Г. В. Гренкин, Сходимость метода Ньютона для уравне- ний сложного теплообмена, Дальневост. матем. журн., 2017, том 17, номер 1, 3–10

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Г. В. Гренкин, Сходимость метода Ньютона для уравне- ний сложного теплообмена, Дальневост. матем. журн., 2017, том 17, номер 1, 3–10

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 07:23:32

УДК 519.632.4

MSC2010 65N12 + 35J25

c

Г. В. Гренкин

Сходимость метода Ньютона

для уравнений сложного теплообмена

Доказана глобальная монотонная сходимость метода Ньютона для решения уравнений сложного теплообмена вP1-приближении уравнения переноса излу- чения.

Ключевые слова:радиационный теплообмен, диффузионное приближение, ме- тод Ньютона, монотонная сходимость.

Введение

Данная работа посвящена численному решению краевой задачи, моделирующей радиационно-кондуктивный (сложный) теплообмен (диффузионноеP1-приближение уравнения переноса излучения) в областиΩ⊂R³ [1]

−a∆θ+bκa|θ|³θ=bκaϕ, (1)

−α∆ϕ+κ_aϕ=κ_a|θ|³θ (2) с граничными условиями наΓ =∂Ω

a∂nθ+β(θ−θb)|Γ = 0, α∂nϕ+γ(ϕ−θ_b⁴)|Γ= 0, (3) гдеθ— нормализованная температура,ϕ— нормализованная интенсивность излуче- ния, усредненная по всем направлениям,θb,β,γ — заданные на Γнеотрицательные функции, a, α, b, κa — положительные коэффициенты, через∂n обозначается произ- водная в направлении внешней нормали кΓ.

В работах [1–5] проведены доказательства однозначной разрешимости диффу- зионных моделей сложного теплообмена в 1-мерных и 3-мерных областях, а также построен численный алгоритм метода простой итерации. Данная итерационная про- цедура порождает две последовательности функцийθ_k,ϕ_k, монотонно сходящиеся к точному решению [1]. Однако реализация предложенного алгоритма на ЭВМ затруд- нена, так как на одном из его этапов требуется решать нелинейное эллиптическое

1Институт прикладной математики ДВО РАН, 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 7; Дальне- восточный федеральный университет, 690950, г. Владивосток, ул. Суханова, 8. Электронная почта:glebgrenkin@gmail.com

4 Г. В. Гренкин

уравнение (1) при заданномϕ. Например, в [2, 6] для преодоления данного недостат- ка в нелинейное уравнение включалось приближение, полученное на предыдущем шаге, в результате чего уравнение становилось линейным, и вводился малый пара- метр для усреднения старого и нового приближений, что затрудняло сходимость метода.

На практике свою эффективность для рассматриваемой задачи показал метод Ньютона, в котором нелинейное слагаемоеθ⁴ аппроксимируется выражением θe⁴+ 4eθ³(θ−θ):e

−a∆θ+bκ_a

(4eθ³θ−3eθ⁴)−ϕ

= 0, −α∆ϕ+κ_a

ϕ−(4eθ³θ−3eθ⁴)

= 0, a∂_nθ+β(θ−θ_b)|Γ = 0, α∂_nϕ+γ(ϕ−θ⁴_b)|Γ= 0.

Здесь eθ — приближение для температуры, найденное на предыдущей итерации ме- тода Ньютона.

В настоящей работе мы рассмотрим упрощение данного метода (неполный метод Ньютона) и докажем его глобальную монотонную сходимость. Уравнения неполного метода Ньютона имеют следующий вид:

−a∆θ+bκa

(4eθ³θ−3θe⁴)−ϕ

= 0, −α∆ϕ+κa

ϕ−θe⁴

= 0, a∂nθ+β(θ−θb)|Γ = 0, α∂nϕ+γ(ϕ−θ⁴_b)|Γ= 0.

Исследование монотонной сходимости метода Ньютона для эллиптического урав- нения с монотонным и выпуклым нелинейным слагаемым проводилось в [7,8]. Общие теоремы о монотонной сходимости метода Ньютона приводятся в [9, 10]. В [11] рас- смотрен вопрос численного решения уравненийP1-приближения методом конечных объемов.

1. Постановка задачи

Предположим, что Ω — липшицева ограниченная область. ЧерезL^p, 16p6∞, обозначаем пространство Лебега, через H¹ — пространство Соболева W₂¹. Будем предполагать, что исходные данные удовлетворяют условиям

(i) θb, β, γ∈L^∞(Γ), 06θb6M, β>β0>0, γ>γ0>0.

