Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
И. В. Грибков, Многомерная задача корректности теоремы Шура, Матем. сб. , 1983, том 120(162), но- мер 3, 426–440
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
2 ноября 2022 г., 22:35:17
1983 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК 120(162) : 3
УДК 513.014
Многомерная задача о корректности теоремы Шура
Грибков И. В.
Введение
Пусть Vn — /г-мерное риманово пространство с метрическим тензо
ром gij-, Rij)ki — риманов тензор пространства Vn. Пусть %(х), ц(х) —два независимых векторных поля. В каждой точке x£Vn они определяют простой бивектор oij= — (£V—r\%j), задающий двумерную площадку о(х). Тогда секционная кривизна К(х, о(х)) пространства Vn в дву
мерном направлении а(х) выражается формулой
(eikgji-guSjk)*1 °
(см. [1, с. 552]). Известен следующий классический результат (теорема Шура): если в римановом пространстве Vn размерности п>2 кривизна К(х, о) одинакова по всем двумерным направлениям а в каоюдой данной точке, то она сохраняет постоянное значение и от точки к точке:
К= const, так что Vn оказывается пространством постоянной кривизны.
Естественно поставить вопрос о корректности теоремы Шура. Имен
но, во-первых, можно ли в общем случае указать оценки изменения кри
визны К(х, а) при переходе от точки к точке данной области римаиова пространства, если в каждой точке известна оценка изменения К(х, а) при изменении а? Во-вторых, будет ли оценка изменения кривизны при переходе от точки к точке области в некотором смысле малой, если кри
визна мало меняется при любом изменении ст в каждой данной точке об
ласти? (Точные определения даны в § 2.)
Этот вопрос, называемый задачей о корректности теоремы Шура, был для трехмерного случая соответствующим образом уточнен и исследован в статье [10]. Там же, в частности, на него был дан отрицательный ответ.
В настоящей статье результаты [10] обобщаются на многомерный слу
чай.
В § 1 вводится функция е (х), имеющая смысл меры неизотропности риманова пространства Vn в точке х. Она играет основную роль во всей работе. В § 2 с помощью нее формулируются определения понятия кор
ректности теоремы Шура в /г-мерном случае. Там же эти определения изучаются и, в частности, показываются соотношения между этими определениями. В § 3 даются достаточные условия корректности теоре
мы Шура.
В § 4 функция г{х) изучается более подробно. Как оказывается, она встречается также и в других задачах. В § 4 дается пример использова
ния функции е(х) в теории геодезически параллельных поверхностей в трехмерном римановом пространстве.
§ 1. Определение функции г(х) и ее основные свойства
Сведения, необходимые для определения понятия корректности тео
ремы Шура (см. § 2), дает следующая
Т е о р е м а 1. Пусть ga— метрический тензор пространства Уп; Rim — его риманов тензор] R — скалярная кривизна; К{х, а{х)) —сек
ционная кривизна в двумерном направлении а{х). Введем тензор Ец.ы = Щ,ы (gikgji
«(1 — п) и определим функцию
в" (x) = i-£,/.«£"•*', где Eilv=Epq,rsgpigqSgrkgal.
— gugik) (Ы)
(1.2)
Тогда
а) выражение EimEiUhl неотрицательно;
б) е(х)=0 во всем Vn тогда и только тогда, когда Vй является про
странством постоянной кривизны. При этом условии К(х, о(х)) =
= = const;
/г (1 — п)
в) в общем случае кривизну К{х, а{х)) можно представить в виде
К (*. о(х)) = — ^ — + Q{x,e (х)), (1.3)
п (1 — п)
где Q(х, о{х)) — некоторая величина, допускающая оценку
| Q ( x , c ( * ) ) | < e ( x ) . (1.4) Доказательству теоремы 1 предшествуют несколько лемм, которые
также используются в § 3.
Далее в работе будут рассматриваться тензоры второго ранга, за
данные в Vn или в некоторой точке x£Vn. Тензоры с двумя нижними или двумя верхними индексами будут называться ф о р м а м и , а тензо
ры с одним нижним и одним верхним индексом — о п е р а т о р а м и . Зафиксируем некоторую точку xdVn и рассмотрим пространство Ах
кососимметрических операторов, заданных в этой точке и отображаю
щих касательное пространство TxVn в себя. Кососимметрический опера
тор Л = ||Л/1| характеризуется соотношениями A) = -gikgPiAi
В силу очевидного изоморфизма пространства Лк пространству косых форм второго ранга, его размерность равна N = n(n—1)/2.
Введем в Лх симметрическое скалярное произведение, которое далее будет обозначаться ( , )#, по формуле
(А,В)л = - 8РА В = - А / В ! > (1.5) где Л, В 6 Л*, и определим квадрат нормы оператора как
||A||k = (A,A)* = - s p A2
(А2— квадрат оператора в обычном смысле). Знак sp обозначает опе
рацию взятия следа оператора.
