысле становится линейным и решение краевой задачи для него может быть получено на основе

рассматриваемых ниже интегральных уравнений, есть фундаментальное решение исходного урав- нения (2);

2. Рассмотрим потенциальное движение эле­

мента S^t, моделирующего заданные поверхности ^g(M^x) = Эф/Э\^ ^(М,) = Ц⁺(М^г) - ф_(М,) S или вихревые пелены G, с дозвуковой или сверх- ' звуковой скоростью, равной M^Ll. Тогда в рассма- суть неизвестные интенсивности простого (ис- триваемой точке М выбранного объема газа Т точники) и двойного (диполи) слоя, равные соот- возмущенный потенциал ф,(М), индуцируемый ветственно производной потенциала ф,(М) по

конормали v^ и скачку потенциала в текущей точке Мх е 5*; хх, х, у,, у, z,, z - координаты теку­

щей М, и рассматриваемой М точек в подвижных осях OXYZ. При дозвуковых скоростях потока в качестве поверхности 5* рассматриваем сам несу­

щий элемент S,, а также вихревые пелены G,, схо­

дящие с него. При сверхзвуковых скоростях к этим поверхностям следует добавить поверхнос­

ти скачков уплотнения Ь, и характеристических конусов С,. На скачках уплотнения D, при сверх­

звуковых передних кромках элемента 5, терпит разрыв сама функция <p,(M), а на характеристиче­

ских конусах С, обращается в нуль фундаменталь­

ное решение RUM . Согласно [6], все эти поверх­

ности должны быть выделены из рассматривае­

мого объема Г, и вместо него необходимо ввести систему объемов Ти, T2i, T3h Тм (рис. 1) и для каж­

дого из них применить формулу (4). В результате получим

£ф,.(М) = - J \\4M0~

( l

^

^{ds +}

S..+ ;

,J кмм, (5)

где KLi = JM2U , - 1; lDS - линия пересечения скач­

ка уплотнения D, с элементом 5,. Дифференцируя обе части равенства (5) по координатам точки М, получим

£V;.(M) = -V

w

JJn(M

1

)^

r ( 1 ^

S,+ G,

_1

умм

V RuMi J ds +

+ KLVM \Vi(M])-L.dl = E(\'RJM) + Vs<,iM)). (6)

J Кии

Здесь под вектором WRi понимается регулярная, а под вектором \ s , - сингулярная составляющая возмущенной скорости V,., индуцируемая пане­

лью диполей с интенсивностью (ДМ,), имеющей разрыв на линии пересечения панели со скачком уплотнения. Регулярная составляющая \'R; в формуле (6) непрерывна и поэтому операцию дифференцирования в интегралах по 5, и G, вне­

сем за знак интеграла, а затем вычислим соответ­

ствующие производные. С сингулярной составля­

ющей дело обстоит несколько иначе. Здесь разрыв интенсивности n(Af,), возникший на ли­

нии lDS, далее распространяется по поверхности

Z), вдоль характеристических линий, орты ко­

торых направлены коллинеарно конормали v^ . В результате в совокупности точек М объема Г,, лежащего между поверхностями огибающих наи­

более передних конусов Маха с вершинами на кромках элемента S,, потенциал ф(<М), определя­

емый формулой (5), терпит разрыв и формальное дифференцирование в (6) возможно лишь в клас­

се обобщенных функций [7]. В итоге получим ЕУ\{М) = ( l - M t ) j jjlKMJx

ls.+ G,

3(rM M ,nM . )RW M ~R,

x '-ds-

dl 'w, (7)

1ЛШ,

R

где n^ , i*M - векторы внешней нормали и каса­

тельной к элементу 5,; rj(Af) - функция Хевисайда, принимающая значения, равные единице в точках объема Г, и нулю во всех других точках объема Т;

( * ! - * ) i + (Уг~у)}+ ( Z ! - z ) k ,

= ( x , - x ) i + ( l - <i) ( y1- y ) j + + ( l - A # ^ ) ( z , - z ) k .

Принимая теперь во внимание тот факт, что рас­

сматриваемая точка М е 5, и учитывая при этом на S, граничное условие непротекания, придем к следующему интегральному уравнению относи­

тельно неизвестной интенсивности потенциала двойного слоя:

мм,

2л

\\№хУ-

3(гмм,Ю №мм,п+м)-кмм,(п+м,пм)

«,<) J

Эц ^ Г\(М)

<

^0ЛЧ

" » Ч

^R

dl мм,

-ds-

= -(V.ni).(8)

Интегральное уравнение (8) можно упростить, если считать, что интенсивность \1{МХ) потенциа­

ла двойного слоя на элементе S, постоянна и равна завихренности потока ft., сосредоточенной по периметру элемента 5,. В этом случае вместо соответствующих интегралов по S, и G, на основе 4 ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 339 № 3 1994

338 ГРАСЬКИН, НИШТ прямолинейных отрезков [А'к, А'к+Х\ получим ко­

нечные формулы для возмущений

к= 1

к = 1

Г X Г

+ - х я

^ s i n e ^ W ^ x r ) X

L т = — ^ —

^х

к= 1

х ( arcsin

V

Jb^4

_ас ^arcsin

2а+ b \ Jb2-4ac.