ПустьH=L²(Ω),V=H¹(Ω), черезV⁰обозначаем пространство, сопряженное с про- странствомV. Отметим, чтоV⊂H=H⁰⊂V⁰. Обозначим через(f,v)значение функ- ционалаf∈V⁰ на элементе v∈V, совпадающее со скалярным произведением в H, еслиf∈H.

Определим операторыA_1,2:V→V⁰: (A1θ, v) =a(∇θ,∇v) +

Z

Γ

βθv dΓ, (A2ϕ, v) =α(∇ϕ,∇v) + Z

Γ

γϕv dΓ

и функционалыf1,2∈V⁰: (f1, v) =

Z

Γ

βθbv dΓ, (f2, v) = Z

Γ

γθ⁴_bv dΓ.

Замечание 1. Функционалы(A1v, v)^1/2 и(A2v, v)^1/2 представляют собой нормы вV, эквивалентные стандартной норме вV [12, с. 238].

Определение 1.Пара{θ, ϕ} ∈V×V называется слабым решением задачи (1)–(3), если

A1θ+bκa(|θ|³θ−ϕ) =f1, A2ϕ+κa(ϕ− |θ|³θ) =f2.

В [1] доказано, что задача (1)–(3) имеет единственное слабое решение {θ, ϕ}, причем06θ6M, 06ϕ6M⁴.

Сформулируем неполный метод Ньютона. Зададим начальное приближениеθ₀=

=M. Определим последовательностиθk,ϕk:

A2ϕk+κa(ϕk−θ⁴_k) =f2, k= 0,1, . . . , (4)

A1θk+1+bκa(θ⁴_k+ 4θ³_k(θk+1−θk)−ϕk) =f1, k= 0,1, . . . . (5) Линейные задачи (4), (5) имеют единственное решение, если θk>0[12, с. 334].

2. Сходимость алгоритма

Определим операторΦ :L^∞(Ω)→L^∞(Ω)∩V так:ϕ= Φ(θ), если A2ϕ+κa(ϕ− |θ|³θ) =f2.

Лемма 1. [1]Если 06θ6M п.в. вΩ, то06ϕ6M⁴ п.в. вΩ, гдеϕ= Φ(θ).

Лемма 2. [1]Если θ16θ2 п.в. вΩ, тоϕ16ϕ2п.в. вΩ, гдеϕi= Φ(θi).

Лемма 3. 06θk+16θk 6M,06ϕk+16ϕk 6M⁴п.в. вΩ,k= 0,1, ...

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем доказательство методом математической индук- ции. Сначала докажем, что06θ16θ0=M. Отметим, что06ϕ06M⁴ в силу дей- ствия леммы 1. Функцияθ₁ удовлетворяет уравнению

A₁θ₁+bκ_a(M⁴+ 4M³(θ₁−M)−ϕ₀) =f₁. (6) Умножая уравнение (6) наη= max{θ1−M,0}, получаем

ak∇ηk²+ Z

Γ

βη(η+M−θb)dΓ + (4M³η+M⁴−ϕ0, η) = 0.

Поскольку все слагаемые неотрицательны, тоη= 0, т.е. θ16M.

6 Г. В. Гренкин

Докажем неотрицательностьθ1. Умножая уравнение (6) наψ= min{θ1,0}, полу- чаем

ak∇ψk²+ Z

Γ

βψ²dΓ + 4bκaM³kψk²=bκa(3M⁴+ϕ0, ψ) + Z

Γ

βθbψ dΓ60.

Следовательно,ψ= 0, и поэтомуθ1>0.

Для проведения доказательства в случае k>1 запишем уравнение (5) для k и k−1 и вычтем одно уравнение из другого. Получим

A₁θ+bκ_a[θ⁴_k−θ_k−1⁴ + 4θ³_kθ−4θ_k−1³ (θ_k−θ_k−1)−(ϕ_k−ϕ_k−1)] = 0, (7) где θ=θk+1−θk. Согласно гипотезе индукции, 06θk6θk−1, тогда по лемме 2 06 ϕk6ϕk−1.

Умножим уравнение (7) на функцию η= max{θ,0}. Получим

(A1η, η) + (4θ_k³η, η) +bκa(θ⁴_k−θ_k−1⁴ −4θ³_k−1(θk−θ_k−1), η) =bκa(ϕk−ϕ_k−1, η)60.