Известно (см. [2, с. 116]), что (Л, A)N^0 для любого кососимметри- ческого оператора Л, причем скалярное произведение (1.5) невырож
денно в том смысле, что ||A|U=0 тогда и только тогда, когда А = 0,
427
в силу чего Ах наделено структурой п (п—1)/2-мерного евклидова пространства.
Пусть RIJ. = RiP,kqgpjgql- Определим линейный оператор R: Ля-кЛ*.
по формуле
(ЯЛ)£ = #/ХЛ/. (1.6) Очевидно, RA&AX в силу косой симметрии риманова тензора по второй
паре индексов. Отметим, что, поскольку риманов тензор кососимметри- чен по первой паре индексов, то RS = 0 для любого симметрического оператора S.
Оператор R является симметрическим (самосопряженным) линей
ным оператором в пространстве Л*, то есть (RA, B)N=(A, RB)N. Этот факт (см. [2, с. 117]) является следствием симметричности риманова тензора относительно перестановок пар индексов. Тогда R имеет N дей
ствительных собственных чисел Кк и N собственных «векторов» Ahr
.А=1, . . . , N, образующих полную ортонормированную в смысле ска
лярного произведения (1.5) систему в Л*:
RAh = КъАн, (ASf Ath = $st- (1.7)
Здесь h, s, t—l, . . . , N=n(n—1)/2. Все ЛЛ = | Л Л | / | | представляют собой кососимметрические операторы, заданные в точке x£Vn. Величи
ны Kh, остающиеся инвариантными как при замене координат в Vn, так и при замене базиса в Л*, далее будут называться с о б с т в е н н ы м и ч и с л а м и р и м а н о в а т е н з о р а .
Следствием классических теорем о спектральном разложении сим
метрического оператора по его инвариантам является Л е м м а 1. Имеет место разложение
N
яД' = —2 KhM\A\k,
h=i
причем скалярная кривизна R пространства Vй в данной точке х выра
жается по формуле
р = 2 к =
SP*>
h=i
где sp R — след R как линейного оператора в Ах. Далее, определим тензор
РИМ = у {gilgjk — gikgji)
и, подняв индексы / и /, определим соответствующий ему линейный опе
ратор Р:
фТ)[ = PU Т) = I (8$ - & gik) Т).
Здесь Т=\\Т/\\ — произвольный оператор, заданный в x£Vn. Л е м м а 2. а) Р — оператор проектирования на А«;
б) имеет место разложение
PU = - 2 A'I/AV (Ь8)
Действительно, выражения в левой и правой частях (1.8) аннулиру
ют любой симметрический оператор и действуют тождественным обра
зом на все Ah — базис пространства кососимметрических операторов.
Л е м м а 3. Все операторы — Ah2 являются симметрическими опера
торами, причем
О < ( - Л И , £)<(£,£),
где ( , ) — скалярное произведение в Уп, а I — произвольный вектор из TxVn. Кроме того,
где 1 — единичный оператор.
Действительно, тот факт, что — Л2 является симметрическим опера
тором, причем (— А% 1)^=0, справедлив для любого кососимметриче- ского оператора Л. Поэтому все собственные числа операторов—Ah2
неотрицательны. Условие ||Лл|и2=1 означает, что сумма собственных чисел оператора — Аьг равна единице. Таким образом, каждое собствен
ное число не превосходит единицы, откуда и следует неравенство Второе утверждение леммы мы получаем, свертывая в (1.8) индексы / и /.
Положим теперь E/Ai=EiPMgpjgq\ где тензор EipM определен по (1.1). Легко видеть,, что
£/ / n i l 2R г* / i
п(п— 1)
Из лемм 1 и 2 следует разложение
EU = -^EhAkvA\k9 (1.9)
h
где
Ен^Кн--^—. (1.10)
п(п— 1)
Отметим, что из леммы 1 следует 2 ^ = 0 , так что скалярная кри
визна тензора Eim равна нулю.
Л е м м а 4. В рассматриваемой точке xdVn
*(х) = \ЪЕ1
где функция г (х) определена по (1.2).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользуемся разложением (1.9) и свой
ствами (1.7). Тогда
EiSMEiiM = EUEsl.t =
= 2 E
hM An\k 2 EtAtM = 2
EhEt (A
h, At)N = 2 El
h t h,t h
откуда и следует утверждение леммы.
С л е д с т в и е . Величины Eh допускают оценку | £л | ^ : 2е {х).
Пусть в данной точке xdVn двумерное направление о{х) задается простым бивектором oij (см. введение). Сохраним обозначение о за ко- сосимметрическим оператором с матрицей a/=:al'ftg"w. Тогда справедлива
429
Л е м м а 5. Кривизна К(х, о(х)) может быть представлена в виде П IMI* \\o\\N)N
Утверждение леммы непосредственно следует из определения К(х, о{х)) и скалярного произведения (1.5).
