Гурса для волновых уравнений с нелинейным диссипа- тивным членом, Матем. заметки , 2013, том 94, вы- пуск 6, 889–907

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

С. С. Харибегашвили, О. М. Джохадзе, Задача Коши–

Гурса для волновых уравнений с нелинейным диссипа- тивным членом, Матем. заметки , 2013, том 94, вы- пуск 6, 889–907

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm5617

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 06:48:53

(2)

Математические заметки

Том 94 выпуск 6 декабрь 2013

УДК 517.956.35

Задача Коши–Гурса для волновых уравнений с нелинейным диссипативным членом

С. С. Харибегашвили, О. М. Джохадзе

Исследуется задача Коши–Гурса для волновых уравнений с нелинейным дис- сипативным членом. Рассматриваются вопросы существования, единственно- сти и отсутствия глобального решения этой задачи. Обсуждается также вопрос о локальной разрешимости поставленной задачи.

Библиография: 26 названий.

DOI: 10.4213/mzm5617

1. Постановка задачи. В плоскости независимых переменных 𝑥и 𝑡 рассмот- рим волновое уравнение с нелинейным диссипативным членом [1; с. 57], [2]

𝐿𝑢:=𝑢𝑡𝑡−𝑢𝑥𝑥+𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑢)𝑢𝑡=𝑓(𝑥, 𝑡), (1.1) где 𝑓,𝑔– заданные, а𝑢– искомая действительные функции.

Обозначим через𝐷𝑇 :={(𝑥, 𝑡) : 0< 𝑥 < 𝑡,0< 𝑡 < 𝑇} треугольную область, огра- ниченную характеристическим отрезком 𝛾_1,𝑇: 𝑥=𝑡, 06𝑡6𝑇, а также отрезками 𝛾2,𝑇: 𝑥= 0,06𝑡6𝑇,𝛾3,𝑇: 𝑡=𝑇,06𝑥6𝑇.

Для уравнения (1.1) в области𝐷𝑇 рассмотрим задачу Коши–Гурса об определе- нии решения 𝑢(𝑥, 𝑡)по условиям [3; с. 284]

𝑢𝑥|𝛾_2,𝑇 = 0, 𝑢|𝛾_1,𝑇 = 0. (1.2) Отметим, что для нелинейных уравнений гиперболического типа вопросам суще- ствования, единственности и отсутствия глобальных решений начальных, смешан- ных, нелокальных и других задач посвящено много работ (см., например, [4]–[18]).

В линейном случае, т.е. при 𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑢) =𝑔(𝑥, 𝑡)задача (1.1), (1.2), как известно, кор- ректно поставлена и имеет место глобальная разрешимость в соответствующих про- странствах функций (см., например, [1], [19]–[23]).

Ниже будет показано, что при определенных требованиях на нелинейную функ- цию𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑢)задача (1.1), (1.2) локально разрешима; получены условия глобальной разрешимости, нарушение которых, вообще говоря, может стать причиной разру- шения решения за конечный момент времени.

Работа выполнена при поддержке фонда INTAS (грант № 05-1000008-7921), а также Грузинского нацианального фонда (грант № GNSF/ST06/3-005).

○c С. С. Харибегашвили, О. М. Джохадзе, 2013

889

(3)

Определение 1.1. Пусть 𝑓 ∈ 𝐶(𝐷_𝑇), 𝑔 ∈ 𝐶(𝐷_𝑇 ×R), R := (−∞,+∞). Функ- цию𝑢будем называтьсильным обобщенным решением задачи (1.1), (1.2) класса𝐶¹ в области 𝐷𝑇, если 𝑢∈ 𝐶¹(𝐷𝑇) и существует такая последовательность функций 𝑢_𝑛∈𝐶˚²(𝐷_𝑇,Γ_𝑇), что𝑢_𝑛 →𝑢и𝐿𝑢_𝑛 →𝑓 при𝑛→ ∞соответственно в пространствах 𝐶¹(𝐷𝑇)и𝐶(𝐷𝑇), где

𝐶˚²(𝐷_𝑇,Γ_𝑇) :={𝑣∈𝐶²(𝐷_𝑇) :𝑣_𝑥|𝛾2,𝑇 = 0, 𝑣|𝛾1,𝑇 = 0}, Γ_𝑇 :=𝛾_1,𝑇∪𝛾_2,𝑇.

Замечание 1.1. Очевидно, что классическое решение задачи (1.1), (1.2) из про- странства 𝑢 ∈ 𝐶˚²(𝐷𝑇,Γ𝑇) является сильным обобщенным решением этой задачи класса 𝐶¹ в области 𝐷_𝑇. В свою очередь, если сильное обобщенное решение зада- чи (1.1), (1.2) класса 𝐶¹ в области 𝐷𝑇 принадлежит пространству 𝐶²(𝐷𝑇), то оно будет также и классическим решением этой задачи.

Определение 1.2. Пусть𝑓 ∈𝐶(𝐷_∞),𝑔∈𝐶(𝐷_∞×R). Мы будем говорить, что задача (1.1), (1.2) глобально разрешима в классе 𝐶¹, если для любого конечного 𝑇 >0 эта задача имеет сильное обобщенное решение класса𝐶¹в области𝐷𝑇.

2. Априорные оценки решения задачи(1.1),(1.2)в классах𝐶(𝐷𝑇),𝐶¹(𝐷𝑇).

Лемма 2.1. Пусть𝑓 ∈𝐶(𝐷_𝑇),𝑔∈𝐶(𝐷_𝑇 ×R)и

𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑠)>−𝑀𝑇, (𝑥, 𝑡, 𝑠)∈𝐷𝑇 ×R, 𝑀𝑇 := const>0. (2.1) Тогда для сильного обобщенного решения задачи (1.1), (1.2)класса𝐶¹в области𝐷𝑇

справедлива априорная оценка

‖𝑢‖_𝐶(𝐷

𝑇)6𝑐0‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇) (2.2)

с положительной постоянной 𝑐0=𝑐0(𝑇, 𝑀𝑇),не зависящей от𝑢и 𝑓.