В силу выпуклости функцииx7→x⁴

θ_k−1⁴ + 4θ³_k−1(θk−θk−1)6θ_k⁴,

поэтому третье слагаемое неотрицательно. Следовательно,η= 0⇒θk+16θk.

Докажем неотрицательность θk+1. Умножая уравнение (5) на ψ= min{θk+1,0}, получаем

ak∇ψk²+ Z

Γ

βψ²dΓ +bκa(4θ³_kψ, ψ) =bκa(3θ_k⁴+ϕk, ψ) + Z

Γ

βθbψ dΓ60.

Следовательно,ψ= 0, и поэтомуθk+1>0. 2

Теорема 1. Неполный метод Ньютона сходится:θ_k→θ,ϕ_k→ϕвV, где{θ, ϕ}— слабое решение задачи (1)–(3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Последовательности θ_k, ϕ_k монотонно убывают и огра- ничены снизу, следовательно, θ_k→θ, ϕ_k→ϕ п.в. в Ω. По теореме Лебега θ_k→θ, ϕ_k→ϕвH. Из уравнений (4), (5) вытекает, что последовательностиθ_k,ϕ_k ограни- чены вV, поэтому можно выделить подпоследовательностиθ_k* θ,ϕ_k * ϕслабо в V.

Сделаем предельный переход в уравнениях (4), (5). В силу непрерывности опера- торовA1,A2получаемA1θk* A1θ,A2ϕk* A2ϕ. Сходимостьθ_k⁴→θ⁴вHвытекает

из оценки Z

Ω

(θ_k⁴−θ⁴)²dx616M⁶kθk−θk²→0.

Так какθ6θ_k+16θ_k, то Z

Ω

(θ³_kθk+1−θ⁴)²dx6 Z

Ω

(θ_k⁴−θ⁴)²dx→0,

следовательно,θ_k³θk+1→θ⁴в H.

Полученные предельные переходы позволяют утверждать, что {θ, ϕ} — слабое решение задачи (1)–(3).

Из монотонности и ограниченности последовательностей θk, ϕk вытекает моно- тонность и ограниченность последовательностей следов θk|Γ, ϕk|Γ, поэтомуθk|Γ→

→θ|Γ,ϕk|Γ →ϕ|Γ п.в. наΓ и вL²(Γ).

Умножим уравнения (4), (5) на произвольные функции v, w∈V: α(∇ϕk,∇v) +

Z

Γ

γϕkv dΓ +κa(ϕk−θ⁴_k, v) = Z

Γ

γθ⁴_bv dΓ, (8)

a(∇θk+1,∇w) + Z

Γ

βθ_k+1wdΓ +bκ_a(θ⁴_k+ 4θ³_k(θ_k+1−θ_k)−ϕ_k, w) = Z

Γ

βθ_bw dΓ. (9)

Делая предельный переход в (8), (9) и учитывая определение слабого решения задачи (1)–(3), получим, что (∇ϕk,∇v)→(∇ϕ,∇v),(∇θk,∇w)→(∇θ,∇w); следова- тельно,∇ϕk*∇ϕ,∇θk*∇θ слабо вH.

Умножая уравнения (4), (5) наϕ_kиθ_k+1соответственно и учитывая определение слабого решения задачи (1)–(3), нетрудно показать, что k∇ϕ_kk → k∇ϕk, k∇θ_kk → k∇θk; отсюда∇ϕ_k→ ∇ϕ,∇θ_k→ ∇θсильно вH, поэтому ϕ_k→ϕ,θ_k→θ вV. 2

3. Численные эксперименты

Вычислительные эксперименты показали, что неполный метод Ньютона сходится значительно медленнее, чем полный метод Ньютона.

Рассмотрим пример квадратной области со сторонойL= 0.25. Значения парамет- ров таковы: a= 1.2, α= 0.00333, κ_a= 100, b= 226.4, β= 10, γ= 0.3. Коэффициенты соответствуют физическим параметрам стекла. Граничная температура θ_b имеет видθb(x,0) = 0.5,θb(x,L) = 1,θb(0,y) =θb(L,y) = 0.5 +y/(2L).

Приведем зависимость погрешностей (вL^∞-норме) неполного и полного методов Ньютона от количества итераций. При вычислении погрешностей вместо точного решения, которое нам неизвестно, используем приближенное решение, вычисленное полным методом Ньютона.

Для вычислений используется пакет FreeFem++. При построении конечноэле- ментной сетки стороны квадрата разбиваются на 300 частей, используются сплайны P1. В качестве начального приближения для температуры возьмемM=1. Исходный код доступен по ссылке https://github.com/grenkin/test-newton/.