, (9)

где

<*= (Xk⁺i-Xk)²+W-Mli) [(Ук ⁺ 1~Ук)² + + ( zt +, - zt)2] ,

b= (xk + 1-xk)(x-xk)+(l-Ml,)x

x [ ( Л⁺1 - Л ) 0 ' - 3 ' * )⁺ ( Z *⁺l - Z * ) ( 2 - Z * ) ] , с = ( J c - ^ )2+ ( l - < , ) [ ( y - yt)2+ U - Zt)2] ,

/ c * 0 ;

<&,=•{

I 0, Vc = 0;

f 2a + fc

Ф = -Ja + b -., Ja + b + сФО;

+ c

0, Ja + b + c = 0;

Ws, , =

(I-Mi,) 0 0 0 1 0 0 0 1

vr,.,

Г, - циркуляция вихревого отрезка [А'к A'k + 1];

Nk - общее число прямолинейных отрезков, со­

ставляющих периметр элемента S,; 8* - угол меж­

ду направлением вектора скорости набегающего потока и его завихренностью.

3. В соответствии с принятой схемой разбие­

ния каждый несущий элемент 5, геометрическая форма которого задана в связанной системе координат, делится на ряд элементарных вих­

ревых ячеек с неизвестными циркуляциями Г,.

Для определения Г, используем интегральное уравнение (8), которое запишем для каждой кон­

трольной точки, размещенной в центре ячеек. В результате придем к матричному уравнению от­

носительно искомых циркуляции Г,, Г2, ..., Г,:

[Щ{Г} = {Щ,

где {[/} - вектор-столбец, каждый элемент ко­

торого Uj равен нормальной скорости, создавае­

мой в у'-й контрольной точке набегающим по­

током; [W] - матрица аэродинамического вли­

яния (безразмерных возмущенных скоростей WJy = \\jlVJ), определяемая по формуле (9) при числе Маха, равном ML,-, и циркуляции Г, = 1.

Следует отметить, что применение формулы (9) имеет ряд особенностей. Во-первых, второе сла­

гаемое, соответствующее сингулярной составля­

ющей, имеет смысл лишь при сверхзвуковом обтекании и только для тех ячеек, для которых передняя кромка сверхзвуковая. Во-вторых, пер­

вое слагаемое, соответствующее регулярной со­

ставляющей, при дозвуковом обтекании имеет особенность при

А = Аас - Ъ1 = 0,

что соответствует положению контрольной точ­

ки Mj на вихревом отрезке [А'к А'к + 1] или его про­

должении. Кроме того, при сверхзвуковом обте­

кании эта составляющая возмущенной скорости стремится к бесконечности при пересечении вих­

ревых отрезков [А'к А'к + 1] характеристическим конусом Маха С, с вершиной в контрольной точке Mj. В таких случаях в соответствии с понятием ко­

нечной части интеграла по Адамару [2] слагае­

мые Ф, и Ф2 в формуле (9) полагаем нулевыми.

Начальное приближение циркуляции на пеле­

не Гд0) = 0, а величина м£°, = М,„. При расчетах итерационный процесс содержит в себе построе­

ние вихревых структур и одновременное уточне­

ние ML , в соответствии с выражением (3). Про­

цесс построения вихревых структур проходит в соответствии с формулой

{rf*»} = [ L f)] -1x

x({V}-[L{/ -1»] {T<f -•>}), (Ю) где { Tls '} - вектор-столбец искомых циркуляции вихревых ячеек на несущих элементах S на к*-й ите­

рации; [Г^ " ' ' } , {LQ ^{_ 1 )}} - вектор-столбец цир­

куляции вихревых ячеек на пеленах G и матрица их аэродинамического влияния на (к* - 1)-й итерации.