Доказательство. Пусть 𝑢 – сильное обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) класса 𝐶¹ в области 𝐷_𝑇. Тогда в силу определения 1.1 существует такая последо- вательность функций 𝑢𝑛∈𝐶˚²(𝐷𝑇,Γ𝑇), что

𝑛→∞lim ‖𝑢𝑛−𝑢‖_𝐶1(𝐷_𝑇)= 0, lim

𝑛→∞‖𝐿𝑢𝑛−𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇)= 0, (2.3) а, следовательно, и

𝑛→∞lim ‖𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑢𝑛)𝑢𝑛𝑡−𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑢)𝑢𝑡‖_𝐶(𝐷

𝑇)= 0. (2.4)

Рассмотрим функцию𝑢𝑛∈𝐶˚²(𝐷𝑇,Γ𝑇)как решение следующей задачи:

𝐿𝑢_𝑛=𝑓_𝑛, (2.5)

𝜕𝑢_𝑛

𝜕𝑥

⃒

⃒_𝛾

2,𝑇

= 0, 𝑢𝑛|𝛾_1,𝑇 = 0. (2.6)

Здесь

𝑓_𝑛:=𝐿𝑢_𝑛. (2.7)

(4)

Умножая обе части равенства (2.5) на𝜕𝑢_𝑛/𝜕𝑡и интегрируя полученное равенство по области𝐷𝜏:={(𝑥, 𝑡)∈𝐷𝑇 : 0< 𝑡 < 𝜏},0< 𝜏 6𝑇, будем иметь

1 2

∫︁

𝐷𝜏

𝜕

𝜕𝑡 (︂𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑡 )︂²

𝑑𝑥 𝑑𝑡−

∫︁

𝐷𝜏

𝜕²𝑢𝑛

𝜕𝑥²

𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡+

∫︁

𝐷𝜏

𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑢𝑛) (︂𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑡 )︂²

𝑑𝑥 𝑑𝑡

=

∫︁

𝐷_𝜏

𝑓_𝑛𝜕𝑢_𝑛

𝜕𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡.

ПоложимΩ𝜏 :=𝐷_∞∩{𝑡=𝜏},0< 𝜏 6𝑇. Тогда с учетом (2.6), применяя формулу Грина к левой части последнего равенства, получим

∫︁

𝐷_𝜏

𝑓𝑛

𝜕𝑢_𝑛

𝜕𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡=

∫︁

𝛾_1,𝜏

1 2𝜈𝑡

[︂(︂𝜕𝑢_𝑛

𝜕𝑥 𝜈𝑡−𝜕𝑢_𝑛

𝜕𝑡 𝜈𝑥

)︂2

+ (︂𝜕𝑢_𝑛

𝜕𝑡 )︂2

(𝜈_𝑡²−𝜈_𝑥²) ]︂

𝑑𝑠

+1 2

∫︁

Ω𝜏

[︂(︂𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑥 )︂²

+ (︂𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑡 )︂²]︂

𝑑𝑥+

∫︁

𝐷𝜏

𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑢𝑛) (︂𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑡 )︂²

𝑑𝑥 𝑑𝑡, (2.8) где𝜈:= (𝜈𝑥, 𝜈𝑡)– единичный вектор внешней нормали к𝜕𝐷𝜏 и𝛾1,𝜏 :=𝛾1,𝑇∩ {𝑡6𝜏}.

Принимая во внимание, что оператор 𝜈_𝑡(𝜕/𝜕𝑥)−𝜈_𝑥(𝜕/𝜕𝑡)является внутренним дифференциальным оператором на 𝛾1,𝑇, в силу второго условия (2.6) будем иметь

(︂𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑥 𝜈_𝑡−𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑡 𝜈_𝑥 )︂⃒

⃒

⃒_𝛾

1,𝜏

= 0. (2.9)

Далее, легко видеть, что

(𝜈_𝑡²−𝜈_𝑥²)|_𝛾_1,𝜏 = 0. (2.10) Следовательно, из (2.8)–(2.10) имеем

𝑤𝑛(𝜏) :=

∫︁

Ω_𝜏

[︂(︂𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑥 )︂2

+ (︂𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑡 )︂2]︂

𝑑𝑥62

∫︁

𝐷_𝜏

𝑓𝑛

𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡+ 2𝑀𝑇

∫︁

𝐷_𝜏

(︂𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑡 )︂2

𝑑𝑥 𝑑𝑡.

(2.11) Принимая во внимание неравенство

2𝑓𝑛

𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑡 6 (︂𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑡 )︂²

+𝑓_𝑛²,

в силу (2.11) получим

𝑤𝑛(𝜏)6(1 + 2𝑀𝑇)

∫︁

𝐷_𝜏

(︂𝜕𝑢_𝑛

𝜕𝑡 )︂2

𝑑𝑥 𝑑𝑡+

∫︁

𝐷_𝜏

𝑓_𝑛²𝑑𝑥 𝑑𝑡.

Учитывая выражение для функции𝑤𝑛(𝜏), отсюда получим, что 𝑤_𝑛(𝜏)6𝑚_𝑇

∫︁ 𝜏 0

𝑤_𝑛(𝜎)𝑑𝜎+‖𝑓_𝑛‖²_𝐿

2(𝐷_𝜏), где 𝑚_𝑇 := max(1 + 2𝑀_𝑇,1). Отсюда, поскольку величина ‖𝑓_𝑛‖²_𝐿

2(𝐷_𝜏) как функция от𝜏 является неубывающей, в силу леммы Гронуолла [24; с. 13] будем иметь

𝑤_𝑛(𝜏)6exp(𝑚_𝑇𝜏)‖𝑓𝑛‖²_𝐿₂_(𝐷_𝜏₎. (2.12)

(5)

Если (𝑥, 𝑡)∈𝐷_𝑇, то в силу второго условия (2.6) имеет место равенство 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) =𝑢𝑛(𝑥, 𝑡)−𝑢𝑛(𝑡, 𝑡) =

∫︁ 𝑥 𝑡

𝜕𝑢_𝑛(𝜎, 𝑡)

𝜕𝑥 𝑑𝜎, откуда в силу (2.12) следует

|𝑢𝑛(𝑥, 𝑡)|²6

∫︁ 𝑡 𝑥

𝑑𝜎

∫︁ 𝑡 𝑥

[︂𝜕𝑢𝑛(𝜎, 𝑡)

𝜕𝑥 ]︂²

𝑑𝜎6(𝑡−𝑥)

∫︁

Ω𝑡

[︂𝜕𝑢𝑛(𝜎, 𝑡)

𝜕𝑥 ]︂²

𝑑𝜎 6(𝑡−𝑥)𝑤_𝑛(𝑡)6𝑡𝑤_𝑛(𝑡)6𝑇exp(𝑚_𝑇𝑇)‖𝑓_𝑛‖²_𝐶(𝐷

𝑇)mes𝐷_𝑇

= 2⁻¹𝑇³exp(𝑚𝑇𝑇)‖𝑓𝑛‖²_𝐶(𝐷

𝑇). (2.13)

Из (2.13) получаем

‖𝑢𝑛‖_𝐶(𝐷

𝑇)6𝑇

√︂𝑇 2 exp

(︂𝑚𝑇𝑇 2

)︂

‖𝑓𝑛‖_𝐶(𝐷

𝑇).