В табл. 1а представлена погрешность полного метода Ньютона, на рис. 1 при- веден график зависимости погрешности неполного метода Ньютона от количества итераций. Точность10⁻⁴ достигается за 4 итерации в полном методе Ньютона и за 626 итераций в неполном методе Ньютона.

Рассмотрим еще один пример с квадратной областью со сторонойL=1,a=0.0515, α=0.0333,κa=1,b=104.8. Функцияθbи параметрыβ,γтакие же, как в предыдущем примере. Коэффициенты соответствуют физическим параметрам воздуха.

В табл. 1б представлена погрешность полного метода Ньютона, на рис. 2 при- веден график зависимости погрешности неполного метода Ньютона от количества

8 Г. В. Гренкин

Табл. 1. Погрешность полного метода Ньютона:

а) на первом тесте; б) на втором тесте 1 0.20

2 0.054 3 0.0046 4 0.000033

а)

1 0.20 2 0.056 3 0.0052 4 0.000046

б)

10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

100 200 300 400 500 600

Error

Iterations

Рис. 1. Погрешность неполного метода Ньютона на первом тесте

10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

5 10 15 20 25

Error

Iterations

Рис. 2. Погрешность неполного метода Ньютона на втором тесте

итераций. Точность10⁻⁴ достигается за 4 итерации в полном методе Ньютона и за 23 итерации в неполном методе Ньютона.

Графики иллюстрируют, что неполный метод Ньютона имеет линейную скорость сходимости. Приведенные примеры показывают как крайне медленную (тест 1), так и умеренную (тест 2) сходимость.

Теоретический анализ сходимости полного метода Ньютона является открытой проблемой.

Список литературы

[1] A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, N. D. Botkin, K.-H. Hoffmann, “Unique solvability of a steady-state complex heat transfer model”,Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 20:3, (2015), 776–784.

[2] A. Astrakhantseva, A. Kovtanyuk, “Numerical modeling the radiative-convective-conduct- ive heat transfer”, 2014 International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA), 2014, 106–107.

[3] A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, “An iterative method for solving a complex heat transfer problem”,Appl. Math. Comput.,219:17, (2013), 9356-9362.

[4] A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, N. D. Botkin, K.-H. Hoffmann, “Solvability of P1

approximation of a conductive-radiative heat transfer problem”, Appl. Math. Comput., 249, (2014), 247–252.

[5] A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, “Nonlocal unique solvability of a steady-state problem of complex heat transfer”,Comput. Math. Math. Phys.,56:5, (2016), 816–823.

[6] A. Yu. Chebotarev, A. E. Kovtanyuk, G. V. Grenkin, N. D. Botkin, K.-H. Hoffmann,

“Nondegeneracy of optimality conditions in control problems for a radiative-conductive heat transfer model”,Appl. Math. Comput.,289, (2016), 371–380.

[7] N. L. Schryer, “Newton’s method for nonlinear elliptic boundary value problems”,Numer.

Math.,17:4, (1971), 284–300.

[8] Э. М. Мухамадиев, В. Я. Стеценко, “Достаточные условия сходимости метода Ньютона- Канторовича при решении краевых задач для квазилинейных уравнений эллиптиче- ского типа”,Сиб. матем. журн.,12:3, (1971), 576–582.

[9] Д. Ортега, В. Рейнболдт,Итерационные методы решения нелинейных систем урав- нений со многими неизвестными, Мир, М., 1975.

[10] F. A. Potra, W. C. Rheinboldt, “On the monotone convergence of Newton’s method”, Computing,36:1, (1986), 81–90.

[11] T. Gallou¨et, R. Herbin, A. Larcher, J.-C. Latch´e, “Analysis of a fractional-step scheme for theP1radiative diffusion model”,Comput. Appl. Math.,35:1, (2016), 135–151.

[12] E. Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications. II/A: Linear monotone operators, Springer, New York, 1990.

Поступила в редакцию 13 марта 2017 г.

Исследование выполнено при финансовой под- держке Российского Научного Фонда (проект

№ 14-11-00079).

10 Г. В. Гренкин

Grenkin G. V.Convergence of Newton’s method for equations of complex heat transfer.Far Eastern Mathematical Journal.2017. V. 17. No 1. P. 3–10.

ABSTRACT

Global monotonic convergence of Newton’s method is proved for solving equations of complex heat transfer within theP1 approximation of the ra- diative transfer equation.

Key words:radiative heat transfer, diffusion approximation, Newton’s method, monotonic convergence.