З а м е ч а н и е 1. Возможен второй способ определения действия ри- манова тензора на операторы, отличный от (1.6). Именно, определим линейный оператор R± как
(Rjft^RtlT),
где Т= ||Т/\\ — произвольный оператор, отображающий TxVn в себя.
Нетрудно видеть, что образом симметрического оператора при действии R± является симметрический оператор, а образом кососимметрическо- го — кососимметрический. При этом тождества
Raw + Rki,ji+Rjk, п= 0
равносильны соотношению —R = RiP, которое означает совпадение опе
раторов R и Ri на подпространстве Ах кососимметрических операторов.
Отсюда следует, что
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Неотрицательность выражения EimEij>kl следует из леммы 4. Далее, из леммы 4 и (1.9) получаем, что если г(х) = 0 , то Eijjki — 0, откуда
Rii,ki = — — - (g-kgji — gugfk)- п(\ — п)
Известно (см. [3, с. 107, 117]), что такой вид риманов тензор имеет в пространствах постоянной кривизны и только в них, и при этом
и
К(ху о(х)) = — = const. Тогда если, наоборот, кривизна Vn посто- п (1 — п)
янна, то отсюда следует, что Eij>hi = 0, что влечет е(х) = 0 .
Обозначим через cos ah = [Ah,—Q— \ , ft=l, . . . , N — направляю-
\ \\°\\N h
щие косинусы оператора a в базисе Ah. Определим линейный оператор Е: Лв-^Де по формуле
(ЁАУь - ЕЫЛ\.
л л 2R л
Очевидно, R = E-{ Р. Тогда из лемм 2 и 5 следует, что п (п— 1)
W n(l-n) 2 [ \\o\\N MNJN
R 1 %л П Ah\iai Ab\k°i R 1 sn rr 2
= — >i Eh • = >, Eh cos2 a/,.
" ( 1 - я ) 2 -1 Ualljv. |1 a||^ n ( l - n ) 2 ~J
бозначим Q леммы 4 получим
Обозначим Q(x, a(x))= S^cos2^. Тогда с учетом следствия
| Q ^ , a ( ^ ) ) | ^ - i - 2 l ^ | c o s2a , ^ 8 W ,
поскольку 2 cos2ah=l (свойство направляющих косинусов). Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 2. В статье [10] функция г(х) для трехмерного слу
чая определялась как
г*1х) = ejej, ъи = К// — - у # / , (1.11) где i?ij — тензор Риччи пространства У3. В случае п = 3 риманов тензор
алгебраически выражается через Ra, R и g^ (см. [4, с. 282]). Это обстоя
тельство позволяет выразить тензор Ец>ы через гц и gi5. При этом оказы
вается, что для п = 3 функция г(х), определяемая по (1.2), совпадает с функцией г(х) в виде (1.11).
З а м е ч а н и е 3. Как следует из леммы 1, величина 2Rln(n—1) рав
на среднему собственных чисел Къ. риманова тензора. Соотношения (1.10) и лемма 4 показывают, что функция г{х) играет в некотором смысле противоположную роль: она характеризует отличие собственных чисел Kh (в точке х) от их среднего. Кроме того, как показывает теоре
ма 1, функция г{х) служит оценкой изменения секционной кривизны К(х, о) при произвольных поворотах двумерных площадок о в данной точке х. Именно, кривизна изменяется не больше, чем на 2е. Учитывая эти обстоятельства, далее мы будем называть функцию г(х) мерой не
изотропности пространства Vn в точке х.
Как было показано в [10], в трехмерном случае г2{х) =812 + е22 + е32, где 6Р, р = 1 , 2, 3 — собственные числа тензора еу. Если рр — собствен
ные числа тензора Риччи (главные кривизны Риччи пространства), то 8р = рр—R/3. Тем самым, в трехмерном случае функция г{х) характери
зует отличие главных кривизн Риччи пространства У3 от их среднего R/3.
§ 2. Определение понятия корректности теоремы Шура в многомерном случае
Как следует из теоремы 1, кривизна К{ху а{х)) представляется в виде суммы двух слагаемых. Из них первое слагаемое R/n(l—п) зави
сит от точки х пространства V71 и не зависит от двумерной площадки о в этой точке. Второе слагаемое Q(x, о) зависит от площадки и допуска
ет оценку г{х). Учитывая представление (1.3) и беря во внимание оцен
ку (1.4), под изменением кривизны К{х, о) при переходе от точки к точке пространства Vn мы будем понимать изменение величины R!n(l—п). (В последующих определениях для классов пространств, яв
ляющихся основными определениями, г(х) будет малой величиной.) Руководствуясь теоремой 1, мы определим понятие корректности теоремы Шура в многомерном случае. Приводимые ниже определения дают строгую формулировку понятия корректности, о котором говори
лось во введении.
О п р е д е л е н и е 1. Пусть Vn—n-мерное риманово пространство, UczV71 — произвольная область ограниченного диаметра. Пусть o)i?iu =
= sup | R (x) —R (y) | — колебание функции R в этой области.