Переходя в этом неравенстве к пределу при𝑛→ ∞, в силу (2.3), (2.7) будем иметь

‖𝑢‖_𝐶(𝐷

𝑇)6𝑇

√︂𝑇 2 exp

(︂𝑚𝑇𝑇 2

)︂

‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇). (2.14)

Этим оценка (2.2) доказана.

Замечание 2.1. Из (2.14) следует, что постоянную𝑐0в оценке (2.2) можно взять равной

𝑐₀:=𝑇

√︂𝑇 2 exp

(︂𝑚𝑇𝑇 2

)︂

. (2.15)

Ниже, используя классический метод характеристик и принимая во внимание (2.2), мы получим априорную оценку в пространстве 𝐶¹(𝐷𝑇)для сильного обобщенного решения задачи (1.1), (1.2) класса𝐶¹ в области𝐷_𝑇.

Имеет место следующая

Лемма 2.2. При условиях леммы 2.1для сильного обобщенного решения зада- чи (1.1), (1.2) класса𝐶¹ в области𝐷𝑇 имеет место априорная оценка

‖𝑢‖_𝐶1(𝐷𝑇)6𝑐₁ (2.16)

с положительной постоянной 𝑐1=𝑐1(𝑇, 𝑐0,‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇)),где

‖𝑢‖_𝐶1(𝐷_𝑇):= max{‖𝑢‖_𝐶(𝐷

𝑇),‖𝑢𝑥‖_𝐶(𝐷

𝑇),‖𝑢𝑡‖_𝐶(𝐷

𝑇)}.

Доказательство. Пусть 𝑢 является сильным обобщенным решением задачи (1.1), (1.2) класса𝐶¹в области𝐷𝑇. Тогда справедливы предельные равенства (2.3), (2.4), где𝑢_𝑛можно рассматривать как решение задачи (2.5), (2.6) с правой частью𝑓_𝑛 из (2.7). Для фиксированного натурального𝑛введем следующие функции:

𝑢_𝑛1:=𝑢_𝑛𝑡−𝑢_𝑛𝑥, 𝑢_𝑛2:=𝑢_𝑛𝑡+𝑢_𝑛𝑥, 𝑢_𝑛3:=𝑢_𝑛, (2.17)

(6)

которые с учетом (2.2) при06𝑡6𝑇 удовлетворяют граничным условиям

𝑢𝑛1(0, 𝑡) =𝑢𝑛2(0, 𝑡), 𝑢𝑛2(𝑡, 𝑡) = 0, 𝑢𝑛3(𝑡, 𝑡) = 0. (2.18) В силу (1.1) и (2.17) неизвестные функции𝑢_𝑛1,𝑢_𝑛2,𝑢_𝑛3удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

𝜕𝑢𝑛1

𝜕𝑡 +𝜕𝑢𝑛1

𝜕𝑥 =𝑓𝑛(𝑥, 𝑡)−1

2𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑢𝑛3)(𝑢𝑛1+𝑢𝑛2),

𝜕𝑢𝑛2

𝜕𝑡 −𝜕𝑢𝑛2

𝜕𝑥 =𝑓𝑛(𝑥, 𝑡)−1

2𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑢𝑛3)(𝑢𝑛1+𝑢𝑛2),

𝜕𝑢𝑛3

𝜕𝑡 −𝜕𝑢𝑛3

𝜕𝑥 =𝑢𝑛1.

(2.19)

Интегрируя уравнения системы (2.19) вдоль соответствующих характеристиче- ских кривых и учитывая граничные условия (2.18), получим

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

𝑢𝑛1(𝑥, 𝑡)−𝑢𝑛1(0, 𝑡) =

∫︁ 𝑡 𝑡−𝑥

[︂

𝑓𝑛(𝑃𝜏)−1

2𝑔(𝑃𝜏, 𝑢𝑛3(𝑃𝜏))(𝑢𝑛1(𝑃𝜏) +𝑢𝑛2(𝑃𝜏)) ]︂

𝑑𝜏,

𝑢𝑛2(𝑥, 𝑡) =

∫︁ 𝑡 (𝑥+𝑡)/2

[︂

𝑓𝑛(𝑄𝜏)−1

2𝑔(𝑄𝜏, 𝑢𝑛3(𝑄𝜏))(𝑢𝑛1(𝑄𝜏) +𝑢𝑛2(𝑄𝜏)) ]︂

𝑑𝜏,

𝑢𝑛3(𝑥, 𝑡) =

∫︁ 𝑡 (𝑥+𝑡)/2

𝑢𝑛1(𝑄𝜏)𝑑𝜏,

где 𝑃𝜏 := (𝑥−𝑡+𝜏, 𝜏),𝑄𝜏 := (𝑥+𝑡−𝜏, 𝜏).

Из второго уравнения полученной системы и первого равенства (2.18) с учетом обозначения𝑃_𝜏₀ := (𝑡−𝜏, 𝜏)вытекает, что эта система может быть переписана в виде

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

𝑢𝑛1(𝑥, 𝑡) =−1 2

∫︁ 𝑡 𝑡−𝑥

[𝑔(𝑃𝜏, 𝑢𝑛3(𝑃𝜏))(𝑢𝑛1(𝑃𝜏) +𝑢𝑛2(𝑃𝜏))]𝑑𝜏

−1 2

∫︁ 𝑡 𝑡/2

[𝑔(𝑃𝜏0, 𝑢𝑛3(𝑃𝜏0))(𝑢𝑛1(𝑃𝜏0) +𝑢𝑛2(𝑃𝜏0))︀

]𝑑𝜏+𝐹𝑛1(𝑥, 𝑡),

𝑢_𝑛2(𝑥, 𝑡) =−1 2

∫︁ 𝑡 (𝑥+𝑡)/2

𝑔(𝑄_𝜏, 𝑢_𝑛3(𝑄_𝜏))(𝑢_𝑛1(𝑄_𝜏) +𝑢_𝑛2(𝑄_𝜏))𝑑𝜏+𝐹_𝑛2(𝑥, 𝑡),

𝑢_𝑛3(𝑥, 𝑡) =

∫︁ 𝑡 (𝑥+𝑡)/2

𝑢_𝑛1(𝑄_𝜏)𝑑𝜏.