Причем произвольной 1-й рамке этой поверхнос­

ти с циркуляцией Г^*' присваиваем значение циркуляции Г^* _ , ) v-й вихревой рамки, получа­

емой на предыдущем расчетном шаге и примыка­

ющей к G со стороны поверхности S, если режим полета соответствует значениям осп и Мп, принад­

лежащим области А (рис. 1). В противном случае

гсГ = в^£ _ 1 ) и л и гс Г = 0 . Здесь В, ^ С О ­

множитель, учитывающий частичный отрыв по­

тока в области В (рис. 1). На вихревых пеленах G граничные условия удовлетворяются тем, что ви­

хревые рамки G, перемещаем в пространстве по траекториям жидких частиц. Исходя из этого, по­

лагаем, что в формуле (10) на первой итерации вихревые пелены G отсутствуют, а на второй - направляются по вектору скорости набегающего потока <^ или лежат в плоскости несущих элемен­

тов. На последующих итерациях по известным циркуляциям {Г^Ф)} и {Г^* - 1 )} определяем по­

ле возмущенных скоростей, в соответствии с ко­

торым выстраиваем новое положение вихревой пелены G, пересчитываем значения ML , и вычис­

ляем элементы матриц аэродинамического влия­

ния [Ц^к,)] и [ L g *^{- 1 )}] . Следует заметить, что здесь в отличие от традиционного метода дис­

кретных особенностей [5] требуется расчет эле­

ментов матрицы [Цк *] на каждой итерации с уточнением величины MLi. Расчет ML<i произво­

дим на основе определения вторых производных Ф«» Фхг Ф*г возмущенного потенциала ф ,{М), кото­

рые связаны с соответствующими составляющи­

ми Vxj, Vy,. и Vzj вектора возмущенной скорости V, в j-й и (/ + 1)-й контрольных точках. Причем при подходе к точкам со стороны верхней (+) и нижней (-) поверхностей несущих элементов S получим значения возмущенных скоростей

V; i , i + l ~~ ' U + 1

= v

7

⁺

2 ^ , 1 + 1¹ X ni , i + l ) »

* i , i + i — * i.i + i 2 ^ ' ' ' + 1 X n'.« + i'

(11)

и их проекций на связанные оси OXYZ, по кото­

рым затем найдем соответствующие приращения

AVx, i, i + l. ^Vy, и i + i и AVit,-, + ,. Откуда определим вторые производные

AV,

* хх, i

х, i + 1

дк

4+1

ф

Т Г 7. I

• лгу, i

AVyJ + l-AVyJ

d\i + i +

AV. _{г, i + 1} AV, (12)

d\ _{i + l}

В (11) и (12) y,, + j - вектор распределенной интен­

сивности вихревых линий; d'i + l - средняя хорда i- й вихревой ячейки.

После проверки итерационного процесса на сходимость найдем аэродинамическую нагрузку

&Р = (P-~P+)/q = Р _ - Р+.

гДе Р+у Р-- возмущенное давление на верхней и нижней поверхностях несущих элементов 5; q - скоростной напор невозмущенного потока. Для

СЛ С"

у Ч > _ ' рад

2.5 2

1.5

0.5 LL 1.0

ф - ф — ф - ф

1.2 1.4 1.6 X _L

2.0 2.2 М, 1.0 - 0.8 _ 0.6

0.4 0.2

Рис. 3.

расчета р+ и р_ воспользуемся формулой, полу­

ченной на основе интеграла Коши-Лагранжа [6]:

Р± =

ум:

^х

U Mi(y- 1)

(yxWx + yyWy + yWz)

Y/(Y-1)

где ух = TJAXJ, уу = r,/Aj,, yz = ГуДг,- - составляю­

щие вектора распределенной интенсивности у;

Wx, Wy, Wz - проекции вектора безразмерной скорости потока:

Wx = cosoccosp* + W'x, Wy = sinacos|3 + W'y, Wz = -sin$ + Wz.

Здесь a, p - углы атаки и скольжения несущих по­

верхностей.

Суммарные аэродинамические характеристи­

ки получим путем интегрирования нагрузки Ар по всем элементарным вихревым ячейкам.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 339 № 3 1994 4*

340 ГРАСЬКИН, НИШТ

4. По изложенному выше алгоритму был проведен ряд расчетов аэродинамических харак­

теристик и вихревых структур, формируемых тонкими треугольными крыльями различных уд­

линений. Некоторые результаты этих расчетов продемонстрированы на рис. 2 - 4 . Так, например, для оценки эффекта сжимаемости при дозву­

ковых скоростях потока и его влияния на отрыв исследовали крыло с удлинением А. = 1.5 в диапа­

зоне чисел Маха от 0 до 0.95 и значений угла ата­

ки от 0° до 28°. Результаты этих исследований в виде зависимости критического числа Маха М„

от угла атаки а, а также изменение коэффициен­

тов нормальной силы с„ и продольного момента тг при М,„ = 0.9 показаны на рис. 2. Здесь сплош­

ные линии соответствуют расчету по методу [4], а точки - расчету авторов. Анализ приведенных за­

висимостей позволяет сделать вывод о целесооб­

разности использования в дозвуковом диапазоне скоростей вместо нелинейного уравнения (1) его локальную линеаризацию (2), (3). Следует заме­