у,хеи
Будем говорить, что т е о р е м а Ш у р а к о р р е к т н а в д а н н о м Уп, если:
а) существует е0^ 0 такое, что sup е(х) ^ е0, е(х) определено фор
ум мулой (1.2);
431
б) существует функция f(d)dCi такая, что f(d)^0, / ( 0 ) = 0 и для любой области ограниченного диаметра UczVn справедливо неравенство
со/? </(diamf7), где R— скалярная кривизна пространства Vй.
О п р е д е л е н и е 2. Пусть §1П— некоторый класс я-мерных римано- вых пространств. Будем говорить, что т е о р е м а Ш у р а к о р р е к т н а в к л а с с е п р о с т р а н с т в 9Р\ если:
а) s u p e ( # ) < o o в каждом УпШп\ г{х) определено формулой (1.2);
уп
б) для всякого 80>0 существует пространство Vn&&n такое, что sup &(х)^е0',
уп
в) существует семейство функций f4(d)£C\ 80>0, причем М < 0 > 0 , /e.(0) = 0f lim М < 9 = 0,
таких, что для всякого Vn£%ny удовлетворяющего условию sup е(х)^.е0,
ytl
следует
со/?|{/ </8 o(diamf/),
где UczVn — любая область ограниченного диаметра в метрике данно
го Vn.
Таким образом, в частности, в каждом Vn&n теорема Шура оказы
вается корректной в смысле определения 1. В этих определениях функ
ции f(d) и fs0(d) дают оценку изменения кривизны пространства V71 при переходе от точки к точке. Оказывается, что имеют место следующие две леммы (их доказательство приводится в конце параграфа):
Л е м м а 6. Пусть Vn£ С4 (и тем самым метрика Vn имеет класс регу
лярности С3). Пусть существует функция f(d)£Cl такая, что f{d)^0, f(0)=0 и для любой области UaVn ограниченного диаметра справедли
во неравенство
<oRw^f(diamU).
Тогда f (0) > 0 и sup || grad R\\ < / ' (0).
уп
Л е м м а 7. Пусть Vn£C^ и sup Hgrad R\\^:c, где с — некоторая неот-
уп
рицательная постоянная. Тогда для любой области UczVn ограниченно
го диаметра справедливо неравенство aR^^c&imiU, где (oRiu — колебание функции R в области U.
Лемма 6 и 7 позволяют дать еще два, более удобных, определения понятия корректности теоремы Шура.
О п р е д е л е н и е 3. Пусть Vй—я-мерное риманово пространство. Бу
дем говорить, что т е о р е м а Ш у р а к о р р е к т н а в д а н н о м Vn, если:
а) существует г0^0 такое, что sup е(х)^е0; г{х) определено фор-
уп
мулой (1.2);
б) существует ^ = c o n s t ^ 0 такая, что supjjgrad R\\^cf где R — ска-
уп
лярная кривизна пространства Vn.
О п р е д е л е н и е 4. Пусть Яп — некоторый класс /г-мерных римано- вых пространств. Будем говорить, что т е о р е м а Ш у р а к о р р е к т н а в к л а с с е п р о с т р а н с т в Sln, если
а) sup e(x)<oo в каждом Vn69tn; г(х) определено формулой (1.2);
уп
б) для всякого 80>0 существует пространство Vn69tn такое, что sup s ( x ) ^ e0;
уп
в) существует семейство постоянных сео, е0>0, причем се о> 0 , limc8o = 0,
таких, что для всякого УпШп, удовлетворяющего условию sup г{х)^.г0,
уп
следует
supfgrad#l<c8 o.
уп
Из лемм 6 и 7 непосредственно следуют две теоремы:
Т е о р е м а 2. Если Vn6C\ то определения 1 и 3 равносильны.
Т е о р е м а 3. Если все пространства Уп, образующие класс Яп, име
ют регулярность С4, то определение 2 с дополнительным условием lim fe'a (0) = 0 равносильно определению 4.
е0-м-о
З а м е ч а н и е 4. Остаются в силе все замечания, сделанные в [10]
для трехмерного случая, в частности, о корректности теоремы Шура в классе пространств постоянной кривизны и о существовании классов пространств непостоянной кривизны, в которых теорема Шура кор
ректна.
З а м е ч а н и е 5. Обратим внимание на то обстоятельство, что в функцию г(х) входят вторые производные метрики пространства, а в llgradjRH—третьи. Пусть Vn — некомпактное риманово пространство, в котором теорема Шура корректна в смысле определения 3, так что, в частности, существует постоянная е0>0 такая, что sup г(х)^г0. Выбе-
уп
рем последовательность точек xh£Vn, k=\, 2, . . . , не имеющую предель
ной точки, принадлежащей Уп, и возьмем непересекающиеся окрестно
сти U(xk) точек xk. В U(xk) произведем такое возмущение метрики Уп, чтобы, например, sup г(х) ^ 2 е0, но sup ||grad /?||->oo при й-мх>, так что
U(xk) U(xk)
в пространстве с возмущенной метрикой теорема Шура окажется некор
ректной. Именно, мы сколь угодно мало изменим сами коэффициенты метрического тензора пространства Уп, их первые и вторые производ
ные, но в то же время произведем большое изменение третьих производ
ных. Это можно сделать, если окрестности U(xh) достаточно малы.