(2.20) Здесь

𝐹𝑛1(𝑥, 𝑡) :=

∫︁ 𝑡 𝑡−𝑥

𝑓𝑛(𝑃𝜏)𝑑𝜏+

∫︁ 𝑡 𝑡/2

𝑓𝑛(𝑃𝜏₀)𝑑𝜏, 𝐹𝑛2(𝑥, 𝑡) :=

∫︁ 𝑡 (𝑥+𝑡)/2

𝑓𝑛(𝑄𝜏)𝑑𝜏. (2.21)

(7)

Переходя в равенствах (2.20), (2.21) к пределу при𝑛→ ∞в пространстве𝐶(𝐷_𝑇) и принимая во внимание (2.3), (2.4), (2.7) и (2.17), будем иметь

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

𝑢1(𝑥, 𝑡) =−1 2

∫︁ 𝑡 𝑡−𝑥

[𝑔(𝑃𝜏, 𝑢3(𝑃𝜏))(𝑢1(𝑃𝜏) +𝑢2(𝑃𝜏))]𝑑𝜏

−1 2

∫︁ 𝑡 𝑡/2

[𝑔(𝑃_𝜏₀, 𝑢₃(𝑃_𝜏₀))(𝑢₁(𝑃_𝜏₀) +𝑢₂(𝑃_𝜏₀))]𝑑𝜏+𝐹₁(𝑥, 𝑡),

𝑢₂(𝑥, 𝑡) =−1 2

∫︁ 𝑡 (𝑥+𝑡)/2

𝑔(𝑄_𝜏, 𝑢₃(𝑄_𝜏))(𝑢₁(𝑄_𝜏) +𝑢₂(𝑄_𝜏))𝑑𝜏+𝐹₂(𝑥, 𝑡),

𝑢3(𝑥, 𝑡) =

∫︁ 𝑡 (𝑥+𝑡)/2

𝑢1(𝑄𝜏)𝑑𝜏,

(2.22)

где 𝑢_𝑖:= lim_𝑛→∞𝑢_𝑛𝑖(по норме пространства𝐶(𝐷_𝑇)),𝑖= 1,2,3, и 𝐹1(𝑥, 𝑡) :=

∫︁ 𝑡 𝑡−𝑥

𝑓(𝑃𝜏)𝑑𝜏+

∫︁ 𝑡 𝑡/2

𝑓(𝑃𝜏₀)𝑑𝜏, 𝐹2(𝑥, 𝑡) :=

∫︁ 𝑡 (𝑥+𝑡)/2

𝑓(𝑄𝜏)𝑑𝜏. (2.23) Очевидно, что𝑢3=𝑢и она является сильным обобщенным решением задачи (1.1), (1.2) класса𝐶¹в области𝐷𝑇. При этом

𝑢1:=𝑢𝑡−𝑢𝑥, 𝑢2:=𝑢𝑡+𝑢𝑥. (2.24) Пусть𝐺_𝑇 :={(𝑥, 𝑡, 𝑠)∈R³: (𝑥, 𝑡)∈𝐷_𝑇,|𝑠|6𝑐₀‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇)}и 𝐾:= sup

(𝑥,𝑡,𝑠)∈𝐺𝑇

|𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑠)|<+∞, (2.25) где 𝐾=𝐾(𝑇, 𝑐₀,‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇)).

Тогда в силу априорной оценки (2.2) для сильного обобщенного решения 𝑢3 =𝑢 задачи (1.1), (1.2) класса𝐶¹в области𝐷_𝑇 получим

|𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑢₃(𝑥, 𝑡))|6𝐾, (𝑥, 𝑡)∈𝐷_𝑇, (2.26) Пусть

𝑣𝑖(𝑡) := sup

(𝜉,𝜏)∈𝐷_𝑡

|𝑢𝑖(𝜉, 𝜏)|, 𝑖= 1,2,3, 𝐹(𝑡) := sup

(𝜉,𝜏)∈𝐷_𝑡

|𝑓(𝜉, 𝜏)|. (2.27)

Из (2.22) в силу (2.23), (2.26) и (2.27) следует, что

|𝑢1(𝑥, 𝑡)|6𝐾

∫︁ 𝑡 0

(𝑣1(𝜏) +𝑣2(𝜏))𝑑𝜏+ 2𝑡𝐹(𝑡),

|𝑢₂(𝑥, 𝑡)|6 𝐾 2

∫︁ 𝑡 0

(𝑣₁(𝜏) +𝑣₂(𝜏))𝑑𝜏+𝑡𝐹(𝑡),

|𝑢3(𝑥, 𝑡)|6

∫︁ 𝑡 0

𝑣1(𝜏)𝑑𝜏.

(8)

Отсюда при (𝜉, 𝜏)∈𝐷_𝑡 будем иметь

|𝑢1(𝜉, 𝜏)|6𝐾

∫︁ 𝜏 0

(𝑣1(𝜏1) +𝑣2(𝜏1))𝑑𝜏1+ 2𝜏 𝐹(𝜏),

|𝑢2(𝜉, 𝜏)|6𝐾 2

∫︁ 𝜏 0

(𝑣1(𝜏1) +𝑣2(𝜏1))𝑑𝜏1+𝜏 𝐹(𝜏),

|𝑢₃(𝜉, 𝜏)|6

∫︁ 𝜏 0

𝑣₁(𝜏₁)𝑑𝜏₁

и, следовательно, в силу (2.27) и того факта, что𝑡𝐹(𝑡)является неубывающей функ- цией, получим

𝑣1(𝑡)6𝐾

∫︁ 𝑡 0

(𝑣1(𝜏) +𝑣2(𝜏))𝑑𝜏+ 2𝑡𝐹(𝑡),

𝑣2(𝑡)6 𝐾 2

∫︁ 𝑡 0

(𝑣1(𝜏) +𝑣2(𝜏))𝑑𝜏+𝑡𝐹(𝑡),

𝑣₃(𝑡)6

∫︁ 𝑡 0

𝑣₁(𝜏)𝑑𝜏.

Полагая𝑣(𝑡) := max16𝑖63𝑣𝑖(𝑡), из полученных неравенств будем иметь 𝑣(𝑡)62𝐾

∫︁ 𝑡 0

𝑣(𝜏)𝑑𝜏+ 2𝑡𝐹(𝑡),

откуда, применяя лемму Гронуолла, получим

𝑣(𝑡)62𝑡𝐹(𝑡) exp(2𝑡𝐾)62𝑇exp(2𝑇 𝐾)‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇), 06𝑡6𝑇.

Теперь из (2.24) легко следует, что

‖𝑢‖_𝐶1(𝐷𝑇)6‖𝑣‖_𝐶[0,𝑇] 62𝑇exp(2𝑇 𝐾)‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇). Лемма2.2доказана, причем

𝑐1:= 2𝑇exp(2𝑇 𝐾)‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇), (2.28)

где 𝐾определяется из (2.25).