тить, что приведенные результаты были получе­

ны на основе дискретизации поверхности крыла семейством продольных и поперечных присоеди­

ненных вихревых элементов, а вихревые пелены, сходящие с передней и задней кромок крыла, - се­

мейством полубесконечных свободных вихревых линий постоянной интенсивности, совпадающих по окончанию итерационного процесса с линиями тока. Контрольные точки на поверхности крыла были размещены следующим образом. Переднюю кромку крыла разбивали на зоны отрывного и бе­

зотрывного обтекания. Причем протяженность зоны безотрывного обтекания должна составлять порядка 20% от всей длины передней кромки. Эту зону, а также заднюю кромку крыла по оси OZ разделили на п полос, а затем по оси ОХ каждую полосу - н а ш частей. В результате на половине

крыла имели пт элементарных ячеек, в которых посередине местной хорды размещали попереч­

ный, а на боковых кромках - продольный присо­

единенные вихревые отрезки. Сами контрольные точки размещали на задней кромке такой ячейки.

При этом возмущенная скорость в каждой кон­

трольной точке индуцировалась как присоеди­

ненными отрезками, так и свободными вихревы­

ми линиями и определялась на основе формулы (9). В качестве характерного линейного размера рассматривалась корневая хорда крыла, а в каче­

стве точки приведения сил - ее носок.

На сверхзвуковых скоростях были исследова­

ны треугольные крылья с удлинениями от X, = 0.5 до X = 4.0. Все многообразие этих исследований по целям можно разбить на два этапа, позволив­

ших в итоге добиться отладки алгоритмов и схем, а также провести необходимые параметрические исследования. На первом этапе рассматривалось обтекание крыльев на малых углах атаки, где от­

рывом потока на передней кромке можно было пренебречь и течение на поверхности разреже­

ния крыла считать присоединенным. В наиболь­

шей степени таким условиям обтекания по клас­

сификации Стэнбрука-Сквайра удовлетворяют треугольные крылья больших удлинений (к > 2.5). Тогда вместо самих аэродинамических коэффициентов можно рассматривать соответст­

вующие производные по каждому из кинематиче­

ских параметров, описывающих их движение.

Причем для этих производных имеются точные решения [8]. На рис. 3 приводится изменение про­

изводных С*, Суу и координаты фокуса xF =xF/bk

для крыльев с к = 2.5 и X = 4.0 в зависимости от числа Маха набегающего потока М . . Здесь точки соответствуют расчету, а сплошные линии - точ­

ному решению. Анализ приведенных результатов свидетельствует о хорошем соответствии расче-

тов точным решениям. На втором этапе исследо­

вались нелинейные аэродинамические характе­

ристики и обтекание треугольных крыльев в диапазоне таких сверхзвуковых чисел Маха и уг­

лов атаки а, при которых значения величин а„ и Мп принадлежат области отрыва потока с перед­

них кромок крыла (область Л на рис. 1). Поэтому очевидно, что в качестве объектов исследования здесь лучше рассматривать треугольные крылья малых удлинений (к < 1.5). Например, для крыла с удлинением А. = 0.5 рассчитывались коэффици­

енты подъемной силы су, продольного момента mz и индуктивного сопротивления сх_, при М„. = 3.0 в диапазоне а от 0° до 22°. Результаты расчета на рис. 4 (штриховая линия) сравниваются с данны­

ми, приведенными в работе [9] (сплошная линия).

Видно их удовлетворительное согласие.

Таким образом, приведенные здесь результа­

ты свидетельствуют о достоверности предлагае­

мого метода расчета и о целесообразности рас­

пространения его на произвольные пространст­

венные конфигурации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хемш М., Нилсен Дж. Аэродинамика ракет. М.:

Мир, 1989. Т. 1.С. 425.

2. Сире У.Р. Общая теория аэродинамики больших скоростей. М.: Воениздат, 1962. С. 667.

3. Грасъкин С.С. II Изв. РАН. МЖГ. 1993. № 3.

С. 142 -148.

4. Белоцерковский СМ., Коржнев В.Н., Шипи- лов С Д. //Там же. 1984. № 4. С. 144 -148.

5. Белоцерковский СМ., Ништ ММ. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеаль­

ной жидкостью. М.: Наука, 1978.

6. Грасъкин С.С. II Изв. вузов. Авиационная техника.

1992. № 2. С. 27 - 33.

7. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Мир, 1974. Т. 2. С. 830.

8. Исследование сверхзвуковой аэродинамики само­

летов на ЭВМ / Под ред. СМ. Белоцерковского.

М.: Наука, 1983. С. 335.

9. Косых АЛ., Минайлос А.Н. // Тр. ЦАГИ. 1977.

В. 1891. С. 35.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 339 № 3 1994