Поэтому сколь угодно близко (в указанном смысле) от данной метрики имеется метрика пространства, в котором теорема Шура некорректна.
В [10] построен пример риманова пространства, где sup||grad R\\->- ->оо в областях Uk (не шаровых) сколь угодно большого диаметра. Ме
трика этого пространства имеет вид
ds2 - e^^dx1)2 + {dx2)2) + (dx3f. (2.1) Добавление к (2.1) линейного элемента (dx4)2 + . . . + (dxn)2 дает оче
видный пример многомерного риманова пространства, в котором теоре
ма Шура некорректна.
Ю Математический сборник, т. 120(162), № 3 433
З а м е ч а н и е 6. Наконец, предложим, как вариант, еще один спо
соб определения понятия корректности теоремы Шура. Именно, будем, говорить, что т е о р е м а Ш у р а к о р р е к т н а в д а н н о м Vn, если существует непрерывная функция f(t)^zO, t^O; /(0) ==0, такая, что всю
ду в Vй выполнено неравенство
Ilgrad/?||<f(e(*)).
При этом условие sup e ( x ) < o o снимается. Его можно заменить уСЛОВИ- ем infe(^)=0. Анализ метрики (2.1) показывает, что в общем случае
Vn
теорема Шура некорректна также и в смысле этого определения.
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 6. Неравенство / 4 0 ) ^ 0 следует из того, что f(d)^0,f(0)=0.
Предположим, что х0—точка, в которой Hgrad/?||жь>//(0). В этом случае можно найти достаточно малое положительное число б такое, что Hgrad i?IU>f(0) +'6. Тогда имеется некоторая окрестность О(х0)Э Эх0 такая, что Hgrad /?||>/'(0) + б в О(х0).
Пусть *((s)—интегральная траектория векторного поля grad R, ле
жащая в этой области; 5 — натуральный параметр, причем ч(0)=хо и:
Y(s) продолжена в обе стороны от х0, так что s может быть как положи
тельным, так и отрицательным. Рассмотрим следующие три набора чи
сел:
6 i , 82, . . • , 8fe, . . . ; 8А> 0 , 8f t- > 0 , k-*00\
Soiy ^02? • • • , 5oft, • • • J ^0fe-l<C^0A.<CvJ; SQ}{-^-{J'9
«SH, Si2, . . . , Siki • • • \ V^Sik+i^Sib', Sih—>U,
таких, что все числа soh и sih принадлежат области определения функции Y(s) И все точки «((sok) и ^(sik) лежат в области О(х0). Таким образом (см. рисунок), отрезки интегральной траектории *([sok, sih] содержат xG
и стягиваются к х0. Их длины суть sik—sok.
Построим области Uk, представляющие собой трубчатые окрестно
сти отрезков j[s0k, sik], настолько тонкие, что diam Uh^(l + eh) (si*—sok)..
Это возможно, так как расстояние между любыми двумя точками от
резка не больше его длины. Очевидно,
litodfefti£/*==0. (2.2) Учитывая, что R на ^[sok, sik] есть строго возрастающая функция s9
что grad R параллелен dy/ds и что \\d^/ds\\ = l, оценим колебание R в Uh
следующим образом:
sik
toR[uk > <оК|y[s0jfeislfci = R(y (sad) — R {y (soft)) - J Rx{^tds =
so/e
= J ^grad R, ^ ds == J ||grad Я \\ds> (slfe - sok) (f' (0) + 6).
Здесь символом ( , ) обозначено скалярное произведение в смысле ме
трики Vn. Из этой оценки получаем:
и % > ^ ? ( П 0 ) + 8)- (2-3)
С другой стороны, по условию, wR\uk ^ f (diam I/k), и при больших k имеем (см. (2.2)):
*>R\uk < Г (0) diafti {7Л + о (diam (Л). (2.4) Здесь о (diam (Д)—величина, стремящаяся к нулю быстрее, чем
diam Uh. Таким образом, из (2.3) и (2.4) имеем
^ ^ (f' (0) + 8 ) < <*RWk < f (OHiaml/* + о (diam £7*), откуда
r
m +a«i
+e,)(r(o»+ » - « ) . («I
Переходя в (2.5) к пределу по &->оо и учитывая (2.2), получаем, что Г ( 0 ) + б ^ Г ( 0 ) , что невозможно, т. к. б > 0 . Полученное противоречие показывает, что И grad R\\ ^ f ' ( O ) .
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 7. Рассмотрим любую область UaV*.
Пусть х, y£U и ч(0 —любая гладкая кривая, такая, что ч(0)=х, ^(1) =
= у. Обозначим 1(ч) —длину у. Тогда, по определению, diamt/= sup inf/(v).