3. Эквивалентность задачи (1.1), (1.2) системе нелинейных интеграль- ных уравнений типа Вольтерра и ее локальная разрешимость. Прежде всего покажем, что задача (2.5), (2.6) эквивалентна задаче (2.19), (2.18) в клас- сическом смысле. Действительно, если 𝑢_𝑛 ∈ 𝐶² – решение задачи (2.5), (2.6), то система функций 𝑢𝑛1, 𝑢𝑛2 и 𝑢𝑛3 будет, очевидно, решением задачи (2.19), (2.18).

Обратно, пусть 𝑢𝑛1, 𝑢𝑛2, 𝑢𝑛3 ∈ 𝐶¹ – решения задачи (2.19), (2.18). Покажем, что 𝑢_𝑛 := 𝑢_𝑛3 ∈ 𝐶² – решение задачи (2.5), (2.6) и удовлетворяет равенствам (2.17).

Если мы покажем, что 𝑢𝑛2=𝑢𝑛𝑡+𝑢𝑛𝑥, то, очевидно, будут иметь место равенства 𝑢𝑛𝑡= (𝑢𝑛2+𝑢𝑛1)/2 и𝑢𝑛𝑥= (𝑢𝑛2−𝑢𝑛1)/2, откуда непосредственно будет следовать, что 𝑢_𝑛 ∈𝐶² является решением задачи (2.5), (2.6) в классическом смысле.

Действительно, из первого и второго уравнений системы (2.19) следует, что

𝜕𝑢𝑛1

𝜕𝑡 +𝜕𝑢𝑛1

𝜕𝑥 =𝜕𝑢𝑛2

𝜕𝑡 −𝜕𝑢𝑛2

𝜕𝑥 . (3.1)

(9)

Далее, поскольку𝑢_𝑛1∈𝐶¹, из третьего уравнения системы (2.19) следует, что

𝜕

𝜕𝑡 (︂𝜕

𝜕𝑡 − 𝜕

𝜕𝑥 )︂

𝑢_𝑛3∈𝐶 и 𝜕

𝜕𝑥 (︂𝜕

𝜕𝑡− 𝜕

𝜕𝑥 )︂

𝑢_𝑛3∈𝐶.

Отсюда, принимая во внимание, что операторы дифференцирования первого поряд- ка с постоянными коэффициентами перестановочны, получим

𝜕

𝜕𝑡 (︂𝜕

𝜕𝑡− 𝜕

𝜕𝑥 )︂

𝑢𝑛3= (︂𝜕

𝜕𝑡− 𝜕

𝜕𝑥 )︂𝜕

𝜕𝑡𝑢𝑛3∈𝐶,

𝜕

𝜕𝑥 (︂𝜕

𝜕𝑡− 𝜕

𝜕𝑥 )︂

𝑢𝑛3= (︂𝜕

𝜕𝑡− 𝜕

𝜕𝑥 )︂ 𝜕

𝜕𝑥𝑢𝑛3∈𝐶.

С учетом этих равенств, (3.1) и третьего равенства системы (2.19) имеем (︂𝜕

𝜕𝑡 − 𝜕

𝜕𝑥 )︂

(𝑢𝑛2−𝑢𝑛𝑡−𝑢𝑛𝑥)

= (︂𝜕

𝜕𝑡− 𝜕

𝜕𝑥 )︂

𝑢𝑛2− 𝜕

𝜕𝑡 (︂𝜕

𝜕𝑡− 𝜕

𝜕𝑥 )︂

𝑢𝑛− 𝜕

𝜕𝑥 (︂𝜕

𝜕𝑡− 𝜕

𝜕𝑥 )︂

𝑢𝑛

=𝜕𝑢_𝑛2

𝜕𝑡 −𝜕𝑢_𝑛2

𝜕𝑥 −𝜕𝑢_𝑛1

𝜕𝑡 −𝜕𝑢_𝑛1

𝜕𝑥 = 0.

Следовательно, в силу второго и третьего равенств из (2.18) заключаем, что 𝑢𝑛2 =𝑢𝑛𝑡+𝑢𝑛𝑥. Этим доказана эквивалентность задач (2.5), (2.6) и (2.19), (2.18) в классическом смысле.

Выше мы привели редукцию задачи (1.1), (1.2) к системе нелинейных интеграль- ных уравнений типа Вольтерра (2.22). Прежде чем рассмотреть вопрос о локальной разрешимости задачи (1.1), (1.2), сделаем следующее замечание, которое непосред- ственно вытекает из рассуждений, приведенных в п.2.

Замечание 3.1. Пусть𝑢является сильным обобщенным решением задачи (1.1), (1.2) класса 𝐶¹ в области 𝐷𝑇, тогда𝑢1 :=𝑢𝑡−𝑢𝑥, 𝑢2:=𝑢𝑡+𝑢𝑥, 𝑢3 :=𝑢является непрерывным решением системы нелинейных интегральных уравнений типа Воль- терра (2.22). И наоборот, если 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 – непрерывное решение системы (2.22), то 𝑢 :=𝑢3 является сильным обобщенным решением задачи (1.1), (1.2) класса 𝐶¹ в области𝐷_𝑇, причем справедливы равенства𝑢₁:=𝑢_𝑡−𝑢_𝑥, 𝑢₂:=𝑢_𝑡+𝑢_𝑥.

Теперь приступим к доказательству локальной разрешимости системы нелиней- ных интегральных уравнений типа Вольтерра (2.22).

Пусть

𝑓 ∈𝐶(𝐷_∞), 𝑓_∞:= sup

(𝑥,𝑡)∈𝐷∞

|𝑓(𝑥, 𝑡)|<+∞, 𝑔∈𝐶(𝐷_∞×R) (3.2) и для(𝑥, 𝑡)∈𝐷_∞и 𝑠,𝑠1, 𝑠2таких, что |𝑠|,|𝑠1|,|𝑠2|6𝑅, выполнено

|𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑠)|6𝑀(𝑅), |𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑠2)−𝑔(𝑥, 𝑡, 𝑠1)|6𝑐(𝑅)|𝑠2−𝑠1|, (3.3) где 𝑀(𝑅) и 𝑐(𝑅) – некоторые неотрицательные непрерывные функции аргумента 𝑅>0.

(10)

Теорема 3.1. Пусть функции𝑓 и𝑔удовлетворяют условиям (3.2), (3.3).Тогда найдется положительное число 𝑇_*:=𝑇_*(𝑓, 𝑔)такое,что при𝑇 6𝑇_* задача (1.1), (1.2) будет иметь хотя бы одно сильное обобщенное решение𝑢 класса𝐶¹ в обла- сти 𝐷_𝑇.

Доказательство. Согласно замечанию 3.1 задача (1.1), (1.2) в пространстве 𝐶¹(𝐷𝑇)эквивалентна системе нелинейных интегральных уравнений типа Вольтер- ра (2.22) в классе 𝐶(𝐷𝑇). Однозначную разрешимость системы (2.22) ниже мы докажем принципом сжатых отображений [26; с. 390].

Положим 𝑈 := (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3). Введем векторный оператор Φ := (Φ1,Φ2,Φ3), дей- ствующий по формуле

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

(Φ1𝑈)(𝑥, 𝑡) =−1 2

∫︁ 𝑡 𝑡−𝑥

𝑔(𝑃𝜏, 𝑢3(𝑃𝜏))(𝑢1(𝑃𝜏) +𝑢2(𝑃𝜏))𝑑𝜏

+1 2

∫︁ 𝑡 𝑡/2

𝑔(𝑃_𝜏₀, 𝑢₃(𝑃_𝜏₀))(𝑢₁(𝑃_𝜏₀) +𝑢₂(𝑃_𝜏₀))𝑑𝜏+𝐹₁(𝑥, 𝑡),

(Φ₂𝑈)(𝑥, 𝑡) =−1 2

∫︁ 𝑡 (𝑥+𝑡)/2

𝑔(𝑄_𝜏, 𝑢₃(𝑄_𝜏))(𝑢₁(𝑄_𝜏) +𝑢₂(𝑄_𝜏))𝑑𝜏+𝐹₂(𝑥, 𝑡),

(Φ3𝑈)(𝑥, 𝑡) =

∫︁ 𝑡 (𝑥+𝑡)/2

𝑢1(𝑄𝜏)𝑑𝜏.

(3.4)

Тогда систему (2.22) можно переписать в векторном виде

𝑈 = Φ𝑈. (3.5)

Пусть

‖𝑈‖𝑋𝑇 := max

16𝑖63{‖𝑢𝑖‖_𝐶(𝐷

𝑇)}, 𝑈 ∈𝑋_𝑇 :=𝐶(𝐷_𝑇;R³), где 𝐶(𝐷_𝑇;R³)– множество непрерывных вектор-функций𝑈:𝐷_𝑇 →R³.

Обозначим через 𝐵_𝑅 :={𝑈 ∈𝑋_𝑇 :‖𝑈‖_𝑋_𝑇 6𝑅} замкнутый шар радиуса 𝑅 >0 в банаховом пространстве 𝑋𝑇 с центром в нулевом элементе.

Ниже докажем, что

(1) Φотображает шар𝐵_𝑅 в себя;

(2) Φявляется сжимающим отображением на𝐵𝑅.

Действительно, в силу первого неравенства (3.3) из (3.4) для𝑈такого, что‖𝑈‖𝑋𝑇 6 𝑅, имеем

|(Φ1𝑈)(𝑥, 𝑡)|62𝑇(𝑅𝑀(𝑅) +‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇)),

|(Φ2𝑈)(𝑥, 𝑡)|6𝑇(𝑅𝑀(𝑅) +‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇)), |(Φ3𝑈)(𝑥, 𝑡)|6𝑇 𝑅.

Из этих оценок следует, что

‖Φ𝑈‖𝑋𝑇 62𝑇(𝑅𝑀(𝑅) +𝑅+‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇))62𝑇(𝑅𝑀(𝑅) +𝑅+𝑓_∞), где 𝑓_∞ определено в (3.2).

Потребуем, чтобы при фиксированном 𝑅 > 0 величина 𝑇 была столь малой, чтобы

2𝑇(𝑅𝑀(𝑅) +𝑅+𝑓∞)6𝑅, (3.6)

т.е. Φ𝑈 ∈𝐵_𝑅 и, тем самым, условие (1) выполнено.

4 Математические заметки, т. 94, вып. 6

(11)

Далее, в силу (3.3) из (3.4) для𝑈^𝑖 такого, что‖𝑈^𝑖‖𝑋𝑇 6𝑅,𝑖= 1,2, имеем

|(Φ₁𝑈²−Φ₁𝑈¹)(𝑥, 𝑡)|

61 2

∫︁ 𝑡 𝑡−𝑥

(︀|𝑔(𝑃𝜏, 𝑢²₃(𝑃𝜏))−𝑔(𝑃𝜏, 𝑢¹₃(𝑃𝜏))||𝑢²₁(𝑃𝜏) +𝑢²₂(𝑃𝜏)|

+|𝑔(𝑃𝜏, 𝑢¹₃(𝑃𝜏))||𝑢²₁(𝑃𝜏)−𝑢¹₁(𝑃𝜏) +𝑢²₂(𝑃𝜏)−𝑢¹₂(𝑃𝜏)|)︀

𝑑𝜏 +1

2

∫︁ 𝑡 𝑡/2

(︀|𝑔(𝑃𝜏0, 𝑢²₃(𝑃_𝜏₀))−𝑔(𝑃_𝜏₀, 𝑢¹₃(𝑃_𝜏₀))||𝑢²₁(𝑃_𝜏₀) +𝑢²₂(𝑃_𝜏₀)|

+|𝑔(𝑃𝜏₀, 𝑢¹₃(𝑃𝜏₀))||𝑢²₁(𝑃𝜏₀)−𝑢¹₁(𝑃𝜏₀) +𝑢²₂(𝑃𝜏₀)−𝑢¹₂(𝑃𝜏₀)|)︀

𝑑𝜏 62𝑇[𝑅𝑐(𝑅) +𝑀(𝑅)]‖𝑈²−𝑈¹‖𝑋_𝑇.

Аналогично,

|(Φ2𝑈²−Φ₂𝑈¹)(𝑥, 𝑡)|

6 1 2

∫︁ 𝑡 (𝑥+𝑡)/2

(︀|𝑔(𝑄𝜏, 𝑢²₃(𝑄𝜏))−𝑔(𝑄𝜏, 𝑢¹₃(𝑄𝜏))||𝑢²₁(𝑄𝜏) +𝑢²₂(𝑄𝜏)|

+|𝑔(𝑄𝜏, 𝑢¹₃(𝑄_𝜏))||𝑢²₁(𝑄_𝜏)−𝑢¹₁(𝑄_𝜏) +𝑢²₂(𝑄_𝜏)−𝑢¹₂(𝑄_𝜏)|)︀

𝑑𝜏 6𝑇[𝑅𝑐(𝑅) +𝑀(𝑅)]‖𝑈²−𝑈¹‖𝑋_𝑇,

|(Φ3𝑈²−Φ3𝑈¹)(𝑥, 𝑡)|6

∫︁ 𝑡 (𝑥+𝑡)/2

|𝑢²₁(𝑄𝜏)−𝑢¹₁(𝑄𝜏)|𝑑𝜏 6𝑇‖𝑈²−𝑈¹‖𝑋_𝑇.