х,уеи у
Пусть всюду в V71 выполнено Hgrad/?||^с. Тогда, очевидно, \R{x) —
—R(y)\^cl(y). Поскольку \R(x)—R(y)\ не зависит от у, имеем:
\R(x)-R{y)\^cinll(y), г - 7 ( 0 ) = *, 7 ( 1 ) = ! / . v
Взяв супремум по всем парам х, ydU, получим
со#1С/ = 8ир |R(x) — R{y)\^c sup inf I(у) =cdiamU.
x,yeu x.yeu Y
З а м е ч а н и е 7. Вместо пространства Vn в приведенных выше опре
делениях можно рассматривать область Qc=Vn, считая, что все требуе
мые неравенства даны в Q. Но при этом лемма 7 может перестать быть справедливой. При оценке \R(x)—R(y)\ существенно, что Hgrad # | | ^ с на л ю б о й кривой ч(0> соединяющей точки хну. Вообще говоря, эта кривая может выходить за пределы области Q, где оценка | | g r a d i ? | | ^ c не гарантирована.
Однако, если область Q является, например, г е о д е з и ч е с к и вы
п у к л о й (см. [5, с. 177]), то inf /('Y) достигается на кривых, целиком ле
жащих в й , в силу чего лемма 7 остается верной (а вслед за ней и тео
ремы 2 и 3).
10* 435
§ 3. Достаточные условия корректности теоремы Шура
При /?/'=/?#£**, где Rjk=R*jtks—тензоР Риччи пространстваFn. Опре
делим тензор
е
< = # } _ _ * . aj. (зл)
п
Достаточные условия корректности теоремы Шура, предлагаемые в этом параграфе (см. замечание 8 и теоремы 4, 5), представляют собой ограничения на некоторые инварианты тензора е/, из которых следуют оценки нормы градиента R.
Обозначим 8Р, р = 1 , . . . , п,— собственные ч'исла тензора е/. Тогда справедлива
Л е м м а 8. Собственные числа тензора е/ допускают оценку
\sp\^i(n—1 )©(*); р = 1 , . . . , / г , где функция г(х) определена по (1.2).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из (3.1) и (1.9) легко следует, что
h=i
Пусть §—любой вектор, заданный в точке xdVn. Известно (см. [6, с. 152]), что в данной точке
max 18Р | = sup | г%% | ,
р l i H i
где li = lhghi- Тогда, учитывая лемму 3 и следствие леммы 4, получим m a x | ep| = sup (V Eh(—A%, £ ) ) <
Р 11511=1 I ^
< sup 2 | £л| ( - Л & E ) < 2 e ( * ) sup ( 2 - Л^,£) - ( л - l)e(*)f
ll5ll=i ^ I15ll=i W /
откуда и следует утверждение леммы. Отметим, что если е ( х ) ^ 0 , то е/ = 0.
З а м е ч а н и е 8. Обозначим через рр, р= 1, . . . , я,— собственные чис
ла тензора Риччи ( г л а в н ы е к р и в и з н ы Р и ч ч и п р о с т р а н с т в а Vn). Очевидно, ^jph = R- Таким образом, под изменением секционной кривизны К(х, а) при переходе от точки к точке пространства понимает
ся изменение среднего собственных чисел тензора Римана или Риччи (с точностью до постоянных множителей; см. замечание 3 и начало § 2 ) . С другой стороны, имеются величины, характеризующие отличия соот
ветствующих собственных чисел от их средних. Это функция е(х) и ве
личины 8Р. Именно, из (3.1) следует, что гР = рР—R/n. Величины &р по
казывают, насколько главные кривизны Риччи рр отличаются от их сред
него R/n, причем, по лемме 8, они допускают оценку порядка г(х).
В этом смысле тензор е/ характеризует анизотропию пространства Vn
в точке х. Приводимые ниже достаточные условия корректности теоре
мы Шура дают ответ на следующий вопрос: при каких условиях на ани
зотропию (в точке) пространства Vn будет иметь место оценка изменения кривизны К(х, а) при переходе от точки к точке?