Пусть при фиксированном𝑅 >0число𝑇 является столь малым, что max{𝑇,2𝑇(𝑅𝑐(𝑅) +𝑀(𝑅))}6 1

2 <1, (3.7)

и, тем самым,‖Φ𝑈²−Φ𝑈¹‖𝑋_𝑇 6(1/2)‖𝑈²−𝑈¹‖𝑋_𝑇. Таким образом, операторΦяв- ляется сжимающим отображением на множестве 𝐵𝑅, т.е. условие (2) выполнено.

Из (3.6) и (3.7) в свою очередь следует, что если0< 𝑇 6𝑇_*, где 𝑇_*:= min

{︂ 𝑅

2(𝑅𝑀(𝑅) +𝑅+𝑓_∞),1

2, 1

4(𝑅𝑐(𝑅) +𝑀(𝑅)) }︂

, (3.8)

тогда‖Φ𝑈‖𝑋_𝑇 6𝑅 и‖Φ𝑈²−Φ𝑈¹‖𝑋_𝑇 6(1/2)‖𝑈²−𝑈¹‖𝑋_𝑇 для𝑈, 𝑈¹, 𝑈²∈𝐵𝑅. По- этому в силу принципа о сжимающем отображении существует решение 𝑈 уравне- ния (3.5) в пространстве𝐶(𝐷_𝑇;R³). Теорема3.1доказана.

4. Случай глобальной разрешимости задачи(1.1),(1.2). Имеет место сле- дующая

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия (2.1), (3.2) и (3.3). Тогда для любого 𝑇 > 0 задача (1.1), (1.2) имеет сильное обобщенное решение класса 𝐶¹ в обла- сти 𝐷_𝑇.

Доказательство. Как было отмечено в замечании3.1, задача (1.1), (1.2) в клас- се𝐶¹(𝐷𝑇)эквивалентна системе нелинейных интегральных уравнений (2.22) в клас- се𝐶(𝐷_𝑇). В силу (3.2), (3.3) справедливость этой теоремы при достаточно малых𝑇,

(12)

а именно при 𝑇6𝑇_*, где𝑇_* дается равенством (3.8), следует из теоремы3.1. Пусть теперь𝑇 > 𝑇_*, а𝑈^𝑇^*:= (𝑢^𝑇₁^*, 𝑢^𝑇₂^*, 𝑢^𝑇₃^*)– решение системы нелинейных интегральных уравнений (2.22) или, что то же самое, векторного уравнения (3.5) в области 𝐷𝑇*

класса 𝐶(𝐷_𝑇_*) согласно теореме 3.1. Для 𝑡 > ∆𝑡₁ :=𝑇_* систему (2.22) перепишем в виде

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

𝑢₁(𝑥, 𝑡) =−1 2

∫︁ 𝑡 𝛼₁(𝑥,𝑡,Δ𝑡₁)

𝑔(𝑃_𝜏, 𝑢₃(𝑃_𝜏))(𝑢₁(𝑃_𝜏) +𝑢₂(𝑃_𝜏))𝑑𝜏

+1 2

∫︁ 𝑡 𝛼₂(𝑥,𝑡,Δ𝑡₁)

𝑔(𝑃_𝜏₀, 𝑢₃(𝑃_𝜏₀))(𝑢₁(𝑃_𝜏₀) +𝑢₂(𝑃_𝜏₀))𝑑𝜏+𝐹_1,Δ𝑡₁(𝑥, 𝑡),

𝑢2(𝑥, 𝑡) =−1 2

∫︁ 𝑡 𝛼3(𝑥,𝑡,Δ𝑡1)

𝑔(𝑄𝜏, 𝑢3(𝑄𝜏))(𝑢1(𝑄𝜏) +𝑢2(𝑄𝜏))𝑑𝜏 +𝐹2,Δ𝑡₁(𝑥, 𝑡),

𝑢3(𝑥, 𝑡) =

∫︁ 𝑡 𝛼3(𝑥,𝑡,Δ𝑡1)

𝑢1(𝑄𝜏)𝑑𝜏+𝐹3,Δ𝑡₁(𝑥, 𝑡),

(4.1) где

𝛼1(𝑥, 𝑡,∆𝑡1) := max(∆𝑡1, 𝑡−𝑥), 𝛼2(𝑥, 𝑡,∆𝑡1) := max (︂

∆𝑡1, 𝑡 2

)︂

,

𝛼3(𝑥, 𝑡,∆𝑡1) := max (︂

∆𝑡1,𝑥+𝑡 2

)︂

;

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

𝐹1,Δ𝑡₁(𝑥, 𝑡) :=−1 2

∫︁ 𝛼₁(𝑥,𝑡,Δ𝑡₁) 𝑡−𝑥

𝑔(𝑃𝜏, 𝑢^𝑇₃^*(𝑃𝜏))(𝑢^𝑇₁^*(𝑃𝜏) +𝑢^𝑇₂^*(𝑃𝜏))𝑑𝜏

+1 2

∫︁ 𝛼2(𝑥,𝑡,Δ𝑡1) 𝑡/2

𝑔(𝑃𝜏₀, 𝑢^𝑇₃^*(𝑃𝜏₀))(𝑢^𝑇₁^*(𝑃𝜏₀) +𝑢^𝑇₂^*(𝑃𝜏₀))𝑑𝜏 +𝐹1(𝑥, 𝑡),

𝐹_2,Δ𝑡₁(𝑥, 𝑡) :=−1 2

∫︁ 𝛼3(𝑥,𝑡,Δ𝑡1) (𝑥+𝑡)/2

𝑔(𝑄_𝜏, 𝑢^𝑇₃^*(𝑄_𝜏))(𝑢^𝑇₁^*(𝑄_𝜏) +𝑢^𝑇₂^*(𝑄_𝜏))𝑑𝜏 +𝐹₂(𝑥, 𝑡),

𝐹3,Δ𝑡1(𝑥, 𝑡) :=

∫︁ 𝛼₃(𝑥,𝑡,Δ𝑡₁) (𝑥+𝑡)/2

𝑢^𝑇₁^*(𝑄𝜏)𝑑𝜏.