Пусть Хр — ортонормированный в смысле метрики g^ репер собст
венных векторов тензора /?/' (задающих г л а в н ы е н а п р а в л е н и я Р и ч ч и п р о с т р а н с т в а Vй). Как следует из (3.1),тензоры R/ и е/
имеют общий орторепер собственных векторов Хр. Обозначим yvqr; р, q, г = 1 , . . . , п,— коэффициенты вращения ортогонального репера А,Р, опрег деляемые из соотношений
V АР U = 2 УРФК \ &г 1 /•
а,г
Здесь V — операция ковариантного дифференцирования в Vй. Пусть
— —производная в направлении вектора поля %р. Тогда имеет место дХр
Т е о р е м а 4. Пусть Vn—n-мерное риманово пространство, причем существует е0^ 0 такое, что s u p 8 ( # ) ^ e0; функция г(х) определена по
уп
(1.2). Тогда, если существует постоянная сГ^О такая, что sup
уп
дер
дХр
\с\ s u p | Yw| < c ; р,<7 = 1, . . . , я ,
уп
то в данном Vй теорема Шура корректна в смысле определения 3.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из определения тензора г) следует, что Rlj = 8/ +
R / 1 OR
-) б/. Известно свойство тензора Риччи V/i?J = (см. [1, с. 624]), п 2 ^
откуда — = V/8/. Поскольку г) = 2ЕР ^ Р 1 ^ Р 1 / (СМ- [3> С- 137]), ТО В
2п дх1 р
инвариантной записи эта формула принимает вид n—2dR д&
—о—^г = м + S
»р v / vp <7=1 ( 8 р — 8^
T w (3-
2)Поскольку в силу леммы 8 имеем оценку |еР—ед|^2(/г—1)е0 для лю
бых р и q, то с учетом условия теоремы из (3.2) получаем ограничен
но
ность всех , р = 1 , . . . , п. А так как из ортонормированности репе- дкр
ра Яр следует, что
»g
rad*l
2= S ( S
2' (3.3)
р = 1
то и норма grad R ограничена во всем пространстве.
Т е о р е м а 5. Пусть ЗР — некоторый класс n-мерных римановых пространств, причем
а) supe(x)<oo в каждом Vn&n;
уп
б) для любого 80>0 существует Vn&n такое, что stipe(x) =^80.
уп
Тогда, если существует постоянная с ^ О такая, что в каждом УпШп
выполнено дгр
&к
р ^csupe(,x;), s u p l ^ p ^ K c , p,<jf = 1 ; . . . ,n,уп уп
то в данном классе %п теорема Шура корректна в смысле определения 4.
Действительно, если выполнены условия теоремы, то из (3.2) и (3.3) с учетом леммы 8 получаем, что
sup || grad JR I <; lln sup max dR
уп уп р \ dXp
Равенство lixn cSo = 0 очевидно.
80->+0
< ^ T - I V + 2 (n - If e0c] = ca
437
З а м е ч а н и е 9. Для определения корректности, данного в замеча
нии 6, достаточные условия имеют вид
деп |
: сг (ху, sup [ YPWI ^ с; р, q = 1, . . . , /г.
дХр уп
Обратим внимание на то, что во всех достаточных условиях коррект
ности ограничения накладываются на производные собственных чисел 8Р по собственному направлению с тем же номером р и на коэффициен
ты вращения с совпадающими последними индексами. Известно (см. [3, с. 126]), что л/ 2YPOT=£<7» гДе К — первая кривизна интегральной кривой векторного поля Kq. Поэтому можно требовать sup kq^.c; q =
Vn
= 1 , . . . , П.
§ 4. Другое применение функции г(х)
Функция е (х) (мера неизотропности риманова пространства в точке х) находит применение не только в задаче о корректности теоремы Шура, но и в некоторых других задачах. В качестве примера в данном парагра
фе рассматривается семейство двумерных геодезически параллельных поверхностей, заданное в некоторой области трехмерного риманова про
странства. Оказывается, что уравнения на основные инварианты семей
ства геодезически параллельных поверхностей зависят от скалярной кривизны объемлющего пространства и от некоторых величин, оценивае
мых через е (х).
Будем считать, что семейство геодезически параллельных поверхно
стей (см. [1, с. 491]) Ф5 параметризовано натуральным параметром s, представляющим собой взятое со знаком расстояние от поверхности Ф3
до некоторой фиксированной поверхности Ф0, принадлежащей этому се
мейству и соответствующей значению параметра 5 = 0. Предположим, что все поверхности Фв суть неомбилические во всех своих точках.
Пусть ku k2 — главные кривизны поверхности Ф8; Kext = kik2 — внеш
няя кривизна поверхности; i(i n t — ее внутренняя (гауссова) кривизна.
Обозначим h= (ki—k2)/2. В силу неомбиличности h>0. Также в силу не- омбиличности в каждой точке поверхности Ф3 существует ортонормиро- ванный (в смысле метрики на Ф8) репер ци ц2 касательных векторов к главным направлениям поверхности Фв. Обозначим V—операцию ко- вариантного дифференцирования на Ф„ согласованную со связностью в пространстве V3 и определим kgl = — Var)2a и kg2 = Var\ia — геодезические кривизны линий кривизны поверхности Ф8. Здесь и далее греческие ин
дексы принимают значения 1, 2. Точкой сверху будем обозначать про
изводную по s. Тогда имеет место
Т е о р е м а 6. Пусть пространство V3 таково, что supe(x) ^е0. Тогда
-Ь
1+ Я = Л.