(4.2) Поскольку выполняются условия леммы2.2, то при любом положительном𝜏6𝑇 для решения векторного уравнения (3.5) в области 𝐷𝜏 класса 𝐶(𝐷𝜏) справедлива априорная оценка

‖𝑈‖_𝐶(𝐷

𝜏)6𝑅^𝑇(‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝜏)), (4.3)

где 𝑅^𝑇 =𝑅^𝑇(𝑠)– неубывающая непрерывная функция своего аргумента𝑠>0.

Положим 𝑅*:=𝑅^𝑇(‖𝑓‖_𝐶(𝐷

𝑇)).

В качестве∆𝑡2 второго шага по𝑡возьмем

∆𝑡₂:= min

{︂ 1

4𝑀(𝑅1)𝑅1

, 1

4𝑐(𝑅1)𝑅1

}︂

, (4.4)

где

𝑅₁:= 1 + 2𝑇 𝑀(𝑅_*)𝑅_*+‖𝐹‖_𝐶(𝐷

𝑇), 𝐹 := (𝐹₁, 𝐹₂, 𝐹₃). (4.5) 4*

(13)

Систему уравнений (4.1) при𝑡∈[𝑇_*, 𝑇_*+∆𝑡₂]перепишем в виде одного векторного уравнения

𝑈 = Ψ𝑈, (4.6)

где операторΨ := (Ψ1,Ψ2,Ψ3)действует по формуле

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

(Ψ1𝑈)(𝑥, 𝑡) =−1 2

∫︁ 𝑡 𝛼1(𝑥,𝑡,Δ𝑡1)

𝑔(𝑃𝜏, 𝑢3(𝑃𝜏))(𝑢1(𝑃𝜏) +𝑢2(𝑃𝜏))𝑑𝜏

+1 2

∫︁ 𝑡

𝛼₂(𝑥,𝑡,Δ𝑡₁)

𝑔(𝑃𝜏₀, 𝑢3(𝑃𝜏₀))(𝑢1(𝑃𝜏₀)) +𝑢2(𝑃𝜏₀))𝑑𝜏+𝐹1,Δ𝑡₁(𝑥, 𝑡),

(Ψ₂𝑈)(𝑥, 𝑡) =−1 2

∫︁ 𝑡 𝛼₃(𝑥,𝑡,Δ𝑡₁)

𝑔(𝑄_𝜏, 𝑢₃(𝑄_𝜏))(𝑢₁(𝑄_𝜏) +𝑢₂(𝑄_𝜏))𝑑𝜏+𝐹_2,Δ𝑡₁(𝑥, 𝑡),

(Ψ₃𝑈)(𝑥, 𝑡) =

∫︁ 𝑡 𝛼₃(𝑥,𝑡,Δ𝑡₁)

𝑢₁(𝑄_𝜏)𝑑𝜏+𝐹_3,Δ𝑡₁(𝑥, 𝑡).

(4.7) Сначала покажем, что оператор Ψпереводит шар

𝐵([𝑇1, 𝑇2];𝑅1) :={𝑈 ∈𝐶(𝐷𝑇₁,𝑇₂) :‖𝑈‖_𝐶(𝐷

𝑇1,𝑇2)6𝑅1} в себя, где

𝑇₁=𝑇_*, 𝑇₂=𝑇_*+ ∆𝑡₂, 𝐷_𝑇₁_,𝑇₂ :=𝐷∩ {𝑇₁6𝑡6𝑇₂}.

Действительно, в силу (3.3), (4.2)–(4.5) и (4.7) имеем

‖Ψ1𝑈‖_𝐶(𝐷

𝑇1,𝑇2)62𝑀(𝑅₁)𝑅₁∆𝑡₂+ 2𝑀(𝑅_*)𝑅_*∆𝑡₁+‖𝐹1‖_𝐶(𝐷

𝑇)

62⁻¹+ 2𝑇 𝑀(𝑅_*)𝑅_*+‖𝐹‖_𝐶(𝐷

𝑇)6𝑅1. Аналогично‖Ψ𝑖𝑈‖_𝐶(𝐷

𝑇1,𝑇2)6𝑅1,𝑖= 2,3, и, тем самым, окончательно получим, что

‖Ψ𝑈‖_𝐶(𝐷

𝑇1,𝑇2)6𝑅₁.

Теперь покажем, что оператор Ψ является сжимающим отображением в этом шаре. Действительно, при (𝑥, 𝑡)∈𝐷𝑇₁,𝑇₂ в силу (3.3), (4.4) и (4.7) имеем

|(Ψ1𝑈²−Ψ1𝑈¹)(𝑥, 𝑡)|

61 2

∫︁ 𝑡 𝛼1(𝑥,𝑡,Δ𝑡1)

(︀|𝑔(𝑃𝜏, 𝑢²₃(𝑃𝜏))−𝑔(𝑃𝜏, 𝑢¹₃(𝑃𝜏))||𝑢²₁(𝑃𝜏) +𝑢²₂(𝑃𝜏)|

+|𝑔(𝑃𝜏, 𝑢¹₃(𝑃𝜏))||𝑢²₁(𝑃𝜏)−𝑢¹₁(𝑃𝜏) +𝑢²₂(𝑃𝜏)−𝑢¹₂(𝑃𝜏)|)︀

𝑑𝜏 +1

2

∫︁ 𝑡

𝛼₁(𝑥,𝑡,Δ𝑡₁)

(︀|𝑔(𝑃𝜏₀, 𝑢²₃(𝑃𝜏₀))−𝑔(𝑃𝜏₀, 𝑢¹₃(𝑃𝜏₀))||𝑢²₁(𝑃𝜏₀) +𝑢²₂(𝑃𝜏₀)|

+|𝑔(𝑃𝜏₀, 𝑢¹₃(𝑃𝜏₀))||𝑢²₁(𝑃𝜏₀)−𝑢¹₁(𝑃𝜏₀) +𝑢²₂(𝑃𝜏₀)−𝑢¹₂(𝑃𝜏₀)|)︀

𝑑𝜏 62𝑐(𝑅₁)𝑅₁∆𝑡₂‖𝑢²₃−𝑢¹₃‖_𝐶(𝐷

𝑇1,𝑇2)+ 2𝑀(𝑅₁)∆𝑡₂‖𝑈²−𝑈¹‖_𝐶(𝐷

𝑇1,𝑇2)

61

2‖𝑢²₃−𝑢¹₃‖_𝐶(𝐷

𝑇1,𝑇2)+ 1 2𝑅1

‖𝑈²−𝑈¹‖_𝐶(𝐷

𝑇1,𝑇2)