+Ъ±ъ
;-ь
+Я = ± + Ъ^Ь; (4.1)
а также
111 = КЧг — ~Г^ П2 = ~ 4i + k2r\2\ 4/г 4Л _ ML + 2hkgt = i|)4; —j& + 2hkgl = г|)5;
дц2 дцх
уравнение Гаусса принимает вид
tflnt=tfext—7" + 4>г
О
Здесь R — скалярная кривизна пространства Vs (подсчитанная в точ
ке на поверхности Ф3), а г^, . . . , г£>5— некоторые инвариантные величи
ны, допускающие оценки \^{\ ^ 2 е0.
Формулы с левыми частями, аналогичными (4.1), даны в [8] для противоположного направления нормали к поверхности.
Подробное доказательство теоремы 6, а также некоторые достаточ
ные условия корректности теоремы Шура, связывающие свойства про
странства V3 и свойства семейства Ф*, даны в [11]. Здесь мы ограничим
ся кратким наброском доказательства.
В той области, где задано семейство Фм введем полугеодезическую систему координат. Именно, если точка х€Ф, имеет (как точка на Ф3)
координаты и\ и2у то как точка, рассматриваемая в V3, она получает координаты хх = и\ х2 = и2, x3 = s. В такой системе координат метрика У3
приводится к виду (см. [1, с. 499]):
ds2 = gazdxadx*+ (dx3)2, (4.2) причем величины ga& = gap(^\ и2, s) одновременно являются коэффици
ентами метрического тензора поверхности Фа.
Пусть baf) — коэффициенты второй основной формы поверхности Ф3. Известно (см. [7, с. 401]), что тогда
^ Г** Т""а?—
( 0 )Это соотношение справедливо для любого s = x3.
В данной полугеодезической системе координат по обычным форму
лам подсчитаем тензор Риччи пространства V3. Как было отмечено в замечании 2, в трехмерном случае функцию г(х) достаточно определять через тензор г/ по (1.11). Формулы (4.2) и (4.3) позволяют выразить в/ и R через тензорные и инвариантные величины на поверхностях Ф3. Именно, оказывается, что
R = 2[/Cext - /tint + ( - * i + k\) + ( - k2 + k\%
eg = - %L e« + Al г1 = Иа; e? = у»; 833 = ^ . (4.4) Здесь
*1 = ^ [ 2 №"t -/Cext) + ( - 4 + # ) + ( - £ , + kl)].
О
Л? = - Ь$+ 2Hb% l-[(- k\ + kl) + (-k\ + kl) + 2Kext] Щ.
^ = Vp&g- 2 -Щ-; bl = bvagvP; ^ = №gP«.
Как обычно, Я — средняя кривизна поверхности Ф5. Тогда из (4.4) по
лучаем £2 = — i])i + Л^А^ + 21|И'Ц2. С этого момента мы используем неом- биличность поверхностей Фв. Положим е=(ци ц2)—коэффициент вра
щения ортогонального репера т^, т]2 при изменении s (скалярное произ
ведение понимается в смысле метрики на Ф8). Введем функции
439
Представив \х в виде JLI = xp4i1i + if)5r]2 и разложив тензор Лра по его ин
вариантам и векторам репера r\if ц2 (см. [3, с. 122]), получим
Отсюда следуют оценки на функции ярг-. Из выражений для ^ я R полу
чаем формулы, указанные в теореме 6.
З а м е ч а н и е 10. Пусть Ф—произвольная (не обязательно вклю
ченная в семейство Ф$) поверхность в V3. Если У3 имеет постоянную кри
визну, то векторное уравнение jw = 0 эквивалентно уравнениям Петерсо- на — Кодацци для поверхности Ф. Посредством обработки результатов;
§ 3 статьи [9] можно получить, что в общем случае имеет место оценка 11|лЛ^2е0. Более точно,
|| \i ||2 = 2 (е/— £/)2 cos2 vk cos2 v/,
k<i
где efe; k=l, 2, 3,— собственные числа тензора s/, a cosvA — направля
ющие косинусы нормали v к поверхности Ф в орторепере Xk собствен
ных векторов тензора е/.
Литература
1. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.
2. Петров А. 3. Пространства Эйнштейна. М.: Физматгиз, 1963.
3. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. М.: ИЛ, 1948.
4. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
5. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971.
6. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.:
Наука, 1979.
7. Погорелое А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969.
8. Аминов Ю. А. Об оценках диаметра и объема подмногообразия евклидова про
странства.— Укр. геом. сб., Харьков, 1975, вып. 18, с. 4.
9. Брандт И. С. Некоторые свойства поверхностей с медленно меняющейся отрица
тельной внешней кривизной в римановом пространстве.— Матем. сб., 1970, т. 83 (125), с. 313—324.
10. Грибков И. В. Задача о корректности теоремы Шура.— Матем. сб., 1981, т. По (158), с. 527—538.
11. Грибков И. В. Некоторые геометрические свойства геодезически параллельных по
верхностей и их применение в задаче о корректности теоремы Шура.— Деп. в ВИНИТИ 18 февр. 1981 г. № 770—81 ДЕП.
Москва Поступила в редакцию*
31. VI. 1982
